一定是直角三角形吗
【A层 基础夯实】
知识点1 直角三角形的判定
1.满足下列关系的三条线段a,b,c组成的三角形一定是直角三角形的是 ( )
A.ab-c
C.a=b=c D.a2=b2-c2
2.(2024·长沙质检)以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形的是 ( )
A.2,3,4 B.3,4,5
C.5,12,16 D.6,8,12
3.(2024·沈阳质检)下列结论正确的是 ( )
A.在Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边的长为5
B.△ABC的三边长满足BC2+AC2=AB2,则∠A=90°
C.若三角形的三边长之比为8∶16∶17,则该三角形是直角三角形
D.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,则△ABC是直角三角形
4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是 ( )
A.a=0.3,b=0.4,c=0.5
B.a=b,∠C=45°
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.a=12,b=35,c=37
知识点2 勾股数
5.下列各组数据中,不是勾股数的是 ( )
A.6,8,10 B.5,7,9
C.10,24,26 D.12,16,20
6.下列几组数中,是勾股数的有 ( )
①0.6,0.8,1; ②7,24,25;
③10,24,26; ④,,.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
知识点3 勾股定理逆定理的应用
7.如图,某小区有一块四边形空地ABCD,为了美化小区环境,现计划在空地上铺上草坪,其中∠B=90°,AB=3 m,BC=4 m,CD=12 m,AD=13 m.
(1)连接AC,则AC=________m.
(2)这块草坪的面积为________m2.
8.(2024·深圳期中)如图,在△ABC中,AB=12,AC=16,BC=20.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)若点P为线段AC上一点,连接BP,且BP=CP,求AP的长.
【B层 能力进阶】
9.(2024·西安质检)若a,b,c为△ABC的三边,下列条件中:①∠B=∠A-∠C;②a2=(b+c)(b-c);③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④a∶b∶c=1∶∶,则能判定△ABC是直角三角形的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图,小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ACB的度数是 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
11.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,AD=3,若∠B=90°,则∠BCD的度数为 .
12.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系(a2-c2+b2)2+|a-b|=0,则△ABC的形状为 .
13.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
(1)请把下列三组勾股数补充完整:
①______,8,10;②5,______,13;③8,15,______.
(2)小敏发现,很多已经约去公因数的勾股数组中,都有一个数是偶数,如果将它写成2mn,那么另外两个数可以写成m2+n2,m2-n2,如4=2×2×1,5=22+12,3=22-12.请你帮小敏证明这三个数2mn,m2+n2,m2-n2是勾股数组.
(3)如果21,72,75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组,求m+n的值.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(运算能力、推理能力、应用意识)(新定义问题)定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:
(1)如图1所示,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,请求∠A的度数.
(2)如图2所示,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.请证明△ABC为“类勾股三角形”. 一定是直角三角形吗
【A层 基础夯实】
知识点1 直角三角形的判定
1.满足下列关系的三条线段a,b,c组成的三角形一定是直角三角形的是 (D)
A.ab-c
C.a=b=c D.a2=b2-c2
2.(2024·长沙质检)以下列各组数为边长的三角形中,是直角三角形的是 (B)
A.2,3,4 B.3,4,5
C.5,12,16 D.6,8,12
3.(2024·沈阳质检)下列结论正确的是 (D)
A.在Rt△ABC中,已知两边长分别为3和4,则第三边的长为5
B.△ABC的三边长满足BC2+AC2=AB2,则∠A=90°
C.若三角形的三边长之比为8∶16∶17,则该三角形是直角三角形
D.在△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=1∶5∶6,则△ABC是直角三角形
4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,下列条件中,不能判断△ABC是直角三角形的是 (B)
A.a=0.3,b=0.4,c=0.5
B.a=b,∠C=45°
C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
D.a=12,b=35,c=37
知识点2 勾股数
5.下列各组数据中,不是勾股数的是 (B)
A.6,8,10 B.5,7,9
C.10,24,26 D.12,16,20
6.下列几组数中,是勾股数的有 (B)
①0.6,0.8,1; ②7,24,25;
③10,24,26; ④,,.
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
知识点3 勾股定理逆定理的应用
7.如图,某小区有一块四边形空地ABCD,为了美化小区环境,现计划在空地上铺上草坪,其中∠B=90°,AB=3 m,BC=4 m,CD=12 m,AD=13 m.
(1)连接AC,则AC=________m.
(2)这块草坪的面积为________m2.
【解析】(1)如图:
因为∠B=90°,AB=3 m,BC=4 m,所以AC=5 m.
答案:5
(2)因为AC=5 m,CD=12 m,AD=13 m,所以AD2=AC2+CD2,
故△ACD为直角三角形,所以这块草坪的面积为AB·BC+AC·CD
=×3×4+×5×12=36(m2).
答案:36
8.(2024·深圳期中)如图,在△ABC中,AB=12,AC=16,BC=20.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)若点P为线段AC上一点,连接BP,且BP=CP,求AP的长.
【解析】(1)△ABC是直角三角形,理由如下:
在△ABC中,AB=12,AC=16,BC=20,因为122+162=400=202,
所以AB2+AC2=BC2,所以△ABC是直角三角形;
(2)设AP=x,则BP=CP=16-x.在Rt△ABP中,因为AB2+AP2=BP2,
所以122+x2=(16-x)2,解得x=3.5,所以AP的长为3.5.
【B层 能力进阶】
9.(2024·西安质检)若a,b,c为△ABC的三边,下列条件中:①∠B=∠A-∠C;②a2=(b+c)(b-c);③∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5;④a∶b∶c=1∶∶,则能判定△ABC是直角三角形的个数有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图,小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ACB的度数是 (B)
A.30° B.45° C.60° D.90°
11.如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,AD=3,若∠B=90°,则∠BCD的度数为 135° .
12.已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足关系(a2-c2+b2)2+|a-b|=0,则△ABC的形状为等腰直角三角形 .
13.满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.
(1)请把下列三组勾股数补充完整:
①______,8,10;②5,______,13;③8,15,______.
(2)小敏发现,很多已经约去公因数的勾股数组中,都有一个数是偶数,如果将它写成2mn,那么另外两个数可以写成m2+n2,m2-n2,如4=2×2×1,5=22+12,3=22-12.请你帮小敏证明这三个数2mn,m2+n2,m2-n2是勾股数组.
(3)如果21,72,75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组,求m+n的值.
【解析】(1)①6,8,10;②5,12,13;③8,15,17.
答案:6 12 17
(2)因为(m2-n2)2+(2mn)2=m4+n4-2m2n2+4m2n2=m4+n4+2m2n2,(m2+n2)2
=m4+n4+2m2n2,所以(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2,所以m2-n2,m2+n2,2mn是勾股数组.
(3)化简得7,24,25,因为偶数24=2×3×4,25=42+32,7=42-32,
所以m=4,n=3,所以m+n=7.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(运算能力、推理能力、应用意识)(新定义问题)定义:在△ABC中,若BC=a,AC=b,AB=c,a,b,c满足ac+a2=b2,则称这个三角形为“类勾股三角形”.请根据以上定义解决下列问题:
(1)如图1所示,若等腰三角形ABC是“类勾股三角形”,其中AB=BC,AC>AB,请求∠A的度数.
(2)如图2所示,在△ABC中,∠B=2∠A,且∠C>∠A.请证明△ABC为“类勾股三角形”.
【解析】(1)因为AB=BC,AC>AB,所以a=c,b>c,
因为△ABC是“类勾股三角形”,
所以ac+a2=b2,所以c2+a2=b2,
所以△ABC是等腰直角三角形,所以∠A=45°.
(2)如图,在AB边上取点D,连接CD,使∠ACD=∠A,作CG⊥AB于点G,
因为∠CDB+∠CBD+∠BCD=180°,∠A+∠ACD+∠CBD+∠BCD=180°,
所以∠CDB=∠ACD+∠A=2∠A,因为∠B=2∠A,所以∠CDB=∠B,
所以CD=CB=a,因为∠ACD=∠A,所以AD=CD=a,所以DB=AB-AD=c-a,
因为CG⊥AB,所以DG=BG=(c-a),所以AG=AD+DG=a+(c-a)=(a+c),
在Rt△ACG中,CG2=AC2-AG2=b2-[(a+c) ]2,
在Rt△BCG中,CG2=BC2-BG2=a2-[(c-a) ]2,所以b2-[(a+c) ]2=a2-[(c-a) ]2,
所以b2=ac+a2,所以△ABC是“类勾股三角形”.
