勾股定理的应用
【A层 基础夯实】
知识点1 勾股定理及逆定理的实际应用
1.在两条垂直相交的道路上,一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北、向东驶去,若自行车与摩托车每秒分别行驶2.5米、6米,则10秒后两车相距 ( )
A.55米 B.65米
C.75米 D.85米
2.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图,当张角为∠BAF时,顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm,此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm,小组成员调整张角的大小继续探究,最后发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点),顶部边缘D处到桌面的距离DE为20 cm,则底部边缘A处与E之间的距离AE为 ( )
A.15 cm B.18 cm
C.21 cm D.24 cm
3.(2024·聊城质检)如图,直线l是一条河,A,B是两个新农村定居点.欲在l上的某点处修建一个水泵站,由水泵站直接向A,B两地供水.现有如下四种管道铺设方案,图中实线表示铺设的供水管道,则铺设管道最短的方案是 ( )
4.(2024·西安质检)如图,某储藏室入口的截面是一个半径为1 m的半圆形,一个长宽高分别是1.3 m,1 m,0.8 m的箱子能放进储藏室吗 为什么
知识点2 异面爬行问题
5.如图,动点P从点A出发,沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S,若BC=8,点P移动的最短距离为5,则圆柱的底面周长为 ( )
A.6 B.4π C.8 D.10
6.(2024·武汉质检)下面的图(2)是图(1)的侧面展开图.一只小昆虫沿着圆柱的侧面,从A点沿最短的距离爬到B点,则B点在图(2)中的位置是 .(请填序号)
知识点3 依据勾股定理列方程解决问题
7.(数学传统文化)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何 其大意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺),有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高 设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为 ( )
A.x2-3=(10-x)2 B.x2-32=(10-x)2
C.x2+3=(10-x)2 D.x2+32=(10-x)2
【B层 能力进阶】
8.(2024·南京质检)如图,一支长为15 cm的铅笔放在长方体笔筒中,已知笔筒的三边长度依次为3 cm,4 cm,12 cm,那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是( )
A.2 cm≤x≤5 cm B.2 cm≤x≤3 cm
C.4 cm≤x≤5 cm D.9 cm≤x≤12 cm
9.如图,在长方形ABCD中,AB=9,BC=4,将长方形AC折叠,点B落在点B'处,重叠部分△AFC的面积为 ( )
A. B.4.5 C.3 D.4
10.图1是某品牌婴儿车,图2为其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD,现测得AB=CD=6 dm,BC=3 dm,AD=9 dm,其中AB与BD之间由一个角度固定为90°的零件连接(即∠ABD=90°),通过计算说明该车是否符合安全标准.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(抽象能力、模型观念、应用意识)如图1,同学们想测量旗杆的高度.他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这条绳子的长度未知.小明同学和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下:
小明:①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米,如图1;②把绳子拉直,绳子末端在地面上离旗杆底部6米,如图2.
小亮:先在旗杆底端的绳子上打了一个结,然后举起绳结拉到如图3点D处.
(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度;
(2)已知小亮举起绳结离旗杆6.75米远,此时绳结离地面多高 勾股定理的应用
【A层 基础夯实】
知识点1 勾股定理及逆定理的实际应用
1.在两条垂直相交的道路上,一辆自行车和一辆摩托车相遇后又分别向北、向东驶去,若自行车与摩托车每秒分别行驶2.5米、6米,则10秒后两车相距 (B)
A.55米 B.65米
C.75米 D.85米
2.某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动.如图,当张角为∠BAF时,顶部边缘B处离桌面的高度BC为7 cm,此时底部边缘A处与C处间的距离AC为24 cm,小组成员调整张角的大小继续探究,最后发现当张角为∠DAF时(D是B的对应点),顶部边缘D处到桌面的距离DE为20 cm,则底部边缘A处与E之间的距离AE为 (A)
A.15 cm B.18 cm
C.21 cm D.24 cm
3.(2024·聊城质检)如图,直线l是一条河,A,B是两个新农村定居点.欲在l上的某点处修建一个水泵站,由水泵站直接向A,B两地供水.现有如下四种管道铺设方案,图中实线表示铺设的供水管道,则铺设管道最短的方案是 (D)
4.(2024·西安质检)如图,某储藏室入口的截面是一个半径为1 m的半圆形,一个长宽高分别是1.3 m,1 m,0.8 m的箱子能放进储藏室吗 为什么
【解析】能,理由如下:
以宽正对入口放进,如图,四边形ABDC是长方形,
AB∥CD,AB=CD=1 m,OA=1 m,
过点O的对称轴与AB交于点E,则A,B关于点E对称,所以AE=AB= m,
所以OE2=OA2-AE2=1-=0.75,
因为0.82=0.64<0.75,
所以长宽高分别是1.3 m,1 m,0.8 m的箱子能放进储藏室.
知识点2 异面爬行问题
5.如图,动点P从点A出发,沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S,若BC=8,点P移动的最短距离为5,则圆柱的底面周长为 (A)
A.6 B.4π C.8 D.10
6.(2024·武汉质检)下面的图(2)是图(1)的侧面展开图.一只小昆虫沿着圆柱的侧面,从A点沿最短的距离爬到B点,则B点在图(2)中的位置是 ③ .(请填序号)
知识点3 依据勾股定理列方程解决问题
7.(数学传统文化)《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何 其大意是:一根竹子原高1丈(1丈=10尺),有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高 设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为 (D)
A.x2-3=(10-x)2 B.x2-32=(10-x)2
C.x2+3=(10-x)2 D.x2+32=(10-x)2
【B层 能力进阶】
8.(2024·南京质检)如图,一支长为15 cm的铅笔放在长方体笔筒中,已知笔筒的三边长度依次为3 cm,4 cm,12 cm,那么这根铅笔露在笔筒外的部分长度x的范围是(B)
A.2 cm≤x≤5 cm B.2 cm≤x≤3 cm
C.4 cm≤x≤5 cm D.9 cm≤x≤12 cm
9.如图,在长方形ABCD中,AB=9,BC=4,将长方形AC折叠,点B落在点B'处,重叠部分△AFC的面积为 (A)
A. B.4.5 C.3 D.4
10.图1是某品牌婴儿车,图2为其简化结构示意图.根据安全标准需满足BC⊥CD,现测得AB=CD=6 dm,BC=3 dm,AD=9 dm,其中AB与BD之间由一个角度固定为90°的零件连接(即∠ABD=90°),通过计算说明该车是否符合安全标准.
【解析】在Rt△ABD中,BD2=AD2-AB2=92-62=45,
在△BCD中,BC2+CD2=32+62=45,
所以BC2+CD2=BD2,
所以∠BCD=90°,所以BC⊥CD.
故该车符合安全标准.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(抽象能力、模型观念、应用意识)如图1,同学们想测量旗杆的高度.他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面,并多出了一段,但这条绳子的长度未知.小明同学和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下:
小明:①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米,如图1;②把绳子拉直,绳子末端在地面上离旗杆底部6米,如图2.
小亮:先在旗杆底端的绳子上打了一个结,然后举起绳结拉到如图3点D处.
(1)请你按小明的方案求出旗杆的高度;
(2)已知小亮举起绳结离旗杆6.75米远,此时绳结离地面多高
【解析】(1)如题图2,设旗杆的长度为x米,则绳子的长度为(x+1.5)米,
在Rt△ABC中,由勾股定理得:x2+62=(x+1.5)2,解得x=11.25,
故旗杆的高度为11.25米;
(2)由题(1)可知,BD=BC=11.25米,DE=6.75米.
在Rt△BDE中,由勾股定理得:BE2+6.752=11.252,解得BE=9,
所以EC=BC-BE=11.25-9=2.25(米),所以DF=EC=2.25米.
故绳结离地面2.25米高.
