实数
【A层 基础夯实】
知识点1 实数概念及相关性质
1.(2024·西安质检)在,3.141 5,,0.121 221 222…,,,0.2,-π,,中,无理数的个数是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2023·嘉兴、舟山中考)下面四个数中,比1小的正无理数是 ( )
A. B.- C. D.
3.-的倒数是 ( )
A. B.- C. D.-
4.(2024·南京质检)下列数:6,-3.14,,0,-,0.,-,1.909 009 000…(每两个9之间依次多一个0),其中属于整数的有 ;属于负分数的有 ;属于无理数的有 .
知识点2 实数与数轴
5.如图,A,B,C,D是数轴上的四个点,其中最适合表示无理数π的点是 ( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
6.如图,△ABC是直角三角形,点C表示-2,且AC=3,AB=1,若以点C为圆心,CB为半径画弧交数轴于点M,则A,M两点间的距离为 ( )
A.+1 B.-3
C.-2 D.-1
7.如图,以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A和点B,则点A表示的数是 .
知识点3 实数的大小
8.数轴上有两个实数a,b,且a>0,b<0,a+b<0,则四个数a,b,-a,-b的大小关系为 (用“<”连接).
9.将下列各数在数轴上表示出来,并用“<”把它们连接起来.
-,-3,|-2|,
【B层 能力进阶】
10.在数轴上,点A表示的数为-1,点B表示的数为,点B关于点A的对称点为C,则C所表示的数为 ( )
A.-1 B.
C.--2 D.-2-1
11.正方形ABCD在数轴上的位置如图所示,点A,D对应的数分别为0和-1,若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点B所对应的数为1;则连续翻转2 023次后,数轴上数2 023所对应的点是 ( )
A.点A B.点B
C.点C D.点D
12.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示.化简-|a+b|++|b+c|-= .
13.(2024·扬州质检)如图,下列数轴上的点A都表示实数a,其中,一定满足|a|>2的有 .
14.已知与(b+27)2互为相反数,求|a+b|的值的倒数.
15.(2024·无锡质检)(1)计算:++|-2|;
(2)求下面式子中的x:(x-1)2=25;
(3)已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求3a+6b的立方根.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、运算能力)阅读材料:
我们定义:如果一个数的平方等于-1,记作i2=-1,那么这个i就叫做虚数单位.虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数.一个复数可以表示为a+bi(a,b均为实数)的形式,其中a叫做它的实部,b叫做它的虚部.
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似.
例如计算:(5+i)+(3-4i)=(5+3)+(i-4i)=8-3i.
根据上述材料,解决下列问题:
(1)填空:i3=________,i4=________;
(2)计算:(2+i)2;
(3)将化为a+bi(a,b均为实数)的形式(即化为分母中不含i的形式). 实数
【A层 基础夯实】
知识点1 实数概念及相关性质
1.(2024·西安质检)在,3.141 5,,0.121 221 222…,,,0.2,-π,,中,无理数的个数是(D)
A.2 B.3 C.4 D.5
2.(2023·嘉兴、舟山中考)下面四个数中,比1小的正无理数是 (A)
A. B.- C. D.
3.-的倒数是 (D)
A. B.- C. D.-
4.(2024·南京质检)下列数:6,-3.14,,0,-,0.,-,1.909 009 000…(每两个9之间依次多一个0),其中属于整数的有 6,0 ;属于负分数的有 -3.14,- ;属于无理数的有 -,1.909 009 000…(每两个9之间依次多一个0) .
知识点2 实数与数轴
5.如图,A,B,C,D是数轴上的四个点,其中最适合表示无理数π的点是 (D)
A.点A B.点B
C.点C D.点D
6.如图,△ABC是直角三角形,点C表示-2,且AC=3,AB=1,若以点C为圆心,CB为半径画弧交数轴于点M,则A,M两点间的距离为 (B)
A.+1 B.-3
C.-2 D.-1
7.如图,以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形,以表示数2的点为圆心,正方形对角线长为半径画半圆,交数轴于点A和点B,则点A表示的数是 2- .
知识点3 实数的大小
8.数轴上有两个实数a,b,且a>0,b<0,a+b<0,则四个数a,b,-a,-b的大小关系为 b<-a
9.将下列各数在数轴上表示出来,并用“<”把它们连接起来.
-,-3,|-2|,
【解析】因为|-2|=2,=,
将这四个数在数轴上表示出来(如图):
所以这四个数的大小关系为-3<-<<|-2|.
【B层 能力进阶】
10.在数轴上,点A表示的数为-1,点B表示的数为,点B关于点A的对称点为C,则C所表示的数为 (C)
A.-1 B.
C.--2 D.-2-1
11.正方形ABCD在数轴上的位置如图所示,点A,D对应的数分别为0和-1,若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转,翻转1次后,点B所对应的数为1;则连续翻转2 023次后,数轴上数2 023所对应的点是 (D)
A.点A B.点B
C.点C D.点D
12.已知a,b,c在数轴上的位置如图所示.化简-|a+b|++|b+c|-= b+2c-a .
13.(2024·扬州质检)如图,下列数轴上的点A都表示实数a,其中,一定满足|a|>2的有 ②③ .
14.已知与(b+27)2互为相反数,求|a+b|的值的倒数.
【解析】因为与(b+27)2互为相反数,所以+(b+27)2=0,
所以a-16=0,b+27=0,所以a=16,b=-27,所以|a+b|=|16-27|=11,
11的倒数为,因此|a+b|的值的倒数为.
15.(2024·无锡质检)(1)计算:++|-2|;
(2)求下面式子中的x:(x-1)2=25;
(3)已知2a-1的平方根是±3,3a+b-1的平方根是±4,求3a+6b的立方根.
【解析】(1)原式=3-2+2-=3-;
(2)由原方程可得:x-1=±5,
解得:x1=-4,x2=6;
(3)由题意得:2a-1=9,3a+b-1=16,
所以a=5,b=2,所以3a+6b=27,
所以3a+6b的立方根是3.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、运算能力)阅读材料:
我们定义:如果一个数的平方等于-1,记作i2=-1,那么这个i就叫做虚数单位.虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数.一个复数可以表示为a+bi(a,b均为实数)的形式,其中a叫做它的实部,b叫做它的虚部.
复数的加、减、乘的运算与我们学过的整式加、减、乘的运算类似.
例如计算:(5+i)+(3-4i)=(5+3)+(i-4i)=8-3i.
根据上述材料,解决下列问题:
(1)填空:i3=________,i4=________;
(2)计算:(2+i)2;
(3)将化为a+bi(a,b均为实数)的形式(即化为分母中不含i的形式).
【解析】(1)因为i2=-1,
所以i3=i2·i=-1·i=-i,i4=i2·i2=-1×(-1)=1.
答案:-i 1
(2)(2+i)2=i2+4i+4=-1+4i+4=3+4i;
(3)====i.