二次根式(第1课时)
1.要使二次根式有意义,则x可能取的值是 (D)
A.-1 B.0 C.1 D.5
2.下列各式是二次根式的是 (C)
A. B.
C. D.
3.已知实数x,y满足+(y+1)2=0,则x-y等于 (A)
A.3 B.-3 C.1 D.-1
4.如果=3-x,那么x的取值范围是 (B)
A.x<3 B.x≤3
C.x>3 D.x≥3
5.下列二次根式中,是最简二次根式的是 (C)
A. B. C. D.
6.化简:(1)= 3 ;(2)= ;(3)= π-2 .
7.化为最简二次根式是 .
8.化简:(1); (2);
(3); (4).
【解析】(1)原式=×=.
(2)原式==5.
(3)原式==.
(4)原式==.
9.已知实数a,b,c满足:|a+3|+=+.
(1)a= ;b= ;c= ;
(2)求-b-3a+2c的平方根.
【解析】(1)由题意得,b-5≥0,5-b≥0.
所以b=5.所以|a+3|+=0.
因为|a+3|≥0,≥0,
所以a+3=0,c-2=0,所以a=-3,c=2.
答案:-3 5 2
(2)由(1)得,a=-3,b=5,c=2,
所以-b-3a+2c=-5+9+4=8,
所以-b-3a+2c的平方根是±=±2.
10.(创新挑战题·运算能力、推理能力、应用意识)
观察下列各式:
=1+-=1;
=1+-=1;
=1+-=1;
请你根据上面三个等式提供的信息,猜想:
(1)=________;
(2)请你按照上面每个等式反映的规律,写出用n(n为正整数)表示的等式:________________;
(3)利用上述规律计算:(仿照上式写出过程).
【解析】(1)=1+-=1;
答案:1
(2)=1+-=1+;
答案:=1+
(3)==1. 二次根式(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的混合运算
1.下列选项中,运算正确的是 (B)
A.4-=4 B.×=12
C.+=5 D.÷=7
2.下列各式不成立的是 (C)
A.-=
B.=2
C.=+=5
D.=-
3.(2024·重庆质检)估计(+)的值应在 (C)
A.8和9之间 B.9和10之间
C.10和11之间 D.11和12之间
4.计算(+)(-)的结果等于 4 .
5.(2024·枣庄质检)计算:
(1)÷-×+;
(2)-×+(+1)(-1).
【解析】(1)原式=-+2=4-+2=4+;
(2)原式=+1-+3-1=2+1-9+3-1=-4.
6.计算:(1)×;
(2)-6;
(3)(+2)(-2).
【解析】(1)原式=××=2;
(2)原式=+-6×=+-3=-2;
(3)原式=()2-(2)2=7-8=-1.
知识点2 二次根式的化简求值
7.当a=,b=时,代数式ab+的值是(D)
A. B. C.1 D.2
8.(2024·武汉质检)已知x=+3,则代数式x2-6x-7的值为 -11 .
9.(2024·成都质检)已知:a=7-2,b=7+2,求:
(1)ab的值;
(2)a2+b2-ab.
【解析】(1)因为a=7-2,b=7+2,所以ab=(7-2)×(7+2)
=72-(2)2=49-24=25;
(2)因为a=7-2,b=7+2,所以a+b=(7-2)+(7+2)=14,
因为ab=25,所以a2+b2-ab=(a+b)2-3ab=142-3×25=196-75=121.
【B层 能力进阶】
10.下列计算正确的是 (D)
A.4×2=8 B.5×2=20
C.4×2=7 D.5×4=20
11.若a=-1,b=+1.则代数式a3b-ab3的值是 (D)
A.4 B.3 C.-3 D.-4
12.×= -a2b .
13.已知m=+1,n=-1,则m2+n2的值为 14 .
14.计算下列各题:
(1)+-;
(2)(4-3)÷+2×.
【解析】(1)+-
=4+3-(+)
=7-(1+)
=7-1-
=6-1;
(2)(4-3)÷+2×
=4÷-3÷+4
=4-3+4
=4+.
15.先化简,再求值:(a-)(a+)-a(a-4),其中a=+1.
【解析】(a-)(a+)-a(a-4)=a2-3-a2+4a=4a-3,
当a=+1时,原式=4×(+1)-3=4+4-3=4+1.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、运算能力、应用意识)(2024·咸阳质检)数学老师在课堂上提出一个问题:“通过探究知道:≈1.414…,它是无限不循环小数,也叫无理数,它的整数部分是1,那么有谁能说出它的小数部分是多少 ”王英举手回答:“它的小数部分我们无法全部写出来,但可以用-1来表示它的小数部分.”老师夸奖王英真聪明,肯定了她的说法.现请你根据王英的说法解答下列问题:
(1)请表示出的小数部分;
(2)若a为的小数部分,b为的整数部分,求a+b+的值;
(3)已知6+=x+y,其中x是一个正整数,0【解析】(1)因为4<7<9,所以2<<3,所以的小数部分是-2;
(2)因为4<6<9,所以2<<3,因为a为的小数部分,所以a=-2;
因为4<5<9,所以2<<3,因为b为的整数部分,所以b=2,
所以a+b+=-2+2+2=3;
(3)因为9<13<16,所以3<<4,所以的整数部分是3,小数部分是-3,
因为6+=x+y,其中x是一个正整数,0所以(x+3y)2=[9+3(-3)]2=(9+3-9)2=(3)2=117. 二次根式(第1课时)
1.要使二次根式有意义,则x可能取的值是 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.5
2.下列各式是二次根式的是 ( )
A. B.
C. D.
3.已知实数x,y满足+(y+1)2=0,则x-y等于 ( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
4.如果=3-x,那么x的取值范围是 ( )
A.x<3 B.x≤3
C.x>3 D.x≥3
5.下列二次根式中,是最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
6.化简:(1)= ;(2)= ;(3)= .
7.化为最简二次根式是 .
8.化简:(1); (2);
(3); (4).
9.已知实数a,b,c满足:|a+3|+=+.
(1)a= ;b= ;c= ;
(2)求-b-3a+2c的平方根.
10.(创新挑战题·运算能力、推理能力、应用意识)
观察下列各式:
=1+-=1;
=1+-=1;
=1+-=1;
请你根据上面三个等式提供的信息,猜想:
(1)=________;
(2)请你按照上面每个等式反映的规律,写出用n(n为正整数)表示的等式:________________;
(3)利用上述规律计算:(仿照上式写出过程). 二次根式(第2课时)
1.小华做了四道二次根式的题目:(1)+=,(2)2+=2,
(3)=-=3-2=1,(4)3-=3,如果你是他的数学老师,请找出他做错的题是 (B)
A.(1)(2) B.(1)(2)(4)
C.(2)(4) D.(1)(3)(4)
2.若最简二次根式与可以合并,则m的值为 (B)
A.2 021 B.-2 021
C.2 025 D.-2 025
3.估计÷的值应在 (C)
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
4.已知△ABC的面积为12 cm2,底边为2cm,则底边上的高为 (B)
A.3 cm B.6 cm
C. cm D.12 cm
5.计算×的结果是 4 .
6.(2023·天津中考)计算(+)(-)的结果为 1 .
7.计算:+4= .
8.矩形的长和宽分别是和,则矩形的面积是 6 .
9.计算:(-2)2 022×(+2)2 023= +2 .
10.(新定义问题)符号“*”表示一种新的运算,规定a*b=·-,则6*2的值为 .
11.计算:-+-.
【解析】-+-,=5-+-3,=3.
12.计算:(1);
(2)÷×;
(3)+2-;
(4)-.
【解析】(1)原式=-=-=4-2=2;
(2)原式==1;
(3)原式=+-6=-4;
(4)原式=5+2+1-2=6.
13.(创新挑战题·几何直观、运算能力、应用意识)
如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,四边形ABCD的四个顶点都在格线的交点上.解答下列问题:
(1)四边形ABCD的周长是________,面积是______.
(2)连接AC,请判断△ADC的形状,并求其面积.
【解析】(1)由勾股定理得:AD==,
DC==2,BC==5,
因为AB=6,所以四边形ABCD的周长是AD+CD+BC+AB=+2+5+6=11+3,
四边形ABCD的面积是7×4-×1×2-×2×4-×3×4=17.
答案:11+3 17
(2)△ADC是直角三角形,
理由:连接AC,
由勾股定理得:AC==5,
因为AD=,CD=2,所以AD2+CD2=AC2,
所以△ADC是直角三角形(∠ADC=90°),
所以S△ADC=AD·CD=××2=5. 二次根式(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次根式的混合运算
1.下列选项中,运算正确的是 ( )
A.4-=4 B.×=12
C.+=5 D.÷=7
2.下列各式不成立的是 ( )
A.-=
B.=2
C.=+=5
D.=-
3.(2024·重庆质检)估计(+)的值应在 ( )
A.8和9之间 B.9和10之间
C.10和11之间 D.11和12之间
4.计算(+)(-)的结果等于 .
5.(2024·枣庄质检)计算:
(1)÷-×+;
(2)-×+(+1)(-1).
6.计算:(1)×;
(2)-6;
(3)(+2)(-2).
知识点2 二次根式的化简求值
7.当a=,b=时,代数式ab+的值是( )
A. B. C.1 D.2
8.(2024·武汉质检)已知x=+3,则代数式x2-6x-7的值为 .
9.(2024·成都质检)已知:a=7-2,b=7+2,求:
(1)ab的值;
(2)a2+b2-ab.
【B层 能力进阶】
10.下列计算正确的是 ( )
A.4×2=8 B.5×2=20
C.4×2=7 D.5×4=20
11.若a=-1,b=+1.则代数式a3b-ab3的值是 ( )
A.4 B.3 C.-3 D.-4
12.×= .
13.已知m=+1,n=-1,则m2+n2的值为 .
14.计算下列各题:
(1)+-;
(2)(4-3)÷+2×.
15.先化简,再求值:(a-)(a+)-a(a-4),其中a=+1.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(推理能力、运算能力、应用意识)(2024·咸阳质检)数学老师在课堂上提出一个问题:“通过探究知道:≈1.414…,它是无限不循环小数,也叫无理数,它的整数部分是1,那么有谁能说出它的小数部分是多少 ”王英举手回答:“它的小数部分我们无法全部写出来,但可以用-1来表示它的小数部分.”老师夸奖王英真聪明,肯定了她的说法.现请你根据王英的说法解答下列问题:
(1)请表示出的小数部分;
(2)若a为的小数部分,b为的整数部分,求a+b+的值;
(3)已知6+=x+y,其中x是一个正整数,01.小华做了四道二次根式的题目:(1)+=,(2)2+=2,
(3)=-=3-2=1,(4)3-=3,如果你是他的数学老师,请找出他做错的题是 ( )
A.(1)(2) B.(1)(2)(4)
C.(2)(4) D.(1)(3)(4)
2.若最简二次根式与可以合并,则m的值为 ( )
A.2 021 B.-2 021
C.2 025 D.-2 025
3.估计÷的值应在 ( )
A.1和2之间 B.2和3之间
C.3和4之间 D.4和5之间
4.已知△ABC的面积为12 cm2,底边为2cm,则底边上的高为 ( )
A.3 cm B.6 cm
C. cm D.12 cm
5.计算×的结果是 .
6.(2023·天津中考)计算(+)(-)的结果为 .
7.计算:+4= .
8.矩形的长和宽分别是和,则矩形的面积是 .
9.计算:(-2)2 022×(+2)2 023= .
10.(新定义问题)符号“*”表示一种新的运算,规定a*b=·-,则6*2的值为 .
11.计算:-+-.
12.计算:(1);
(2)÷×;
(3)+2-;
(4)-.
13.(创新挑战题·几何直观、运算能力、应用意识)
如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,四边形ABCD的四个顶点都在格线的交点上.解答下列问题:
(1)四边形ABCD的周长是________,面积是______.
(2)连接AC,请判断△ADC的形状,并求其面积.
