第二章 实数
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2023·荆州中考)在实数-1,,,3.14中,无理数是 ( )
A.-1 B. C. D.3.14
2.-64的立方根是 ( )
A.-4 B.±4 C.±2 D.-2
3.1-的绝对值是 ( )
A.1- B.-1
C.1+ D.±(-1)
4.(2023·赤峰中考)如图,数轴上表示实数的点可能是 ( )
A.点P B.点Q
C.点R D.点S
5.从,-,-这三个实数中任选两数相乘,所有积中小于2的有________个( )
A.0 B.1 C.2 D.3
6.(2023·临沂中考)设m=5-,则实数m所在的范围是 ( )
A.m<-5 B.-5C.-4-3
7.已知y=++18,则代数式-的值为 ( )
A.- B.-
C. D.
8.若x=3-,则代数式x2-6x-9的值为 ( )
A.2 022 B.2 004
C.-2 004 D.-2 022
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.比较大小: 1.5.(用“>”“<”“=”填空)
10.计算:×的结果为 .
11.求值:(2-3)2 024·(3+2)2 025= .
12.若一个长方体的长为2,宽为,高为,则它的体积为 .
13.若2m-5与4m-9是某一个正数的两个平方根,则m的值是 .
14.(2024·成都质检)已知:如图,化简代数式:|a|++= .
三、解答题(共52分)
15.(9分)计算:(1)(2023·临夏州中考)÷×2-6.
(2)(2023·陕西中考)×(-)- ()-1+|-23|.
(3)(2023·广元中考)+|-2|+2 0230-(-1)1.
16.(6分)求x的值:
(1)4x2=;
(2)(2x-1)3=-729.
17.(12分)计算:(1)×÷;
(2)-3++;
(3)+|1-|+-(π-3)0;
(4)×-.
18.(8分)已知a=,b=,求下列代数式的值:
(1)a2-ab+b2;
(2)+.
19.(8分)如图,为正方形ABCD和正方形EFGH.
(1)若正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为(+)cm和(-)cm,在正方形ABCD中挖去一个和正方形EFGH同样大小的正方形,求剩余部分的面积;
(2)若正方形ABCD是一个面积为28 cm2的正方形相框,正方形EFGH是一个面积为7 cm2的正方形相框,现在小唯想用长为25 cm的彩带给这两个相框镶边,请你帮忙计算现有的彩带够吗.如果不够用,还需要买多长的彩带 (参考数据:≈2.65)
20.(9分)(2024·保定期中)小美同学根据学习“数与式”积累的经验,想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律,下面是她的探究过程,请你补充完整:
第1个等式:===2,
第2个等式:===3,
第3个等式:=4,
…
(1)具体运算,仿照第3个等式,写出第5个等式:
(2)观察、归纳,得出猜想,并验证猜想.
如果n为正整数,用含n的式子表示上述的运算规律为:__________.(n为正整数)
验证猜想.
(3)应用运算规律,化简:×.
【附加题】(10分)
(2024·佛山质检)阅读材料:黑白双雄,纵横江湖;双剑合璧,天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意思是指两个人合在一起,取长补短,威力无穷.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”,如(+3)(-3)=-4,(+)(-)=1,它们的积不含根号,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式,于是,二次根式除法可以这样解:如==,==7+4.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫分母有理化.
解决问题:
(1)比较大小:>(用“>”“<”或“=”填空);
(2)计算:+++…+;
(3)设实数x,y满足(x+)(y+)=2 023,求x+y+2 023的值.第二章 实数
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2023·荆州中考)在实数-1,,,3.14中,无理数是 (B)
A.-1 B. C. D.3.14
2.-64的立方根是 (A)
A.-4 B.±4 C.±2 D.-2
3.1-的绝对值是 (B)
A.1- B.-1
C.1+ D.±(-1)
4.(2023·赤峰中考)如图,数轴上表示实数的点可能是 (B)
A.点P B.点Q
C.点R D.点S
5.从,-,-这三个实数中任选两数相乘,所有积中小于2的有________个(C)
A.0 B.1 C.2 D.3
6.(2023·临沂中考)设m=5-,则实数m所在的范围是 (B)
A.m<-5 B.-5C.-4-3
7.已知y=++18,则代数式-的值为 (A)
A.- B.-
C. D.
8.若x=3-,则代数式x2-6x-9的值为 (B)
A.2 022 B.2 004
C.-2 004 D.-2 022
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.比较大小: > 1.5.(用“>”“<”“=”填空)
10.计算:×的结果为 3 .
11.求值:(2-3)2 024·(3+2)2 025= 3+2 .
12.若一个长方体的长为2,宽为,高为,则它的体积为 12 .
13.若2m-5与4m-9是某一个正数的两个平方根,则m的值是 .
14.(2024·成都质检)已知:如图,化简代数式:|a|++= 2-2b .
三、解答题(共52分)
15.(9分)计算:(1)(2023·临夏州中考)÷×2-6.
【解析】原式=3××2-6
=12-6=6.
(2)(2023·陕西中考)×(-)- ()-1+|-23|.
【解析】原式=-5-7+|-8|=-5-7+8=-5+1.
(3)(2023·广元中考)+|-2|+2 0230-(-1)1.
【解析】原式=+2-+1+1=+2-+1+1=4.
16.(6分)求x的值:
(1)4x2=;
【解析】(1)由4x2=,得x2=,所以x=±;
(2)(2x-1)3=-729.
【解析】(2)由(2x-1)3=-729,得2x-1=,
即2x-1=-9,解得x=-4.
17.(12分)计算:(1)×÷;
【解析】(1)×÷
==6;
(2)-3++;
【解析】(2)-3++
=4-3×++4=+;
(3)+|1-|+-(π-3)0;
【解析】(3)+|1-|+-(π-3)0
=3+-1+3-1=4+1;
(4)×-.
【解析】(4)×-
=(2-)×-(12-4+1)
=(2-)×(4-3)2 023-13+4
=2--13+4=-11+3.
18.(8分)已知a=,b=,求下列代数式的值:
(1)a2-ab+b2;
(2)+.
【解析】a===3-2,
b===3+2,
则a+b=3-2+3+2=6,ab=(3-2)(3+2)=1.
(1)a2-ab+b2=(a+b)2-3ab=36-3=33;
(2)+===34.
19.(8分)如图,为正方形ABCD和正方形EFGH.
(1)若正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为(+)cm和(-)cm,在正方形ABCD中挖去一个和正方形EFGH同样大小的正方形,求剩余部分的面积;
【解析】(1)(+)2-(-)2
=15+2×+5-(15-2×+5)
=15+2×+5-15+2×-5
=4
=20(cm2).
答:剩余部分的面积为20 cm2.
(2)若正方形ABCD是一个面积为28 cm2的正方形相框,正方形EFGH是一个面积为7 cm2的正方形相框,现在小唯想用长为25 cm的彩带给这两个相框镶边,请你帮忙计算现有的彩带够吗.如果不够用,还需要买多长的彩带 (参考数据:≈2.65)
【解析】(2)因为正方形ABCD是一个面积为28 cm2的正方形相框,正方形EFGH是一个面积为7 cm2的正方形相框,所以正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为 cm和 cm,
所以两个正方形的周长和为4+4=4×2+4=8+4=12≈31.8(cm),
31.8-25=6.8(cm),因为31.8>25,所以彩带不够,还需要买约6.8 cm长的彩带.
20.(9分)(2024·保定期中)小美同学根据学习“数与式”积累的经验,想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律,下面是她的探究过程,请你补充完整:
第1个等式:===2,
第2个等式:===3,
第3个等式:=4,
…
(1)具体运算,仿照第3个等式,写出第5个等式:=6.
【解析】(1)仿照第3个等式,第5个等式为=6;
(2)观察、归纳,得出猜想,并验证猜想.
如果n为正整数,用含n的式子表示上述的运算规律为:__________.(n为正整数)
验证猜想.
【解析】(2)如果n为正整数,用含n的式子表示题中的运算规律为:=(n+1)(n为正整数),
证明:等式左边===(n+1)=右边,故猜想成立.
(3)应用运算规律,化简:×.
【解析】(3)×=2 023×=
2 023=2 023.
【附加题】(10分)
(2024·佛山质检)阅读材料:黑白双雄,纵横江湖;双剑合璧,天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,其意思是指两个人合在一起,取长补短,威力无穷.在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”,如(+3)(-3)=-4,(+)(-)=1,它们的积不含根号,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式,于是,二次根式除法可以这样解:如==,==7+4.像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫分母有理化.
解决问题:
(1)比较大小:>(用“>”“<”或“=”填空);
【解析】(1)==,==,
因为>,所以>,
(2)计算:+++…+;
【解析】(2)+++…+
=+++…+
=+++…+
=(1-)+(-)+(-)+…+(-)=1-;
(3)设实数x,y满足(x+)(y+)=2 023,求x+y+2 023的值.
【解析】(3)因为(x+)(y+)=2 023,
所以x+=,
所以x+=-y①,同理y+=-x②,
所以①+②得:x+y++=+-(x+y),
所以x+y=0,所以x+y+2 023=2 023.
