第七章 平行线的证明
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列命题中假命题是 ( )
A.对顶角相等 B.两直线平行,同位角相等
C.内错角相等 D.平行于同一条直线的两条直线平行
2.能说明命题“对于任何实数a,都有a2>a”是假命题的反例是( )
A.a=-1 B.a=0 C.a=2 D.a=3
3.(2023·凉山州中考)光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中射向空气时,要发生折射.由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图,∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4= ( )
A.165° B.155° C.105° D.90°
4.(2023·日照中考)在数学活动课上,小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上,测得∠1=23°,则∠2的度数是 ( )
A.23° B.53° C.60° D.67°
5.(2023·聊城中考)如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 ( )
A.65° B.75° C.85° D.95°
6.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,连接EF,AC,且∠D=110°,∠EFD=70°,∠1=∠2.求证:∠AEF=∠B.①~⑤是排乱的部分证明步骤,正确的顺序是 ( )
①∵∠1=∠2;
②∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B;
③∵∠D+∠EFD=180°;
④∴AD∥BC;
⑤∴AD∥EF.
A.①④③②⑤ B.③⑤①④②
C.③④①②⑤ D.①⑤③④②
7.如图,将一张长方形纸片沿EF折叠后,点A,B分别落在A',B'的位置.如果∠1=59°,那么∠2的度数是( )
A.62° B.52° C.61° D.65°
8.(2024·泸州质检)如图,BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,BA2是∠A1BD的平分线,CA2是∠A1CD的平分线,BA3是∠A2BD的平分线,CA3是
∠A2CD的平分线,…,依此规律进行下去,若∠A=α,则∠A2 023为 ( )
A.α B.α
C.α D.α
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.把命题“等角的补角相等”改写成“如果……,那么……”的形式:如果 ,那么 .
10.(2023·江西中考)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为 cm.
11.(2024·济南质检)在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则此三角形是 三角形.
12.如图,a∥b,∠3=80°,∠1-∠2=20°,则∠1的度数是 .
13.(2024·唐山期末)如图,将一张三角形纸片沿着DE折叠(点D,E分别在边AB,AC上),点A落在点A'的位置,若∠A=70°,则∠1+∠2= °.
14.如图,将三角形纸片ABC沿BD折叠,若∠2=90°,∠A'=50°,则∠1的度数为
.
三、解答题(共52分)
15.(8分)已知△ABC中,∠B=2∠A,∠C=∠A+20°,求△ABC各个内角的度数.
16.(8分)如图,DC平分∠EDB,FG平分∠DFH,DE∥FH,求证:CD∥FG.
17.(8分)如图,在△ABC中,BD⊥AC于D.若∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5,E为线段BD上任一点.
(1)试求∠ABD的度数;
(2)求证:∠BEC>∠A.
18.(8分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)若∠C=50°,∠BAC=60°,求∠ADB的度数;
(2)若∠BED=45°,求∠C的度数.
19.(10分)已知:AB∥CD,点E为平面内一点,连接EA,EC.
(1)如图1,求证:∠ECD=∠AEC+∠EAB.
(2)如图2,AF⊥AE,垂足为A.CF平分∠ECD,∠AEC=20°,∠EAB=30°,求∠AFC的度数.
20.(10分)如图,在△ABC中,AE平分∠BAC交BC于点E.过点E作EF⊥AC,垂足为F.
(1)若∠AEB=80°,∠AEF=50°,求∠B,∠C的度数;
(2)若∠AEB=α,∠AEF=β,请直接用含α,β的式子表示∠B,∠C.
【附加题】(10分)
如图1的图形我们把它称为“8字形”,显然有∠A+∠B=∠C+∠D;
新定义:在图1中,我们把AB,CD,BC,AD叫做“8字形”的边,∠A,∠B,∠C,∠D叫做“8字形”的内角,“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角.例如,图2中,∠BAD,∠BCD为“8字形”的内角,图3中,∠BCE,∠FAD为“8字形”的外角.
(1)在图2中,∠BAD的平分线和∠BCD的平分线相交于点P,若∠B=36°,∠D=16°,求∠P的度数.
(2)在图3中,∠BCE的平分线和∠FAD的平分线所在直线相交于点P,猜想∠P与∠B,∠D的关系,并说明理由.
(3)在图4中,∠BCE的平分线和∠FAD的平分线相交于点P,猜想∠P与∠B,∠D的关系,并说明理由.
(4)在图5中,∠BCE的平分线和∠BAD的平分线相交于点P,用∠B,∠D来表示出∠P,直接写出结论,无需说明理由.第七章 平行线的证明
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列命题中假命题是 (C)
A.对顶角相等 B.两直线平行,同位角相等
C.内错角相等 D.平行于同一条直线的两条直线平行
2.能说明命题“对于任何实数a,都有a2>a”是假命题的反例是(B)
A.a=-1 B.a=0 C.a=2 D.a=3
3.(2023·凉山州中考)光线在不同介质中的传播速度是不同的,因此光线从水中射向空气时,要发生折射.由于折射率相同,所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图,∠1=45°,∠2=120°,则∠3+∠4= (C)
A.165° B.155° C.105° D.90°
4.(2023·日照中考)在数学活动课上,小明同学将含30°角的直角三角板的一个顶点按如图方式放置在直尺上,测得∠1=23°,则∠2的度数是 (B)
A.23° B.53° C.60° D.67°
5.(2023·聊城中考)如图,分别过△ABC的顶点A,B作AD∥BE.若∠CAD=25°,∠EBC=80°,则∠ACB的度数为 (B)
A.65° B.75° C.85° D.95°
6.已知:如图,在四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD上的点,连接EF,AC,且∠D=110°,∠EFD=70°,∠1=∠2.求证:∠AEF=∠B.①~⑤是排乱的部分证明步骤,正确的顺序是 (B)
①∵∠1=∠2;
②∴EF∥BC,∴∠AEF=∠B;
③∵∠D+∠EFD=180°;
④∴AD∥BC;
⑤∴AD∥EF.
A.①④③②⑤ B.③⑤①④②
C.③④①②⑤ D.①⑤③④②
7.如图,将一张长方形纸片沿EF折叠后,点A,B分别落在A',B'的位置.如果∠1=59°,那么∠2的度数是(A)
A.62° B.52° C.61° D.65°
8.(2024·泸州质检)如图,BA1和CA1分别是△ABC的内角平分线和外角平分线,BA2是∠A1BD的平分线,CA2是∠A1CD的平分线,BA3是∠A2BD的平分线,CA3是
∠A2CD的平分线,…,依此规律进行下去,若∠A=α,则∠A2 023为 (B)
A.α B.α
C.α D.α
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.把命题“等角的补角相等”改写成“如果……,那么……”的形式:如果 两个角相等 ,那么 这两个角的补角也相等 .
10.(2023·江西中考)将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置,已知∠α=60°,点B,C表示的刻度分别为1 cm,3 cm,则线段AB的长为 2 cm.
11.(2024·济南质检)在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则此三角形是 直角 三角形.
12.如图,a∥b,∠3=80°,∠1-∠2=20°,则∠1的度数是 50° .
13.(2024·唐山期末)如图,将一张三角形纸片沿着DE折叠(点D,E分别在边AB,AC上),点A落在点A'的位置,若∠A=70°,则∠1+∠2= 140 °.
14.如图,将三角形纸片ABC沿BD折叠,若∠2=90°,∠A'=50°,则∠1的度数为
20° .
三、解答题(共52分)
15.(8分)已知△ABC中,∠B=2∠A,∠C=∠A+20°,求△ABC各个内角的度数.
【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+2∠A+∠A+20°=180°.
∴4∠A=160°.∴∠A=40°.
∴∠B=2∠A=80°,∠C=∠A+20°=60°.
16.(8分)如图,DC平分∠EDB,FG平分∠DFH,DE∥FH,求证:CD∥FG.
【证明】∵DC平分∠EDB,FG平分∠DFH,
∴∠CDB=∠EDB,∠DFG=∠DFH,
∵DE∥FH,
∴∠EDB=∠DFH,
∴∠CDB=∠DFG,
∴CD∥FG.
17.(8分)如图,在△ABC中,BD⊥AC于D.若∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5,E为线段BD上任一点.
(1)试求∠ABD的度数;
(2)求证:∠BEC>∠A.
【解析】(1)由∠A∶∠ABC∶∠ACB=3∶4∶5,
故∠A=45°,∠ABC=60°,∠ACB=75°.
∵BD⊥AC,∴∠BDA=90°,
∴∠A+∠ABD=180°-∠BDA=90°,∴∠ABD=90°-45°=45°.
(2)∵∠BEC>∠BDC>∠A,∴∠BEC>∠A.
18.(8分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)若∠C=50°,∠BAC=60°,求∠ADB的度数;
(2)若∠BED=45°,求∠C的度数.
【解析】(1)∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,
∴∠DAC=∠BAC=30°.∵∠ADB是△ADC的外角,∠C=50°,
∴∠ADB=∠C+∠DAC=80°.
(2)∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAC=2∠BAD,∠ABC=2∠ABE.
∵∠BED是△ABE的外角,∠BED=45°,∴∠BAD+∠ABE=∠BED=45°,
∴∠BAC+∠ABC=2(∠BAD+∠ABE)=90°.
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=90°.
19.(10分)已知:AB∥CD,点E为平面内一点,连接EA,EC.
(1)如图1,求证:∠ECD=∠AEC+∠EAB.
(2)如图2,AF⊥AE,垂足为A.CF平分∠ECD,∠AEC=20°,∠EAB=30°,求∠AFC的度数.
【解析】(1)如图1,∵AB∥CD,
∴∠EMB=∠ECD,∵∠AEC+∠EAB=∠EMB,∴∠ECD=∠AEC+∠EAB.
(2)如图2,∵∠AEC=20°,∠EAB=30°,
∴∠1=50°,∵AB∥CD,∴∠ECD=∠1=50°,
∵CF平分∠ECD,∴∠ECF=∠ECD=25°,
∵AF⊥AE,∴∠2=∠3=90°-∠AEC=70°,∴∠AFC=180°-∠3-∠ECF=85°.
20.(10分)如图,在△ABC中,AE平分∠BAC交BC于点E.过点E作EF⊥AC,垂足为F.
(1)若∠AEB=80°,∠AEF=50°,求∠B,∠C的度数;
(2)若∠AEB=α,∠AEF=β,请直接用含α,β的式子表示∠B,∠C.
【解析】(1)∵∠AEB=80°,∠AEF=50°,∴∠FEC=180°-∠AEF-∠AEB=50°.
∵EF⊥AC,∴∠EFC=90°.∵∠C+∠FEC=90°,∠AEF+∠EAF=90°,
∴∠C=90°-∠FEC=90°-50°=40°,∠EAF=90°-∠AEF=90°-50°=40°.
∵AE平分∠BAC,∴∠BAC=2∠EAF=80°.
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,∴∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-40°=60°.
(2)∵∠AEB=α,∠AEF=β,
∴∠FEC=180°-∠AEF-∠AEB=180°-α-β.
∵EF⊥AC,
∴∠EFC=90°.
∵∠C+∠FEC=90°,∠AEF+∠EAF=90°,
∴∠C=90°-∠FEC=90°-(180°-α-β)=α+β-90°,∠EAF=90°-∠AEF=90°-β.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAC=2∠EAF=2(90°-β)=180°-2β.
∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠B=180°-(180°-2β)-(α+β-90°)=180°-180°+2β-α-β+90°=β-α+90°.
∴∠C=α+β-90°,∠B=β-α+90°.
【附加题】(10分)
如图1的图形我们把它称为“8字形”,显然有∠A+∠B=∠C+∠D;
新定义:在图1中,我们把AB,CD,BC,AD叫做“8字形”的边,∠A,∠B,∠C,∠D叫做“8字形”的内角,“8字形”的一边与其相邻边的延长线组成的角叫做外角.例如,图2中,∠BAD,∠BCD为“8字形”的内角,图3中,∠BCE,∠FAD为“8字形”的外角.
(1)在图2中,∠BAD的平分线和∠BCD的平分线相交于点P,若∠B=36°,∠D=16°,求∠P的度数.
(2)在图3中,∠BCE的平分线和∠FAD的平分线所在直线相交于点P,猜想∠P与∠B,∠D的关系,并说明理由.
(3)在图4中,∠BCE的平分线和∠FAD的平分线相交于点P,猜想∠P与∠B,∠D的关系,并说明理由.
(4)在图5中,∠BCE的平分线和∠BAD的平分线相交于点P,用∠B,∠D来表示出∠P,直接写出结论,无需说明理由.
【解析】(1)∵AP,CP分别平分∠BAD,∠BCD,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
由“8字形”可得:∠2+∠B=∠3+∠P,∠1+∠P=∠4+∠D,
∴∠B-∠P=∠P-∠D,
即2∠P=∠B+∠D.
∵∠B=36°,∠D=16°,
∴∠P=26°.
(2)∠P=,理由如下:
延长PA与ED交于点G(图略),
由“8字形”可得:∠B+∠BAD=∠D+∠BCD,
∴∠B+180°-∠DAF=∠D+180°-∠BCE,
∴∠D+∠DAF=∠B+∠BCE.
∵∠BCE的平分线和∠FAD的平分线所在直线相交于点P,
∴∠D+2∠FAG=∠B+2∠PCB①.
∵∠P+∠PAB=∠B+∠PCB,
∴2∠B+2∠PCB=2∠P+2∠PAB②,
①+②得:∠D+2∠FAG+2∠B+2∠PCB=∠B+2∠PCB+2∠P+2∠PAB,
∵∠FAG=∠PAB,
∴∠D+2∠B=∠B+2∠P,
∴∠P=.
(3)2∠P+∠B+∠D=360°,理由如下:
同(2)可得∠D+2∠PAD=∠B+2∠PCB,
∴∠PAD-∠PCB=∠B-∠D.
∵∠P+∠PAD+∠D+∠PCB+∠BCD=360°,
∴∠P+∠PAD+∠D+∠PCD=360°,
∴∠P+∠PAD+∠D+(180°-∠PCE)=360°,
∴∠P+∠PAD+∠D+(180°-∠PCB)=360°,
∴∠P+∠PAD+∠D-∠PCB=180°,
∴∠P+∠D+(∠PAD-∠PCB)=180°,
∴∠P+∠D+∠B-∠D=180°,
∴2∠P+∠B+∠D=360°.
(4)∠P=90°+∠B+∠D.
∵∠BCE的平分线和∠BAD的平分线相交于点P,
∴∠PAD=∠BAD,∠PCD=180°-∠PCE=180°-∠BCE=180°-(180°-∠BCD)=90°+∠BCD,
∴2∠PCD=180°+∠BCD.
由“8字形”可得:∠B+∠BAD=∠D+∠BCD,∠P+∠PAD=∠D+∠PCD,
∴2(∠P+∠PAD)=2(∠D+∠PCD),
即2∠P+∠BAD=2∠D+2∠PCD=2∠D+180°+∠BCD,
∴(2∠P+∠BAD)-(∠B+∠BAD)=
(2∠D+180°+∠BCD)-(∠D+∠BCD),
即2∠P-∠B=∠D+180°,
∴2∠P-∠B-∠D=180°,
∴∠P=90°+∠B+∠D.
