第三章 位置与坐标
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.中国桑蚕看广西,广西桑蚕看宜州,以下能准确表示宜州地理位置的是 (D)
A.在广西西北部 B.离南宁约320千米
C.在柳州市西面 D.东经108.08°,北纬24.69°
2.下列各点中,在第四象限的是 (B)
A.(2,3) B.(1,-1) C.(-2,1) D.(-2,-1)
3.已知点A(n+1,-2)和点B(3,n-1),若直线AB∥x轴,则n的值为 (C)
A.2 B.-4 C.-1 D.3
4.在平面直角坐标系中,若点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称,则m+n的值为 (A)
A.-1 B.0 C.1 D.3
5.若点A(a,b)在第二象限,则点B(0,a)在 (D)
A.x轴的正半轴上 B.x轴的负半轴上
C.y轴的正半轴上 D.y轴的负半轴上
6.如图所示,某战役缴获敌人防御工事坐标地图碎片,依稀可见,一号暗堡的坐标为(4,2),四号暗堡的坐标为(-2,4),原有情报得知:敌军指挥部的坐标为(0,0),你认为敌军指挥部的位置大约是 (B)
A.A处 B.B处
C.C处 D.D处
7.已知两点A(a,6),B(-1,b)且直线AB∥x轴,若AB=4,则 (D)
A.a取任意实数,b=6 B.a≠-1,b取任意实数
C.a=-3或5,b=6 D.a=-5或3,b=6
8.点P的坐标是(2-a,3a+6),且点P到两坐标轴的距离相等,则点P坐标是 (D)
A.(3,3) B.(3,-3)
C.(6,-6) D.(3,3)或(6,-6)
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.若点P(3,5)到x轴的距离是 5 .
10.观察如图所示的象棋棋盘,若“兵”所在的位置用(1,3)表示,“炮”所在的位置用(6,4)表示,那么“帅”所在的位置可表示为 (4,1) .
11.如图,△ABC的面积为 9.5 .
12.如图,三角形ABC的顶点B用数对(1,1)表示,顶点A用数对(4,5)表示,如果作三角形ABC关于直线l对称的三角形A'B'C',那么点B的对称点B'用数对 (9,1) 表示.
13.将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
若有序数对(n,m)表示第n行,从左到右第m个数,如(3,2)表示6,则表示99的有序数对是 (10,18) .
14.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点分别为A(3,3),B(-1,1),C(2,1),若要使△ABC与△DBC全等,则点D的坐标为 (3,-1)或(-2,-1)或(-2,3) .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图是某校的平面示意图,网格中小正方形的边长为1,且已知E楼,A楼的坐标分别为(-2,2),(2,3).完成以下问题:
(1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系;
(2)写出图中校门,B楼,C楼,D楼的坐标;
(3)在图中用点M表示实验楼(0,-3)的位置.
【解析】(1)根据题意在图上建立平面直角坐标系,如图所示;
(2)如图,校门的坐标为(1,0),B楼的坐标为(1,-2),C楼的坐标为(-5,-3),D楼的坐标为(-3,0);
(3)如图所示:
16.(8分)在平面直角坐标系中,已知点P(2m+4,m-1),根据下列条件,求出点P的坐标:
(1)点P的纵坐标比横坐标大3;
【解析】(1)由题意知,m-1-(2m+4)=3,
解得m=-8,所以P点的坐标为(-12,-9);
(2)点P在过A(2,-5)点,且与x轴平行的直线上.
【解析】(2)由题意知,m-1=-5,解得m=-4,所以P点的坐标为(-4,-5).
17.(8分)在平面直角坐标系中,对于点P,Q两点给出如下定义:若点P到x,y轴的距离的较大值等于点Q到x,y轴的距离的较大值,则称P,Q两点为“等距点”.如点P(-2,5)和点Q(-5,-1)就是等距点.
(1)下列各点中,是(-3,7)的等距点的有①③;
①(3,-7);②(2,9);③(7,4).
【解析】(1)因为(-3,7)到x,y轴的距离的较大值为7,①(3,-7)到x,y轴的距离的较大值为7;
②(2,9)到x,y轴的距离的较大值为9;
③(7,4)到x,y轴的距离的较大值为7,所以①③是(-3,7)的等距点;
(2)已知点B的坐标是(-4,2),点C的坐标是(m-1,m),若点B与点C是“等距点”,求点C的坐标;
【解析】(2)由题意,可分两种情况:①|m-1|=|-4|,解得m=-3或m=5(不符合题意,舍去);
②|m|=|-4|,解得m=-4(不符合题意,舍去)或m=4,
综上所述,点C的坐标为(-4,-3)或(3,4);
(3)若点D(3,4+k)与点E(2k-5,6)是“等距点”,直接写出k的值.
【解析】(3)由题意,可分两种情况:①当|2k-5|≥6时,|4+k|=|2k-5|,所以4+k=2k-5或4+k=-(2k-5),解得k=9或k=(不符合题意,舍去);
②当|2k-5|<6时,|4+k|=6,所以4+k=6或4+k=-6,解得k=2或k=-10(不符合题意,舍去);
综上所述,k=2或k=9.
18.(8分)如图所示,在长方形ABCD中,已知AB=6,AD=4,在长方形ABCD外画△ABE,使AE=BE=5,请建立适当的平面直角坐标系,并求出各顶点的坐标.
【解析】(答案不唯一)若以D为坐标原点,DC和AD所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系,
则A的坐标是(0,4),B的坐标是(6,4),C的坐标是(6,0),D的坐标是(0,0);
作EG⊥CD交AB于点F.
因为AE=BE,所以AF=AB=×6=3,
在直角△AEF中,EF===4,
则EG=4+4=8,所以E的坐标是(3,8).
19.(10分)如图,已知A,B两村庄的坐标分别为A(2,2),B(5,1),一辆汽车在x轴上行驶,从原点O出发.
(1)汽车行驶到离B村最近的点的坐标是(5,0);
【解析】(1)由题意,汽车行驶到离B村最近的点的坐标是(5,0).
(2)汽车行驶到x轴的某一点P时到A,B两村的距离的差最大.
①请写出点P的坐标,并在图中标出点P;
②求出PA-PB的最大值,并说明理由.
【解析】(2)①如图,点P(8,0)即为所求.
②因为PA-PB≤AB,
所以当点P在AB的延长线上时,PA-PB的值最大,最大值=AB==.
20.(10分)已知:A(0,1),B(2,0),C(4,3).
(1)在坐标系中描出各点,画出△ABC;
【解析】(1)如图所示:
(2)求△ABC的面积;
【解析】(2)过点C向x,y轴作垂线,垂足分别为D,E.
所以S四边形DOEC=3×4=12,
S△BCD=×2×3=3,S△ACE=×2×4=4,S△AOB=×2×1=1,
S△ABC=S四边形DOEC-S△BCD-S△ACE-S△AOB=12-3-4-1=4;
(3)设点P在y轴上,且△APB与△ABC的面积相等,求P的坐标.
【解析】(3)当点P在y轴上时,S△ABP=BO·AP=4,
即×2×AP=4,解得AP=4.
所以点P的坐标为(0,5)或(0,-3).
【附加题】(10分) 综合探究:
“在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为,,,求这个三角形的面积”.
小明同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示,这样不求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.
(1)图1中△ABC的面积是 ;
【解析】(1)由题图1可知,S△ABC=3×3-×1×2-×2×3-×3×1=.
(2)若△MNP的边长分别为,,(m>0,n>0,且m≠n),试运用构图法在图2中画出相应的△MNP,并求出△MNP的面积;
【解析】(2)因为△MNP的边长分别为,,
(m>0,n>0,且m≠n),
所以△MNP的三边分别是直角边长为m,4n的直角三角形的斜边;
直角边长为3m,2n的直角三角形的斜边;
直角边长为2m,2n的直角三角形的斜边,构造三角形如图:
由图可知,S△MNP=3m·4n-·2m·2n-·4n·m-·2n·3m=5mn;
(3)拓展应用:求代数式:+(0≤x≤4)的最小值.
【解析】(3)+(0≤x≤4),可以看成平面直角坐标系中x轴上
一点(x,0)到点(0,1)的距离与(x,0)到点(4,2)的距离和的最小值,如图:
设A(0,1),B(4,2),P(x,0),则PA+PB=+(0≤x≤4),
过点A作x轴的对称点A',A'为(0,-1),PA+PB=PA'+PB≥A'B,
当且仅当A',P,B三点共线时,PA+PB的值最小,即为A'B的长,
因为A'(0,-1),B(4,2),所以A'B==5.
所以+(0≤x≤4)的最小值为5.第三章 位置与坐标
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.中国桑蚕看广西,广西桑蚕看宜州,以下能准确表示宜州地理位置的是 ( )
A.在广西西北部 B.离南宁约320千米
C.在柳州市西面 D.东经108.08°,北纬24.69°
2.下列各点中,在第四象限的是 ( )
A.(2,3) B.(1,-1) C.(-2,1) D.(-2,-1)
3.已知点A(n+1,-2)和点B(3,n-1),若直线AB∥x轴,则n的值为 ( )
A.2 B.-4 C.-1 D.3
4.在平面直角坐标系中,若点A(m,3)与点B(2,n)关于x轴对称,则m+n的值为 ( )
A.-1 B.0 C.1 D.3
5.若点A(a,b)在第二象限,则点B(0,a)在 ( )
A.x轴的正半轴上 B.x轴的负半轴上
C.y轴的正半轴上 D.y轴的负半轴上
6.如图所示,某战役缴获敌人防御工事坐标地图碎片,依稀可见,一号暗堡的坐标为(4,2),四号暗堡的坐标为(-2,4),原有情报得知:敌军指挥部的坐标为(0,0),你认为敌军指挥部的位置大约是 ( )
A.A处 B.B处
C.C处 D.D处
7.已知两点A(a,6),B(-1,b)且直线AB∥x轴,若AB=4,则 ( )
A.a取任意实数,b=6 B.a≠-1,b取任意实数
C.a=-3或5,b=6 D.a=-5或3,b=6
8.点P的坐标是(2-a,3a+6),且点P到两坐标轴的距离相等,则点P坐标是 ( )
A.(3,3) B.(3,-3)
C.(6,-6) D.(3,3)或(6,-6)
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.若点P(3,5)到x轴的距离是 .
10.观察如图所示的象棋棋盘,若“兵”所在的位置用(1,3)表示,“炮”所在的位置用(6,4)表示,那么“帅”所在的位置可表示为 .
11.如图,△ABC的面积为 .
12.如图,三角形ABC的顶点B用数对(1,1)表示,顶点A用数对(4,5)表示,如果作三角形ABC关于直线l对称的三角形A'B'C',那么点B的对称点B'用数对 表示.
13.将从1开始的连续自然数按以下规律排列:
若有序数对(n,m)表示第n行,从左到右第m个数,如(3,2)表示6,则表示99的有序数对是 .
14.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点分别为A(3,3),B(-1,1),C(2,1),若要使△ABC与△DBC全等,则点D的坐标为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图是某校的平面示意图,网格中小正方形的边长为1,且已知E楼,A楼的坐标分别为(-2,2),(2,3).完成以下问题:
(1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系;
(2)写出图中校门,B楼,C楼,D楼的坐标;
(3)在图中用点M表示实验楼(0,-3)的位置.
16.(8分)在平面直角坐标系中,已知点P(2m+4,m-1),根据下列条件,求出点P的坐标:
(1)点P的纵坐标比横坐标大3;
(2)点P在过A(2,-5)点,且与x轴平行的直线上.
17.(8分)在平面直角坐标系中,对于点P,Q两点给出如下定义:若点P到x,y轴的距离的较大值等于点Q到x,y轴的距离的较大值,则称P,Q两点为“等距点”.如点P(-2,5)和点Q(-5,-1)就是等距点.
(1)下列各点中,是(-3,7)的等距点的有
①(3,-7);②(2,9);③(7,4).
(2)已知点B的坐标是(-4,2),点C的坐标是(m-1,m),若点B与点C是“等距点”,求点C的坐标;
(3)若点D(3,4+k)与点E(2k-5,6)是“等距点”,直接写出k的值.
18.(8分)如图所示,在长方形ABCD中,已知AB=6,AD=4,在长方形ABCD外画△ABE,使AE=BE=5,请建立适当的平面直角坐标系,并求出各顶点的坐标.
19.(10分)如图,已知A,B两村庄的坐标分别为A(2,2),B(5,1),一辆汽车在x轴上行驶,从原点O出发.
(1)汽车行驶到离B村最近的点的坐标是 ;
(2)汽车行驶到x轴的某一点P时到A,B两村的距离的差最大.
①请写出点P的坐标,并在图中标出点P;
②求出PA-PB的最大值,并说明理由.
20.(10分)已知:A(0,1),B(2,0),C(4,3).
(1)在坐标系中描出各点,画出△ABC;
(2)求△ABC的面积;
(3)设点P在y轴上,且△APB与△ABC的面积相等,求P的坐标.
【附加题】(10分) 综合探究:
“在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为,,,求这个三角形的面积”.
小明同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图1所示,这样不求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫做构图法.
(1)图1中△ABC的面积是 ;
(2)若△MNP的边长分别为,,(m>0,n>0,且m≠n),试运用构图法在图2中画出相应的△MNP,并求出△MNP的面积;
(3)拓展应用:求代数式:+(0≤x≤4)的最小值.
