第四章 一次函数
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下面的三个问题中都有两个变量:
①汽车从A地匀速行驶到B地,汽车的剩余路程y与行驶时间x;
②将水箱中的水匀速放出,直至放完,水箱中的剩余水量y与放水时间x;
③用长度一定的绳子围成一个长方形,长方形的面积y与一边长x.
其中,变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是 (A)
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
2.游乐园里的大摆锤如图1所示,它的简化模型如图2,当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时,摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示.摆锤从A点出发再次回到A点需要________秒 (D)
A.2 B.4 C.6 D.8
3.在平面直角坐标系中,将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位长度,所得的函数的表达式是 (D)
A.y=3x+5 B.y=3x-5 C.y=3x+1 D.y=3x-1
4.(2023·甘肃中考)若直线y=kx(k是常数,k≠0)经过第一、第三象限,则k的值可为 (D)
A.-2 B.-1 C.- D.2
5.(2023·长沙中考)下列一次函数中,y随x的增大而减小的函数是 (D)
A.y=2x+1 B.y=x-4 C.y=2x D.y=-x+1
6.若一次函数y=2x+1的图象经过点(-3,y1),(4,y2),则y1与y2的大小关系是 (A)
A.y1y2 C.y1≤y2 D.y1≥y2
7.如图,将一圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面中央,现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水,则水杯内水面的高度h(单位:cm)与注水时间t(单位:s)的函数图象大致为 (B)
8.甲、乙两人沿同一直道从A地到B地,在整个行程中,甲、乙离A地的距离s与时间t之间的函数关系如图所示,下列说法错误的是 (C)
A.甲比乙早1分钟出发
B.乙的速度是甲的速度的2倍
C.若甲比乙晚5分钟到达,则甲用时10分钟
D.若甲出发时的速度为原来的2倍,则甲比乙提前1分钟到达B地
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.已知函数y=+,则x的取值范围为 x≥-1且x≠0 .
10.(2023·无锡中考)请写出一个函数的表达式,使得它的图象经过点(2,0): y=x-2(答案不唯一) .
11.已知y=(m+2)+m+1是一次函数,则m= 2 .
12.若y与x-1成正比例关系,且当x=3时,y=4,则y与x的函数表达式为y= 2x-2 .
13.如图,直线所对应的一次函数的表达式是 y=x-1 .
14.某超市糯米的价格为5元/千克,端午节推出促销活动:一次购买的数量不超过2千克时,按原价售出,超过2千克时,超过的部分打8折.若某人付款14元,则他购买了 3 千克糯米;设某人的付款金额为x元,购买量为y千克,则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数表达式为 y= .
三、解答题(共52分)
15.(8分) 如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A,B,C.
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式;
【解析】(1)由题图象可知,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(2,6),C(-2,0),
所以2k+b=6,①
-2k+b=0,②
解得k=,b=3,所以一次函数的表达式为y=x+3;
(2)将直线AB向下平移5个单位后经过点(m,-5),求m的值.
【解析】(2)将直线AB向下平移5个单位后得到y=x+3-5,即y=x-2,
因为经过点(m,-5),所以-5=m-2,解得m=-2.
16.(8分)在平面直角坐标系中,已知一次函数y1=kx+4与函数y2=-x+b的图象都经过A(-2,0),函数y1=kx+4的图象与y轴交于点B,函数y2=-x+b的图象与y轴交于点C.
(1)求k,b的值;
【解析】(1)把A(-2,0)代入y1=kx+4得-2k+4=0,解得k=2.
把A(-2,0)代入y2=-x+b得1+b=0,解得b=-1.
(2)在下列平面直角坐标系中画出一次函数y1=kx+4与y2=-x+b的图象;
【解析】(2)如图,
(3)设点D在一次函数y2=-x+b上,且在y轴右侧,当三角形ABD的面积为15时,求点D的坐标.
【解析】(3)设D(t,-t-1)(t>0),
当x=0时,y1=2x+4=4,则B(0,4),
当x=0时,y2=-x-1=-1,则C(0,-1),
根据题意得×2×(4+1)+×(4+1)×t=15,
解得t=4,所以D(4,-3).
17.(8分)下面对函数y1=|2x-4|-2和y2=x-1进行研究,完成下列探索过程:
(1)补充列表:
x … -1 0 1 2 3 4 5 …
y1 … 4 2 0 -2 0 2 4 …
y2 … -2 -1 0 1 2 3 4 …
【解析】(1)当x=1时,y1=|2x-4|-2=0;
当x=2时,y1=|2x-4|-2=-2;
当x=3时,y1=|2x-4|-2=0;
当x=4时,y1=|2x-4|-2=2.
(2)在平面直角坐标系中描点,补全函数y1的图象,画出函数y2的图象;
【解析】(2)函数图象如图所示;
(3)根据函数图象填空:
①函数y1的最小值为-2;
②当y2≥y1时,x的取值范围为1≤x≤5.
【解析】(3)①由函数图象可知,函数y1的最小值为-2;
②由函数图象可知,当y2≥y1时,1≤x≤5.
18.(8分) (2023·吉林中考)甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道,两组每天挖掘长度均保持不变,合作一段时间后,乙组因维修设备而停工,甲组单独完成了剩下的任务,甲、乙两组挖掘的长度之和y(m)与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示.
(1)甲组比乙组多挖掘了30天.
【解析】(1)由图象可知,甲、乙合作共挖掘了30天,甲单独挖掘了30天,即甲组比乙组多挖掘了30天.
(2)求乙组停工后y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
【解析】(2)设乙组停工后y关于x的函数表达式为y=kx+b,点(30,210),(60,300)在图象上,可知30k+b=210,60k+b=300,解得k=3,b=120.
所以函数表达式为y=3x+120(30≤x≤60).
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时,直接写出乙组已停工的天数.
【解析】(3)由(1)关系式可知,甲单独干了30天,挖掘的长度是=300-210=90(m),甲的工作效率是3 m每天.
前30天甲、乙合作共挖掘了210 m,则乙单独挖掘的长度是210-90=120(m).
当甲挖掘的长度是120 m时,工作天数是120÷3=40(天),
乙组已停工的天数是40-30=10(天).
19.(10分) 如图,在平面直角坐标系中,点B(2,0),点C(6,0),点A(x,y)是直线y=2x上的一点,设△ABC的面积为S.
(1)当点A在第一象限时,求S与x的函数关系式;
【解析】(1)因为B(2,0),C(6,0),所以BC=6-2=4,因为第一象限内的点A(x,y)是直线y=2x上一点,所以S=×4×2x=4x(x>0);
(2)当S=8时,求A点的坐标.
【解析】(2)当点A在第一象限时,x>0,即S=4x,
当点A在第三象限时,x<0,即S=-4x,
所以S与x的函数关系式为S=,因为S=8,可知x=±2,
所以x=2时y=4,x=-2时,y=-4,即A点的坐标为(2,4)或(-2,-4).
20.(10分)(2023·宁波中考)某校与部队联合开展红色之旅研学活动,上午7:00,部队官兵乘坐军车从营地出发,同时学校师生乘坐大巴从学校出发,沿公路(如图1)到爱国主义教育基地进行研学.上午8:00,军车在离营地60 km的地方追上大巴并继续前行,到达仓库后,部队官兵下车领取研学物资,然后乘坐军车按原速前行,最后和师生同时到达基地,军车和大巴离营地的路程s(km)与所用时间t(h)的函数关系如图2所示.
(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值.
【解析】(1)由函数图象可得,大巴速度为=40(km/h),所以s=20+40t,
当s=100时,100=20+40t,解得t=2,所以a=2.
所以大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s=20+40t,a的值为2.
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间.
【解析】(2)由函数图象可得,军车速度为60÷1=60(km/h),
设部队官兵在仓库领取物资所用的时间为x h,
根据题意,得60(2-x)=100,解得x=,
答:部队官兵在仓库领取物资所用的时间为h.
【附加题】(10分)
(2023·鸡西中考)已知甲、乙两地相距480 km,一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地,一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地,两车同时出发,货车途经服务区时,停下来装完货物后,发现此时与出租车相距120 km,货车继续出发h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15分钟到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x(h)之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1)图中a的值是120 ;
【解析】(1)由图象知,C(4,480),
设直线OC的表达式为y=kx,把C(4,480)代入得,480=4k,解得k=120,
所以直线OC的表达式为y=120x,把(1,a)代入y=120x,得a=120.
(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中,距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式;
【解析】(2)由停下来装完货物后,发现此时与出租车相距120 km,
可得此时出租车距离乙地为120+120=240(km),
所以出租车距离甲地为480-240=240(km),
把y=240代入y=120x得,240=120x,解得x=2,
所以货车装完货物时,x=2,B(2,120),
根据货车继续出发 h后与出租车相遇,
可得×(出租车的速度+货车的速度)=120,
根据直线OC的表达式为y=120x,
可得出租车的速度为120 km/h,
所以相遇时,货车的速度为120÷-120=60(km/h),
故可设直线BG的表达式为y=60x+b,
将B(2,120)代入y=60x+b,可得120=120+b,解得b=0,
所以直线BG的表达式为y=60x,
故货车装完货物后驶往甲地的过程中,距其出发地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数表达式为y=60x.
(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中,货车出发多长时间与出租车相距12 km.
【解析】(3)把y=480代入y=60x,可得480=60x,解得x=8,
所以G(8,480),所以F(8,0),
根据出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15分钟到达甲地,
可得EF==,所以E(,0),
所以出租车返回后的速度为480÷(-4)=128(km/h),
设在出租车返回的行驶过程中,货车出发t小时,与出租车相距12 km,
此时货车距离乙地为60t km,出租车距离乙地为128(t-4)=(128t-512)km,
①出租车和货车第二次相遇前,相距12 km时,可得60t1-(128t1-512)=12,
解得t1=;
②出租车和货车第二次相遇后,相距12 km时,可得(128t2-512)-60t2=12,
解得t2=,
故在出租车返回的行驶过程中,货车出发 h或 h与出租车相距12 km.第四章 一次函数
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下面的三个问题中都有两个变量:
①汽车从A地匀速行驶到B地,汽车的剩余路程y与行驶时间x;
②将水箱中的水匀速放出,直至放完,水箱中的剩余水量y与放水时间x;
③用长度一定的绳子围成一个长方形,长方形的面积y与一边长x.
其中,变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是 ( )
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
2.游乐园里的大摆锤如图1所示,它的简化模型如图2,当摆锤第一次到达左侧最高点A点时开始计时,摆锤相对地面的高度y随时间t变化的图象如图3所示.摆锤从A点出发再次回到A点需要________秒 ( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.在平面直角坐标系中,将函数y=3x+2的图象向下平移3个单位长度,所得的函数的表达式是 ( )
A.y=3x+5 B.y=3x-5 C.y=3x+1 D.y=3x-1
4.(2023·甘肃中考)若直线y=kx(k是常数,k≠0)经过第一、第三象限,则k的值可为 ( )
A.-2 B.-1 C.- D.2
5.(2023·长沙中考)下列一次函数中,y随x的增大而减小的函数是 ( )
A.y=2x+1 B.y=x-4 C.y=2x D.y=-x+1
6.若一次函数y=2x+1的图象经过点(-3,y1),(4,y2),则y1与y2的大小关系是 ( )
A.y1y2 C.y1≤y2 D.y1≥y2
7.如图,将一圆柱形水杯杯底固定在大圆柱形容器底面中央,现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水,则水杯内水面的高度h(单位:cm)与注水时间t(单位:s)的函数图象大致为 ( )
8.甲、乙两人沿同一直道从A地到B地,在整个行程中,甲、乙离A地的距离s与时间t之间的函数关系如图所示,下列说法错误的是 ( )
A.甲比乙早1分钟出发
B.乙的速度是甲的速度的2倍
C.若甲比乙晚5分钟到达,则甲用时10分钟
D.若甲出发时的速度为原来的2倍,则甲比乙提前1分钟到达B地
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.已知函数y=+,则x的取值范围为 .
10.(2023·无锡中考)请写出一个函数的表达式,使得它的图象经过点(2,0): .
11.已知y=(m+2)+m+1是一次函数,则m= .
12.若y与x-1成正比例关系,且当x=3时,y=4,则y与x的函数表达式为y= .
13.如图,直线所对应的一次函数的表达式是 .
14.某超市糯米的价格为5元/千克,端午节推出促销活动:一次购买的数量不超过2千克时,按原价售出,超过2千克时,超过的部分打8折.若某人付款14元,则他购买了 千克糯米;设某人的付款金额为x元,购买量为y千克,则购买量y关于付款金额x(x>10)的函数表达式为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分) 如图,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A,B,C.
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式;
(2)将直线AB向下平移5个单位后经过点(m,-5),求m的值.
16.(8分)在平面直角坐标系中,已知一次函数y1=kx+4与函数y2=-x+b的图象都经过A(-2,0),函数y1=kx+4的图象与y轴交于点B,函数y2=-x+b的图象与y轴交于点C.
(1)求k,b的值;
(2)在下列平面直角坐标系中画出一次函数y1=kx+4与y2=-x+b的图象;
(3)设点D在一次函数y2=-x+b上,且在y轴右侧,当三角形ABD的面积为15时,求点D的坐标.
17.(8分)下面对函数y1=|2x-4|-2和y2=x-1进行研究,完成下列探索过程:
(1)补充列表:
x … -1 0 1 2 3 4 5 …
y1 … 4 2 4 …
y2 … -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2)在平面直角坐标系中描点,补全函数y1的图象,画出函数y2的图象;
(3)根据函数图象填空:
①函数y1的最小值为 ;
②当y2≥y1时,x的取值范围为 .
18.(8分) (2023·吉林中考)甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道,两组每天挖掘长度均保持不变,合作一段时间后,乙组因维修设备而停工,甲组单独完成了剩下的任务,甲、乙两组挖掘的长度之和y( )与甲组挖掘时间x(天)之间的关系如图所示.
(1)甲组比乙组多挖掘了 天.
(2)求乙组停工后y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围.
(3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时,直接写出乙组已停工的天数.
19.(10分) 如图,在平面直角坐标系中,点B(2,0),点C(6,0),点A(x,y)是直线y=2x上的一点,设△ABC的面积为S.
(1)当点A在第一象限时,求S与x的函数关系式;
(2)当S=8时,求A点的坐标.
20.(10分)(2023·宁波中考)某校与部队联合开展红色之旅研学活动,上午7:00,部队官兵乘坐军车从营地出发,同时学校师生乘坐大巴从学校出发,沿公路(如图1)到爱国主义教育基地进行研学.上午8:00,军车在离营地60 km的地方追上大巴并继续前行,到达仓库后,部队官兵下车领取研学物资,然后乘坐军车按原速前行,最后和师生同时到达基地,军车和大巴离营地的路程s(km)与所用时间t( )的函数关系如图2所示.
(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值.
(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间.
【附加题】(10分)
(2023·鸡西中考)已知甲、乙两地相距480 km,一辆出租车从甲地出发往返于甲、乙两地,一辆货车沿同一条公路从乙地前往甲地,两车同时出发,货车途经服务区时,停下来装完货物后,发现此时与出租车相距120 km,货车继续出发h后与出租车相遇.出租车到达乙地后立即按原路返回,结果比货车早15分钟到达甲地.如图是两车距各自出发地的距离y(km)与货车行驶时间x( )之间的函数图象,结合图象回答下列问题:
(1)图中a的值是 ;
(2)求货车装完货物后驶往甲地的过程中,距其出发地的距离y(km)与行驶时间x( )之间的函数表达式;
(3)直接写出在出租车返回的行驶过程中,货车出发多长时间与出租车相距12 km.
