勾股定理
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在直角三角形中,若直角边为6和8,则斜边为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
2.下列各组数中,是勾股数的是 ( )
A.1,1,2 B.12,16,20
C.4,5,6 D.1.5,2.5,2
3.如图,有一只喜鹊在一棵2 m高的小树AB上觅食,它的巢筑在与该树水平距离(BD)为8 m的一棵9 m高的大树DM上,喜鹊的巢位于树顶下方1 m的C处,当它听到巢中幼鸟的叫声,立即飞过去,如果它飞行的速度为2.5 m/s,那么它要飞回巢中所需的时间至少是 ( )
A.1 s B.3 s C.4 s D.6 s
4.如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地面的高度AB为2米,一名学生站在C处时,感应门自动打开了,此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米,头顶离感应器的距离AD为1.3米,则这名学生身高CD为________米. ( )
A.0.9 B.1.3 C.1.5 D.1.6
5.如图,一个零件的形状如图所示,已知∠CAB=∠CBD=90°,AC=3 cm,AB=4 cm,
BD=12 cm,则CD长为( )
A.5 cm B.13 cm C. cm D.15 cm
6.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
7.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,小正方形的面积为5,则大正方形的面积为 ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
8.(新定义问题)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.如图,“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2的值为 ( )
A.6 B.12 C.20 D.40
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=25 cm,AC=15 cm,CH⊥AB,垂足为H,CH= .
10.如图,小明想知道学校旗杆的高度,他将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,然后将绳子拉到离旗杆底端6 m处,发现此时绳子底端距离打结处2 m,则旗杆的高度为 m.
11.如图,方格中的点A,B,C,D,E称为“格点”(格线的交点),以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形,其中直角三角形有 个.
12.(数学传统文化)《九章算术》中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何.”大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲每单位时间走7步,乙每单位时间走3步.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远 若设二人从出发到相遇用x个单位时间,则根据题意列方程为 .
13.如图所示,把枯木看作一个圆柱体,该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则葛藤的最短长度是 尺.
14.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则BC的长为 .
三、解答题(共52分)
15. (8分)如图,四边形ABCD中,∠ADC=90°,CD=9,AD=12,BC=8,AB=17.
(1)求证:∠ACB=90°;
(2)求四边形ABCD的面积.
16.(8分)如图,点B是△ADC中DC边上一点,∠ABC=90°,AC=13,AB=12,BD=16,
AD=20.求BC并判断∠DAC是否是直角.
17.(8分)如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,且∠QPN=30°,在A处有一所中学,AP=120米,此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒8米的速度行驶,假设消防车行驶时周围100米以内的地区有噪音影响.
(1)学校是否会受到影响 请说明理由;
(2)如果受到影响,则影响时间是多长
18.(8分)如图所示,ABCD是长方形地面,长AB=14米,宽AD=12米,中间竖有一堵砖墙高MN=1米.一只蚂蚁从B点爬到D点,它必须翻过中间那堵墙,求蚂蚁至少要爬的路程.
19.(10分)如图1,图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图,根据商品介绍,获得了如下信息:滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等,即DE=BC=AB=50 cm,点B,F在线段AC上,点C在DE上,支杆DF=30 cm.
(1)当E与C点重合,CF=40 cm时,△CDF是什么三角形
(2)若EC=36 cm时,B,D相距48 cm,试判定BD与DE的位置关系,并说明理由.
20.(10分)(2024·西安质检)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观,从而可以帮助我们快速解题,初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
(1)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1,S2,S3,请直接写出S1,S2,S3之间存在的等量关系
(2)如图②,如果以Rt△ABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆,那么(1)中的结论是否成立 请说明理由;
(3)如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,三边长分别为5,12,13,分别以它的三边长为直径向上作半圆,求图③中阴影部分的面积.
【附加题】(10分)
实际问题:如图(1),一圆柱的底面半径为5 cm,BC是底面直径,高AB为5 cm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线.
解决方案:
路线1:侧面展开图中的线段AC,如图(2)所示:
设路线1的长度为l1,则=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2;
路线2:高AB+底面直径BC,如图(1)所示:
设路线2的长度为l2,则=AC2=(AB+BC)2=(5+10)2=225;
为比较l1和l2的大小,我们采用“作差法”:
因为-=25(π2-8)>0,
所以>,
所以l1>l2.
小明认为应选择路线2.
(1)问题类比:
小亮对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1 cm,高AB为5 cm”请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小;
(2)问题拓展:
请你帮他们继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r cm时,高为h cm,蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C,当满足什么条件时,选择路线2最短 请说明理由;
(3)问题解决:
如图(3)为两个相同的圆柱紧密排列在一起,高为5 cm,当蚂蚁从点A出发,沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时,求圆柱的底面半径r.(注:按上面小明所设计的两条路线方式)勾股定理
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.在直角三角形中,若直角边为6和8,则斜边为 (D)
A.7 B.8 C.9 D.10
2.下列各组数中,是勾股数的是 (B)
A.1,1,2 B.12,16,20
C.4,5,6 D.1.5,2.5,2
3.如图,有一只喜鹊在一棵2 m高的小树AB上觅食,它的巢筑在与该树水平距离(BD)为8 m的一棵9 m高的大树DM上,喜鹊的巢位于树顶下方1 m的C处,当它听到巢中幼鸟的叫声,立即飞过去,如果它飞行的速度为2.5 m/s,那么它要飞回巢中所需的时间至少是 (C)
A.1 s B.3 s C.4 s D.6 s
4.如图,某自动感应门的正上方A处装着一个感应器,离地面的高度AB为2米,一名学生站在C处时,感应门自动打开了,此时这名学生离感应门的距离BC为1.2米,头顶离感应器的距离AD为1.3米,则这名学生身高CD为________米. (C)
A.0.9 B.1.3 C.1.5 D.1.6
5.如图,一个零件的形状如图所示,已知∠CAB=∠CBD=90°,AC=3 cm,AB=4 cm,
BD=12 cm,则CD长为(B)
A.5 cm B.13 cm C. cm D.15 cm
6.如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A,B,C,D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是 (B)
A.9 B.10 C.11 D.12
7.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若(a+b)2=21,小正方形的面积为5,则大正方形的面积为 (B)
A.12 B.13 C.14 D.15
8.(新定义问题)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.如图,“垂美”四边形ABCD,对角线AC,BD交于点O.若AD=2,BC=4,则AB2+CD2的值为 (C)
A.6 B.12 C.20 D.40
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=25 cm,AC=15 cm,CH⊥AB,垂足为H,CH=12 cm.
10.如图,小明想知道学校旗杆的高度,他将升旗的绳子拉到旗杆底端,并在绳子上打了一个结,然后将绳子拉到离旗杆底端6 m处,发现此时绳子底端距离打结处2 m,则旗杆的高度为 8 m.
11.如图,方格中的点A,B,C,D,E称为“格点”(格线的交点),以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形,其中直角三角形有 3 个.
12.(数学传统文化)《九章算术》中有一题:“今有二人同所立.甲行率七,乙行率三.乙东行,甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、乙行各几何.”大意是说:已知甲、乙二人同时从同一地点出发,甲每单位时间走7步,乙每单位时间走3步.乙一直向东走,甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时,甲、乙各走了多远 若设二人从出发到相遇用x个单位时间,则根据题意列方程为 (7x-10)2=102+(3x)2 .
13.如图所示,把枯木看作一个圆柱体,该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则葛藤的最短长度是 25 尺.
14.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则BC的长为 14或4 .
三、解答题(共52分)
15. (8分)如图,四边形ABCD中,∠ADC=90°,CD=9,AD=12,BC=8,AB=17.
(1)求证:∠ACB=90°;
【解析】(1)连接AC,如图所示:
因为∠ADC=90°,CD=9,AD=12,
所以AC2=AD2+CD2=122+92=152,AC=15,
因为AC2+BC2=152+82=289,AB2=172=289,
所以AC2+BC2=AB2,
所以△ACB是直角三角形,所以∠ACB=90°;
(2)求四边形ABCD的面积.
【解析】(2)S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB=×9×12+×15×8=54+60=114.
故四边形ABCD的面积为114.
16.(8分)如图,点B是△ADC中DC边上一点,∠ABC=90°,AC=13,AB=12,BD=16,
AD=20.求BC并判断∠DAC是否是直角.
【解析】因为∠ABC=90°,AC=13,AB=12,
所以在Rt△ABC中,根据勾股定理得:BC=5,
所以DC=DB+BC=16+5=21,
因为AD=20,AC=13,DC=21,
所以AD2+AC2=202+132=569,DC2=212=441,
所以AD2+AC2≠DC2,所以∠DAC≠90°.
综上所述:BC=5,∠DAC不是直角.
17.(8分)如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,且∠QPN=30°,在A处有一所中学,AP=120米,此时有一辆消防车在公路MN上沿PN方向以每秒8米的速度行驶,假设消防车行驶时周围100米以内的地区有噪音影响.
(1)学校是否会受到影响 请说明理由;
【解析】(1)学校会受到噪音影响,理由如下:
如图,过点A作AB⊥MN于点B,
因为AP=120米,∠QPN=30°,
所以AB=AP=×120=60(米).
因为60米<100米,
所以消防车在公路MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪音影响.
(2)如果受到影响,则影响时间是多长
【解析】(2)设从点E开始学校受到影响,点F结束,则AE=AF=100米.
因为AB⊥MN,所以BE=BF.
在Rt△ABE中,由勾股定理得:BE===80(米),
所以EF=2BE=2×80=160(米).
因为消防车的速度为8米/秒,所以学校受影响的时间为=20(秒).
18.(8分)如图所示,ABCD是长方形地面,长AB=14米,宽AD=12米,中间竖有一堵砖墙高MN=1米.一只蚂蚁从B点爬到D点,它必须翻过中间那堵墙,求蚂蚁至少要爬的路程.
【解析】连接BD,如图所示,将图展开,图形长度增加2个MN的长度,
即原图长度增加2米,
所以AB=14+2=16(米),连接AC,
因为四边形ABCD是长方形,AB=16米,宽AD=12米,
在Rt△BDC中,由勾股定理得:BD2=BC2+CD2=122+162=202,BD=20米,
所以蚂蚁从B点爬到D点,它至少要爬20米的路程.
19.(10分)如图1,图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图,根据商品介绍,获得了如下信息:滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等,即DE=BC=AB=50 cm,点B,F在线段AC上,点C在DE上,支杆DF=30 cm.
(1)当E与C点重合,CF=40 cm时,△CDF是什么三角形
【解析】(1)因为E与C点重合,所以DC=DE=50 cm,
因为DF=30 cm,CF=40 cm,所以DC2=CF2+DF2,
所以∠CFD=90°,所以△CDF是直角三角形;
(2)若EC=36 cm时,B,D相距48 cm,试判定BD与DE的位置关系,并说明理由.
【解析】(2)BD⊥DE,理由:连接BD,
因为EC=36 cm,DE=50 cm,所以CD=DE-EC=14 cm,
因为BC=50 cm,BD=48 cm,
所以CD2+BD2=142+482=2 500,BC2=502=2 500,
所以CD2+BD2=BC2,所以△BCD是直角三角形,
所以∠BDC=90°,所以BD⊥DE.
20.(10分)(2024·西安质检)数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法,借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观,从而可以帮助我们快速解题,初中数学里的一些代数公式,很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释.
(1)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,以Rt△ABC的三边长向外作正方形的面积分别为S1,S2,S3,请直接写出S1,S2,S3之间存在的等量关系S1+S2=S3;
【解析】(1)因为S1=a2,S2=b2,S3=c2,Rt△ABC中,∠ACB=90°,
所以a2+b2=c2,所以S1+S2=S3.
(2)如图②,如果以Rt△ABC的三边长a,b,c为直径向外作半圆,那么(1)中的结论是否成立 请说明理由;
【解析】(2)成立,设直角三角形两条直角边分别为a,b,斜边为c.
所以S2=π()2=,S3=π()2=,S1=π()2=,
因为+=,所以S1+S2=S3;
(3)如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,三边长分别为5,12,13,分别以它的三边长为直径向上作半圆,求图③中阴影部分的面积.
【解析】(3)根据(2)的结论,两个以直角边为直径的半圆面积之和等于以斜边为直径的半圆面积.
所以阴影部分的面积=直角三角形面积,
所以阴影部分的面积=5×12÷2=30.
【附加题】(10分)
实际问题:如图(1),一圆柱的底面半径为5 cm,BC是底面直径,高AB为5 cm,求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线,小明设计了两条路线.
解决方案:
路线1:侧面展开图中的线段AC,如图(2)所示:
设路线1的长度为l1,则=AC2=AB2+BC2=52+(5π)2=25+25π2;
路线2:高AB+底面直径BC,如图(1)所示:
设路线2的长度为l2,则=AC2=(AB+BC)2=(5+10)2=225;
为比较l1和l2的大小,我们采用“作差法”:
因为-=25(π2-8)>0,
所以>,
所以l1>l2.
小明认为应选择路线2.
(1)问题类比:
小亮对上述结论有些疑惑,于是他把条件改成:“圆柱的底面半径为1 cm,高AB为5 cm”请你用上述方法帮小亮比较出l1与l2的大小;
(2)问题拓展:
请你帮他们继续研究:在一般情况下,当圆柱的底面半径为r cm时,高为h cm,蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C,当满足什么条件时,选择路线2最短 请说明理由;
(3)问题解决:
如图(3)为两个相同的圆柱紧密排列在一起,高为5 cm,当蚂蚁从点A出发,沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等时,求圆柱的底面半径r.(注:按上面小明所设计的两条路线方式)
【解析】(1)因为圆柱的底面半径为1 cm,高AB为5 cm,
路线1:=AC2=AB2+BC2=52+(π)2=25+π2;
路线2:=AC2=(AB+BC)2=(5+2)2=49;
因为-=25+π2-49=π2-24<0,
所以<.所以l1(2)因为圆柱的底面半径为r cm时,高为h cm,
路线1:=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2=h2+r2π2;
路线2:=AC2=(AB+BC)2=(h+2r)2=h2+4r2+4hr;
所以-=h2+r2π2-h2-4r2-4hr=r[r(π2-4)-4h],
因为r>0,l1>l2,
所以r(π2-4)-4h>0,
所以当>时,>,即选择路线2最短.
(3)圆柱的高为5 cm.=AC2=AB2+BC2=25+(2πr)2,=(AB+BC)2=(5+4r)2,
由题意,得25+(2πr)2=(5+4r)2,解得r=,
所以当圆柱的底面半径r为 cm时,蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的两条路线长度相等.
