浙江省杭州市重点中学2023-2024学年高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·杭州月考）已知，，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：A={x|-2故答案为：D.
【分析】先整理化简集合A和集合B，即可求出交集.
2．（2024高一下·杭州月考）复平面内表示复数的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，实部与虚部分别为-1，-1，故对应的点在第三象限
故答案为：C.
【分析】将复数化成a+bi的形式即可得所在在象限.
3．（2024高一下·杭州月考）在中，，，则角的大小为( )
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得得sinC=得C=45°或135°，A=180°-B-C，故A=105°或15°.
故答案为：D.
【分析】根据正弦定理求出sinC的值，即可求出角C的度数，即可得A的大小.
4．（2024高一下·杭州月考）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】A
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A选项，垂直于同一平面的两条直线互相平行，故A正确；
B选项，由线面垂直的判定定理，平面外一点垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直，故B错误；
C选项，l||α，则l与α内的直线m的关系可能是平行，可能是垂直，也可能是异面，故C错误；
D选项，l||α，m||α，直线l与m的关系可能是相交，可能是平行，也可能是异面，故D错误；
故答案为：A.
【分析】分别根据条件画图举反例来进行判断.
5．（2024高一下·杭州月考）已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：由题意知m(m+3)=-4×(-1)，即有m2+3m-4=0，解得m=1或-4，而时，则m<0，故m=-4.
故答案为：B.
【分析】由向量共线得m(m+3)=-4×(-1)解方程结合可得m的值.
6．（2024高一下·杭州月考）达·芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角，间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为为弧度角，则、和所满足的恒等关系为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：根据题意画出图形如图所示：
如图所示：，
根据弧长公式可知：，
两式相除得
故答案为：.
【分析】利用弧长公式直接求解即可.
7．（2024高一下·杭州月考）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：连接AC、BD交于点G，连接EG，由G为AC的中点，E为PA的中点，故EG||PC，故∠BEG即为BE与PC的夹角，
EG=1，同时BG=，BE=，由cosBEG=
故答案为：C.
【分析】连接正方形ABCD的对角线交于点G，G为AC的中点，结合E为PA的中点，可得PC||EG，在△BEG中，由余弦定理可得∠BEG的余弦值.
8．（2024高一下·杭州月考）已知点为外接圆的圆心，内角、、的对边分别为、、，且，，内角取最大值时的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【解答】解：由得即，
而BC=3，BE=，得AB=2BD=，设AC=x，则由余弦定理得
当且仅当x=2时，即AC=2时，C取最大值，此时cosC=，sinC=，
S=
故答案为：A.
【分析】根据线性运算将条件进行转化，可求AB的长，设AC=x，由余弦定理可得利用基本不等式可得C的最大值，即可求出此时的面积.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高一下·杭州月考）已知向量，则下列说法正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．“”是“与的夹角为钝角”的充要条件
D．若，则在上的投影向量的坐标为
【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A选项，m=1时，，故，故A正确；
B选项，当时，即-2m-1=0得m=-，故B错误；
C选项，共线时，m=2，此时反向，而当与的夹角为钝角时，且不共线，即且m≠2，故C错误；
D选项，当m=-1时，cos=，投影长度为，而，故在上的投影向量的坐标为 ，D正确；
故答案为：AD.
【分析】由坐标表示的向量共线、垂直、夹角、投影等性质依次进行判断即可.
10．（2024高一下·杭州月考）如图是函数的部分图像，则( )
A．的最小正周期为
B．是函数的一条对称轴
C．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
D．若函数在上有且仅有两个零点，则
【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图知A=2，得T=得=4，知A错误；
，函数经过点()代入得得，而得，故，4x+得x=，当k=3时，x=，故B正确；
函数向右平移个单位后得，明显不为奇函数，故C错误；
在[0，π]有且仅有两个零点，令得x=，k=0时，x=不符合题意；k=1时，x=，k=2时，x=，k=3时，x=，
得≤π且>π得，故D错误；
故答案为：B.
【分析】由图像知A=2，半个周期为，可得=4，即可判断A、B、C三个选项；而D中，求出函数在的两个零点，则有≤π且>π，可得t的取值范围.
11．（2024高一下·杭州月考）如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A．的最小值为
B．当在上运动时，都有
C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：如图，连接BA1，DB，知△A1BD为等边三角形，当P为A1B的中点时，BP⊥AD，BP取最小值，最小值为，故A正确；
连接A1C1、DC1，AD1，DC1，BD1在平面AA1D1D内的射影为AD1，且AD1⊥A1D，得BD1⊥A1B，同理BD1在平面CC1D1D内的投影为CD1，CD1⊥C1D，得BD1⊥C1D，故BD1⊥平面A1C1D，而PC1平面A1C1D，故 ，故B正确；
如图，连接B1C，易知A1D||B1C，而A1B1||CD，得CDA1B1平行四边形，点P在运动过程中，B1PC面积始终为CDA1B1的一半且为定值，而点A到平面CDA1B1的距离确定，故 三棱锥的体积不变 ，故C正确；
如图，展开平面A1AD和平面CDA1B1，当A、P、C共线时，取最小值，作CH⊥AD于点H，知DH=CH=，故AC=，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】连接BA1，DB，当BP⊥AD时取最小值，证明BD1⊥平面A1C1D即可验证B选项；以B1CP为底面，面积保持不变，A到底面的距离不变，得 三棱锥的体积不变 ；展开平面A1AD和平面CDA1B1，共线时取最小值，即可求得最小值.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高一下·杭州月考）已知是定义在上的奇函数， 当时，，则的值为 .
【答案】-5
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】是定义在上的奇函数，
，
又当时，，
.
故答案为：-5.
【分析】由对数的运算性质和函数奇偶性，得到，结合题意，代入，即可求解.
13．（2024高一下·杭州月考）在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，则所得几何体的体积为 ．
【答案】
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】解：旋转一周得到了如下图的几何体挖去一个半球，得到底面半径为4，高为4的圆锥和圆柱以及半径为4的半球，所以几何体的体积为V=π×42×4+π×42×4-=
故答案为：
【分析】画出主旋转后的几何体，几何体的体积=圆锥体积+圆柱体积-半球体积，代入数值即可求出.
14．（2024高一下·杭州月考）平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】两向量的和或差的模的最值；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设向量的夹角为θ，由得即恒成立，由得t2+2tcosθ+cosθ-≥0恒成立，
故≤0，即有4cos2θ-4cosθ+1≤0，(2cosθ-1)2≤0，则cosθ=，得θ=60°，，当t=时取最小值，最小值为
故答案为：
【分析】由已知可得关于t的一元二次不等式t2+2tcosθ+cosθ-≥0，可得cosθ=，最后由即可得最小值.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高一下·杭州月考）已知复数 （其中 是虚数单位， ）.
（1）若复数 是纯虚数，求 的值；
（2）求 的取值范围.
【答案】（1）解：
，
若复数 是纯虚数，则 ，所以
（2）解：由（1）得 ， ，
，
因为 是开口向上的抛物线，有最小值 ；
所以
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；复数的基本概念；复数的模
【解析】【分析】（1）利用复数的乘除法和加减法的运算法则求出复数z，再利用纯虚数的定义，进而求出m的值。
（2） 由（1）得 ， ，再利用复数求模公式，进而得出复数的模与二次型函数有关，再利用二次函数图象求最值的方法，进而求出复数的模的最小值，从而求出复数的模的取值范围。
16．（2024高一下·杭州月考）已知向量，，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1）已知向量，，
又，
则，
即，
又，
则；
（2）已知向量，，，
又，则，
即，又，
则，即，
又，则，
则，即，
又，则，
则．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】(1)直接由向量共线的性质得，即可得的值；
(2)由得，再由和差公式可得的值.
17．（2024高一下·杭州月考）在，，这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题的内角，，所对的边分别为，，，已知 ▲ 只需填序号．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
（1）求角；
（2）若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围．
【答案】（1）若选：因为，由正弦定理可得，
且，可得，整理得，
注意到，则，可得，所以；
若选：因为，由正弦定理可得，
注意到，，则，，
可得，即，所以；
若选：因为，由余弦定理可得，
整理得，则，
注意到，所以．
（2）因为是锐角三角形，，
则，解得，
由正弦定理可得，则，
可得，则，所以，
故面积，
所以面积的取值范围为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形
【解析】【分析】(1)由正弦定理和余弦定理可得；
(2)由正弦定理分别求出，求出其范围，求出面积的表达式，即可求出面积的范围.
18．（2024高一下·杭州月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明：连接，
因为，，且是的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）证明：在直角梯形中，，
所以，，
所以，即，
因为平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
（3）解：因为平面，，
所以由三垂线定理知，，
所以就是二面角的平面角，即，
所以，
所以，
由知，平面平面，
所以直线与平面所成角即为，
在中，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】平面与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)连接CE可得是平行四边形即可证明线面平行；
(2)由线段的长度关系可得，即可证，结合平面得即可得平面，即可证得平面；
(3)由三垂线定理得即可确定二面角的平面角，得PB的长，由平面平面，确定线面角，在直角三角形PAB中，直接求出其正弦值即可.
19．（2024高一下·杭州月考）已知函数
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）当即时，，不合题意；
当即时，，即，
，
（2）即
即
当即时，解集为
当即时，，
，
解集为或
当即时，，
，
解集为
（3），即，
恒成立，
设，则，，
，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
当时，，
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)分和进行讨论即可求出m的范围；
(2)将问题转化为，同理分和进行讨论求解；
(3)转化为，分离参数得，换元后直接求解不等式即可.
1 / 1浙江省杭州市重点中学2023-2024学年高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024高一下·杭州月考）已知，，则( )
A． B． C． D．
2．（2024高一下·杭州月考）复平面内表示复数的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024高一下·杭州月考）在中，，，则角的大小为( )
A． B．或 C． D．或
4．（2024高一下·杭州月考）设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
5．（2024高一下·杭州月考）已知平面向量，，若存在实数，使得，则实数的值为( )
A． B． C． D．
6．（2024高一下·杭州月考）达·芬奇的经典之作蒙娜丽莎举世闻名．画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷．现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角，间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为为弧度角，则、和所满足的恒等关系为( )
A． B． C． D．
7．（2024高一下·杭州月考）如图，已知正四棱锥的所有棱长均为，为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
8．（2024高一下·杭州月考）已知点为外接圆的圆心，内角、、的对边分别为、、，且，，内角取最大值时的面积为( )
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9．（2024高一下·杭州月考）已知向量，则下列说法正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．“”是“与的夹角为钝角”的充要条件
D．若，则在上的投影向量的坐标为
10．（2024高一下·杭州月考）如图是函数的部分图像，则( )
A．的最小正周期为
B．是函数的一条对称轴
C．将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
D．若函数在上有且仅有两个零点，则
11．（2024高一下·杭州月考）如图，正方体棱长为，是上的一个动点，下列结论中正确的是( )
A．的最小值为
B．当在上运动时，都有
C．当在直线上运动时，三棱锥的体积不变
D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（2024高一下·杭州月考）已知是定义在上的奇函数， 当时，，则的值为 .
13．（2024高一下·杭州月考）在一个如图所示的直角梯形内挖去一个扇形，恰好是梯形的下底边的中点，将所得平面图形绕直线旋转一圈，则所得几何体的体积为 ．
14．（2024高一下·杭州月考）平面向量满足，对任意的实数，不等式恒成立，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（2024高一下·杭州月考）已知复数 （其中 是虚数单位， ）.
（1）若复数 是纯虚数，求 的值；
（2）求 的取值范围.
16．（2024高一下·杭州月考）已知向量，，，．
（1）若，求的值；
（2）若，，，求的值．
17．（2024高一下·杭州月考）在，，这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的问题中，然后解答补充完整的题的内角，，所对的边分别为，，，已知 ▲ 只需填序号．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
（1）求角；
（2）若是锐角三角形，边长，求面积的取值范围．
18．（2024高一下·杭州月考）如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（2024高一下·杭州月考）已知函数
（1）若不等式的解集为，求的取值范围；
（2）解关于的不等式；
（3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；对数函数的图象与性质；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：A={x|-2故答案为：D.
【分析】先整理化简集合A和集合B，即可求出交集.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，实部与虚部分别为-1，-1，故对应的点在第三象限
故答案为：C.
【分析】将复数化成a+bi的形式即可得所在在象限.
3．【答案】D
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得得sinC=得C=45°或135°，A=180°-B-C，故A=105°或15°.
故答案为：D.
【分析】根据正弦定理求出sinC的值，即可求出角C的度数，即可得A的大小.
4．【答案】A
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：A选项，垂直于同一平面的两条直线互相平行，故A正确；
B选项，由线面垂直的判定定理，平面外一点垂直于平面内两条相交直线，则线面垂直，故B错误；
C选项，l||α，则l与α内的直线m的关系可能是平行，可能是垂直，也可能是异面，故C错误；
D选项，l||α，m||α，直线l与m的关系可能是相交，可能是平行，也可能是异面，故D错误；
故答案为：A.
【分析】分别根据条件画图举反例来进行判断.
5．【答案】B
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】解：由题意知m(m+3)=-4×(-1)，即有m2+3m-4=0，解得m=1或-4，而时，则m<0，故m=-4.
故答案为：B.
【分析】由向量共线得m(m+3)=-4×(-1)解方程结合可得m的值.
6．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：根据题意画出图形如图所示：
如图所示：，
根据弧长公式可知：，
两式相除得
故答案为：.
【分析】利用弧长公式直接求解即可.
7．【答案】C
【知识点】直线与平面所成的角
【解析】【解答】解：连接AC、BD交于点G，连接EG，由G为AC的中点，E为PA的中点，故EG||PC，故∠BEG即为BE与PC的夹角，
EG=1，同时BG=，BE=，由cosBEG=
故答案为：C.
【分析】连接正方形ABCD的对角线交于点G，G为AC的中点，结合E为PA的中点，可得PC||EG，在△BEG中，由余弦定理可得∠BEG的余弦值.
8．【答案】A
【知识点】基本不等式；平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【解答】解：由得即，
而BC=3，BE=，得AB=2BD=，设AC=x，则由余弦定理得
当且仅当x=2时，即AC=2时，C取最大值，此时cosC=，sinC=，
S=
故答案为：A.
【分析】根据线性运算将条件进行转化，可求AB的长，设AC=x，由余弦定理可得利用基本不等式可得C的最大值，即可求出此时的面积.
9．【答案】A,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A选项，m=1时，，故，故A正确；
B选项，当时，即-2m-1=0得m=-，故B错误；
C选项，共线时，m=2，此时反向，而当与的夹角为钝角时，且不共线，即且m≠2，故C错误；
D选项，当m=-1时，cos=，投影长度为，而，故在上的投影向量的坐标为 ，D正确；
故答案为：AD.
【分析】由坐标表示的向量共线、垂直、夹角、投影等性质依次进行判断即可.
10．【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：由图知A=2，得T=得=4，知A错误；
，函数经过点()代入得得，而得，故，4x+得x=，当k=3时，x=，故B正确；
函数向右平移个单位后得，明显不为奇函数，故C错误；
在[0，π]有且仅有两个零点，令得x=，k=0时，x=不符合题意；k=1时，x=，k=2时，x=，k=3时，x=，
得≤π且>π得，故D错误；
故答案为：B.
【分析】由图像知A=2，半个周期为，可得=4，即可判断A、B、C三个选项；而D中，求出函数在的两个零点，则有≤π且>π，可得t的取值范围.
11．【答案】A,B,C
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：如图，连接BA1，DB，知△A1BD为等边三角形，当P为A1B的中点时，BP⊥AD，BP取最小值，最小值为，故A正确；
连接A1C1、DC1，AD1，DC1，BD1在平面AA1D1D内的射影为AD1，且AD1⊥A1D，得BD1⊥A1B，同理BD1在平面CC1D1D内的投影为CD1，CD1⊥C1D，得BD1⊥C1D，故BD1⊥平面A1C1D，而PC1平面A1C1D，故 ，故B正确；
如图，连接B1C，易知A1D||B1C，而A1B1||CD，得CDA1B1平行四边形，点P在运动过程中，B1PC面积始终为CDA1B1的一半且为定值，而点A到平面CDA1B1的距离确定，故 三棱锥的体积不变 ，故C正确；
如图，展开平面A1AD和平面CDA1B1，当A、P、C共线时，取最小值，作CH⊥AD于点H，知DH=CH=，故AC=，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】连接BA1，DB，当BP⊥AD时取最小值，证明BD1⊥平面A1C1D即可验证B选项；以B1CP为底面，面积保持不变，A到底面的距离不变，得 三棱锥的体积不变 ；展开平面A1AD和平面CDA1B1，共线时取最小值，即可求得最小值.
12．【答案】-5
【知识点】奇函数与偶函数的性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】是定义在上的奇函数，
，
又当时，，
.
故答案为：-5.
【分析】由对数的运算性质和函数奇偶性，得到，结合题意，代入，即可求解.
13．【答案】
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】解：旋转一周得到了如下图的几何体挖去一个半球，得到底面半径为4，高为4的圆锥和圆柱以及半径为4的半球，所以几何体的体积为V=π×42×4+π×42×4-=
故答案为：
【分析】画出主旋转后的几何体，几何体的体积=圆锥体积+圆柱体积-半球体积，代入数值即可求出.
14．【答案】
【知识点】两向量的和或差的模的最值；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设向量的夹角为θ，由得即恒成立，由得t2+2tcosθ+cosθ-≥0恒成立，
故≤0，即有4cos2θ-4cosθ+1≤0，(2cosθ-1)2≤0，则cosθ=，得θ=60°，，当t=时取最小值，最小值为
故答案为：
【分析】由已知可得关于t的一元二次不等式t2+2tcosθ+cosθ-≥0，可得cosθ=，最后由即可得最小值.
15．【答案】（1）解：
，
若复数 是纯虚数，则 ，所以
（2）解：由（1）得 ， ，
，
因为 是开口向上的抛物线，有最小值 ；
所以
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；复数的基本概念；复数的模
【解析】【分析】（1）利用复数的乘除法和加减法的运算法则求出复数z，再利用纯虚数的定义，进而求出m的值。
（2） 由（1）得 ， ，再利用复数求模公式，进而得出复数的模与二次型函数有关，再利用二次函数图象求最值的方法，进而求出复数的模的最小值，从而求出复数的模的取值范围。
16．【答案】（1）已知向量，，
又，
则，
即，
又，
则；
（2）已知向量，，，
又，则，
即，又，
则，即，
又，则，
则，即，
又，则，
则．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；两角和与差的正弦公式
【解析】【分析】(1)直接由向量共线的性质得，即可得的值；
(2)由得，再由和差公式可得的值.
17．【答案】（1）若选：因为，由正弦定理可得，
且，可得，整理得，
注意到，则，可得，所以；
若选：因为，由正弦定理可得，
注意到，，则，，
可得，即，所以；
若选：因为，由余弦定理可得，
整理得，则，
注意到，所以．
（2）因为是锐角三角形，，
则，解得，
由正弦定理可得，则，
可得，则，所以，
故面积，
所以面积的取值范围为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形
【解析】【分析】(1)由正弦定理和余弦定理可得；
(2)由正弦定理分别求出，求出其范围，求出面积的表达式，即可求出面积的范围.
18．【答案】（1）证明：连接，
因为，，且是的中点，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
（2）证明：在直角梯形中，，
所以，，
所以，即，
因为平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以平面平面．
（3）解：因为平面，，
所以由三垂线定理知，，
所以就是二面角的平面角，即，
所以，
所以，
由知，平面平面，
所以直线与平面所成角即为，
在中，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】平面与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】(1)连接CE可得是平行四边形即可证明线面平行；
(2)由线段的长度关系可得，即可证，结合平面得即可得平面，即可证得平面；
(3)由三垂线定理得即可确定二面角的平面角，得PB的长，由平面平面，确定线面角，在直角三角形PAB中，直接求出其正弦值即可.
19．【答案】（1）当即时，，不合题意；
当即时，，即，
，
（2）即
即
当即时，解集为
当即时，，
，
解集为或
当即时，，
，
解集为
（3），即，
恒成立，
设，则，，
，
，当且仅当时取等号，
，当且仅当时取等号，
当时，，
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)分和进行讨论即可求出m的范围；
(2)将问题转化为，同理分和进行讨论求解；
(3)转化为，分离参数得，换元后直接求解不等式即可.
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