四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期6月期末校际联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·仁寿期末）已知函数（ ）
A．12 B． C．3 D．6
【答案】B
【知识点】导数的乘法与除法法则；极限及其运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数定义域为，，且，
则.
故答案为：B.
【分析】根据导数的概念结合基本初等函数的导函数求值即可.
2．（2024高二下·仁寿期末）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（ ）
A．120种 B．240种 C．216种 D．256种
【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：甲与乙相邻，将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一人，
再与其余的名同学一起进行全排列，共有种方法.
故答案为：B.
【分析】利用捆绑法结合排列数公式求解即可.
3．（2024高二下·仁寿期末）（ ）
A．36 B．64 C．128 D．256
【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用组合数公式求解即可.
4．（2024高二下·仁寿期末）已知随机变量，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：因为随机变量，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据正态函数的对称性求解即可.
5．（2024高二下·仁寿期末）展开式的常数项为（ ）
A． B． C．42 D．43
【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
而，
则的常数项为；
的常数项，
故展开式的常数项.
故答案为：B.
【分析】先写二项式展开式的通项，再将二项式化为，利用通项分别求常数项即可.
6．（2024高二下·仁寿期末）根据分类变量与的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．有95%的把握认为变量与独立
B．有95%的把握认为变量与不独立
C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
【答案】D
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】因为
，所以变量
与
不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过10%。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合独立性检验的方法，从而得出变量
与
不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过10%，从而选出正确的选项。
7．（2024高二下·仁寿期末）已知随机变量的分布列如表所示：
0
p
其中，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可得，则，
，
，
则.
故答案为：A.
【分析】根据期望和方差的公式计算判断即可.
8．（2024高二下·仁寿期末）若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为对，都有，所以，
所以，构造函数，
，
则在上单调递增，因为，所以，
所以不等式，
又因为在上单调递增，所以，所以不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，再利用单调性解不等式求解集即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·仁寿期末）下列有关回归分析的结论中，正确的是（ ）
A．若回归方程为，则变量y与x负相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心
C．若线性相关系数越小，说明两个变量之间的线性相关性越强
D．若散点图中所有点都在直线，则相关系数
【答案】A,B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：A、因为回归方程为，，所以变量y与x负相关，故A正确；
B、运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心，故B正确；
C、线性相关系数越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，故C错误；
D、若散点图中所有点都在直线，则相关系数，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据回归方程的含义即可判断AB；根据相关系数的含义即可判断CD.
10．（2024高二下·仁寿期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其中1点和4点所在面为红色，其余各面均为黑色．将这枚骰子抛掷两次，记事件“向上一面的颜色均是红色”，“向上一面的颜色不相同”， “向上一面的点数之和为5”，“向上一面的点数之和为奇数”，则（ ）
A．事件A与事件C相互独立 B．事件B与事件D相互独立
C． D．
【答案】B,C
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：因为正方体骰子，2个红色面，4个黑色面，所以，，，，
A、，，因为，所以事件A与事件C不独立，
故A错误；
B、，，因为，所以事件B与事件D相互独立，
故B正确；
C、，，则，故C正确；
D、由，可得，解得，
由，可得，解得，
则，故D错误.
故答案为：BC．
【分析】根据独立事件的定义即可判断A和B；由条件概率公式及全概率公式计算即可判断CD．
11．（2024高二下·仁寿期末） 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值为
B．有两个不同的零点
C．
D．若在区间上恒成立，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由函数可知其定义域为，，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减.
对于A，由上分析知，函数f(x)在处取得极大值为，所以A对；
对于B，令，解得x=1，故函数f(x）只有一个零点，所以B错；
对于C，因为，即，因为
所以，因为函数f(x)在上单调递减，
则，即，所以C对；
对于D，由可得，令则
由可得，则当时，h(x)在上单调递增；
当时，h(x)在上单调递减；
所以，故得出，所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用导数分析讨论函数的单调性和极值的情况，从而判断出选项A；利用函数的零点的定义和函数零点与方程的根的等价关系，进而判断出选项B；利用函数的单调性判断出选项C；将等价转化成，求得在上最大值，从而得出实数k的取值范围，进而判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·仁寿期末）以曲线拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 ．
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；线性回归方程
【解析】【解答】解：曲线，经代换可得：，
令，则，又因为，所以，，即.
故答案为：.
【分析】由题意，利用对数的运算法则，再结合回归方程求解即可.
13．（2024高二下·仁寿期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 .
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，可知两次抽取卡片试验的样本空间为，
其中两次抽取的卡片数字之和不大于6的事件为，
则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是.
故答案为：.
【分析】利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
14．（2024高二下·仁寿期末）设函数若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【解答】解：函数，令，则，
令，因为，任意，存在
不等式恒成立，
所以，即恒成立，
又因为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，则；
又当时，，当且仅当时等号成立，
故，又因为，所以，即正数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】令，，问题转化为，利用导数和基本不等式求函数最值即可得正数k的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·仁寿期末）用二项式定理展开，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项．
【答案】（1）解：二项式展开式的通项为
，
令，解得，则展开式的常数项为；
（2）解：设展开式中第项的系数最大，则，解得，
因为为整数，所以，
则展开式中系数最大的项为．
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）根据展开式的通项公式，令，即可求解二项式的常数项；
（2）设展开式中第项的系数最大，列出系数最大项的不等关系，解出的值，代入即可求出系数的最大项.
（1）展开式的通项公式为，
令，解得，则展开式的常数项为.
（2）设第项的系数最大，则，
解得，
由于为整数，所以，
所以展开式中系数最大的项为．
16．（2024高二下·仁寿期末）袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.
（1）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；
（2）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.
【答案】（1）解：由题意可知X的可能取值为，
，，
，，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）解：有放回地抽取3次，每次抽取到黑球的概率为，
由题意可知：Y的可能取值为0，1，2，3，且服从，
则Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意，利用超几何分布的概率计算公式代入计算，再列分布列即可；
（2）由题意，利用二项分布的概率计算公式代入计算，列分布列即可.
（1）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，，
所以，X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次抽取到黑球的概率均为，
由题意可知Y的可能取值为0，1，2，3，，
所以，Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
17．（2024高二下·仁寿期末）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
年月 2023年8月 2023年9月 2023年10月 2023年11月 2023年12月 2024年1月
月份编号 1 2 3 4 5 6
销售金额/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；
（2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（，均保留一位小数）
附：经验回归方程，其中，
样本相关系数
参考数据：.
【答案】（1）解：
，
则；
（2）解：由题意，，
则关于的经验回归方程为，
故预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）由题意根据参考公式线分别算得以及，进代入相关系数公式求解即可；
（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得，求得经验回归方程并预测.2024年2月份该公司的销售金额即可.
（1），
所以.
（2）由题意，
所以，
所以关于的经验回归方程为，
所以预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.
18．（2024高二下·仁寿期末）已知函数．
（1）若，求函数在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性．
【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得或，
因为，所以当，，在单调递减，
当，，在单调递增，
故在时取到极小值，且，
又因为，，所以函数在上的最大值为，最小值为；
（2）解：函数定义域为，，
当，即时，，则函数在单调递增，
当，即时，令，解得，
当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增，
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数研究函数的单调性，并求极值和区间端点函数值比较即可求得函数的最值；
（2）求导，分、两种情况讨论函数的单调性即可.
（1）当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
（2）因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
19．（2024高二下·仁寿期末）对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（2）已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.
【答案】（1）解：数列的通项公式为，对任意的，且，
都有，
取，则，则数列是“数列”；
（2）解：数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，
则，
对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，；
时；
时；
时.
综上，的可能值为.
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，
设数列公差为，则，
可得，
对任意，
则，取，
可得，所以数列是“数列”.
【知识点】等差数列的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，推得，取，得到，即可判断数列为数列；
（2）若是“数列”，且为等差数列，得到，进而得到存在，使得，求得，得到的值，从而求得的可能值；
②设数列公差为，得到，求得，从而推得证明数列为数列.
（1）解：数列的通项公式为，
对任意的，都有，
取，则，所以是“数列”.
（2）解：数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，
则，
对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，；
时；
时；
时.
综上，的可能值为.
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，
设数列公差为，则，
可得，
对任意，
则，取，
可得，所以数列是“数列”.
1 / 1四川省眉山市仁寿县2023-2024学年高二下学期6月期末校际联考数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．（2024高二下·仁寿期末）已知函数（ ）
A．12 B． C．3 D．6
2．（2024高二下·仁寿期末）某宿舍6名同学排成一排照相，其中甲与乙必须相邻的不同排法有（ ）
A．120种 B．240种 C．216种 D．256种
3．（2024高二下·仁寿期末）（ ）
A．36 B．64 C．128 D．256
4．（2024高二下·仁寿期末）已知随机变量，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·仁寿期末）展开式的常数项为（ ）
A． B． C．42 D．43
6．（2024高二下·仁寿期末）根据分类变量与的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（ ）
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
A．有95%的把握认为变量与独立
B．有95%的把握认为变量与不独立
C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%
7．（2024高二下·仁寿期末）已知随机变量的分布列如表所示：
0
p
其中，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·仁寿期末）若函数的定义域为，满足，，都有，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·仁寿期末）下列有关回归分析的结论中，正确的是（ ）
A．若回归方程为，则变量y与x负相关
B．运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心
C．若线性相关系数越小，说明两个变量之间的线性相关性越强
D．若散点图中所有点都在直线，则相关系数
10．（2024高二下·仁寿期末）一枚质地均匀的正方体骰子，其中1点和4点所在面为红色，其余各面均为黑色．将这枚骰子抛掷两次，记事件“向上一面的颜色均是红色”，“向上一面的颜色不相同”， “向上一面的点数之和为5”，“向上一面的点数之和为奇数”，则（ ）
A．事件A与事件C相互独立 B．事件B与事件D相互独立
C． D．
11．（2024高二下·仁寿期末） 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值为
B．有两个不同的零点
C．
D．若在区间上恒成立，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·仁寿期末）以曲线拟合一组数据时，经代换后的线性回归方程为，则 ．
13．（2024高二下·仁寿期末）一个盒子中装有4张卡片，卡片上分别写有数字，现从盒子中随机抽取卡片，若第一次抽取一张卡片，放回后再抽取1张卡片，则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是 .
14．（2024高二下·仁寿期末）设函数若对任意，存在不等式恒成立，则正数的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·仁寿期末）用二项式定理展开，
（1）求展开式中的常数项；
（2）求展开式中系数最大的项．
16．（2024高二下·仁寿期末）袋中装有6个白球，3个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.
（1）若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；
（2）若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.
17．（2024高二下·仁寿期末）随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展.其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货.某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下为该公司自2023年8月使用虚拟角色直播带货后的销售金额情况统计.
年月 2023年8月 2023年9月 2023年10月 2023年11月 2023年12月 2024年1月
月份编号 1 2 3 4 5 6
销售金额/万元 15.4 25.4 35.4 85.4 155.4 195.4
若与的相关关系拟用线性回归模型表示，回答如下问题：
（1）试求变量与的样本相关系数（结果精确到0.01）；
（2）试求关于的经验回归方程，并据此预测2024年2月份该公司的销售金额.（，均保留一位小数）
附：经验回归方程，其中，
样本相关系数
参考数据：.
18．（2024高二下·仁寿期末）已知函数．
（1）若，求函数在上的最大值和最小值；
（2）讨论函数的单调性．
19．（2024高二下·仁寿期末）对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（2）已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的乘法与除法法则；极限及其运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数定义域为，，且，
则.
故答案为：B.
【分析】根据导数的概念结合基本初等函数的导函数求值即可.
2．【答案】B
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：甲与乙相邻，将甲、乙两名同学“捆绑”在一起看成一人，
再与其余的名同学一起进行全排列，共有种方法.
故答案为：B.
【分析】利用捆绑法结合排列数公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】利用组合数公式求解即可.
4．【答案】C
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：因为随机变量，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据正态函数的对称性求解即可.
5．【答案】B
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项为，
而，
则的常数项为；
的常数项，
故展开式的常数项.
故答案为：B.
【分析】先写二项式展开式的通项，再将二项式化为，利用通项分别求常数项即可.
6．【答案】D
【知识点】独立性检验的应用
【解析】【解答】因为
，所以变量
与
不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过10%。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合独立性检验的方法，从而得出变量
与
不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过10%，从而选出正确的选项。
7．【答案】A
【知识点】正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：由题意可得，则，
，
，
则.
故答案为：A.
【分析】根据期望和方差的公式计算判断即可.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：因为对，都有，所以，
所以，构造函数，
，
则在上单调递增，因为，所以，
所以不等式，
又因为在上单调递增，所以，所以不等式的解集为.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，再利用单调性解不等式求解集即可.
9．【答案】A,B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：A、因为回归方程为，，所以变量y与x负相关，故A正确；
B、运用最小二乘法求得的经验回归直线一定经过样本点的中心，故B正确；
C、线性相关系数越大，说明两个变量之间的线性相关性越强，故C错误；
D、若散点图中所有点都在直线，则相关系数，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据回归方程的含义即可判断AB；根据相关系数的含义即可判断CD.
10．【答案】B,C
【知识点】条件概率与独立事件；全概率公式
【解析】【解答】解：因为正方体骰子，2个红色面，4个黑色面，所以，，，，
A、，，因为，所以事件A与事件C不独立，
故A错误；
B、，，因为，所以事件B与事件D相互独立，
故B正确；
C、，，则，故C正确；
D、由，可得，解得，
由，可得，解得，
则，故D错误.
故答案为：BC．
【分析】根据独立事件的定义即可判断A和B；由条件概率公式及全概率公式计算即可判断CD．
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的性质；函数恒成立问题；函数在某点取得极值的条件；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：由函数可知其定义域为，，
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减.
对于A，由上分析知，函数f(x)在处取得极大值为，所以A对；
对于B，令，解得x=1，故函数f(x）只有一个零点，所以B错；
对于C，因为，即，因为
所以，因为函数f(x)在上单调递减，
则，即，所以C对；
对于D，由可得，令则
由可得，则当时，h(x)在上单调递增；
当时，h(x)在上单调递减；
所以，故得出，所以D对.
故答案为：ACD.
【分析】利用导数分析讨论函数的单调性和极值的情况，从而判断出选项A；利用函数的零点的定义和函数零点与方程的根的等价关系，进而判断出选项B；利用函数的单调性判断出选项C；将等价转化成，求得在上最大值，从而得出实数k的取值范围，进而判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则；线性回归方程
【解析】【解答】解：曲线，经代换可得：，
令，则，又因为，所以，，即.
故答案为：.
【分析】由题意，利用对数的运算法则，再结合回归方程求解即可.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意，可知两次抽取卡片试验的样本空间为，
其中两次抽取的卡片数字之和不大于6的事件为，
则两次抽取的卡片数字之和不大于6的概率是.
故答案为：.
【分析】利用列举法，结合古典概型概率公式求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；基本不等式
【解析】【解答】解：函数，令，则，
令，因为，任意，存在
不等式恒成立，
所以，即恒成立，
又因为，，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，则；
又当时，，当且仅当时等号成立，
故，又因为，所以，即正数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】令，，问题转化为，利用导数和基本不等式求函数最值即可得正数k的取值范围.
15．【答案】（1）解：二项式展开式的通项为
，
令，解得，则展开式的常数项为；
（2）解：设展开式中第项的系数最大，则，解得，
因为为整数，所以，
则展开式中系数最大的项为．
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【分析】（1）根据展开式的通项公式，令，即可求解二项式的常数项；
（2）设展开式中第项的系数最大，列出系数最大项的不等关系，解出的值，代入即可求出系数的最大项.
（1）展开式的通项公式为，
令，解得，则展开式的常数项为.
（2）设第项的系数最大，则，
解得，
由于为整数，所以，
所以展开式中系数最大的项为．
16．【答案】（1）解：由题意可知X的可能取值为，
，，
，，
则X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）解：有放回地抽取3次，每次抽取到黑球的概率为，
由题意可知：Y的可能取值为0，1，2，3，且服从，
则Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意，利用超几何分布的概率计算公式代入计算，再列分布列即可；
（2）由题意，利用二项分布的概率计算公式代入计算，列分布列即可.
（1）由题意可知X的可能取值为0，1，2，3，，
所以，X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
（2）有放回地抽取3次，可看作3次独立重复试验，每次抽取到黑球的概率均为，
由题意可知Y的可能取值为0，1，2，3，，
所以，Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
17．【答案】（1）解：
，
则；
（2）解：由题意，，
则关于的经验回归方程为，
故预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.
【知识点】线性回归方程
【解析】【分析】（1）由题意根据参考公式线分别算得以及，进代入相关系数公式求解即可；
（2）根据（1）中的数据以及参数数据依次算得，求得经验回归方程并预测.2024年2月份该公司的销售金额即可.
（1），
所以.
（2）由题意，
所以，
所以关于的经验回归方程为，
所以预测2024年2月份该公司的销售金额为万元.
18．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，，
令，解得或，
因为，所以当，，在单调递减，
当，，在单调递增，
故在时取到极小值，且，
又因为，，所以函数在上的最大值为，最小值为；
（2）解：函数定义域为，，
当，即时，，则函数在单调递增，
当，即时，令，解得，
当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增，
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数研究函数的单调性，并求极值和区间端点函数值比较即可求得函数的最值；
（2）求导，分、两种情况讨论函数的单调性即可.
（1）当时，，则，
令，得或，
由于，
所以当，，在单调递减，
所以当，，在单调递增，
所以在时取到极小值，且，
又因为，，
综上，函数在上的最大值为，最小值为.
（2）因为，所以，
当，即时，，
在单调递增，
当，即时，
令，则，
所以当，，在单调递增，
当，，在单调递减，
当，，在单调递增.
综上所述，当时，在单调递增，
当时，在，单调递增，在单调递减.
19．【答案】（1）解：数列的通项公式为，对任意的，且，
都有，
取，则，则数列是“数列”；
（2）解：数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，
则，
对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，；
时；
时；
时.
综上，的可能值为.
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，
设数列公差为，则，
可得，
对任意，
则，取，
可得，所以数列是“数列”.
【知识点】等差数列的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，推得，取，得到，即可判断数列为数列；
（2）若是“数列”，且为等差数列，得到，进而得到存在，使得，求得，得到的值，从而求得的可能值；
②设数列公差为，得到，求得，从而推得证明数列为数列.
（1）解：数列的通项公式为，
对任意的，都有，
取，则，所以是“数列”.
（2）解：数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，
则，
对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，；
时；
时；
时.
综上，的可能值为.
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，
设数列公差为，则，
可得，
对任意，
则，取，
可得，所以数列是“数列”.
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