2024届高一新生入学考试数学试题1
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
4.下列一次函数中，随的增大而减小的函数是( )
A. B. C. D.
5.某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用元购进，两种劳动工具共件，，两种劳动工具每件分别为元，元设购买，两种劳动工具的件数分别为，，那么下面列出的方程组中正确的是( )
A. B.
C. D.
6.如图， 的对角线，交于点，下列结论一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
8.关于一次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与轴交于点
C. 函数值随自变量的增大而减小 D. 当时，
9.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面其中教学设计占，现场展示占某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为( )
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.分解因式：______．
12.已知实数，满足，则______．
13.已知实数、满足：．
若，则______；
若、、为正整数，则符合条件的有序实数对有______个
14.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值为 ．
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分计算：．
16.本小题分 先化简，再求值：，其中．
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17.本小题分解不等式组：．
18.本小题分
某企业准备对，两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资项目一年后的收益万元与投入资金万元的函数表达式为：，投资项目一年后的收益万元与投入资金万元的函数表达式为：．
若将万元资金投入项目，一年后获得的收益是多少？
若对，两个项目投入相同的资金万元，一年后两者获得的收益相等，则的值是多少？
年，我国对小微企业施行所得税优惠政策该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计万元，全部投入到，两个项目中，当，两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
19.本小题分
如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点将绕着点逆时针旋转得到．
反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式．2024届高一新生入学考试数学试题1
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列计算正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：、，本选项符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：．
根据同底数幂的乘法与幂的乘方、完全平方公式、整式的乘法对每个式子一一判断即可．
此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
2.下列长度的三条线段，能组成三角形的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
【答案】C
【解析】解：，，，不能组成三角形，故A选项不符合题意；
，，，不能组成三角形，故B不符合题意；
，，，能组成三角形，故C符合题意；
，，，不能组成三角形，故D不符合题意，
故选：．
根据三角形的三边关系分别判断即可．
本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．
3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
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【答案】A
【解析】解：由得，
由得，
解集在数轴上表示为：
，
则不等式组的解集为．
故选：．
先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
4.下列一次函数中，随的增大而减小的函数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：在一次函数中，
，
随着增大而增大，
故A不符合题意；
在一次函数中，
，
随着增大而增大，
故B不符合题意；
在一次函数中，
，
随着增大而增大，
故C不符合题意；
在一次函数中，
，
随着增大而减小，
故D符合题意，
故选：．
根据一次函数的增减性与系数的关系分别判断即可．
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
5.某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用元购进，两种劳动工具共件，，两种劳动工具每件分别为元，元设购买，两种劳动工具的件数分别为，，那么下面列出的方程组中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：购进，两种劳动工具共件，
；
，两种劳动工具每件分别为元，元．且购买这批劳动工具共花费元，
，
根据题意可列出方程组．
故选：．
利用总价单价数量，结合学校用元购进，两种劳动工具共件，可列出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6.如图， 的对角线，交于点，下列结论一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
故选：．
由平行四边形的对角线互相平分可得，，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
7.下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】解：选项，，故该选项符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项不符合题意；
选项，，故该选项不符合题意．
故选：．
利用提公因式法、公式法逐个分解得结论．
本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
8.关于一次函数，下列说法正确的是( )
A. 图象经过第一、三、四象限 B. 图象与轴交于点
C. 函数值随自变量的增大而减小 D. 当时，
【答案】B
【解析】解：一次函数中，，，
图象经过第一、二、三象限，
故A不正确；
当时，，
图象与轴交于点，
故B正确；
一次函数中，，
函数值随自变量的增大而增大，
故C不正确；
当时，，函数值随自变量的增大而增大，
当时，，
故D不正确；
故选：．
根据一次函数的性质逐个进行分析判断即可做出选择．
本题主要考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解决问题的关键．
9.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：式子在实数范围内有意义，则，
解得：．
故选：．
直接利用二次根式的有意义，被开方数不小于，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式有意义的条件是解题关键．
10.某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面其中教学设计占，现场展示占某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为( )
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
【答案】B
【解析】解：由题意可得，
分，
即她的最后得分为分，
故选：．
根据题目中的数据和加权平均数的计算方法，可以计算出她的最终得分．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，列出相应的算式．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.分解因式： ______．
【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
根据公式法因式分解即可．
本题考查了运用公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12.已知实数，满足，则 ______．
【答案】
【解析】解：，，，
，，
，，
则，
故答案为：．
根据偶次幂及绝对值的非负性求得，的值，然后代入中计算即可．
本题考查偶次幂及绝对值的非负性和代数式求值，结合已知条件求得，的值是解题的关键．
13.已知实数、满足：．
若，则 ______；
若、、为正整数，则符合条件的有序实数对有______个
【答案】；；
【解析】解：当，时，，
解得：；
故答案为：．
当，，为正整数时，
，均为整数，，，，，
而，
或或，
或或，
当时，时，，；时，，，
故为，，共个；
当时，时，，；时，，，时，，，
故为，，，共个；
当时，时，，；时，，，
故为，，共个；
综上所述：共有个．
故答案为：．
把，代入求值即可；
由题意知：，均为整数，，，，，则，再分三种情况讨论即可．
本题考查了整式方程的代入求值、整式方程的整数解，因式分解的应用，及分类讨论的思想方法．本题的关键及难点是运用分类讨论的思想方法解题．
14.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值为 ．
【答案】
【解析】【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得，然后解不等式求出的取值即可．
【解答】
解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，即，
解得：．
故答案为：．
【点评】
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
三、解答题：本题共5小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
【答案】解：原式
．
【解析】分别根据绝对值、零指数幂的运算法则及负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查绝对值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值，熟知各个运算法则是解答此题的关键．
16.本小题分
先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
．
当时，原式．
【解析】先将括号内通分，同时把除法变成乘法，再约分化简，把的值代入可得结果．
此题主要是考查了分式的化简求值，二次根式的运算，能够熟练掌握运算法则是解题的关键．
17.本小题分
解不等式组：．
【答案】 解：
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
【解析】【分析】
按照解一元一次不等式组的步骤解答即可．
【解答】
解：
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：．
【点评】
本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题的关键．
18.本小题分
某企业准备对，两个生产性项目进行投资，根据其生产成本、销售情况等因素进行分析得知：投资项目一年后的收益万元与投入资金万元的函数表达式为：，投资项目一年后的收益万元与投入资金万元的函数表达式为：．
若将万元资金投入项目，一年后获得的收益是多少？
若对，两个项目投入相同的资金万元，一年后两者获得的收益相等，则的值是多少？
年，我国对小微企业施行所得税优惠政策该企业将根据此政策获得的减免税款及其他结余资金共计万元，全部投入到，两个项目中，当，两个项目分别投入多少万元时，一年后获得的收益之和最大？最大值是多少万元？
【答案】解：当时，万元，
答：将万元资金投入项目，一年后获得的收益是万元；
由题意得：当时，，
，
，舍去，
；
设投入项目的资金是万元，投入项目的资金万元，一年后获利为万元，
由题意得，
，
当时，最大，
，
投入项目的资金是万元，投入项目的资金是万元时，一年后获利最大．最大值是万元．
【解析】把代入，从而求得结果；
当时，，，从而求得结果；
设投入项目的资金是万元，投入项目的资金万元，一年后获利为万元，列出关系式，进一步得出结果．
本题考查了二次函数及其图象性质，一元二次方程的解法等知识，解决问题的关键是根据题意列出函数关系式．
19.本小题分
如图，点的坐标是，点的坐标是，点为中点将绕着点逆时针旋转得到．
反比例函数的图象经过点，求该反比例函数的表达式；
一次函数图象经过、两点，求该一次函数的表达式．
【答案】解：点的坐标是，点的坐标是，点为中点，
，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，
反比例函数的图象经过点，
，
该反比例函数的表达式为；
作轴于．
，
，，
，
在和中
≌，
，，
，，
，，
，
，
设一次函数的解析式为，
把，代入得，，
解得，
该一次函数的表达式为．
【解析】根据旋转的性质得出的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
作轴于证明≌，推出，，求出点坐标，再利用待定系数法即可求得一次函数的解析式．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上的点的坐标特征，坐标与图形的变化旋转等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
