解直角三角形
【A层 基础夯实】
知识点1 已知两边解直角三角形
1.如图,在△ABC,∠A=30°,AC=6,AB=8,则△ABC的面积为(D)
A.24 B.12 C.24 D.12
2.如图,点E在矩形ABCD的AB边上,将△ADE沿DE翻折,使点A恰好落在BC边上的点F处,若CD=3BF,则tan ∠EDF= ___.
3.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3.求AC的长和sin A的值.
【解析】∵∠C=90°,AB=5,BC=3,
∴AC===4,sin A==.∴AC的长为4,sin A的值为.
知识点2 已知一边一锐角解直角三角形
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=9,cos B=,则AC的长为(C)
A.6 B.2 C.3 D.9
5.如图,小明在周末爬山锻炼身体,他从山脚下的点A出发,沿着一条坡角是30°的坡道向上走了120 m到达点B,则此时小明距离山脚的垂直高度BC是___60___m.
6.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对应边分别为a,b,c,按下列条件解直角三角形.
(1)c=8,∠A=60°;
【解析】(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,c=8,∠A=60°,
则∠B=90°-60°=30°,
∴b=c=×8=4,
∴a===12;
(2)b=7.234,∠A=7°20'.(长度精确到0.001,参考数据:tan 7°20'≈0.13,cos 7°20'≈
0.99,sin 7°20'≈0.13)
【解析】(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,b=7.234,∠A=7°20',则∠B=90°-7°20'=82°40',
∵tan 7°20'==,
∴a≈0.13×7.234≈0.940,
又∵cos A=,
∴c==≈7.307.
【B层 能力进阶】
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列结论中不正确的是(C)
A.a2+b2=c2 B.c=
C.tan A= D.a=c·sin A
8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,若AB=6,AC=8,点D是AC上一点,且=,则sin∠DBC的值为(B)
A. B. C. D.
9.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点E,∠EDC∶
∠EDA=1∶2,且DE=2,则AC的长度是(C)
A.2 B.2 C.8 D.
10.如图,某游客在山脚下乘览车上山.导游告知,索道与水平线成∠BAC为40°,览车速度为60米/分,11分钟到达山顶,请根据以上信息计算山的高度BC约为___422___米.(精确到1米)(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
11.如图,在矩形ABCD中,BD是对角线,AE⊥BD,垂足为E,连接CE,若BD的坡度是1∶2,则tan∠DEC的值是 ___.
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=,点D在BC上,BC=8且BD=AD.
(1)求AC的长;
【解析】(1)∵在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=,
∴=tan B==,解得AC=4;
(2)求cos ∠ADC的值.
【解析】(2)设CD=x,则AD=BD=8-x,
在Rt△ACD中,根据勾股定理得:AD2=CD2+AC2,
即(8-x)2=x2+16,
解得x=3,
∴CD=3,AD=5,
则cos ∠ADC==.
【C层 创新挑战(选做)】
13.(2023·贵阳南明区二模)中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜,西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载:“取大镜高悬,悬水盆于其下,则见四邻矣”.如图①所示,其工作方法主要利用了光的反射原理.
(1)在图②中,AB呈水平状态,若入射角∠BOC=30°,∠OAD=15°(入射角等于反射角,OC,AD为法线),则∠BAD=________度;
【解析】(1)∵AD⊥AB,
∴∠BAD=90°;
答案:90
(2)在(1)的条件下,若AB=10米,求点A到OB的距离.
【解析】(2)如图,过点A作AE⊥OB于点E,
∵入射角∠BOC=30°,入射角等于反射角,
∴∠AOC=∠BOC=30°,
∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°.
∵AD⊥AB,∠OAD=15°,
∴∠OAB=75°,
∴∠B=180°-∠AOB-∠OAB=45°.
∵AE⊥OB,
∴△AEB为等腰直角三角形.
在Rt△ABE中,AB=10米,AE=AB·sin B=10×=10(米),
∴点A到OB的距离为10米. 解直角三角形
【A层 基础夯实】
知识点1 已知两边解直角三角形
1.如图,在△ABC,∠A=30°,AC=6,AB=8,则△ABC的面积为( )
A.24 B.12 C.24 D.12
2.如图,点E在矩形ABCD的AB边上,将△ADE沿DE翻折,使点A恰好落在BC边上的点F处,若CD=3BF,则tan ∠EDF= ___.
3.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3.求AC的长和sin A的值.
知识点2 已知一边一锐角解直角三角形
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=9,cos B=,则AC的长为( )
A.6 B.2 C.3 D.9
5.如图,小明在周末爬山锻炼身体,他从山脚下的点A出发,沿着一条坡角是30°的坡道向上走了120 m到达点B,则此时小明距离山脚的垂直高度BC是__ ___m.
6.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对应边分别为a,b,c,按下列条件解直角三角形.
(1)c=8,∠A=60°;
(2)b=7.234,∠A=7°20'.(长度精确到0.001,参考数据:tan 7°20'≈0.13,cos 7°20'≈
0.99,sin 7°20'≈0.13)
【B层 能力进阶】
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列结论中不正确的是( )
A.a2+b2=c2 B.c=
C.tan A= D.a=c·sin A
8.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,若AB=6,AC=8,点D是AC上一点,且=,则sin∠DBC的值为( )
A. B. C. D.
9.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AC于点E,∠EDC∶
∠EDA=1∶2,且DE=2,则AC的长度是( )
A.2 B.2 C.8 D.
10.如图,某游客在山脚下乘览车上山.导游告知,索道与水平线成∠BAC为40°,览车速度为60米/分,11分钟到达山顶,请根据以上信息计算山的高度BC约为__ __米.(精确到1米)(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
11.如图,在矩形ABCD中,BD是对角线,AE⊥BD,垂足为E,连接CE,若BD的坡度是1∶2,则tan∠DEC的值是 __.
12.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,tan B=,点D在BC上,BC=8且BD=AD.
(1)求AC的长;
【C层 创新挑战(选做)】
13.(2023·贵阳南明区二模)中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜,西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载:“取大镜高悬,悬水盆于其下,则见四邻矣”.如图①所示,其工作方法主要利用了光的反射原理.
(1)在图②中,AB呈水平状态,若入射角∠BOC=30°,∠OAD=15°(入射角等于反射角,OC,AD为法线),则∠BAD=________度;
(2)在(1)的条件下,若AB=10米,求点A到OB的距离.
