三角函数的应用 利用三角函数测高
【A层 基础夯实】
知识点1 与方向角有关的问题
1.如图,一艘船从A处出发,匀速向正北方向航行30海里至点B,从A处测得一礁石C在北偏西15°的方向上,从B处测得礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船沿此航线继续航行,则礁石与船的最短距离是( )
A.10海里 B.15海里 C.20海里 D.30海里
2.如图,在平行四边形ABCD中,点C位于点B的正东方向上的6 m处,点A位于点B的北偏东30°方向上的4 m处,则平行四边形ABCD的面积为( )
A.12 m2 B.12 m2 C.6 m2 D.6 m2
3.(2024·贵州一模)贵州榕江的增冲鼓楼是我国侗寨现存最老的鼓楼之一.如图是太阳光照射鼓楼形成的示意图.BD,BC分别是不同时刻太阳光照射鼓楼的影长,测得∠ADB=45°,∠ACB=39°,CD=56.25 m.(点D,B,C在同一水平线上,且点A,D,B,C在同一平面内)
(1)设鼓楼高AB为x m,则BC的长为_________m(用含x的代数式表示).
(2)求鼓楼AB的高度(结果保留整数).
(参考数据:tan 39°≈0.80,sin 39°≈0.62,cos 39°≈0.77)
知识点2 测量物体的高度
4.如图,建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9 m,在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角α为30°,旗杆底部B的俯角β为45°,则旗杆AB的高度为( )
A.3 m B.3 m
C.(3+9)m D.(3+9)m
5.如图,热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A处与地面距离为150 m,则这栋楼的高度是___ ___m.
6.综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为__ __米.(结果保留根号)
【B层 能力进阶】
7.如图,为了绕开岛礁区,一艘船从A处向北偏东60°的方向行驶8海里到B处,再从B处向南偏东45°方向行驶到出发点A正东方向上的C处,此时这艘船距离出发点A处__ ___海里.
8.如图,有甲、乙两座建筑物,从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°,C点的俯角β为58°,BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6 m,则甲建筑物的高度AB为__ __m.(sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60,结果保留整数)
9.(2023·遵义模拟)贵州省遵义市凤凰楼,位于凤凰山主峰,该楼为一幢七层六角型仿古景观建筑,游客登上楼顶后,可以将遵义城区风景一览无余,是当地识别性很高的地标建筑.在一次综合实践活动中,某小组对凤凰楼的楼高进行了如下测量.如图,将测角仪放在楼前平坝C处测得该楼顶端B的仰角为60°,沿平坝向后退
50 m(CD=50 m)到D处有一棵树,将测角仪放在距地面2 m(DE=2 m)的树枝上的E处,测得楼顶端B的仰角为30°.请你帮助该小组计算凤凰楼的高度AB.(结果精确到1 m,参考数据:≈1.73)
【C层 创新挑战(选做)】
10.(模型观念、运算能力、应用意识)(2023·贵阳花溪区一模)风能是最具活力的新能源之一,小明想利用学到的数学知识测量风能发电机转子叶片的长度,如图①是风能发电机的实物图,图②是其示意图,已知小明在点C处测得点A的仰角为45°,且P,A,C三点共线,在点B处测得点P的仰角为75°,点A,B,C,D,P都在同一平面内,且C,B,D在同一直线上,AB⊥CD,若B,C两点之间的距离为40 m.
(1)求转子叶片PA的长度;(结果精确到0.1 m)
(2)在叶片PA的旋转过程中,求叶片最高点P到地面距离的取值范围.(结果精确到0.1 m)(参考数据:≈2.45,≈1.41) 三角函数的应用 利用三角函数测高
【A层 基础夯实】
知识点1 与方向角有关的问题
1.如图,一艘船从A处出发,匀速向正北方向航行30海里至点B,从A处测得一礁石C在北偏西15°的方向上,从B处测得礁石C在北偏西30°的方向上.如果这艘船沿此航线继续航行,则礁石与船的最短距离是(B)
A.10海里 B.15海里 C.20海里 D.30海里
2.如图,在平行四边形ABCD中,点C位于点B的正东方向上的6 m处,点A位于点B的北偏东30°方向上的4 m处,则平行四边形ABCD的面积为(A)
A.12 m2 B.12 m2 C.6 m2 D.6 m2
3.(2024·贵州一模)贵州榕江的增冲鼓楼是我国侗寨现存最老的鼓楼之一.如图是太阳光照射鼓楼形成的示意图.BD,BC分别是不同时刻太阳光照射鼓楼的影长,测得∠ADB=45°,∠ACB=39°,CD=56.25 m.(点D,B,C在同一水平线上,且点A,D,B,C在同一平面内)
(1)设鼓楼高AB为x m,则BC的长为_________m(用含x的代数式表示).
【解析】(1)(56.25-x)(答案不唯一)
(2)求鼓楼AB的高度(结果保留整数).
(参考数据:tan 39°≈0.80,sin 39°≈0.62,cos 39°≈0.77)
【解析】(2)由(1)得BC=56.25-x,
在Rt△ABC中,∠ACB=39°,
∵tan 39°=≈0.80,
∴≈0.80,解得x=25,
经检验,x=25是方程的解.
∴鼓楼AB的高度约为25 m.
知识点2 测量物体的高度
4.如图,建筑物CD和旗杆AB的水平距离BD为9 m,在建筑物的顶端C测得旗杆顶部A的仰角α为30°,旗杆底部B的俯角β为45°,则旗杆AB的高度为(D)
A.3 m B.3 m
C.(3+9)m D.(3+9)m
5.如图,热气球的探测器显示,从热气球底部A处看一栋楼顶部的俯角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球A处与地面距离为150 m,则这栋楼的高度是___100___m.
6.综合实践课上,航模小组用航拍无人机进行测高实践.如图,无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处,测得博雅楼顶部E的俯角为45°,尚美楼顶部F的俯角为30°,已知博雅楼高度CE为15米,则尚美楼高度DF为___(30-5)___米.(结果保留根号)
【B层 能力进阶】
7.如图,为了绕开岛礁区,一艘船从A处向北偏东60°的方向行驶8海里到B处,再从B处向南偏东45°方向行驶到出发点A正东方向上的C处,此时这艘船距离出发点A处___(4+4)___海里.
8.如图,有甲、乙两座建筑物,从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角α为45°,C点的俯角β为58°,BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CD为6 m,则甲建筑物的高度AB为___16___m.(sin 58°≈0.85,cos 58°≈0.53,tan 58°≈1.60,结果保留整数)
9.(2023·遵义模拟)贵州省遵义市凤凰楼,位于凤凰山主峰,该楼为一幢七层六角型仿古景观建筑,游客登上楼顶后,可以将遵义城区风景一览无余,是当地识别性很高的地标建筑.在一次综合实践活动中,某小组对凤凰楼的楼高进行了如下测量.如图,将测角仪放在楼前平坝C处测得该楼顶端B的仰角为60°,沿平坝向后退
50 m(CD=50 m)到D处有一棵树,将测角仪放在距地面2 m(DE=2 m)的树枝上的E处,测得楼顶端B的仰角为30°.请你帮助该小组计算凤凰楼的高度AB.(结果精确到1 m,参考数据:≈1.73)
【解析】设BF=x m,
在Rt△BEF中,tan 30°=,
∴EF==x(m).
∵EF∥AD,ED∥AF,∠BAD=90°,
∴四边形EFAD是矩形,
∴AD=EF=x(m),ED=AF=2 m,
∴AB=(x+2)m,
在Rt△ABC中,AC==
=(m),
∴x=50+,
解得x=25+1,
∴AB=x+2=25+1+2=25+3≈46(m),
答:凤凰楼的高度AB约为46 m.
【C层 创新挑战(选做)】
10.(模型观念、运算能力、应用意识)(2023·贵阳花溪区一模)风能是最具活力的新能源之一,小明想利用学到的数学知识测量风能发电机转子叶片的长度,如图①是风能发电机的实物图,图②是其示意图,已知小明在点C处测得点A的仰角为45°,且P,A,C三点共线,在点B处测得点P的仰角为75°,点A,B,C,D,P都在同一平面内,且C,B,D在同一直线上,AB⊥CD,若B,C两点之间的距离为40 m.
(1)求转子叶片PA的长度;(结果精确到0.1 m)
【解析】(1)过B作BH⊥CP于H,如图:
∵∠BCH=45°,
∴△BCH是等腰直角三角形,
∴BH=CH===20(m).
∵∠P=∠PBD-∠BCH=75°-45°=30°,
∴PH=BH=×20=20(m),
∴CP=CH+PH=(20+20)m.
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴AC=BC=40(m),
∴AP=CP-AC=(20+20)-40=(20-20)≈20.8(m),
∴转子叶片PA的长度约为20.8 m.
(2)在叶片PA的旋转过程中,求叶片最高点P到地面距离的取值范围.(结果精确到0.1 m)(参考数据:≈2.45,≈1.41)
【解析】(2)当P转动到BA延长线上的P'时,P到地面距离最大,当P转动到线段AB上的P″时,P到地面的距离最小,如图:
∵AP'=AP″=AP≈20.8 m,AB=BC=40 m,
∴P到地面的最大距离为20.8+40=60.8(m),P到地面的最小距离为40-20.8=19.2(m),
∴叶片PA最高点P到地面距离的取值范围是19.2≤PE≤60.8.
