二次函数的图象与性质(第1课时)
1.下列在抛物线y=x2上的点为 ( )
A.(1,0) B.(2,2)
C.(-1,1) D.(0,1)
2.若点(0,a),(3,b)都在二次函数y=x2的图象上,则a与b的大小关系是 ( )
A.ab
C.a=b D.无法确定
3.下列关于函数y=-x2的图象的说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点坐标为(0,0),其中正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.点A(m-1,y1),B(m,y2)都在抛物线y=x2上.若y1A.m>4 B.m<4 C.m< D.m>
5.当-1≤x≤2时,二次函数y=x2的最大值和最小值分别为___ ___.
6.二次函数y=x2,当1≤y≤9时,自变量x的取值范围是___ __.
7.已知a<-1,点(a-1,y1)、(a,y2)、(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3 的大小关系是__ ___.
8.若直线y=m(m为常数)与函数y=的图象有三个不同的交点,则常数m的取值范围是__ ___.
9.已知二次函数y=-x2.
(1)填写表格,在如图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … ______ ______ ______ ______ ______ …
(2)利用图象写出当-210.如图,正方形OABC的顶点B位于二次函数y=x2在第一象限的图象上,若点B的横坐标与纵坐标之和等于6,求对角线AC的长. 二次函数的图象与性质(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1.抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上,则b的值一定为 ( )
A.0 B.6 C.-6 D.±6
2.(2024·遵义绥阳县期末)若抛物线y=x2+ax+2的对称轴是y轴,则a的值是 ( )
A.-2 B.-1 C.0 D.2
3.已知(-1,y1),(-2,y2),(-6,y3)是抛物线y=x2+6x+m上的点,则 ( )
A.y1C.y34.(2023·陕西中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左侧,则该二次函数有( )
A.最大值5 B.最大值
C.最小值5 D.最小值
5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点(0,3),则常数c的值是___ __.
6.二次函数y=-x2-2x+m图象上的最高点的横坐标是___ __.
7.已知二次函数y=x2-2x-m的图象经过点(2,-3).求:
(1)该二次函数的表达式;
(2)函数图象的顶点坐标;
(3)当自变量x满足0知识点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=-,下列结论:①ab<0;②a-b+c<0;③3b=2a;④a+4c>2b,其中正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知抛物线y=-x2+bx+c的图象如图所示,那么点P(b,c)在第___ ___象限.
10.小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象(如图)中观察得出了下面五条信息:①c<0;②abc>0;③a-b+c>0;④2a-3b=0;⑤c-4b>0.你认为其中正确的信息是
__ __.(只填序号)
【B层 能力进阶】
11.若抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,-3),则c-2b的值是 ( )
A.-7 B.-1
C.1 D.7
12.已知二次函数y=x2-2x+c的图象经过点P(-1,y1)和Q(m,y2).若y1A.-1C.m<-1或m>3 D.m<-1
13.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,x=-1是对称轴,有下列判断:
①abc>0;
②b-2a=0;
③4a-2b+c<0;
④a-b+c=-9a;
其中正确的是 ( )
A.①②③ B.①③④
C.②③④ D.①②④
14.(2023·上海中考)一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的表达式可以是___ __.
15.将抛物线y=ax2+bx-1向上平移3个单位长度后,经过点(-2,5),则8a-4b-11的值是___ ___.
16.二次函数y=ax2-3ax+3的图象过点A(6,0),且与y轴交于点B,点M在该抛物线的对称轴上,若△ABM是以AB为直角边的直角三角形,则点M的坐标为 __.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(模型观念、运算能力、应用意识)(2022·安顺中考)在平面直角坐标系中,如果点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为和谐点.例如:点(1,1),(,),(-,-),…都是和谐点.
(1)判断函数y=2x+1的图象上是否存在和谐点,若存在,求出其和谐点的坐标;
(2)若二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(,).
①求a,c的值;
②若1≤x≤m时,函数y=ax2+6x+c+(a≠0)的最小值为-1,最大值为3,求实数m的取值范围. 二次函数的图象与性质(第1课时)
1.下列在抛物线y=x2上的点为 (C)
A.(1,0) B.(2,2)
C.(-1,1) D.(0,1)
2.若点(0,a),(3,b)都在二次函数y=x2的图象上,则a与b的大小关系是 (A)
A.ab
C.a=b D.无法确定
3.下列关于函数y=-x2的图象的说法:①图象是一条抛物线;②开口向下;③对称轴是y轴;④顶点坐标为(0,0),其中正确的有 (D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.点A(m-1,y1),B(m,y2)都在抛物线y=x2上.若y1A.m>4 B.m<4 C.m< D.m>
5.当-1≤x≤2时,二次函数y=x2的最大值和最小值分别为___4和0___.
6.二次函数y=x2,当1≤y≤9时,自变量x的取值范围是___-3≤x≤-1或1≤x≤3___.
7.已知a<-1,点(a-1,y1)、(a,y2)、(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3 的大小关系是___y38.若直线y=m(m为常数)与函数y=的图象有三个不同的交点,则常数m的取值范围是___09.已知二次函数y=-x2.
(1)填写表格,在如图平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … ______ ______ ______ ______ ______ …
(2)利用图象写出当-2【解析】(1)填写表格,
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -4 -1 0 -1 -4 …
如图,
(2)当-2答案:-410.如图,正方形OABC的顶点B位于二次函数y=x2在第一象限的图象上,若点B的横坐标与纵坐标之和等于6,求对角线AC的长.
【解析】设点B的横坐标为a.
∵点B的横坐标与纵坐标之和等于6,
∴点B的纵坐标为6-a.
∵点B位于二次函数y=x2在第一象限的图象上,∴6-a=a2,
解得a1=-3(不合题意,舍去),a2=2,
∴6-a=4,
∴点B的坐标为(2,4).
连接OB(图略),
则OB==2.
∵四边形OABC是正方形,
∴AC=OB=2. 二次函数的图象与性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2的图象与性质
1.下列关于函数y=36x2的叙述中,错误的是( )
A.y有最大值
B.图象的对称轴是y轴
C.当x>0时,y随x的增大而增大
D.图象的顶点是原点
2.抛物线y=-2x2的顶点坐标是_____.
3.二次函数y=ax2的图象经过点(-2,8),则a的值为_____.
4.已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系是___ __(用“<”连接).
5.已知函数y=(m+3)是关于x的二次函数.
(1)求m的值;
(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下
(3)当m为何值时,该函数有最小值
知识点2 二次函数y=ax2+c的图象与性质
6.将抛物线y=-x2+1向上平移2个单位长度,得到的抛物线是 ( )
A.y=-x2+3 B.y=-(x-2)2+1
C.y=-x2-1 D.y=-(x+2)2+1
7.函数y=-2x2+4中,自变量x的取值范围是 ( )
A.x≠0 B.x<0
C.x>0 D.一切实数
8.若点A(-3,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-x2+1上的三点,则y1,y2,y3的大小关系
为 ( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1
9.抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为_____.
10.已知点P(1,-2a)在二次函数y=ax2+6的图象上,并且点P关于x轴的对称点在反比例函数y=的图象上.
(1)求二次函数和反比例函数的表达式.
(2)点(-1,4)是否同时在(1)中的两个函数的图象上
【B层 能力进阶】
11.关于二次函数y=x2-2,下列说法错误的是 ( )
A.抛物线开口向上
B.抛物线的顶点坐标为(0,2)
C.抛物线的对称轴为y轴
D.当x>0时,y随x的增大而增大
12.(2024·黔东南州期末)一次函数y=x+a与二次函数y=ax2-a在同一坐标系中的大致图象可能是 ( )
13.点A(m,n)在二次函数y=x2-4的图象上,则2m-n的最大值是 ( )
A.4 B.5 C.-4 D.-5
14.把抛物线y=x2-1向___ ___平移__ __个单位长度,就得到抛物线y=x2.
15.如果抛物线y=x2+c经过两点A(2,1)和B(1,b),那么b的值是___ ___.
16.如图,抛物线y=ax2+4与y轴交于点A,过点A且与x轴平行的直线交抛物线y=2x2于B,C两点,则线段BC的长为__ __.
17.抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1交于点(m,3).
(1)求m和n的值;
(2)求抛物线y=2x2+n的顶点坐标和对称轴.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(模型观念、运算能力、应用意识)如图,已知抛物线y=ax2过点A(-3,).
(1)求抛物线的表达式;
(2)已知直线l过点A,M(,0)且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证:MC2=MA·MB;
(3)若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所有符合条件的P点坐标. 二次函数的图象与性质(第4课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质
1.抛物线y=x2-bx+9的顶点在x轴上,则b的值一定为 (D)
A.0 B.6 C.-6 D.±6
2.(2024·遵义绥阳县期末)若抛物线y=x2+ax+2的对称轴是y轴,则a的值是 (C)
A.-2 B.-1 C.0 D.2
3.已知(-1,y1),(-2,y2),(-6,y3)是抛物线y=x2+6x+m上的点,则 (D)
A.y1C.y34.(2023·陕西中考)在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+mx+m2-m(m为常数)的图象经过点(0,6),其对称轴在y轴左侧,则该二次函数有(D)
A.最大值5 B.最大值
C.最小值5 D.最小值
5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点(0,3),则常数c的值是___3___.
6.二次函数y=-x2-2x+m图象上的最高点的横坐标是___-1___.
7.已知二次函数y=x2-2x-m的图象经过点(2,-3).求:
(1)该二次函数的表达式;
(2)函数图象的顶点坐标;
(3)当自变量x满足0【解析】(1)将(2,-3)代入二次函数y=x2-2x-m得,-3=22-2×2-m,
解得m=3,
∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3;
(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,
所以抛物线的顶点坐标为(1,-4);
(3)由(2)得,当x=1时,y取最小值-4,
当x=0时,y=-3,当x=4时,y=5,
∴当自变量x满足0知识点2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与a,b,c的关系
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=-,下列结论:①ab<0;②a-b+c<0;③3b=2a;④a+4c>2b,其中正确结论的个数是 (B)
A.1 B.2 C.3 D.4
9.已知抛物线y=-x2+bx+c的图象如图所示,那么点P(b,c)在第___二___象限.
10.小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象(如图)中观察得出了下面五条信息:①c<0;②abc>0;③a-b+c>0;④2a-3b=0;⑤c-4b>0.你认为其中正确的信息是
___①②③⑤___.(只填序号)
【B层 能力进阶】
11.若抛物线y=-x2+bx+c经过点(-2,-3),则c-2b的值是 (C)
A.-7 B.-1
C.1 D.7
12.已知二次函数y=x2-2x+c的图象经过点P(-1,y1)和Q(m,y2).若y1A.-1C.m<-1或m>3 D.m<-1
13.如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,x=-1是对称轴,有下列判断:
①abc>0;
②b-2a=0;
③4a-2b+c<0;
④a-b+c=-9a;
其中正确的是 (D)
A.①②③ B.①③④
C.②③④ D.①②④
14.(2023·上海中考)一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的表达式可以是___y=-x2+1(答案不唯一)___.
15.将抛物线y=ax2+bx-1向上平移3个单位长度后,经过点(-2,5),则8a-4b-11的值是___-5___.
16.二次函数y=ax2-3ax+3的图象过点A(6,0),且与y轴交于点B,点M在该抛物线的对称轴上,若△ABM是以AB为直角边的直角三角形,则点M的坐标为 (,-9)或(,6)___.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(模型观念、运算能力、应用意识)(2022·安顺中考)在平面直角坐标系中,如果点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为和谐点.例如:点(1,1),(,),(-,-),…都是和谐点.
(1)判断函数y=2x+1的图象上是否存在和谐点,若存在,求出其和谐点的坐标;
(2)若二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点(,).
①求a,c的值;
②若1≤x≤m时,函数y=ax2+6x+c+(a≠0)的最小值为-1,最大值为3,求实数m的取值范围.
【解析】(1)存在和谐点,理由如下,
设函数y=2x+1的和谐点为(x,x),
∴2x+1=x,解得x=-1,
∴和谐点为(-1,-1);
(2)①∵点(,)是二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的和谐点,∴=a+15+c,
∴c=-a-,
∵二次函数y=ax2+6x+c(a≠0)的图象上有且只有一个和谐点,
∴ax2+6x+c=x有且只有一个根,
∴Δ=25-4ac=0,
∴a=-1,c=-;
②由①可知y=-x2+6x-6=-(x-3)2+3,
∴抛物线的对称轴为直线x=3,
当x=1时,y=-1,
当x=3时,y=3,
当x=5时,y=-1,
∴函数的最大值为3,最小值为-1;
∴当3≤m≤5时,函数的最大值为3,最小值为-1. 二次函数的图象与性质(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=ax2的图象与性质
1.下列关于函数y=36x2的叙述中,错误的是(A)
A.y有最大值
B.图象的对称轴是y轴
C.当x>0时,y随x的增大而增大
D.图象的顶点是原点
2.抛物线y=-2x2的顶点坐标是___(0,0)___.
3.二次函数y=ax2的图象经过点(-2,8),则a的值为___2___.
4.已知抛物线y=ax2(a>0)过A(-2,y1),B(1,y2),C(3,y3)三点,则y1,y2,y3的大小关系是___y25.已知函数y=(m+3)是关于x的二次函数.
(1)求m的值;
(2)当m为何值时,该函数图象的开口向下
(3)当m为何值时,该函数有最小值
【解析】(1)∵函数y=(m+3)是关于x的二次函数,∴m2+3m-2=2,m+3≠0,
解得m1=-4,m2=1;
(2)∵函数图象的开口向下,∴m+3<0,
∴m<-3,又∵m=-4或1,
∴当m=-4时,该函数图象的开口向下;
(3)∵当m+3>0时,抛物线有最低点,函数有最小值,∴m>-3,
又∵m=-4或1,
∴当m=1时,y=4x2有最小值,最小值为0.
知识点2 二次函数y=ax2+c的图象与性质
6.将抛物线y=-x2+1向上平移2个单位长度,得到的抛物线是 (A)
A.y=-x2+3 B.y=-(x-2)2+1
C.y=-x2-1 D.y=-(x+2)2+1
7.函数y=-2x2+4中,自变量x的取值范围是 (D)
A.x≠0 B.x<0
C.x>0 D.一切实数
8.若点A(-3,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-x2+1上的三点,则y1,y2,y3的大小关系
为 (C)
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1
9.抛物线y=x2+2与y轴的交点坐标为___(0,2)___.
10.已知点P(1,-2a)在二次函数y=ax2+6的图象上,并且点P关于x轴的对称点在反比例函数y=的图象上.
(1)求二次函数和反比例函数的表达式.
(2)点(-1,4)是否同时在(1)中的两个函数的图象上
【解析】(1)∵点P(1,-2a)在二次函数y=ax2+6的图象上,
∴-2a=a+6,解得a=-2,
∴点P的坐标为(1,4),所求二次函数的表达式为y=-2x2+6.点P关于x轴对称的点的坐标为(1,-4),∴k=-4,
∴所求反比例函数的表达式为y=-.
(2)点(-1,4)既在二次函数y=-2x2+6的图象上,也在反比例函数y=-的图象上.
【B层 能力进阶】
11.关于二次函数y=x2-2,下列说法错误的是 (B)
A.抛物线开口向上
B.抛物线的顶点坐标为(0,2)
C.抛物线的对称轴为y轴
D.当x>0时,y随x的增大而增大
12.(2024·黔东南州期末)一次函数y=x+a与二次函数y=ax2-a在同一坐标系中的大致图象可能是 (C)
13.点A(m,n)在二次函数y=x2-4的图象上,则2m-n的最大值是 (B)
A.4 B.5 C.-4 D.-5
14.把抛物线y=x2-1向___上___平移___1___个单位长度,就得到抛物线y=x2.
15.如果抛物线y=x2+c经过两点A(2,1)和B(1,b),那么b的值是___-2___.
16.如图,抛物线y=ax2+4与y轴交于点A,过点A且与x轴平行的直线交抛物线y=2x2于B,C两点,则线段BC的长为___2___.
17.抛物线y=2x2+n与直线y=2x-1交于点(m,3).
(1)求m和n的值;
(2)求抛物线y=2x2+n的顶点坐标和对称轴.
【解析】(1)把(m,3)代入y=2x-1得2m-1=3,
解得m=2,
把(2,3)代入y=2x2+n得2×4+n=3,
解得n=-5;
(2)∵抛物线的表达式为y=2x2-5,
∴它的顶点坐标为(0,-5),对称轴为y轴.
【C层 创新挑战(选做)】
18.(模型观念、运算能力、应用意识)如图,已知抛物线y=ax2过点A(-3,).
(1)求抛物线的表达式;
(2)已知直线l过点A,M(,0)且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证:MC2=MA·MB;
(3)若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所有符合条件的P点坐标.
【解析】(1)把点A(-3,)代入y=ax2,
得到=9a,∴a=,
∴抛物线的表达式为y=x2.
(2)设直线l的表达式为y=kx+b,
则有解得
∴直线l的表达式为y=-x+.
令x=0,得到y=,∴C(0,),
由解得或
∴B(1,).如图1中,过点A作AA1⊥x轴于A1,过B作BB1⊥x轴于B1,则BB1∥OC∥AA1,
∴===,===,∴=,即MC2=MA·MB.
(3)如图2中,设P(t,t2)
∵OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,∴PD∥OC,PD=OC,
∴D(t,-t+),∴=,
整理得:t2+2t-6=0或t2+2t=0,
解得t=-1-或-1+或-2或0(舍).
∴P(-1-,2+)或(-1+,2-)或(-2,1). 二次函数的图象与性质(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1.下列二次函数图象开口向下的是 (D)
A.y=2x2+1 B.y=2x2-1
C.y=(x-1)2 D.y=-(x+1)2
2.已知函数y=(x-1)2.当0≤x≤3时,y的取值范围为___0≤y≤4___.
3.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x=-2,与y轴交于点(0,2).
(1)求a和h的值;
(2)求该抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式.
【解析】(1)∵对称轴为直线x=-2,∴h=-2.
∵抛物线与y轴交于点(0,2),
∴a·(0+2)2=2,∴a=.
(2)由(1)可知,该抛物线为y=(x+2)2,顶点坐标为(-2,0),
∴抛物线关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为(2,0),
∴该抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式为y=(x-2)2.
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
4.已知二次函数y=(x-1)2+3,则下列说法正确的是 (B)
A.y有最小值1 B.y有最小值3
C.y有最大值1 D.y有最大值3
5.若A(a,b),B(a-2,c)两点均在函数y=(x-2 023)2+2 024的图象上,且2 023≤a<2 024,则b与c的大小关系为 (A)
A.bc D.b≥c
6.抛物线y=-3(x-2)2+9的最大值是___9___.
7.已知二次函数y=a(x-1)2+h.
(1)若函数图象经过点A(0,4),B(2,m),求m的值;
(2)当a<0,h>0时,求证:函数图象与x轴有两个交点.
【解析】(1)根据题意得,
∴m=4;
(2)抛物线y=a(x-1)2+h的顶点坐标为(1,h),
∵a<0,∴图象开口向下,
∵h>0,∴抛物线的顶点(1,h)在x轴上方,
∴函数图象与x轴有2个交点.
知识点3 二次函数图象的平移
8.(2024·遵义红花岗区期中)把抛物线y=x2+1向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线 (D)
A.y=(x+3)2-1 B.y=(x+3)2+3
C.y=(x-1)2-1 D.y=(x-3)2-1
9.(2024·遵义绥阳县期中)将二次函数y=-3x2的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1)2的图象,平移的方法可以是 (B)
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向上平移1个单位长度
D.向下平移1个单位长度
【B层 能力进阶】
10.若二次函数y=2(x-1)2+5的图象经过(m,n)和(3,n)两点,则m的值为 (B)
A.1 B.-1 C. D.-
11.若二次函数y=-(x-3)2+m的图象过A(-1,y1),B(-2,y2),C(5,y3)三点,则下列y1,y2,y3的大小关系正确的是 (D)
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
12.已知抛物线y=a(x-1)2-2(a≠0),当-1≤x≤2时,y的最大值与最小值的差为3,则a的值为 (C)
A.1 B.
C.或- D.或-
13.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=(x-h)2与x轴只有一个交点M,与平行于x轴的直线l交于点A,B,若AB=4,则点M到直线l的距离为 (C)
A.2 B.3 C.4 D.5
14.把二次函数y=(x+5)2-8的图象向上平移5个单位长度,平移后二次函数的最小值为___-3___.
15.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当2≤x≤5时,y的最大值为-1,则h的值为
___1或6___.
16.已知二次函数y=(x-3)2.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值;
(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧的抛物线上,且x1(3)抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2平移得到吗 如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.
【解析】(1)由题意,∵二次函数y=(x-3)2,
∴该二次函数图象的开口向上,对称轴是直线x=3,顶点坐标为(3,0),该函数有最小值为0;
(2)由题意,∵二次函数y=(x-3)2,
∴当x>3时,y随x的增大而增大.
∵点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧,且x1∴y1(3)由题意,按照“左加右减,上加下减”的规律进行判断,
∵x-3+10=x+7,
∴抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2向左平移10个单位长度得到.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(模型观念、运算能力、应用意识)已知抛物线L1:y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1,0).
(1)求抛物线L1的函数表达式;
(2)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L2.若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求m的值;
(3)把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位长度得到抛物线L3.已知点P(8-t,s),Q(t-4,r)都在抛物线L3上,若当t>6时,都有s>r,求n的取值范围.
【解析】(1)把A(1,0)代入y=a(x+1)2-4得:
a(1+1)2-4=0,解得a=1,
∴y=(x+1)2-4=x2+2x-3;
(2)抛物线L1:y=(x+1)2-4的顶点为(-1,-4),
将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L2,则抛物线L2的顶点为(-1,-4+m),而(-1,-4+m)关于原点的对称点为(1,4-m),
把(1,4-m)代入y=x2+2x-3得:12+2×1-3=4-m,解得m=4;
(3)把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位长度得到抛物线L3,抛物线L3的表达式为y=(x-n+1)2-4,
∵点P(8-t,s),Q(t-4,r)都在抛物线L3上,
∴s=(8-t-n+1)2-4=(9-t-n)2-4,
r=(t-4-n+1)2-4=(t-n-3)2-4,
∵当t>6时,s>r,∴s-r>0,
∴[(9-t-n)2-4]-[(t-n-3)2-4]>0,
整理变形得:(9-t-n)2-(t-n-3)2>0,
(9-t-n+t-n-3)(9-t-n-t+n+3)>0,
(6-2n)(12-2t)>0,
∵t>6,∴12-2t<0,∴6-2n<0,解得n>3,
∴n的取值范围是n>3. 二次函数的图象与性质(第3课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质
1.下列二次函数图象开口向下的是 ( )
A.y=2x2+1 B.y=2x2-1
C.y=(x-1)2 D.y=-(x+1)2
2.已知函数y=(x-1)2.当0≤x≤3时,y的取值范围为__ ___.
3.已知抛物线y=a(x-h)2的对称轴为直线x=-2,与y轴交于点(0,2).
(1)求a和h的值;
(2)求该抛物线关于y轴对称的抛物线的表达式.
知识点2 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
4.已知二次函数y=(x-1)2+3,则下列说法正确的是 ( )
A.y有最小值1 B.y有最小值3
C.y有最大值1 D.y有最大值3
5.若A(a,b),B(a-2,c)两点均在函数y=(x-2 023)2+2 024的图象上,且2 023≤a<2 024,则b与c的大小关系为 ( )
A.bc D.b≥c
6.抛物线y=-3(x-2)2+9的最大值是__ __.
7.已知二次函数y=a(x-1)2+h.
(1)若函数图象经过点A(0,4),B(2,m),求m的值;
(2)当a<0,h>0时,求证:函数图象与x轴有两个交点.
知识点3 二次函数图象的平移
8.(2024·遵义红花岗区期中)把抛物线y=x2+1向右平移3个单位长度,再向下平移2个单位长度,得到抛物线 ( )
A.y=(x+3)2-1 B.y=(x+3)2+3
C.y=(x-1)2-1 D.y=(x-3)2-1
9.(2024·遵义绥阳县期中)将二次函数y=-3x2的图象平移后,得到二次函数y=-3(x-1)2的图象,平移的方法可以是 ( )
A.向左平移1个单位长度
B.向右平移1个单位长度
C.向上平移1个单位长度
D.向下平移1个单位长度
【B层 能力进阶】
10.若二次函数y=2(x-1)2+5的图象经过(m,n)和(3,n)两点,则m的值为 ( )
A.1 B.-1 C. D.-
11.若二次函数y=-(x-3)2+m的图象过A(-1,y1),B(-2,y2),C(5,y3)三点,则下列y1,y2,y3的大小关系正确的是 ( )
A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3
C.y1>y3>y2 D.y3>y1>y2
12.已知抛物线y=a(x-1)2-2(a≠0),当-1≤x≤2时,y的最大值与最小值的差为3,则a的值为 ( )
A.1 B.
C.或- D.或-
13.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=(x-h)2与x轴只有一个交点M,与平行于x轴的直线l交于点A,B,若AB=4,则点M到直线l的距离为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
14.把二次函数y=(x+5)2-8的图象向上平移5个单位长度,平移后二次函数的最小值为__ ___.
15.已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数),当2≤x≤5时,y的最大值为-1,则h的值为
___ ___.
16.已知二次函数y=(x-3)2.
(1)写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和该函数的最值;
(2)若点A(x1,y1),B(x2,y2)位于对称轴右侧的抛物线上,且x1(3)抛物线y=(x+7)2可以由抛物线y=(x-3)2平移得到吗 如果可以,请写出平移的方法;如果不可以,请说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
17.(模型观念、运算能力、应用意识)已知抛物线L1:y=a(x+1)2-4(a≠0)经过点A(1,0).
(1)求抛物线L1的函数表达式;
(2)将抛物线L1向上平移m(m>0)个单位长度得到抛物线L2.若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上,求m的值;
(3)把抛物线L1向右平移n(n>0)个单位长度得到抛物线L3.已知点P(8-t,s),Q(t-4,r)都在抛物线L3上,若当t>6时,都有s>r,求n的取值范围.
