确定二次函数的表达式
【A层 基础夯实】
知识点1 设二次函数顶点式求表达式
1.已知抛物线y=ax2+bx的顶点坐标为A(3,3),则该抛物线的表达式为 ( )
A.y=-x2-2x B.y=-x2+2x
C.y=x2-2x D.y=x2+2x
2.一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=x2-2x+3相同,顶点为(-2,1),则此抛物线的表达式为 ( )
A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2-1
C.y=(x+2)2+1 D.y=(x-2)2-1
3.已知二次函数的最小值为-3,这个函数的图象经过点(1,-2),且对称轴为直线x=2,则这个二次函数的表达式为___ ___.
4.已知二次函数图象过点A(2,1),B(4,1)且最大值为2,求二次函数的表达式.
知识点2 设二次函数一般式、交点式求表达式
5.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5,则这个二次函数的表达式是 ( )
A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5
C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5
6.有一个二次函数,已知其过点(2,0),(5,0),其与y=2x2的形状一致,那么该二次函数的表达式为( )
A.y=x2+14x+10 B.y=2x2-14x+20
C.y=2x2+14x+20 D.y=x2-14x+10
7.二次函数y=ax2+4ax+a的图象经过点(3,22),该二次函数的表达式为___ ___.
8.二次函数图象过A,B,C三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC,求二次函数的表达式.
【B层 能力进阶】
9.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点是(1,3),当x>1时,y随x的增大而增大,则抛物线表达式可以是 ( )
A.y=-2(x+1)2+3 B.y=2(x+1)2+3
C.y=-2(x-1)2+3 D.y=2(x-1)2+3
10.形状与抛物线y=-x2-2相同,对称轴是直线x=-2,且过点(0,3)的抛物线是 ( )
A.y=x2+4x+3
B.y=-x2-4x+3
C.y=-x2+4x+3
D.y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
11.如图,函数y=-(x-h)2+k的图象,则其表达式为___ ___.
12.若抛物线y=ax2+c与抛物线y=-x2的形状相同,且经过点A(1,0),则它的表达式为___ __.
13.(2024·黔东南州期末)如图,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-1,0),B两点,交y轴于点C(0,3),点P在抛物线上,横坐标设为m.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点P在x轴上方时,直接写出m的取值范围;
(3)若抛物线在点P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为-1-m,求m的值.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、运算能力、应用意识)(2022·毕节中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为D(2,1),抛物线的对称轴交直线BC于点E.
(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式;
(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移,平移的距离为h(h>0),在平移过程中,该抛物线与直线BC始终有交点,求h的最大值;
(3)M是(1)中抛物线上一点,N是直线BC上一点.是否存在以点D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形 若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由. 确定二次函数的表达式
【A层 基础夯实】
知识点1 设二次函数顶点式求表达式
1.已知抛物线y=ax2+bx的顶点坐标为A(3,3),则该抛物线的表达式为 (B)
A.y=-x2-2x B.y=-x2+2x
C.y=x2-2x D.y=x2+2x
2.一抛物线的形状、开口方向与抛物线y=x2-2x+3相同,顶点为(-2,1),则此抛物线的表达式为 (C)
A.y=(x-2)2+1 B.y=(x+2)2-1
C.y=(x+2)2+1 D.y=(x-2)2-1
3.已知二次函数的最小值为-3,这个函数的图象经过点(1,-2),且对称轴为直线x=2,则这个二次函数的表达式为___y=x2-4x+1___.
4.已知二次函数图象过点A(2,1),B(4,1)且最大值为2,求二次函数的表达式.
【解析】根据题意设y=a(x-3)2+2,
把A(2,1)代入y=a(x-3)2+2,
1=a(2-3)2+2,解得a=-1,
∴y=-(x-3)2+2,即y=-x2+6x-7.
知识点2 设二次函数一般式、交点式求表达式
5.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5,则这个二次函数的表达式是 (A)
A.y=4x2+3x-5 B.y=2x2+x+5
C.y=2x2-x+5 D.y=2x2+x-5
6.有一个二次函数,已知其过点(2,0),(5,0),其与y=2x2的形状一致,那么该二次函数的表达式为(B)
A.y=x2+14x+10 B.y=2x2-14x+20
C.y=2x2+14x+20 D.y=x2-14x+10
7.二次函数y=ax2+4ax+a的图象经过点(3,22),该二次函数的表达式为___y=x2+4x+1___.
8.二次函数图象过A,B,C三点,点A的坐标为(-1,0),点B的坐标为(4,0),点C在y轴正半轴上,且AB=OC,求二次函数的表达式.
【解析】∵A(-1,0),B(4,0),
∴AO=1,OB=4,AB=AO+OB=1+4=5,
∴OC=5,即点C的坐标为(0,5).
设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,
∵二次函数图象过A,C,B三点,
∴
解得
∴二次函数的表达式为y=-x2+x+5.
【B层 能力进阶】
9.在平面直角坐标系xOy中,抛物线的顶点是(1,3),当x>1时,y随x的增大而增大,则抛物线表达式可以是 (D)
A.y=-2(x+1)2+3 B.y=2(x+1)2+3
C.y=-2(x-1)2+3 D.y=2(x-1)2+3
10.形状与抛物线y=-x2-2相同,对称轴是直线x=-2,且过点(0,3)的抛物线是 (D)
A.y=x2+4x+3
B.y=-x2-4x+3
C.y=-x2+4x+3
D.y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
11.如图,函数y=-(x-h)2+k的图象,则其表达式为___y=-(x+1)2+5___.
12.若抛物线y=ax2+c与抛物线y=-x2的形状相同,且经过点A(1,0),则它的表达式为___y=-x2+或y=x2-___.
13.(2024·黔东南州期末)如图,抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A(-1,0),B两点,交y轴于点C(0,3),点P在抛物线上,横坐标设为m.
(1)求抛物线的表达式;
(2)当点P在x轴上方时,直接写出m的取值范围;
(3)若抛物线在点P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为-1-m,求m的值.
【解析】(1)由题意,将A,C两点坐标代入已知表达式得
∴解得
∴所求表达式为y=-x2+2x+3.
(2)由题意,抛物线交x轴于A,B两点,
又表达式为y=-x2+2x+3,A(-1,0),
∴令y=0,有-x2+2x+3=0,
∴根据两根之积为-3,又∵有一个根是-1,从而可以求得B(3,0).
∴结合题中图象,当点P在x轴上方时,-1(3)由题意,y=-x2+2x+3的对称轴为x=1,
当m≤1时,即x=1时,P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为-1-m=4,
∴m=-5,
当m>1时,即x=m时,P右侧部分(含点P)的最高点的纵坐标为-1-m=-m2+2m+3,
∴m1=-1(舍去),m2=4.
综上,符合题意的m的值为-5或4.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、运算能力、应用意识)(2022·毕节中考)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,顶点为D(2,1),抛物线的对称轴交直线BC于点E.
(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式;
(2)把上述抛物线沿它的对称轴向下平移,平移的距离为h(h>0),在平移过程中,该抛物线与直线BC始终有交点,求h的最大值;
(3)M是(1)中抛物线上一点,N是直线BC上一点.是否存在以点D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形 若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)∵抛物线y=-x2+bx+c的顶点为D(2,1),
∴抛物线的表达式为y=-(x-2)2+1=-x2+4x-3;
(2)由(1)知,抛物线的表达式为y=-x2+4x-3,
令x=0,则y=-3,
∴C(0,-3);
令y=0,则x=1或x=3,
∴A(1,0),B(3,0),
∴直线BC的表达式为y=x-3,
设平移后的抛物线的表达式为y=-(x-2)2+1-h,
令-(x-2)2+1-h=x-3,整理得x2-3x+h=0,
∵该抛物线与直线BC始终有交点,
∴Δ=9-4h≥0,
∴h≤.
∴h的最大值为;
(3)存在,理由如下:
由题意可知,抛物线的对称轴为直线x=2,
∴E(2,-1),
∴DE=2,
设点M(m,-m2+4m-3),
若以点D,E,M,N为顶点的四边形是平行四边形,则分以下两种情况:
①当DE为边时,DE∥MN,则N(m,m-3),
∴MN=|-m2+4m-3-(m-3)|=|-m2+3m|,
∴|-m2+3m|=2,解得m=1或m=2(舍)或m=或m=.
∴N(1,-2)或(,)或(,);
②当DE为对角线时,
设点N的坐标为t,则N(t,t-3),
∴
解得或(舍),
∴N(3,0).
综上,点N的坐标为N(1,-2)或(,)或(,)或(3,0).
