二次函数的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 列二次函数表达式解决利润问题
1.某种商品每天的销售利润y元与单价x元(x≥2)之间的函数关系式为y=-(x-3)2+60,则这种商品每天的最大利润为 ( )
A.50元 B.60元 C.40元 D.30元
2.2023年杭州第19届亚运会的三个吉祥物中谁最“活泼好动”,那一定非“宸宸”莫属.“宸宸”的纪念品销售火爆,每个纪念品的进价为40元.销售期间发现,当定价为50元时,每天可售出1 000个,销售单价每降1元时,每天的销量增加50个.现商家决定降价销售,每个吉祥物降价x元(0
A.y=-50x+1 000
B.W=(-50x+1 000)(40-x)
C.y=50x-1 000
D.W=(50x+1 000)(10-x)
3.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计,发现每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)存在一次函数关系,如图所示.则最大利润是 ( )
A.180元 B.220元 C.190元 D.200元
4.某超市以每件10元的价格购进一种文具,销售该文具时,销售单价不低于进价且不高于21元.经过市场调查发现,该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足y=-2x+60,则销售该文具每天获得的最大利润是_____元.
5.某商品的利润y(单位:元)与售价x(单位:元)之间的函数表达式是y=-x2+8x+9,且售价x的范围是1≤x≤3,则最大利润是__ ___.
6.小致创办了一个微店商铺,销售一款成本是20元/盏的小型LED护眼台灯.在“双十一”前8天进行了网上销售后发现,该台灯的日销售量p(盏)与时间x(天)之间满足一次函数关系,且第1天销售了78盏,第2天销售了76盏,护眼台灯的销售价格y(元/盏)与时间x(天)之间符合函数关系式y=x+25(1≤x≤8),且x为整数).这8天中最大日销售利润是_____元.
7.(2024·黔东南州期中)某商店销售一种商品,经市场调查发现:该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如表:
售价x(元/件) 50 60 70
周销售量y(件) 80 60 40
周销售利润w(元) 800 1 200 1 200
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价).
(1)写出y关于x的函数表达式:________;
(2)求该商品的进价和周销售的最大利润.
【B层 能力进阶】
8.某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产品,每件获利润8元,每提高一个档次,每件产品利润增加2元,用同样的工时,最低档次产品每天可生产60件,提高一个档次将减少3件.如果用相同的工时生产,获总利润最大的产品是第k档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),那么k的值为 ( )
A.5 B.8 C.9 D.10
9.某公司新产品上市30天全部售完,图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系,图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系,则最大日销售利润是_____元.
10.(2024·黔东南州从江县期中)某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式.并指出该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大.最大利润是多少元.
(2)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、运算能力、应用意识)(2023·黄石中考)某工厂计划从现在开始,在每个生产周期内生产并销售完某型号设备,该设备的生产成本为10万元/件.设第x个生产周期设备的售价为z万元/件,售价z与x之间的函数表达式是z=,其中x是正整数.当x=16时,z=14;当x=20时,z=13.
(1)求m,n的值;
(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件,且y与x满足关系式y=5x+20.
①当12②当0【A层 基础夯实】
知识点1 图形面积的最值问题
1.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积
为( )
A.25 cm2 B.50 cm2 C.100 cm2 D.不确定
2.在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮.如图,已有的铁皮是等腰直角三角形ABC,它的底边AB长20厘米.要截得的矩形DEMN的边MN在AB上,顶点D,E分别在边AC,BC上,设DE的长为x厘米,矩形DEMN的面积为y平方厘米,那么y关于x的函数表达式是___y=-x2+10x___.(不必写x的取值范围)
3.在美化校园的活动中,某兴趣小组借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用
40 m长的篱笆围成一个矩形花园ACBD(篱笆只围BD,BC两边),设BD=x m.
(1)若花园的面积为396 m2,求x的值;
(2)若在点P处有一棵树与墙CA,AD的距离分别是22 m和16 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
知识点2 抛物线形问题
4.水平地面上一个小球被推开后向前滑行,滑行的距离s与时间t的函数关系如图所示(图为抛物线的一部分,其中P是该抛物线的顶点),则下列说法正确的是 ( )
A.小球滑行6秒停止
B.小球滑行12秒停止
C.小球向前滑行的速度不变
D.小球向前滑行的速度越来越大
5.飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)关于滑行的时间t(单位:s)的关系是s=60t-1.5t2.下列结论:①当t=20 s时飞机滑行停止;②当t=40 s时飞机滑行停止;③飞机着陆后滑行的最远距离是600 m.其中正确的是__ ___.
6.(2024·遵义红花岗区质检)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱(喷头不移动),其中喷灌架置于点O处,喷头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)设置的是1 m,当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8 m时,达到最大高度5 m.当喷射高度达到4 m时,求水流喷射的水平距离.
【B层 能力进阶】
7.如图,有长为24 m的篱笆,现一面完全利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,围成的花圃的面积最大时AB的长是______m.( )
A.4 B.5 C.3 D.
8.(2024·遵义红花岗区期中)如图是抛物线形拱桥,当拱顶高离水面2 m时,水面宽4 m,若水面上升1 m,则水面宽为 ( )
A. m B.2 m C.2 m D.2 m
9.如图,四边形ABCD的两条对角线互相垂直,AC+BD=16,则四边形ABCD的最大面积是 ( )
A.64 B.32
C.16 D.以上都不对
10.公园草坪上,自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线,水线上水珠的离地高度y( )关于水珠与喷头的水平距离x( )的函数表达式是y=-x2+x(0≤x≤4),那么水珠的最大离地高度是 __m.
11.(2024·遵义绥阳县期中)有一个抛物线形的拱形桥洞,当桥洞的拱顶P(抛物线最高点)离水面的距离为4米时,水面的宽度OA为12米.现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中.
(1)求这条抛物线的表达式.
(2)当洪水泛滥,水面上升,水面的宽度小于5米时,则必须马上采取紧急措施.某日涨水后,观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米,问:是否要采取紧急措施 并说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(模型观念、运算能力、应用意识)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=x2+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OA=OC.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D为线段AB上的动点,过点D作AC的平行线交BC于点E,求△CDE面积的最大值. 二次函数的应用(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 图形面积的最值问题
1.已知一个直角三角形两直角边之和为20 cm,则这个直角三角形的最大面积
为(B)
A.25 cm2 B.50 cm2 C.100 cm2 D.不确定
2.在一块等腰直角三角形铁皮上截一块矩形铁皮.如图,已有的铁皮是等腰直角三角形ABC,它的底边AB长20厘米.要截得的矩形DEMN的边MN在AB上,顶点D,E分别在边AC,BC上,设DE的长为x厘米,矩形DEMN的面积为y平方厘米,那么y关于x的函数表达式是___y=-x2+10x___.(不必写x的取值范围)
3.在美化校园的活动中,某兴趣小组借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用
40 m长的篱笆围成一个矩形花园ACBD(篱笆只围BD,BC两边),设BD=x m.
(1)若花园的面积为396 m2,求x的值;
(2)若在点P处有一棵树与墙CA,AD的距离分别是22 m和16 m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.
【解析】(1)已知BD=x m,
则BC=(40-x)m,根据题意得:x(40-x)=396,
解方程,得x1=18,x2=22.
答:x的值为18 或22 .
(2)由题意,得S=x(40-x)=-(x-20)2+400.
∵点P处有一棵树与墙CA,AD的距离分别是22 m和16 m,
∴,∴16≤x≤18.∴当x=18时,S最大=-(18-20)2+400=396(m2).
答:花园面积S的最大值是396 m2.
知识点2 抛物线形问题
4.水平地面上一个小球被推开后向前滑行,滑行的距离s与时间t的函数关系如图所示(图为抛物线的一部分,其中P是该抛物线的顶点),则下列说法正确的是 (A)
A.小球滑行6秒停止
B.小球滑行12秒停止
C.小球向前滑行的速度不变
D.小球向前滑行的速度越来越大
5.飞机着陆后滑行的距离s(单位:m)关于滑行的时间t(单位:s)的关系是s=60t-1.5t2.下列结论:①当t=20 s时飞机滑行停止;②当t=40 s时飞机滑行停止;③飞机着陆后滑行的最远距离是600 m.其中正确的是___①③___.
6.(2024·遵义红花岗区质检)如图,水池中心点O处竖直安装一水管,水管喷头喷出抛物线形水柱(喷头不移动),其中喷灌架置于点O处,喷头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)设置的是1 m,当喷射出的水流距离喷水头水平距离为8 m时,达到最大高度5 m.当喷射高度达到4 m时,求水流喷射的水平距离.
【解析】由题可知:抛物线的顶点为(8,5),
设水流形成的抛物线表达式为y=a(x-8)2+5,
将点(0,1)代入可得a=-,
∴抛物线表达式为y=-(x-8)2+5,
当y=4时,-(x-8)2+5=4,
解得x=4或x=12,
答:当喷射高度达到4 m时,水流喷射的水平距离为4 m或12 m.
【B层 能力进阶】
7.如图,有长为24 m的篱笆,现一面完全利用墙(墙的最大可用长度a为10 m)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃,围成的花圃的面积最大时AB的长是______m.(D)
A.4 B.5 C.3 D.
8.(2024·遵义红花岗区期中)如图是抛物线形拱桥,当拱顶高离水面2 m时,水面宽4 m,若水面上升1 m,则水面宽为 (C)
A. m B.2 m C.2 m D.2 m
9.如图,四边形ABCD的两条对角线互相垂直,AC+BD=16,则四边形ABCD的最大面积是 (B)
A.64 B.32
C.16 D.以上都不对
10.公园草坪上,自动浇水喷头喷出的水线呈一条抛物线,水线上水珠的离地高度y(m)关于水珠与喷头的水平距离x(m)的函数表达式是y=-x2+x(0≤x≤4),那么水珠的最大离地高度是 ___m.
11.(2024·遵义绥阳县期中)有一个抛物线形的拱形桥洞,当桥洞的拱顶P(抛物线最高点)离水面的距离为4米时,水面的宽度OA为12米.现将它的截面图形放在如图所示的直角坐标系中.
(1)求这条抛物线的表达式.
(2)当洪水泛滥,水面上升,水面的宽度小于5米时,则必须马上采取紧急措施.某日涨水后,观察员测得桥洞的拱顶P到水面CD的距离只有1.5米,问:是否要采取紧急措施 并说明理由.
【解析】(1)根据题意,A(12,0),P(6,4),
设抛物线的顶点式为y=a(x-6)2+4,
将A(12,0)代入y=a(x-6)2+4,
得0=a(12-6)2+4,解得a=-,
∴抛物线的表达式为y=-(x-6)2+4;
(2)不需要采取紧急措施,理由如下:
由题意可知,点C,D的纵坐标为y=4-1.5=2.5,
将y=2.5代入y=-(x-6)2+4,
∴2.5=-(x-6)2+4,
解得x=6±,
∴CD=6+-(6-)=3,
∵3>5,
∴不需要采取紧急措施.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(模型观念、运算能力、应用意识)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=x2+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,且OA=OC.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点D为线段AB上的动点,过点D作AC的平行线交BC于点E,求△CDE面积的最大值.
【解析】(1)∵抛物线与x轴交于A,B,∴c<0,
把x=0代入y=x2+c,得y=c,∴点C的坐标为(0,c),
∵OA=OC,
∴点A的坐标为(,0),
把A(,0)代入y=x2+c,得()2+c=0,解得c1=-4,c2=0(不符合题意,舍去),
∴抛物线的函数表达式为y=x2-4;
(2)∵AC∥DE,
∴点A到DE的距离等于点C到DE的距离,
∵△ADE和△CDE均以DE为底,∴S△CDE=S△ADE,
设D(t,0),
设直线AC的表达式为y=k1x+b1,
代入A(-2,0),C(0,-4),得,解得,
∴直线AC的表达式为y=-2x-4,
设直线BC的表达式为y=k2x+b2,
代入B(2,0),C(0,-4),得,解得,
∴直线BC的表达式为y=2x-4,
由DE∥AC,设直线DE的表达式为y=-2x+b3,
代入D(t,0),得b3=2t,
∴直线DE的表达式为y=-2x+2t,
联立,解得,
∴点E的坐标为(t+1,t-2),
∵D(t,0),A(-2,0),且点D在线段AB上,∴AD=t+2,
∴S△CDE=S△ADE=·AD·|yE|=(t+2)(2-t)=-t2+2(-2≤t≤2),
∴当t=-=0时,S△CDE有最大值为2. 二次函数的应用(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点 列二次函数表达式解决利润问题
1.某种商品每天的销售利润y元与单价x元(x≥2)之间的函数关系式为y=-(x-3)2+60,则这种商品每天的最大利润为 (B)
A.50元 B.60元 C.40元 D.30元
2.2023年杭州第19届亚运会的三个吉祥物中谁最“活泼好动”,那一定非“宸宸”莫属.“宸宸”的纪念品销售火爆,每个纪念品的进价为40元.销售期间发现,当定价为50元时,每天可售出1 000个,销售单价每降1元时,每天的销量增加50个.现商家决定降价销售,每个吉祥物降价x元(0A.y=-50x+1 000
B.W=(-50x+1 000)(40-x)
C.y=50x-1 000
D.W=(50x+1 000)(10-x)
3.某超市对进货价为10元/千克的某种苹果的销售情况进行统计,发现每天销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)存在一次函数关系,如图所示.则最大利润是 (D)
A.180元 B.220元 C.190元 D.200元
4.某超市以每件10元的价格购进一种文具,销售该文具时,销售单价不低于进价且不高于21元.经过市场调查发现,该文具的每天销售数量y(件)与销售单价x(元)之间满足y=-2x+60,则销售该文具每天获得的最大利润是___200___元.
5.某商品的利润y(单位:元)与售价x(单位:元)之间的函数表达式是y=-x2+8x+9,且售价x的范围是1≤x≤3,则最大利润是___24元___.
6.小致创办了一个微店商铺,销售一款成本是20元/盏的小型LED护眼台灯.在“双十一”前8天进行了网上销售后发现,该台灯的日销售量p(盏)与时间x(天)之间满足一次函数关系,且第1天销售了78盏,第2天销售了76盏,护眼台灯的销售价格y(元/盏)与时间x(天)之间符合函数关系式y=x+25(1≤x≤8),且x为整数).这8天中最大日销售利润是___448___元.
7.(2024·黔东南州期中)某商店销售一种商品,经市场调查发现:该商品的周销售量y(件)是售价x(元/件)的一次函数,其售价、周销售量、周销售利润w(元)的三组对应值如表:
售价x(元/件) 50 60 70
周销售量y(件) 80 60 40
周销售利润w(元) 800 1 200 1 200
注:周销售利润=周销售量×(售价-进价).
(1)写出y关于x的函数表达式:________;
(2)求该商品的进价和周销售的最大利润.
【解析】(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b,将(50,80),(60,60)分别代入得,
,解得,
∴y与x的函数关系式是y=-2x+180;
答案:y=-2x+180
(2)设进价为a元,由售价50元时,周销售量为80件,周销售利润为800元,
可得:80(50-a)=800,解得a=40,
即该商品的进价为40元/件;
依题意有w=(-2x+180)(x-40)=-2x2+260x-7 200=-2(x-65)2+1 250,
∵-2<0,∴抛物线开口向下,
∴当x=65时,w有最大值为1 250,即售价为65元/件时,周销售利润最大,为1 250元.
【B层 能力进阶】
8.某种产品按质量分为10个档次,生产最低档次产品,每件获利润8元,每提高一个档次,每件产品利润增加2元,用同样的工时,最低档次产品每天可生产60件,提高一个档次将减少3件.如果用相同的工时生产,获总利润最大的产品是第k档次(最低档次为第一档次,档次依次随质量增加),那么k的值为 (C)
A.5 B.8 C.9 D.10
9.某公司新产品上市30天全部售完,图1表示产品的市场日销售量与上市时间之间的关系,图2表示单件产品的销售利润与上市时间之间的关系,则最大日销售利润是___1 800___元.
10.(2024·黔东南州从江县期中)某农户生产经销一种农产品,已知这种产品的成本价为每千克20元,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系:y=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为w元.
(1)求w与x之间的函数关系式.并指出该产品销售价定为每千克多少元时,每天的销售利润最大.最大利润是多少元.
(2)如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元,该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克多少元
【解析】(1)根据题意得,w=(x-20)(-2x+80)=-2x2+120x-1 600=-2(x-30)2+200.
∴当x=30时,每天的利润最大,最大利润为200元;
(2)令-2(x-30)2+200=150,解得x=35或x=25,∵这种产品的销售价不高于每千克
28元,∴x=25,
答:该农户想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为每千克25元.
【C层 创新挑战(选做)】
11.(模型观念、运算能力、应用意识)(2023·黄石中考)某工厂计划从现在开始,在每个生产周期内生产并销售完某型号设备,该设备的生产成本为10万元/件.设第x个生产周期设备的售价为z万元/件,售价z与x之间的函数表达式是z=,其中x是正整数.当x=16时,z=14;当x=20时,z=13.
(1)求m,n的值;
(2)设第x个生产周期生产并销售完设备的数量为y件,且y与x满足关系式y=5x+20.
①当12②当0【解析】(1)把x=16时,z=14;x=20时,z=13代入z=mx+n得:
,解得m=-,n=18;
(2)①设第x个生产周期创造的利润为w万元,由(1)知,当12∴w=(z-10)y,=(-x+18-10)(5x+20),=-x2+35x+160=-(x-14)2+405,
∵-<0,12∴工厂第14个生产周期获得的利润最大,最大的利润是405万元;
②当0∴w=,
则w与x的函数图象如图所示:
由图象可知,若有且只有3个生产周期的利润不小于a万元,
∴当x=13,15时,w=403.75,
当x=12,16时,w=400,∴a的取值范围400