二次函数与一元二次方程
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
1.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为 (A)
A.x1=-1,x2=2 B.x1=-2,x2=1
C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2
2.对于二次函数y=(x+1)2+2的图象,下列说法正确的是 (B)
A.开口向下 B.对称轴是直线x=-1
C.顶点坐标是(1,2) D.与x轴有两个交点
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是 (D)
A.无实数根 B.有两个相等实数根
C.有两个同号实数根 D.有两个不相等实数根
4.(2024·黔东南州期末)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,自变量x与函数y的对应值如表:
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … m-4.5 m-2 m-0.5 m m-0.5 m-2 m-4.5 …
若1
A.该函数图象开口向上
B.该函数图象与y轴的交点在x轴的下方
C.对称轴是直线x=m
D.若x1是方程ax2+bx+c=0的正数解,则25.(2024·遵义红花岗区质检)抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是___x1=-2,x2=1___.
6.如图,一次函数y=mx+n的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象相交于点A(-1,d),B(3,e),则mx+n知识点2 利用二次函数图象解一元二次方程
7.抛物线y=2x2-4x+m的图象的部分如图所示,则关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0的解是___x1=-1,x2=3___.
8.借助图象,求方程-x2+x+2=0在-2和-1之间的根的近似值.(结果精确到0.1)
【解析】观察图象可知:
二次函数y=-x2+x+2对应的方程-x2+x+2=0有两个实数根,它们分别介于实数-2与-1,3与4之间,
∵当x=-1.3时,y=-0.145<0,
当x=-1.2时,y=0.08>0,
∴方程-x2+x+2=0在-2和-1之间的根的近似值是-1.2.
【B层 能力进阶】
9.若关于x的函数y=x2+bx+3与x轴有两个不同的交点,则b的值不可能是 (B)
A.4 B.-3 C.5 D.-6
10.二次函数y=-x2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1A.t>-5 B.-5C.311.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点(2,0),则a,c满足的关系式为___c=4a___.
12.如图,已知二次函数y1=x2-3x的图象与正比例函数y2=x的图象在第一象限交于点A,与x轴正半轴交于点B,若y113.如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为(0,3),它的对称轴为直线x=1,则下列结论中:
①c=3;
②2a+b=0;
③8a-b+c>0;
④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2,3之间.
正确的有___①②④___(填序号).
14.已知二次函数y=x2-2mx+m+2(m是常数)的图象是抛物线.
(1)若抛物线与x轴只有一个公共点,求m的值;
(2)Q(m,n)为该抛物线上一点,当2m+n取得最大值时,求点Q的坐标.
【解析】(1)∵a=1,b=-2m,c=m+2,
∴Δ=b2-4ac=(-2m)2-4×1×(m+2)=4(m2-m-2),
∵抛物线与x轴只有一个公共点,
∴b2-4ac=4(m2-m-2)=0,
解得m1=2,m2=-1;
(2)∵Q(m,n)为该抛物线上一点,
∴n=m2-2m×m+m+2,∴2m+n=2m+m2-2m×m+m+2=-m2+3m+2,
∵-m2+3m+2=-(m-)2+,
∴当2m+n取得最大值时,m=,当m=时,n=m2-2m×m+m+2=,∴Q(,).
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、推理能力)设二次函数y=(x-m)(x-m-2),其中m为实数.
(1)若函数y的图象经过点M(4,3),求函数y的表达式;
(2)若函数y的图象的对称轴是直线x=1,求该函数的最小值;
(3)把函数y的图象向上平移k个单位,所得图象与x轴没有交点,求证:k>1.
【解析】(1)由函数y的图象经过点(4,3),得:(4-m)(4-m-2)=3,解得m=5或m=1,
当m=1时,则函数y1的表达式为y1=(x-1)(x-3)=x2-4x+3;
当m=5时,则函数y2的表达式为y2=(x-5)(x-7)=x2-12x+35.
(2)y=(x-m)(x-m-2)=x2-(2m+2)x+m2+2m,∵对称轴为x=1,
∴对称轴为x=-=m+1=1,
∴m=0,∴y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
∴函数的最小值为-1.
(3)当向上平移k个单位时,y=x2-2mx-2x+m2+2m+k,∵此时所得图象与x轴没有交点,∴Δ=(-2m-2)2-4×1×(m2+2m+k)<0,
即4m2+8m+4-4m2-8m-4k<0,∴k>1. 二次函数与一元二次方程
【A层 基础夯实】
知识点1 二次函数与一元二次方程的关系
1.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x的方程ax2+bx+c=0的解为 ( )
A.x1=-1,x2=2 B.x1=-2,x2=1
C.x1=1,x2=2 D.x1=-1,x2=-2
2.对于二次函数y=(x+1)2+2的图象,下列说法正确的是 ( )
A.开口向下 B.对称轴是直线x=-1
C.顶点坐标是(1,2) D.与x轴有两个交点
3.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是 ( )
A.无实数根 B.有两个相等实数根
C.有两个同号实数根 D.有两个不相等实数根
4.(2024·黔东南州期末)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中,自变量x与函数y的对应值如表:
x … -2 -1 0 1 2 3 4 …
y … m-4.5 m-2 m-0.5 m m-0.5 m-2 m-4.5 …
若1A.该函数图象开口向上
B.该函数图象与y轴的交点在x轴的下方
C.对称轴是直线x=m
D.若x1是方程ax2+bx+c=0的正数解,则25.(2024·遵义红花岗区质检)抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(-2,4),B(1,1),则方程ax2=bx+c的解是___ ___.
6.如图,一次函数y=mx+n的图象与二次函数y=ax2+bx+c的图象相交于点A(-1,d),B(3,e),则mx+n知识点2 利用二次函数图象解一元二次方程
7.抛物线y=2x2-4x+m的图象的部分如图所示,则关于x的一元二次方程2x2-4x+m=0的解是___ __.
8.借助图象,求方程-x2+x+2=0在-2和-1之间的根的近似值.(结果精确到0.1)
【B层 能力进阶】
9.若关于x的函数y=x2+bx+3与x轴有两个不同的交点,则b的值不可能是 ( )
A.4 B.-3 C.5 D.-6
10.二次函数y=-x2+mx的图象如图,对称轴为直线x=2,若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0(t为实数)在1A.t>-5 B.-5C.311.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴只有一个公共点(2,0),则a,c满足的关系式为_____.
12.如图,已知二次函数y1=x2-3x的图象与正比例函数y2=x的图象在第一象限交于点A,与x轴正半轴交于点B,若y113.如图,二次函数y=ax2+bx+c的部分图象与y轴的交点为(0,3),它的对称轴为直线x=1,则下列结论中:
①c=3;
②2a+b=0;
③8a-b+c>0;
④方程ax2+bx+c=0的其中一个根在2,3之间.
正确的有______(填序号).
14.已知二次函数y=x2-2mx+m+2(m是常数)的图象是抛物线.
(1)若抛物线与x轴只有一个公共点,求m的值;
(2)Q(m,n)为该抛物线上一点,当2m+n取得最大值时,求点Q的坐标.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、推理能力)设二次函数y=(x-m)(x-m-2),其中m为实数.
(1)若函数y的图象经过点M(4,3),求函数y的表达式;
(2)若函数y的图象的对称轴是直线x=1,求该函数的最小值;
(3)把函数y的图象向上平移k个单位,所得图象与x轴没有交点,求证:k>1.