垂径定理
1.(2024·遵义绥阳县期中)如图,☉O的半径为10,AB=16,点M是弦AB上的动点且点M不与点A,B重合,若OM的长为整数,则这样的点M有 (C)
A.4个 B.5个 C.7个 D.9个
2.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,AE=2,BE=10,∠AEC=30°,则CD的长为(A)
A.8 B.8 C.6 D.10
3.把一个球放在透明的长方体盒子内,球的一部分露出盒外,过球心的截面示意图如图所示,经测量知EF=6 cm,盒子的高CD=9 cm,则球的半径长是 (B)
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm
4.(2024·遵义红花岗区期中)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问:径几何 ”转化为现在的数学语言表达就是:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长度为___26___寸.
5.一条排水管横截面如图所示,已知排水管半径OA=1 m,水面宽CD=1.6 m,若管内水面下降0.2 m,则此时水面宽AB等于___1.2___m.
6.(易错警示题·忽略分类讨论遗漏其他情况)已知☉O的直径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=8 cm,CD=6 cm,则AB与CD之间的距离为___1或7___cm.
7.(创新挑战题·模型观念、推理能力、运算能力、应用意识)在《折叠圆形纸片》综合实践课上,小东同学展示了如下的操作及问题:
(1)如图1,☉O1的半径为4 cm,通过折叠圆形纸片,使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心O1,求AB的长.
(2)如图2,O2C⊥弦AB,垂足为点C,劣弧AB沿弦AB折叠后经过O2C的中点D,AB=10 cm,求☉O2的半径.
【解析】(1)如图1,过点O1作O1F⊥AB于点F,并延长O1F交虚线劣弧AB于点E,
∴AB=2AF,由折叠知,EF=O1F=O1E=×4=2(cm),连接O1A,
在Rt△O1FA中,O1A=4 cm,根据勾股定理得,AF===2(cm),
∴AB=2AF=4cm.
(2)如图2,延长O2C交虚线劣弧AB于点G,
由折叠知,CG=CD,
∵D是O2C的中点,∴CD=O2D,∴CG=CD=O2D,
设☉O2的半径为3r cm,则O2C=2r cm,∵O2C⊥AB,∴AC=AB=5(cm),
连接O2A,在Rt△ACO2中,根据勾股定理得,(3r)2-(2r)2=25,
∴r=(r=-舍去),∴O2A=3r=3(cm),即☉O2的半径为3 cm. 垂径定理
1.(2024·遵义绥阳县期中)如图,☉O的半径为10,AB=16,点M是弦AB上的动点且点M不与点A,B重合,若OM的长为整数,则这样的点M有 ( )
A.4个 B.5个 C.7个 D.9个
2.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,AE=2,BE=10,∠AEC=30°,则CD的长为( )
A.8 B.8 C.6 D.10
3.把一个球放在透明的长方体盒子内,球的一部分露出盒外,过球心的截面示意图如图所示,经测量知EF=6 cm,盒子的高CD=9 cm,则球的半径长是 ( )
A.4 cm B.5 cm C.6 cm D.8 cm
4.(2024·遵义红花岗区期中)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问:径几何 ”转化为现在的数学语言表达就是:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长度为___ ___寸.
5.一条排水管横截面如图所示,已知排水管半径OA=1 m,水面宽CD=1.6 m,若管内水面下降0.2 m,则此时水面宽AB等于__ ___m.
6.(易错警示题·忽略分类讨论遗漏其他情况)已知☉O的直径为10 cm,AB,CD是☉O的两条弦,AB∥CD,AB=8 cm,CD=6 cm,则AB与CD之间的距离为__ _cm.
7.(创新挑战题·模型观念、推理能力、运算能力、应用意识)在《折叠圆形纸片》综合实践课上,小东同学展示了如下的操作及问题:
(1)如图1,☉O1的半径为4 cm,通过折叠圆形纸片,使得劣弧AB沿弦AB折叠后恰好过圆心O1,求AB的长.
(2)如图2,O2C⊥弦AB,垂足为点C,劣弧AB沿弦AB折叠后经过O2C的中点D,AB=10 cm,求☉O2的半径.
