圆周角和圆心角的关系(第2课时)
1.如图,四边形ABCD内接于☉O,连接BD,OB,OD,若∠OBD=10°,则∠BCD的度数为 ( )
A.100° B.90° C.85° D.80°
2.如图,AB是☉O的直径,OD⊥AC交AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=2,DE=3,则BC的长是 ( )
A.1 B.2 C. D.4
3.(2023·岳阳中考)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何 ”结合如图,其大意是:今有圆形材质,直径BD为25寸,要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸.则BC的长是 ( )
A.寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸
4.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=90°,∠BCD=120°,AB=5,CD=3,则AD的长为( )
A.4-2 B.8-2 C.10-3 D.6
5.如图,在四边形OADC中,A,D,C三点在以O为圆心的圆周上,延长AO交☉O于点B.已知∠BOC=20°,那么∠ADC=__ ___.
6.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AE是☉O的直径,连接BE,若AE⊥BC,∠ADC=2∠AEB,则∠ABC=__ ___°.
7.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交AC,BC分别于点E,D两点,连接ED,BE.
求证:=.
8.(创新挑战题·模型观念、推理能力、运算能力、应用意识)(2023·遵义一模)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,且OC⊥AB于点O,点D是的中点,连接AD交OC于M,连接BD,CD.
(1)∠DAB的度数为_________°.
(2)求证:DC=DM;
(3)过点C作CE⊥AD于点E,若BD=,求ME的长. 圆周角和圆心角的关系(第2课时)
1.如图,四边形ABCD内接于☉O,连接BD,OB,OD,若∠OBD=10°,则∠BCD的度数为 (A)
A.100° B.90° C.85° D.80°
2.如图,AB是☉O的直径,OD⊥AC交AC于点D,DO的延长线交☉O于点E.若AC=2,DE=3,则BC的长是 (B)
A.1 B.2 C. D.4
3.(2023·岳阳中考)我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题:“今有圆材,径二尺五寸.欲为方版,令厚七寸,问广几何 ”结合如图,其大意是:今有圆形材质,直径BD为25寸,要做成方形板材,使其厚度CD达到7寸.则BC的长是 (C)
A.寸 B.25寸 C.24寸 D.7寸
4.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=90°,∠BCD=120°,AB=5,CD=3,则AD的长为(C)
A.4-2 B.8-2 C.10-3 D.6
5.如图,在四边形OADC中,A,D,C三点在以O为圆心的圆周上,延长AO交☉O于点B.已知∠BOC=20°,那么∠ADC=___100°___.
6.如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,AE是☉O的直径,连接BE,若AE⊥BC,∠ADC=2∠AEB,则∠ABC=___60___°.
7.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O交AC,BC分别于点E,D两点,连接ED,BE.
求证:=.
【证明】如图,连接AD,
∵AB为☉O的直径,∴AD⊥BC,∵AB=AC,∴∠EAD=∠BAD,∴=.
8.(创新挑战题·模型观念、推理能力、运算能力、应用意识)(2023·遵义一模)如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的一点,且OC⊥AB于点O,点D是的中点,连接AD交OC于M,连接BD,CD.
(1)∠DAB的度数为_________°.
(2)求证:DC=DM;
(3)过点C作CE⊥AD于点E,若BD=,求ME的长.
【解析】(1)如图,连接OD,
∵OC⊥AB,∴∠COB=90°,∵D是的中点,∴=,
∴∠COD=∠BOD=45°,∵=,∴∠BAD=∠BOD=22.5°.
答案:22.5
(2)∵AB为直径,∴∠ADB=90°,∵OC⊥AB,∴∠AMO=∠ABD,
∵=,∴∠COD=∠BOD,∵OC=OD=OB,
∴∠OCD=∠ODC=∠ODB=∠OBD,
∵∠AMO=∠CMD,∴∠MCD=∠CMD,∴DC=DM.
(3)∵CD=BD=,∴DM=DC=,∵OA=OD,∴∠ODA=∠OAD=22.5°,
∵∠COD=45°,OC=OD,∴∠ODC=67.5°,∴∠CDE=2∠ODC-∠ADB=45°,
∵CE⊥AD,∴DE=CD,∴DE=1,∴ME=DM-DE=-1. 圆周角和圆心角的关系(第1课时)
1.如图,点A,B,C均在☉O上,AO⊥BO.若∠ABC=15°,则∠BOC的度数为 ( )
A.35° B.40° C.50° D.60°
2.如图,点A,B,C,D都在☉O的圆周上,AB∥OC,OA∥BC,则∠BDC的度数为 ( )
A.20° B.25° C.30° D.60°
3.如图,在☉O中,AB为☉O的弦,C为的中点,D为圆上一点,∠ADC=30°,☉O的半径为4,则圆心O到弦AB的距离是 ( )
A.2 B.2 C.4 D.2
4.(2023·烟台中考)如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为__ __.
5.如图,AB为☉O的直径,=2,M为的中点,过M作MN∥OC交AB于N,连接BM,则∠BMN的度数为__ ___.
6.如图,BC为☉O的弦,点A,D在☉O上,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC的长为___ ___.
7.在半径为5的☉O中,若弦AB为5,则弦AB所对的圆周角的度数为___ _.
8.(创新挑战题·模型观念、推理能力)已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,D为的中点.
(1)如图①,连接AC,AD,OD.求证:OD∥AC.
(2)如图②,过点D作DE⊥AB交☉O于点E,直径EF交AC于点G,若G为AC中点,☉O的半径为2,求AC的长. 圆周角和圆心角的关系(第1课时)
1.如图,点A,B,C均在☉O上,AO⊥BO.若∠ABC=15°,则∠BOC的度数为 (D)
A.35° B.40° C.50° D.60°
2.如图,点A,B,C,D都在☉O的圆周上,AB∥OC,OA∥BC,则∠BDC的度数为 (C)
A.20° B.25° C.30° D.60°
3.如图,在☉O中,AB为☉O的弦,C为的中点,D为圆上一点,∠ADC=30°,☉O的半径为4,则圆心O到弦AB的距离是 (B)
A.2 B.2 C.4 D.2
4.(2023·烟台中考)如图,将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放,直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A,B,C,D,连接AB,则∠BAD的度数为___52.5°___.
5.如图,AB为☉O的直径,=2,M为的中点,过M作MN∥OC交AB于N,连接BM,则∠BMN的度数为___45°___.
6.如图,BC为☉O的弦,点A,D在☉O上,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=2,则OC的长为___2___.
7.在半径为5的☉O中,若弦AB为5,则弦AB所对的圆周角的度数为___45°或135°___.
8.(创新挑战题·模型观念、推理能力)已知AB是☉O的直径,点C在☉O上,D为的中点.
(1)如图①,连接AC,AD,OD.求证:OD∥AC.
(2)如图②,过点D作DE⊥AB交☉O于点E,直径EF交AC于点G,若G为AC中点,☉O的半径为2,求AC的长.
【解析】(1)如图,连接OC,
∵D为的中点,∴=,∴∠BOD=∠COD,∴∠BOC=2∠BOD,
又∵∠BOC=2∠BAC,∴∠BOD=∠BAC,∴OD∥AC.
(2)如图,连接OC,
∵OA=OC,G为AC中点,∴EF⊥AC,∵OD∥AC,∴OD⊥EF,
∵AB是☉O的直径,DE⊥AB,∴=,∴∠BOD=∠BOE=∠DOE=45°,
∴∠AOG=∠BOE=45°,∵OG⊥AC,∴△AOG是等腰直角三角形,
∵☉O的半径为2,∴AG=,∴AC=2.
