确定圆的条件
1.A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,下列说法正确的是 (B)
A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆上
B.可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外
C.可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆外
D.可以画一个圆,使B,C在圆上,A在圆内
2.如图,直角坐标系中有一条圆弧经过网格点A,B,C,其中B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为 (C)
A.(2,1) B.(2,2) C.(2,0) D.(2,-1)
3.如图,△ABC内接于☉O,若∠A=α,BA为∠OBC的平分线,则∠BCA= (C)
A.180°-α B.90°+α
C.135°-α D.135°+α
4.(2024·贵州一模)如图,等边三角形ABC内接于☉O.若AB=4,则☉O的半径OB的长是 (B)
A. B. C. D.2
5.在平面直角坐标系内的三个点A(4,-3),B(0,-3),C(2,-3),___不能___确定一个圆,(填“能”或“不能”).
6.如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=4 cm,则△ABC的外接圆的直径是___8___cm.
7.如图,☉O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,BE平分∠ABC交☉O于E,过B作BD⊥EC的延长线于D.
(1)若AB=BE,求证:∠BCA=∠BAE;
(2)若AB=12,BC=5,求AE的长度.
【解析】(1)∵AB=BE,∴∠BEA=∠BAE,
∵∠BCA=∠BEA,∴∠BCA=∠BAE;
(2)在Rt△ABC中,AB=12,BC=5,∠ABC=90°,
∴AC==13,AC是☉O的直径,
∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,∴CE=AE,
∵AC是☉O的直径,∴∠AEC=90°,∴△AEC是等腰直角三角形,
∴CE=AE=AC,∵AC=13,∴AE=AC=.
8.(创新挑战题·模型观念、推理能力、运算能力)如图,△ABC是圆的内接三角形,点E在弦AD上,BE平分∠ABC,BD=ED.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若BC为直径,且BC=10,AB=8,求AD的长.
【解析】(1)∵∠CBD=∠CAD,∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠CBE+∠CAD,
∵BD=ED,∴∠DEB=∠DBE,∵∠DEB=∠ABE+∠BAD,
∴∠ABE+∠BAD=∠CBE+∠CAD,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,
∴∠BAD=∠CAD,∴AD平分∠BAC.
(2)作DF⊥AD交AC的延长线于点F,设△ABC的外接圆的圆心为点O,
∵BC是☉O的直径,BC=10,AB=8,∴∠BAC=90°,
∴AC===6,由(1)得∠CAD=∠BAD=∠BAC=45°,
∵∠ADF=90°,∴∠F=∠CAD=∠BAD=45°,∴FD=AD,
∵∠FCD+∠ACD=180°,∠ABD+∠ACD=180°,∴∠FCD=∠ABD,∵=,
∴CD=BD,在△FCD和△ABD中,,∴△FCD≌△ABD(AAS),
∴FC=AB=8,∴AF=AC+FC=6+8=14,∵AF===AD=14,
∴AD=7. 确定圆的条件
1.A,B,C是平面内的三点,AB=3,BC=3,AC=6,下列说法正确的是 ( )
A.可以画一个圆,使A,B,C都在圆上
B.可以画一个圆,使A,B在圆上,C在圆外
C.可以画一个圆,使A,C在圆上,B在圆外
D.可以画一个圆,使B,C在圆上,A在圆内
2.如图,直角坐标系中有一条圆弧经过网格点A,B,C,其中B点坐标为(4,4),则该圆弧所在圆的圆心坐标为 ( )
A.(2,1) B.(2,2) C.(2,0) D.(2,-1)
3.如图,△ABC内接于☉O,若∠A=α,BA为∠OBC的平分线,则∠BCA= ( )
A.180°-α B.90°+α
C.135°-α D.135°+α
4.(2024·贵州一模)如图,等边三角形ABC内接于☉O.若AB=4,则☉O的半径OB的长是 ( )
A. B. C. D.2
5.在平面直角坐标系内的三个点A(4,-3),B(0,-3),C(2,-3),__ ___确定一个圆,(填“能”或“不能”).
6.如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=4 cm,则△ABC的外接圆的直径是___ __cm.
7.如图,☉O是Rt△ABC的外接圆,∠ABC=90°,BE平分∠ABC交☉O于E,过B作BD⊥EC的延长线于D.
(1)若AB=BE,求证:∠BCA=∠BAE;
(2)若AB=12,BC=5,求AE的长度.
8.(创新挑战题·模型观念、推理能力、运算能力)如图,△ABC是圆的内接三角形,点E在弦AD上,BE平分∠ABC,BD=ED.
(1)求证:AD平分∠BAC;
(2)若BC为直径,且BC=10,AB=8,求AD的长.
