直线和圆的位置关系(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 直线和圆的位置关系
1.已知☉O的半径是6.5 cm,点P是直线l上一点,且OP=6 cm.那么直线l与☉O的公共点的个数是 ( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
2.已知☉O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2-x-6=0的一个根,若☉O与直线l相离,☉O的半径可取的值为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3.在平面直角坐标系中,☉P的圆心坐标为(5,6),半径为5,那么x轴与☉P的位置关系是 ( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
4.(易错警示题·忽略分类讨论遗漏其他情况)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以C为圆心所作的圆与边AB仅一个交点,则半径r为__ __.
5.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AO=x,☉O的半径为1,问:当x在什么范围内取值时,AC与☉O相离、相切、相交
知识点2 切线的性质及应用
6.如图,已知AB是半☉O的直径,AC是弦,CD切☉O于点C,交AB的延长线于点D,∠A=20°,则∠D= ( )
A.20° B.40° C.50° D.60°
7.如图,在☉O中,AB切☉O于点A,连接OB交☉O于点C,过点A作AD∥OB交☉O于点D,连接CD.若∠B=46°,则∠OCD的度数为 ( )
A.22° B.23° C.24° D.25°
8.如图,在△ABC中,AB=10,BC=6,AC=8,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为 __.
9.如图,点C是的中点,直线EF与☉O相切于点C,直线AO与切线EF相交于点E,与☉O相交于另一点D,连接AB,CD.
(1)求证:AB∥EF;
(2)若∠DEF=3∠D,求∠DAB的度数.
【B层 能力进阶】
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D为AB的中点,以D为圆心,2为半径作☉D,则下列说法不正确的是 ( )
A.点A在圆外
B.点C在圆上
C.☉D与直线AC相切
D.☉D与直线BC相交
11.如图,AB是☉O的弦,OA⊥OD,BD与☉O相切,AB,OD相交于点C,若OA=3,OC=1,则线段BD的长为 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
12.(2024·遵义绥阳县期末)如图,☉O与正方形ABCD的两边AB,AD都相切,且DE与☉O相切于点E,若正方形ABCD的边长为4,DE=3,则OD的长为 ( )
A.2 B. C. D.4
13.Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,则以2.6 cm为半径的☉C与直线AB的位置关系是___ ___.
14.如图,在平面直角坐标系中,☉M的半径为1,点M的坐标为(-5,0),若将☉M沿x轴正方向平移t个单位长度后与y轴相切,则t=___ ___.
15.(2023·遵义模拟)已知:如图,AB为☉O的直径,CD与☉O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,CE平分∠ACB交☉O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F.
(1)求证:CA=CD;
(2)若AB=12,求线段BF的长.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、推理能力、运算能力、应用意识)如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点D,DE是☉O的切线,且DE⊥AC,垂足是E,延长CA交☉O于点F.
(1)求证:AB=AC;
(2)连接DF,若DF=8,CE=16,求AC的长. 直线和圆的位置关系(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 切线的判定
1.如图,△ABC是☉O的内接三角形,下列选项中,能使过点A的直线EF与☉O相切于点A的条件是 (D)
A.∠B=90° B.EF⊥AC
C.AC是☉O直径 D.∠B=90°且EF⊥AC
2.△ABC内接于☉O,过点A作直线EF,已知∠B=∠EAC,根据弦AB的变化,两人分别探究直线EF与☉O的位置关系:
甲:如图1,当弦AB过点O时,EF与☉O相切;
乙:如图2,当弦AB不过点O时,EF也与☉O相切;
下列判断正确的是 (C)
A.甲对,乙不对 B.甲不对,乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
3.如图,AB为☉O的直径,AB=1 cm,BC= cm,当AC=___1___cm时,直线AC与☉O相切.
知识点2 三角形的内切圆
4.如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,已知∠A=110°,则∠DEF的度数是 (A)
A.35° B.40° C.45° D.70°
5.如图,△ABC中,CA=CB,O是底边AB的中点,若腰CB与☉O相切,则CA与☉O的位置关系为 (B)
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
6.如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是___70°___.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.如图,☉O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于点E,F,G.
(1)求内切圆的半径r;
(2)求tan∠OAG的值.
【解析】(1)如图,连接OE,OF,OG.∵☉O是△ABC的内切圆,∠C=90°,
∴四边形CEOF是正方形,∴CE=CF=r.
又∵AG=AE=3-r,BG=BF=4-r,AG+BG=5,
∴(3-r)+(4-r)=5.解得r=1;
(2)连接OA,在Rt△AOG中,
∵r=1,AG=3-r=2,tan∠OAG==.
【B层 能力进阶】
8.如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,D是☉O外一点,过点A作AE⊥CD,垂足为E,连接OC.若使CD切☉O于点C,添加的下列条件中,不正确的是(D)
A.OC∥AE B.∠OAC=∠CAE
C.∠OCA=∠CAE D.OA=AC
9.如图,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,下列说法不正确的是(A)
A.若DE=DO,则DE是☉O的切线
B.若AB=AC,则DE是☉O的切线
C.若CD=DB,则DE是☉O的切线
D.若DE是☉O的切线,则AB=AC
10.(2023·聊城中考)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为 (C)
A.15° B.17.5° C.20° D.25°
11.如图,△ABC的周长是18 cm,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,已知AB=6 cm,则△CEF的周长为___12___cm.
12.如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,I为△ABC的内心,且OI⊥AI.若AB=10,则BI的长为___2___.
13.(2024·贵州一模)如图,已知☉O是四边形ABCD的外接圆,AB为直径,点C为的中点,过点C作AD的垂线,交AD的延长线于点E,连接AC.
(1)写出图中一个与∠CAD相等的角________;
(2)试判断CE与☉O的位置关系,并说明理由;
(3)探究AE,DE,AB之间的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)∠BAC(答案不唯一)
(2)CE与☉O相切.
理由如下:如图,连接OC,
点C为的中点,即=.∴∠CAD=∠CAB.
∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAB,∴∠CAD=∠ACO,∴AE∥OC.
∴∠CED+∠ECO=180°.∵CE⊥AE,∴∠CED=90°.∴∠ECO=90°,∴CE⊥OC.
又∵OC为半径,∴CE与☉O相切.
(3)AE+DE=AB.
理由如下:过点C作CF⊥AB于点F.
由(2)得,∠CAD=∠CAB,∴CD=BC,CE=CF.
∴Rt△CED≌Rt△CFB.∴DE=BF.
又∵AC=AC,∴Rt△ACE≌Rt△ACF.
∴AE=AF.又∵AB=AF+BF=AE+DE,
∴AE+DE=AB.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、推理能力、运算能力)(2023·贵阳模拟)如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M.
(1)求证:直线DE是☉O的切线;
(2)求证:AB=AM;
(3)若ME=1,∠F=30°,求BF的长.
【解析】(1)连接OD,则OD=OA,
∴∠ODA=∠OAD,∵AD平分∠CAB,∴∠OAD=∠DAC,
∴∠ODA=∠DAC,∴OD∥AC,∵DE⊥AC,∴∠ODF=∠AED=90°,
∵OD是☉O的半径,且DE⊥OD,∴直线DE是☉O的切线.
(2)∵线段AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADM=180°-∠ADB=90°,
∴∠M+∠DAM=90°,∠ABM+∠DAB=90°,∵∠DAM=∠DAB,
∴∠M=∠ABM,∴AB=AM.
(3)∵∠AEF=90°,∠F=30°,∴∠BAM=60°,∴△ABM是等边三角形,
∴∠M=60°,∵∠DEM=90°,ME=1,∴∠EDM=30°,
∴MD=2ME=2,∴BD=MD=2,∵∠BDF=∠EDM=30°,∴∠BDF=∠F,
∴BF=BD=2. 直线和圆的位置关系(第1课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 直线和圆的位置关系
1.已知☉O的半径是6.5 cm,点P是直线l上一点,且OP=6 cm.那么直线l与☉O的公共点的个数是 (C)
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
2.已知☉O的圆心到直线l的距离是一元二次方程x2-x-6=0的一个根,若☉O与直线l相离,☉O的半径可取的值为 (A)
A.2 B.3 C.4 D.5
3.在平面直角坐标系中,☉P的圆心坐标为(5,6),半径为5,那么x轴与☉P的位置关系是 (A)
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
4.(易错警示题·忽略分类讨论遗漏其他情况)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,以C为圆心所作的圆与边AB仅一个交点,则半径r为___r=4.8或65.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AO=x,☉O的半径为1,问:当x在什么范围内取值时,AC与☉O相离、相切、相交
【解析】过点O作OD⊥AC于点D,AC与☉O相切时OD=1,
∵∠A=30°,∴AO=2OD=2,即x=2,∴当x>2时,AC与☉O相离;当x=2时,AC与☉O相切;当0知识点2 切线的性质及应用
6.如图,已知AB是半☉O的直径,AC是弦,CD切☉O于点C,交AB的延长线于点D,∠A=20°,则∠D= (C)
A.20° B.40° C.50° D.60°
7.如图,在☉O中,AB切☉O于点A,连接OB交☉O于点C,过点A作AD∥OB交☉O于点D,连接CD.若∠B=46°,则∠OCD的度数为 (A)
A.22° B.23° C.24° D.25°
8.如图,在△ABC中,AB=10,BC=6,AC=8,以点C为圆心的圆与AB相切,则☉C的半径为 ___.
9.如图,点C是的中点,直线EF与☉O相切于点C,直线AO与切线EF相交于点E,与☉O相交于另一点D,连接AB,CD.
(1)求证:AB∥EF;
(2)若∠DEF=3∠D,求∠DAB的度数.
【解析】(1)连接OC,如图,
∵直线EF与☉O相切于点C,∴OC⊥EF.
∵点C是的中点,∴OC⊥AB,∴AB∥EF;
(2)由(1)知:OC⊥EF,∴∠OCE=90°,∴∠DEF+∠EOC=90°,
∵∠EOC=2∠D,∠DEF=3∠D,∴5∠D=90°,∴∠D=18°,
∵OD=OC,∴∠OCD=∠D=18°,∴∠DCF=90°-∠OCD=72°,
∴∠DAB=∠E=∠DCF-∠D=72°-18°=54°.
【B层 能力进阶】
10.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点D为AB的中点,以D为圆心,2为半径作☉D,则下列说法不正确的是 (B)
A.点A在圆外
B.点C在圆上
C.☉D与直线AC相切
D.☉D与直线BC相交
11.如图,AB是☉O的弦,OA⊥OD,BD与☉O相切,AB,OD相交于点C,若OA=3,OC=1,则线段BD的长为 (B)
A.3 B.4 C.5 D.6
12.(2024·遵义绥阳县期末)如图,☉O与正方形ABCD的两边AB,AD都相切,且DE与☉O相切于点E,若正方形ABCD的边长为4,DE=3,则OD的长为 (B)
A.2 B. C. D.4
13.Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4 cm,BC=3 cm,则以2.6 cm为半径的☉C与直线AB的位置关系是___相交___.
14.如图,在平面直角坐标系中,☉M的半径为1,点M的坐标为(-5,0),若将☉M沿x轴正方向平移t个单位长度后与y轴相切,则t=___4或6___.
15.(2023·遵义模拟)已知:如图,AB为☉O的直径,CD与☉O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC,∠D=30°,CE平分∠ACB交☉O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F.
(1)求证:CA=CD;
(2)若AB=12,求线段BF的长.
【解析】(1)连接OC,
∵CD与☉O相切于点C,∴∠OCD=90°,∵∠D=30°,
∴∠COD=90°-∠D=60°,∴∠A=∠COD=30°,∴∠A=∠D=30°,∴CA=CD;
(2)∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∵∠A=30°,AB=12,∴BC=AB=6,
∵CE平分∠ACB,∴∠BCE=∠ACB=45°,∵BF⊥CE,
∴∠BFC=90°,∴BF=BC·sin 45°=6×=3,∴线段BF的长为3.
【C层 创新挑战(选做)】
16.(模型观念、推理能力、运算能力、应用意识)如图,△ABC中,以AB为直径的☉O交BC于点D,DE是☉O的切线,且DE⊥AC,垂足是E,延长CA交☉O于点F.
(1)求证:AB=AC;
(2)连接DF,若DF=8,CE=16,求AC的长.
【解析】(1)连接OD,则OD=OB,
∴∠ODB=∠B,∵DE与☉O相切于点D,∴DE⊥OD,
∵DE⊥AC,∴OD∥AC,∴∠ODB=∠C,∴∠B=∠C,∴AB=AC.
(2)连接AD,∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ADC=90°,
∵∠AED=∠DEC=90°,∴∠ADE=∠C=90°-∠CDE,∴△AED∽△DEC,
∴=,∵∠F=∠B=∠C,∴DC=DF=8,∵CE=16,
∴DE===8,∴AE===4,∴AC=AE+CE=4+16=20,
∴AC的长为20. 直线和圆的位置关系(第2课时)
【A层 基础夯实】
知识点1 切线的判定
1.如图,△ABC是☉O的内接三角形,下列选项中,能使过点A的直线EF与☉O相切于点A的条件是 ( )
A.∠B=90° B.EF⊥AC
C.AC是☉O直径 D.∠B=90°且EF⊥AC
2.△ABC内接于☉O,过点A作直线EF,已知∠B=∠EAC,根据弦AB的变化,两人分别探究直线EF与☉O的位置关系:
甲:如图1,当弦AB过点O时,EF与☉O相切;
乙:如图2,当弦AB不过点O时,EF也与☉O相切;
下列判断正确的是 ( )
A.甲对,乙不对 B.甲不对,乙对
C.甲、乙都对 D.甲、乙都不对
3.如图,AB为☉O的直径,AB=1 cm,BC= cm,当AC=__ ___cm时,直线AC与☉O相切.
知识点2 三角形的内切圆
4.如图,☉O是△ABC的内切圆,切点分别是D,E,F,已知∠A=110°,则∠DEF的度数是 ( )
A.35° B.40° C.45° D.70°
5.如图,△ABC中,CA=CB,O是底边AB的中点,若腰CB与☉O相切,则CA与☉O的位置关系为 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
6.如图,已知△ABC的内切圆☉O与BC边相切于点D,连接OB,OD.若∠ABC=40°,则∠BOD的度数是__ __.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,AB=5.如图,☉O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于点E,F,G.
(1)求内切圆的半径r;
(2)求tan∠OAG的值.
【B层 能力进阶】
8.如图,AB是☉O的直径,C是☉O上一点,D是☉O外一点,过点A作AE⊥CD,垂足为E,连接OC.若使CD切☉O于点C,添加的下列条件中,不正确的是( )
A.OC∥AE B.∠OAC=∠CAE
C.∠OCA=∠CAE D.OA=AC
9.如图,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,下列说法不正确的是( )
A.若DE=DO,则DE是☉O的切线
B.若AB=AC,则DE是☉O的切线
C.若CD=DB,则DE是☉O的切线
D.若DE是☉O的切线,则AB=AC
10.(2023·聊城中考)如图,点O是△ABC外接圆的圆心,点I是△ABC的内心,连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为 ( )
A.15° B.17.5° C.20° D.25°
11.如图,△ABC的周长是18 cm,点O是△ABC的内心,过点O作EF∥AB,与AC,BC分别交于点E,F,已知AB=6 cm,则△CEF的周长为___ ___cm.
12.如图,☉O是△ABC的外接圆,AB是☉O的直径,I为△ABC的内心,且OI⊥AI.若AB=10,则BI的长为__ __.
13.(2024·贵州一模)如图,已知☉O是四边形ABCD的外接圆,AB为直径,点C为的中点,过点C作AD的垂线,交AD的延长线于点E,连接AC.
(1)写出图中一个与∠CAD相等的角________;
(2)试判断CE与☉O的位置关系,并说明理由;
(3)探究AE,DE,AB之间的数量关系,并说明理由.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、推理能力、运算能力)(2023·贵阳模拟)如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC于点E,交AB的延长线于点F.连接BD并延长交AC于点M.
(1)求证:直线DE是☉O的切线;
(2)求证:AB=AM;
(3)若ME=1,∠F=30°,求BF的长.
