切线长定理
【A层 基础夯实】
知识点1 切线长定理
1.如图,PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E,∠APB=54°,则∠COD= ( )
A.36° B.63° C.126° D.46°
2.如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点,若∠APB=60°,PO=2,则☉O的半径等于__ ___.
3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,已知∠P=60°,OA=3,那么AB的长为__ __.
4.如图,AC是☉O的直径,∠ACB=60°,连接AB,分别过A,B作☉O的切线,两切线交于点P,已知☉O的半径为1,求△PAB的周长.
知识点2 切线长定理的应用
5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则sin∠CBE= ( )
A. B. C. D.
6.四边形ABCD是☉O的外切四边形,若∠AOB=78°,则∠COD的度数是__ ___.
【B层 能力进阶】
7.如图是不倒翁的主视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA,PB分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=28°,则∠APB的度数为 ( )
A.28° B.50° C.56° D.62°
8.如图,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,且AB∥CD,若OB=6 cm,OC=
8 cm,则BE+CG的长为 ( )
A.13 cm B.12 cm
C.11 cm D.10 cm
9.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则四边形ABCE的周长为 ( )
A.12 B.13 C.14 D.15
10.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C,D在☉O上.若∠P=102°,则∠A+
∠C=__ __.
11.如图,☉O内切于正方形ABCD,O为圆心,作∠MON=90°,其两边分别交BC,CD于点N,M,若CM+CN=10,则☉O的面积为___ ___.
12.(2023·河南中考)如图,PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,则CA的长为 ___.
13.如图,已知AB是☉O的直径,BC⊥AB于B,E是OA上的一点,ED∥BC交☉O于D,OC∥AD,连接AC交ED于F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若AB=8,AE=1,求ED,EF的长.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、推理能力、运算能力、应用意识)
课本再现
(1)在☉O中,∠AOB是所对的圆心角,∠C是所对的圆周角,我们在数学课上探索两者之间的关系时,要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类.图1是其中一种情况,请你在图2和图3中画出其他两种情况的图形,并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C=∠AOB;
知识应用
(2)如图4,若☉O的半径为2,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠C=60°,求PA的长. 切线长定理
【A层 基础夯实】
知识点1 切线长定理
1.如图,PA,PB,CD分别切☉O于A,B,E,∠APB=54°,则∠COD= (B)
A.36° B.63° C.126° D.46°
2.如图,PA,PB是☉O的两条切线,A,B是切点,若∠APB=60°,PO=2,则☉O的半径等于___1___.
3.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,已知∠P=60°,OA=3,那么AB的长为___3___.
4.如图,AC是☉O的直径,∠ACB=60°,连接AB,分别过A,B作☉O的切线,两切线交于点P,已知☉O的半径为1,求△PAB的周长.
【解析】∵PA,PB是☉O的切线.∴PA=PB,∠PAB=60°,
∴△PAB是等边三角形.
在Rt△ABC中,AB=AC·sin 60°=2×=,
∴△PAB的周长为PA+PB+AB=3.
知识点2 切线长定理的应用
5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半圆的切线AE,则sin∠CBE= (D)
A. B. C. D.
6.四边形ABCD是☉O的外切四边形,若∠AOB=78°,则∠COD的度数是___102°___.
【B层 能力进阶】
7.如图是不倒翁的主视图,不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA,PB分别相切于点A,B,不倒翁的鼻尖正好是圆心O,若∠OAB=28°,则∠APB的度数为 (C)
A.28° B.50° C.56° D.62°
8.如图,直线AB,BC,CD分别与☉O相切于E,F,G,且AB∥CD,若OB=6 cm,OC=
8 cm,则BE+CG的长为 (D)
A.13 cm B.12 cm
C.11 cm D.10 cm
9.以正方形ABCD的AB边为直径作半圆O,过点C作直线切半圆于点F,交AD边于点E,若△CDE的周长为12,则四边形ABCE的周长为 (C)
A.12 B.13 C.14 D.15
10.如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,点C,D在☉O上.若∠P=102°,则∠A+
∠C=___219°___.
11.如图,☉O内切于正方形ABCD,O为圆心,作∠MON=90°,其两边分别交BC,CD于点N,M,若CM+CN=10,则☉O的面积为___25π___.
12.(2023·河南中考)如图,PA与☉O相切于点A,PO交☉O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,则CA的长为 ___.
13.如图,已知AB是☉O的直径,BC⊥AB于B,E是OA上的一点,ED∥BC交☉O于D,OC∥AD,连接AC交ED于F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)若AB=8,AE=1,求ED,EF的长.
【解析】(1)连接OD,∵AD∥OC,∴∠BOC=∠OAD,∠DOC=∠ODA,
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠BOC=∠DOC,
在△BOC和△DOC中,,
∴△BOC≌△DOC(SAS),∴∠ODC=∠OBC=90°,
∵OD为☉O的半径,∴CD是☉O的切线;
(2)过点D作DH⊥BC于H,∵ED∥BC,∴∠OED=180°-∠ABC=90°,
则四边形EBHD为矩形,∴BH=ED,DH=BE=7,∵AB=8,AE=1,∴OE=3,
∴ED===,∵CB,CD是☉O的切线,∴CB=CD,
设CB=CD=x,则CH=x-,在Rt△DHC中,DH2+CH2=CD2,即72+(x-)2=x2,
解得x=4,即BC=4,∵ED∥BC,∴=,即=,解得EF=.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、推理能力、运算能力、应用意识)
课本再现
(1)在☉O中,∠AOB是所对的圆心角,∠C是所对的圆周角,我们在数学课上探索两者之间的关系时,要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类.图1是其中一种情况,请你在图2和图3中画出其他两种情况的图形,并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C=∠AOB;
知识应用
(2)如图4,若☉O的半径为2,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠C=60°,求PA的长.
【解析】(1)①如图2,连接CO,并延长CO交☉O于点D,
∵OA=OC=OB,∴∠A=∠ACO,∠B=∠BCO,
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO,
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB,∴∠ACB=∠AOB;
②如图3,连接CO,并延长CO交☉O于点D,
∵OA=OC=OB,∴∠A=∠ACO,∠B=∠BCO,
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO,∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO,
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB,∴∠ACB=∠AOB;
(2)如图4,连接OA,OB,OP,
∵∠C=60°,∴∠AOB=2∠C=120°,∵PA,PB分别与☉O相切于点A,B,
∴∠OAP=∠OBP=90°,∠APO=∠BPO=∠APB=(180°-120°)=30°,
∵OA=2,∴OP=2OA=4,∴PA==2.
