圆内接正多边形
【A层 基础夯实】
知识点1 圆内接正多边形的概念和计算
1.如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于☉O,则∠BED的度数为 (D)
A.45° B.30° C.20° D.15°
2.(2023·内江中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点P在上,点Q是的中点,则∠CPQ的度数为 (B)
A.30° B.45° C.36° D.60°
3.(2023·河北中考)如图,点P1~P8是☉O的八等分点.若△P1P3P7,四边形P3P4P6P7的周长分别为a,b,则下列正确的是 (A)
A.aC.a>b D.a,b大小无法比较
4.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,对角线CE与AD交于点F,则∠CFD的度数为___72°___.
5.圆内接正多边形的边长与圆的半径相等,则这个正多边形的边数为___6___.
知识点2 正多边形的作法及应用
6.如图,若以AB为边长作☉O的内接正多边形,则这个多边形是正___六___边形.
7.如图,一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔,已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1,则圆的面积约为正方形面积的___14___倍.(精确到个位)
8.如图,☉O的半径为4.
(1)作圆的内接正方形ABCD;
(2)求正方形ABCD的面积.
【解析】(1)圆的内接正方形ABCD如图所示;
(2)∵☉O的半径为4,∴☉O的直径为8,∴正方形ABCD的面积=×8×8=32.
【B层 能力进阶】
9.如图,五边形ABCDE为☉O的内接正五边形,点P为劣弧上的任意一点(不与D,E重合),则∠EPD的度数是 (B)
A.136° B.144° C.145° D.150°
10.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,已知☉O的半径为1,连接OA,OE,则四边形AOEF的周长为 (C)
A.6 B.4 C.4 D.4
11.如图,在平面直角坐标系中,正六边形OABCDE的边长是4,则它的内切圆圆心M的坐标是(A)
A.(2,2) B.(1,2)
C.(2,) D.(2,4)
12.如图,半径为2的圆内接正八边形A1A2A3A4…A8的中心为O,连接A4A6,∠A8=___135°___,A4A6=___2___.
13.如图,要拧开一个边长a=18 mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少要___18___mm.
14.如图所示,已知正八边形ABCDEFGH内接于☉O,连接AC,BD,相交于点P,若☉O的半径为1.
(1)求AC的长;
(2)求∠APD的度数.
【解析】(1)如图,连接OA,OB,设OB与AC交于点Q,
由题意可知,QA=QC,OB⊥AC,∵八边形ABCDEFGH是正八边形,
∴∠AOB==45°,∴QA=OQ=OAsin ∠AOB=sin 45°=,
∴AC=2QA=;
(2)∵所对的圆心角为5∠AOB=225°,
∴所对的圆周角为∠ABD=×225°=112.5°,
∵∠BAC=×45°=22.5°,∴∠APD=∠ABD+∠BAC=135°.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、运算能力)已知,正方形ABCD内接于☉O,点P是上一点.连接BP交AC于点E.
(1)如图1,若点P是的中点,求证:CE=CD.
(2)如图2,若图中PE=OE,求的值.
【解析】(1)如图1,连接DE,
∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,OB=OD=OC,
∴EB=ED,∠ODC=∠OCD=45°,∴∠EBD=∠EDB,
∵点P是的中点,∴∠PBD=∠ABD=×∠AOD=22.5°,
∴∠EDC=45°+22.5°=67.5°,∴∠CED=180°-45°-67.5°=67.5°,
∴∠CED=∠EDC,∴CE=CD.
(2)如图2,连接DE,DP,∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAD=∠EOD=90°,OA=OD,∴∠P=∠BAD=90°,
∵PE=OE,∴∠PDE=∠2,由(1)知∠1=∠2,∴∠1=∠2=∠PDE,
∵∠1+∠2+∠PDE=90°,∴∠2=30°,∴OE=DE,∴DE=2OE,
∴OD==OE,∴OD=OA=OE,∴AE=OA-OE=(-1)OE,
EC=OE+OC=(+1)OE,∴==2-. 圆内接正多边形
【A层 基础夯实】
知识点1 圆内接正多边形的概念和计算
1.如图,等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于☉O,则∠BED的度数为 ( )
A.45° B.30° C.20° D.15°
2.(2023·内江中考)如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,点P在上,点Q是的中点,则∠CPQ的度数为 ( )
A.30° B.45° C.36° D.60°
3.(2023·河北中考)如图,点P1~P8是☉O的八等分点.若△P1P3P7,四边形P3P4P6P7的周长分别为a,b,则下列正确的是 ( )
A.aC.a>b D.a,b大小无法比较
4.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,对角线CE与AD交于点F,则∠CFD的度数为__ __.
5.圆内接正多边形的边长与圆的半径相等,则这个正多边形的边数为__ __.
知识点2 正多边形的作法及应用
6.如图,若以AB为边长作☉O的内接正多边形,则这个多边形是正___ __边形.
7.如图,一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔,已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1,则圆的面积约为正方形面积的__ ___倍.(精确到个位)
8.如图,☉O的半径为4.
(1)作圆的内接正方形ABCD;
(2)求正方形ABCD的面积.
【B层 能力进阶】
9.如图,五边形ABCDE为☉O的内接正五边形,点P为劣弧上的任意一点(不与D,E重合),则∠EPD的度数是 ( )
A.136° B.144° C.145° D.150°
10.如图,正六边形ABCDEF内接于☉O,已知☉O的半径为1,连接OA,OE,则四边形AOEF的周长为 ( )
A.6 B.4 C.4 D.4
11.如图,在平面直角坐标系中,正六边形OABCDE的边长是4,则它的内切圆圆心M的坐标是( )
A.(2,2) B.(1,2)
C.(2,) D.(2,4)
12.如图,半径为2的圆内接正八边形A1A2A3A4…A8的中心为O,连接A4A6,∠A8=__ __,A4A6=___ ___.
13.如图,要拧开一个边长a=18 mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少要___ ___mm.
14.如图所示,已知正八边形ABCDEFGH内接于☉O,连接AC,BD,相交于点P,若☉O的半径为1.
(1)求AC的长;
(2)求∠APD的度数.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、运算能力)已知,正方形ABCD内接于☉O,点P是上一点.连接BP交AC于点E.
(1)如图1,若点P是的中点,求证:CE=CD.
(2)如图2,若图中PE=OE,求的值.
