弧长及扇形的面积
【A层 基础夯实】
知识点1 弧长公式及应用
1.75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm,则此弧所在圆的半径是 ( )
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
2.如图,扇形OAB中,OB=3,∠AOB=100°,点C在OB上,连接AC,点O关于AC的对称点D刚好落在上,则的长是 ( )
A. B. C. D.
3.如图,正方形ABCD的边长是2,将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数,点C旋转后的对应点为E,则的长是 π___(结果保留π).
4.(跨学科·与物理结合)如图,物理实验中利用一个半径为6 cm的定滑轮提起砝码,小明向下拉动绳子一端,使得定滑轮逆时针转动了150°,此时砝码被提起了___ ___ cm.(结果保留π)
知识点2 扇形及相关图形阴影面积的计算
5.一个扇形的半径为24 cm,面积是240π cm2,则扇形的圆心角为 ( )
A.300° B.240° C.180° D.150°
6.如图,正方形ABCD的边长为4,分别以A,B,C,D为圆心,2为半径作圆,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.16-4π B.16-2π C.4π D.2π
7.已知每个网格中小正方形的边长都是1,如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心,半径分别为1和2的圆弧围成,则阴影部分的面积是 ( )
A. B.π-2 C.+1 D.π-1
8.(2023·贵阳云岩区模拟)如图,AB是☉O的直径,E是☉O上一点,∠BAE的平分线AC交☉O于点C,过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D.
(1)填空:EC________BC(选填“>”“<”或“=”);
(2)求证:CD是☉O的切线;
(3)若AB=6,∠BAC=30°,求阴影部分的面积.
【B层 能力进阶】
9.一个扇形,如果半径缩小,圆心角扩大2倍,那么扇形的面积 ( )
A.扩大2倍 B.缩小为原来的
C.缩小为原来的 D.不变
10.(2022·遵义中考)如图,在正方形ABCD中,AC和BD交于点O,过点O的直线EF交AB于点E(E不与A,B重合),交CD于点F.以点O为圆心,OC为半径的圆交直线EF于点M,N.若AB=1,则图中阴影部分的面积为 ( )
A.- B.- C.- D.-
11.如图,☉O半径为3 cm,四边形ABCD内接于☉O,延长BC至点E,若∠DCE=60°,则的长是__ ___ cm.
12.(2023·重庆中考A卷)如图,☉O是矩形ABCD的外接圆,若AB=4,AD=3,则图中阴影部分的面积为 ___.(结果保留π)
13.(2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B=60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB'C',若点B的对应点B'恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是 __cm(结果用含π的式子表示).
14.(2023·江西中考)如图,在△ABC中,AB=4,∠C=64°,以AB为直径的☉O与AC相交于点D,E为上一点,且∠ADE=40°.
(1)求的长;
(2)若∠EAD=76°,求证:CB为☉O的切线.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、运算能力)(2021·安顺中考)如图,在☉O中,AC为☉O的直径,AB为☉O的弦,点E是的中点,过点E作AB的垂线,交AB于点M,交☉O于点N,分别连接EB,CN.
(1)EM与BE的数量关系是________;
(2)求证:=;
(3)若AM=,MB=1,求阴影部分图形的面积. 弧长及扇形的面积
【A层 基础夯实】
知识点1 弧长公式及应用
1.75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm,则此弧所在圆的半径是 (A)
A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm
2.如图,扇形OAB中,OB=3,∠AOB=100°,点C在OB上,连接AC,点O关于AC的对称点D刚好落在上,则的长是 (B)
A. B. C. D.
3.如图,正方形ABCD的边长是2,将对角线AC绕点A顺时针旋转∠CAD的度数,点C旋转后的对应点为E,则的长是 π___(结果保留π).
4.(跨学科·与物理结合)如图,物理实验中利用一个半径为6 cm的定滑轮提起砝码,小明向下拉动绳子一端,使得定滑轮逆时针转动了150°,此时砝码被提起了___5π___ cm.(结果保留π)
知识点2 扇形及相关图形阴影面积的计算
5.一个扇形的半径为24 cm,面积是240π cm2,则扇形的圆心角为 (D)
A.300° B.240° C.180° D.150°
6.如图,正方形ABCD的边长为4,分别以A,B,C,D为圆心,2为半径作圆,则图中阴影部分的面积为 (A)
A.16-4π B.16-2π C.4π D.2π
7.已知每个网格中小正方形的边长都是1,如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心,半径分别为1和2的圆弧围成,则阴影部分的面积是 (B)
A. B.π-2 C.+1 D.π-1
8.(2023·贵阳云岩区模拟)如图,AB是☉O的直径,E是☉O上一点,∠BAE的平分线AC交☉O于点C,过点C作CD⊥AE交AE的延长线于点D.
(1)填空:EC________BC(选填“>”“<”或“=”);
(2)求证:CD是☉O的切线;
(3)若AB=6,∠BAC=30°,求阴影部分的面积.
【解析】(1)∵AC平分∠BAE,∴∠BAC=∠CAE,∴=,∴EC=BC;
答案:=
(2)连接OC,OE,如图,
∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠CAE=∠OCA,
∴OC∥AD,∵CD⊥AE,∴OC⊥CD,
∵OC为☉O的半径,∴CD是☉O的切线;
(3)∵AB=6,∴OA=3,∵∠OAE=2∠BAC=2×30°=60°,OA=OE,
∴△AOE为等边三角形,∴∠AOE=60°,
∴阴影部分的面积=S扇形AOE-S△AOE=-×32=π-.
【B层 能力进阶】
9.一个扇形,如果半径缩小,圆心角扩大2倍,那么扇形的面积 (B)
A.扩大2倍 B.缩小为原来的
C.缩小为原来的 D.不变
10.(2022·遵义中考)如图,在正方形ABCD中,AC和BD交于点O,过点O的直线EF交AB于点E(E不与A,B重合),交CD于点F.以点O为圆心,OC为半径的圆交直线EF于点M,N.若AB=1,则图中阴影部分的面积为 (B)
A.- B.- C.- D.-
11.如图,☉O半径为3 cm,四边形ABCD内接于☉O,延长BC至点E,若∠DCE=60°,则的长是___2π___ cm.
12.(2023·重庆中考A卷)如图,☉O是矩形ABCD的外接圆,若AB=4,AD=3,则图中阴影部分的面积为 π-12___.(结果保留π)
13.(2023·郴州中考)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B=60°.将△ABC绕点A逆时针旋转,得到△AB'C',若点B的对应点B'恰好落在线段BC上,则点C的运动路径长是 π___cm(结果用含π的式子表示).
14.(2023·江西中考)如图,在△ABC中,AB=4,∠C=64°,以AB为直径的☉O与AC相交于点D,E为上一点,且∠ADE=40°.
(1)求的长;
(2)若∠EAD=76°,求证:CB为☉O的切线.
【解析】(1)连接OE,∵∠ADE=40°,∴∠AOE=2∠ADE=80°,
∴∠EOB=180°-∠AOE=100°,∵AB=4,∴☉O的半径长是2,
∴的长==;
(2)∵∠EAB=∠EOB=50°,∴∠BAC=∠EAD-∠EAB=76°-50°=26°,
∵∠C=64°,∴∠C+∠BAC=90°,∴∠ABC=180°-(∠C+∠BAC)=90°,
∴AB⊥BC,又∵AB为☉O的直径,∴CB为☉O的切线.
【C层 创新挑战(选做)】
15.(模型观念、运算能力)(2021·安顺中考)如图,在☉O中,AC为☉O的直径,AB为☉O的弦,点E是的中点,过点E作AB的垂线,交AB于点M,交☉O于点N,分别连接EB,CN.
(1)EM与BE的数量关系是________;
(2)求证:=;
(3)若AM=,MB=1,求阴影部分图形的面积.
【解析】(1)∵AC为☉O的直径,点E是的中点,∴∠ABE=45°,
∵AB⊥EN,∴△BME是等腰直角三角形,∴BE=EM;
答案:BE=EM
(2)连接EO,BO,NO,AE,
∵AC是☉O的直径,E是的中点,∴∠AOE=90°,
∴∠ABE=∠AOE=45°,∵EN⊥AB,垂足为点M,∴∠EMB=90°,
∴∠ABE=∠BEN=45°,∴=,∵点E是的中点,
∴=,∴=,∴-=-,∴=;
(3)∵EN⊥AB,垂足为点M,∴∠AME=∠EMB=90°,
∵BM=1,由(2)得∠ABE=∠BEN=45°,∴EM=BM=1,
又∵BE=EM,∴BE=,∵在Rt△AEM中,EM=1,AM=,
∴tan ∠EAB==,∴∠EAB=30°,∵∠EAB=∠EOB,∴∠EOB=60°,
又∵OE=OB,∴△EOB是等边三角形,∴OE=BE=,
又∵=,∴BE=CN,∴△OEB≌△OCN(SSS),∴CN=BE=,
又∵S扇形OCN==π,S△OCN=CN×CN=×××=,
∴S阴影=S扇形OCN-S△OCN=π-.
