2 二次函数的图象与性质
第1课时
1.能够利用描点法画函数y=x2的图象,能根据图象认识和理解二次函数y=x2的性质.
2.猜想并能作出y=-x2的图象,能比较它与y=x2的图象的异同.
3.经历探索二次函数y=x2的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.
4.由函数y=x2的图象及性质,对比地学习y=-x2的图象及性质,并能比较出它们的异同点,培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维.
重点:作出函数y=±x2的图象,并根据图象认识和理解二次函数y=±x2的性质.
难点:由y=x2的图象及性质对比地学习y=-x2的图象及性质,并能比较出它们的异同点.
一、创设情境
我们在学习了正比例函数,一次函数与反比例函数的定义后,研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线,反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为y=ax2+bx+c(其中a,b,c均为常数且a≠0).那么它的图象是否也为直线或双曲线呢 本节课我们将一起来研究有关问题.
二、探究归纳
(一)独立思考,解决问题
作出二次函数y=x2的图象:
(1)列表:观察y=x2的表达式,选择适当的x值,并计算相应的y值,填写下表:
x
y=x2
(2)描点:在直角坐标系中描点.
(3)用光滑的曲线连接各点,便得到函数y=x2的图象.
(二)师生探究,合作交流
1.观察上面的图象,回答下列各题
(1)试描述图象的形状、开口方向.
(2)图象与x轴有交点吗 如果有,交点坐标是什么
(3)当x<0时,x增大,y如何变化 x>0时呢
(4)当x取什么值时,y的值最小 最小的值是什么 你是如何知道的
(5)图象是轴对称图形吗 如果是,它的对称轴是什么 你能找出几对对称点
2.下面我们系统地总结一下y=x2的图象的性质.
(1)图象形状是________,开口方向是________.
(2)它的图象有最________点(填高或低),最________点坐标是(________).
(3)它是______对称图形,对称轴是______.
在对称轴的左侧,y随x的增大而______;
在对称轴的右侧,y随x的增大而______.
(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称为抛物线的________,同时也是图象的最低点,坐标为(0,0).
(5)因为图象有最低点,所以函数有最______值(填大或小),即当x=0时,________=0(填y最大或y最小).
3.在上面同一个直角坐标系中作出二次函数y=-x2的图象.
4.对比上面两个函数的图象与性质,填写下表:
函数表达式 (抛物线) y=x2 y=-x2
对称轴
顶点坐标
开口方向
位置
增减性 x<0 x>0 x<0 x>0
最值
三、交流反思
师生互相交流总结探索二次函数的图象和性质的基本思路和关键,以及函数y=x2和y=-x2的图象和性质.
四、检测反馈
1.关于函数y=x2图象的说法:①图象是一条抛物线;②开口向上;③是轴对称图形;④过原点;⑤对称轴是y轴;⑥y随x增大而增大.其中正确的有________.(填序号)
2.关于抛物线y=x2和y=-x2,下面说法不正确的是 ( )
A.顶点相同 B.对称轴相同
C.开口方向不相同 D.都有最小值
3.直线y=-x+1与抛物线y=x2有 ( )
A.1个交点 B.2个交点
C.3个交点 D.没有交点
4.已知点A(-2,y1),B(4,y2)在二次函数y=ax2(a>0)的图象上,则y1________y2.
5.若a>1,点(-a-1,y1),(a,y2),(a+1,y3)都在函数y=x2的图象上,y1,y2,y3的大小为________.
五、布置作业
课本P34 习题2.2 T1,T2
六、板书设计
2 二次函数的图象与性质 第1课时
1.探究: 2.归纳性质: 3.应用练习:
七、教学反思
先通过列表描点连线初步得到y=x2的图象,进而通过增加满足函数的点数感悟此函数的真正图象,并通过观察图象来了解y=x2函数图象的性质特征.利用相同办法同时研究y=-x2图象的性质,并对两函数进行对比,体会造成图象不同的原因,并进而引发学生产生是不是二次函数二次项系数a为正开口向上、二次项系数a为负开口向下的疑问并画图验证,而由此又生发出a的绝对值对其张口大小的思考,教师通过课件解惑并归纳.2 二次函数的图象与性质
第4课时
1.推导二次函数y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式.
2.能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式,解决一些问题.
3.经历探索二次函数y=ax2+bx+c的图象的作法和性质的过程.
4.在学习y=ax2+bx+c的性质的过程中,渗透转化(化归)的思想.
重点:推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式,并利用此解决一些问题.
难点:用配方法推导y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标公式.
一、创设情境
说出y=ax2,y=ax2+c,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k图象的开口方向、增减性、对称轴和顶点坐标.
二、探究归纳
自主推导顶点式
用配方法将y=ax2+bx+c化成y=a(x-h)2+k的形式,则h=-,k=.则二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是,对称轴是直线x=-,当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c有最大(最小)值,当a>0时,函数y有最小值,当a<0时,函数y有最大值.
例:将下列二次函数写成y=a(x-h)2+k的形式,并写出其开口方向,顶点坐标,对称轴.
(1)y=x2-6x+21;(2)y=-2x2-12x-22.
解:(1)y=x2-6x+21
=(x2-12x)+21
=(x2-12x+36-36)+21
=(x-6)2+3.
所以此抛物线的开口向上,顶点坐标为(6,3),对称轴是直线x=6.
(2)y=-2x2-12x-22
=-2(x2+6x)-22
=-2(x2+6x+9-9)-22
=-2(x+3)2-4.
所以此抛物线的开口向下,顶点坐标为(-3,-4),对称轴是直线x=-3.
三、交流反思
1.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条抛物线.
2.总结二次函数y=ax2+bx+c的对称轴与顶点坐标公式.
四、检测反馈
1.抛物线y=-x2+4x-7的开口方向是______,对称轴是________,顶点坐标是________.当x=________时,函数y有最__________值,其值为________.
2.已知二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)有最大值,且ac=4,则二次函数的顶点在第________象限.
五、布置作业
课本P41 习题2.5 T1,T2
六、板书设计
2 二次函数的图象与性质 第4课时
1.公式探究: 2.归纳方法: 3.应用练习:
例题
七、教学反思
1.要发掘教材,参照课本内容选择适合自己所教学生使用的材料.
2.坚持启发式教学,反对注入式.
3.加强教学的计划性.
4,多采用计算机辅助教学,效果好.2 二次函数的图象与性质
第3课时
1.学生会画出特殊二次函数y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的图象,正确地说出它们的开口方向,对称轴和顶点坐标,能理解它们的图象与抛物线y=ax2的图象的关系,理解a,h,k对二次函数图象的影响.
2.经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程,培养学生动手作图的能力,观察、类比、归纳的能力,以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力.
重点:二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质.
难点:二次函数y=a(x-h)2+k图象与图象y=ax2之间的关系,a,h,k对二次函数图象的影响.
一、创设情境
1.回忆一下:
二次函数y=2x2的开口方向________,对称轴________,顶点坐标________.
二次函数y=2x2+3的开口方向________,对称轴________,顶点坐标________.它的图象可以由y=2x2的图象向________平移________个单位得到.
2.提出问题:我们已学习过两种类型的二次函数,y=ax2与y=ax2+c,知道它们都是轴对称图形,对称轴都是y轴.还知道y=ax2+c的图象是由函数y=ax2的图象经过上下移动得到的,那么如果将函数y=ax2的图象左右移动呢 它左右移动后又会得到什么样的函数形式,它又有哪些性质呢 本节课我们就来研究有关问题.
二、探究归纳
探究一:y=a(x-h)2的图象和性质
学生独立完成课本37页上“做一做”,完成后小组内交流.
1.完成下表:
x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
2x2
2(x-1)2
观察上表,比较2x2与2(x-1)2的值,它们有什么样的关系
2.在同一坐标系中作出y=2x2与y=2(x-1)2的图象.同伴交流:你是怎样作的
3.结合图象,议一议
交流:二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小
4.结合以前学过的图形变换的知识,能否用移动的观点说明函数y=2(x-1)2与y=2x2的图象之间的关系呢
5.猜一猜:y=2(x+1)2的图象是怎么样的 它的图象与y=2x2的图象之间有什么样的关系 画图验证一下!
讨论交流后得出结论:二次函数y=2x2,y=2(x-1)2,y=2(x+1)2的图象都是抛物线,并且形状相同,只是位置不同.将y=2x2的图象向右平移一个单位,就得到y=2(x-1)2的图象;将y=2x2的图象向左平移一个单位,就得到y=2(x+1)2的图象.
探究二:y=a(x-h)2+k的图象和性质
1.小组活动:(1)合情推理:由二次函数y=2x2的图象,你能得到y=2x2-,y=2(x+3)2,y=2(x+3)2-的图象吗 你是怎么样得到的
(2)画图验证后寻找规律,说一说图象的变化将引起表达式如何变化,以及表达式的变化将引起图象如何变化.
(3)议一议:二次函数y=a(x-h)2+k的图象与y=ax2有什么关系
2.总结规律,填写表格:
图象特征 二次函数 开口方向 对称轴 顶点 坐标
a>0 a<0
y=ax2
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2+k的性质:
(1)a的符号决定抛物线的开口方向
(2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
三、交流反思
学生交流后得出结论:
y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k
四、检测反馈
怎样由函数y=2x2的图象得到函数y=2(x-1)2+3的图象 对于函数y=2(x-1)2+3,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大 当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小
五、布置作业
课本P39 习题2.4 T1,T2
六、板书设计
2 二次函数的图象与性质 第3课时
1.性质探究: 2.归纳性质: 3.应用练习:
七、教学反思
学生在猜一猜的环节中,可能猜想的结果或许很多,老师不要急于表态,而是要引导学生画图验证,从而使学生经历猜想、验证等数学活动,形成自己对本节课重点内容的理解和有效的学习策略,有利于培养学生的数学直觉和感悟能力,加深对数学学习的体验,进一步突破重难点.
在学生的探究过程中,教师要注意引导学生进行图象和图象之间的比较、表达式和表达式之间的比较,建立图象和表达式之间的联系,是否理解表达式的变化将引起图象的何种变化,或者图象的变化将要引起表达式的何种变化.要引导学生从感性认识上升到理性认识.2 二次函数的图象与性质
第2课时
1.能画二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象,并能够比较它们与二次函数y=x2的图象的异同,理解a与c对二次函数图象的影响.
2.能说出二次函数y=ax2和y=ax2+c图象的开口方向、对称轴、顶点坐标.
3.经历探索二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象的作法和性质的过程,进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验,体会数形结合思想在数学中的应用.
重点:y=ax2和y=ax2+c图象的作法和性质.
难点:能够比较y=ax2和y=ax2+c的图象的异同,理解a与c对二次函数图象的影响.
一、创设情境
1.什么是二次函数 二次函数y=x2与y=-x2的图象一样吗 它们有什么相同点 不同点
2.二次函数是否只有y=x2与y=-x2这两种呢 有没有其他形式的二次函数
二、探究归纳
在平面直角坐标系中作二次函数y=x2和y=2x2的图象.
(1)完成下表:
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
y=2x2 … 18 8 2 0 2 8 18 …
(2)分别画二次函数y=x2和y=2x2的图象.
(3)二次函数y=2x2的图象是什么形状 它与二次函数y=x2的图象有什么相同和不同 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
想一想
在刚才所做的平面直角坐标系内画出函数y=x2的图象,观察它与y=x2,y=2x2的图象有什么相同和不同
做一做
在同一直角坐标系内画函数y=2x2+1的图象.
①同桌之间,一个列表,一个描点,然后用彩笔连线.
②教师巡视,指导画法.
③展示好的作品(以做探讨,研究性质之用).
议一议
二次函数y=2x2+1的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系 它是轴对称图形吗 它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么
1.通过刚才画的函数y=2x2+1的图象与函数y=2x2的图象,比较它们的图形特点.(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)
2.在同一直角坐标系内画函数y=2x2-1的图象,也比较它们的图形特点.(从轴对称图形、开口方向、对称轴和顶点坐标方面比较)
三、交流反思
师生互相交流总结:
抛物线 开口方向 对称轴 顶点 坐标
a>0 a<0
y=ax2 向上 向下 y轴 (0,0)
y=ax2+c 向上 向下 y轴 (0,c)
y=ax2y=ax2+c
四、检测反馈
1.函数y=-x2图象开口方向________,对称轴______,顶点坐标________;函数y=x2图象开口方向________,对称轴________,顶点坐标________.
2.二次函数y=ax2(a≠0)的图象经过点A(1,2),则函数y=ax2的表达式为________;若点C(-2,m),D(n,4)也在函数的图象上,则点C的坐标为______,点D的坐标为________.
3.已知点(1,y1),(2,y2),(3,y3)在抛物线y=4x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为________.
五、布置作业
课本P36 习题2.3 T1,T2,T3
六、板书设计
2 二次函数的图象与性质 第2课时
1.性质探究: 2.归纳性质: 3.应用练习:
七、教学反思
函数的教学,尤其是二次函数是学生普遍感觉较为抽象难懂的知识.在教学过程中,先通过表格中数据的变化规律去理解函数的变化趋势,再让学生动手画图象,通过学生自己画的图象去印证发现的变化趋势,加深他们对函数图象的了解,也加深他们对函数性质的了解,更重要的是让学生参与到函数图象和性质的探索中去,这样学生才能真正理解并掌握它.其次合理、充分利用了多媒体教学的手段,利用powerpoint,几何画板等软件画出的二次函数的图象,让抽象思维不强的学生,更加形象的结合图形,分析说出二次函数y=ax2及y=ax2+c的有关性质,充分体现了“数形结合”的数学思想.整节课是一个动手作图、动眼观察、动脑猜想、实践验证、巩固应用的动态生成过程,学生能力得到培养.
