4 二次函数的应用
第2课时
1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.
2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.
3.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.
重点:能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.
难点:能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.
一、创设情境
回顾:在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题,常用相等关系是:利润=销售量×单个商品的利润;利润率=×100%.
二、探究归纳
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元,根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5 000件,并且表示每件降价0.1元,愿意多经销500件.
请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多
若设批发单价为x元,则:
单件利润为________;
降价后的销售量为________________;
销售利润用y元表示,则
y=(x-10)
=-5 000(x2-24x+140)
=-5 000(x-12)2+20 000.
∵-5 000<0,
∴抛物线有最高点,函数有最大值.
当x=12元时,y最大=20 000元.
答:当批发单价是12元时,厂家可以获得最大利润,最大利润是20 000元.
若设每件T恤衫降a元,则:
单件利润为________;
降价后的销售量为________________;
销售利润用y元表示,则
y=(13-a-10)
=-5 000(a2-2a-3)
=-5 000(a-1)2+20 000.
∵-5 000<0,
∴抛物线有最高点,函数有最大值.
当a=1,即批发单价是12元时,y最大=20 000元.
答:当批发单价是12元时,厂家可以获得最大利润,最大利润是20 000元.
想一想:解决了上述关于服装销售的问题,请你谈一谈怎样设因变量更好
某旅社有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加10元时,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高
分析:相等关系是客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数
解:设每间客房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间,若客房日租金的总收入为y元,则:
y=(160+10x)(120-6x)
=-60(x-2)2+19 440,
∵x≥0,且120-6x>0,
∴0≤x<20.
当x=2时,y有最大值为19 440.
这时每间客房的日租金为160+10×2=180元,客房总收入最高为19 440元.
三、交流反思
利用二次函数的知识解决最大利润问题的一般步骤是:
(1)寻找实际问题中的两个变量之间的等量关系,并用字母表示这两个变量.
(2)用自变量的代数式表示相关的量.
(3)用关系式表示这个等量关系.
(4)利用二次函数的知识解决实际问题.
四、检测反馈
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半月内可以售出400件.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半月内获得最大利润
五、布置作业
课本P50 习题2.9 T1,T2
六、板书设计
4 二次函数的应用 第2课时
1.探究: 2.归纳: 3.练习:
七、教学反思
本节课充分以学生为主体进行教学,让学生多实践,从实践中反思过程,并从中体验成功的乐趣.引导学生发现问题,师生共同解决问题.指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径,并将应用问题和规律归类.4 二次函数的应用
第1课时
1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值.
2.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程,获得利用数学方法解决实际问题的经验,并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.
重点:能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题.
难点:能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的有关知识解决最大(小)面积问题.
一、创设情境
(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.
(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大
二、探究归纳
例1:如图,在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆,围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃,设花圃的宽AB为x米,面积为S平方米.
(1)求S与x的函数表达式及自变量的取值范围.
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大,最大值是多少
(3)若墙的最大可用长度为8米,求围成花圃的最大面积.
2.变式探究一:如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD,其中AB和AD分别在两直角边上,AN=40 m,AM=30 m.
(1)设矩形的一边AB=x m,那么AD边的长度如何表示
(2)设矩形的面积为y m2,当x取何值时,y的最大值是多少
变式探究二:在上一个问题中,如果把矩形改为如图所示的位置,其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其他条件不变,那么矩形的最大面积是多少
变式探究三:如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,AB=AC=20 cm,BC=24 cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D,G分别在边AB,AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少
三、交流反思
“二次函数应用”的思路:
1.理解问题;
2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;
3.用数学的方式表示出它们之间的关系;
4.运用数学知识求解.检验结果的合理性,给出问题的解答.
四、检测反馈
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8,点D在BC上运动(不运动至B,C), DE∥AC,交AB于E,设BD=x,△ADE的面积为y.
(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围;
(2)x为何值时,△ADE的面积最大 最大面积是多少
五、布置作业
课本P47 习题2.8 T1,T2
六、板书设计
4 二次函数的应用 第1课时
1.探究: 2.归纳: 3.练习:
七、教学反思
在课堂教学过程中,注重以学生的自主探究为主,从提出问题到解决问题,说明知识来源于生活,而又服务于生活,体现了理论联系实际的教学原则.从集体讨论——个别发言——总结归纳,符合学生的年龄特征.通过本节学习,学生不但从实际问题中理解数学知识,体会数学的乐趣,而且从能力上、思想上都达到一个新的境界.
通过本节课的教学看到学生在计算上还存在很大问题,在这方面要注意培养学生的准确计算能力,同时还看到学生的潜力很大,作为教师要充分发挥学生的主观能动性,为学生的发展提供足够的时间和空间.
