第一章 直角三角形的边角关系
1 锐角三角函数
第1课时
1.能够用tan A表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度(坡比)等.
2.能够根据直角三角形的边角关系,用正切进行简单的计算.
3.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
4.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.
重点:理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,密切数学与生活的联系.
难点:理解正切的意义,并用它来表示两边的比.
一、创设情境
介绍世界文化遗产——意大利比萨斜塔,激发学习兴趣
我们都知道世界著名的建筑——意大利比萨斜塔.但你知道比萨斜塔是如何倾斜的和倾斜角度是多少吗
如图,小明说,只要测得垂直中心线、塔身中心线的长度及塔顶中心点偏离垂直中心线的距离这三个数据中的任意两个,他就可以计算出塔身倾斜角θ的大小.你想知道小明是如何做的吗 那么,我们一起来学习新知识吧.通过本章的学习,你就会明白小明这样做的道理.
二、探究归纳
在小明家的墙角处放有一架较长的梯子,墙很高,又没有足够长的尺来测量,你有什么巧妙的方法得到梯子的倾斜程度呢
如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系
(2)和有什么关系
(3)如果改变B2在梯子上的位置呢 由此你得出什么结论
请同学们思考:既然直角三角形中,一个锐角一旦确定,它的对边与邻边的比也随之确定.那么这个确定的比我们能不能用一个数学符号来表示呢
数学上,我们把这个确定的比叫做一个锐角的正切.如图,我们把∠A的对边与∠A的邻边的比,叫做∠A的正切(tangent),记作tan A.即tan A=.
对于正切的定义,同学们必须明确以下几点:
1.tan A中常省略角的符号“∠”.用希腊字母表示角时也可省略如:tan α,tan β等.但用三个字母表示角和用阿拉伯数字表示角时,不能省略角的符号“∠”,要写成tan∠BAC或tan∠1,tan∠2等;
2.tan A没有单位,它表示一个比值;
3.tan A是一个完整的数学符号,不可分割,不表示“tan ”乘以“A”;
4.一个角的正切是在直角三角形中定义的,因此,tan A=只能在直角三角形中适用;
请同学们思考,梯子的倾斜程度与tan A的值有关吗
tan A的值越大,梯子越陡
例1:如图表示甲、乙两个自动扶梯,哪个自动扶梯比较陡
认识坡角、坡度(坡比)
坡角:坡面与水平面的夹角;
坡度(坡比):坡面的铅直高度与水平宽度的比,因此坡度(坡比)就是坡角的正切.
如图,有一山坡在水平方向上每前进100 m就升高60 m,那么山坡的坡角是α,坡度(坡比)就是:tan α==.
三、交流反思
师生互相交流总结本堂课所学的知识点和体会;谈谈对本节知识的理解.
四、检测反馈
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=6,若tan A=,则BC= .
2.如图,在△ABC中,AC=AB=10,BC=16,则tan B= .
3.如图,某人从山脚下的点A走了200 m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55 m.求山的坡度(结果精确到0.001).
五、布置作业
课本P4 习题 T1,T2
六、板书设计
1 锐角三角函数 第1课时
1.探究: 2.性质: 3.应用:
定义 推导 练习
七、教学反思
本课时结合学生身边的数学现象,依据初中学生身心发展的特点,通过介绍求比萨斜塔的倾斜角入手引入新课,激发了学生的求知欲.为了突破教学难点,教学活动中运用了直观教学、几何画板动态演示和验证、几何推理等方法,既直观地呈现了知识的内在联系,培养了学生的几何直观能力,又唤起和加深学生对教学内容的体会和理解.本课中,对比萨斜塔的倾斜角、梯子的倾斜程度、坡角、坡度(坡比)的认识,让学生更进一步体验了数学的实用性,加深了数学和实际生活的联系.1 锐角三角函数
第2课时
1.能利用相似的直角三角形,探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦,理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系.
2.能够用sin A,cos A表示直角三角形中直角边与斜边的比,能够用正弦、余弦进行简单的计算.
3.经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
4.体会解决问题的策略的多样性,发展实践能力和创新精神.
重点:理解正弦、余弦的数学定义,感受数学与生活的联系.
难点:体会正弦、余弦的数学意义,并用它来解决生活中的实际问题.
一、创设情境
复习引入
1.如图,Rt△ABC中,tan A=________,tan B=________.
2.若梯子与水平面相交的锐角(倾斜角)为∠A,∠A越大,梯子越________;tan A的值越大,梯子越________.
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,tan A=,AC=10,求BC,AB的长.
4.当Rt△ABC中的一个锐角A确定时,其他边之间的比值也确定吗 可以用其他的方式来表示梯子的倾斜程度吗
二、探究归纳
探究活动1:如图,请思考:
(1)Rt△AB1C1和Rt△AB2C2的关系是________;
(2)和的关系是________;
(3)如果改变B2在斜边AB1上的位置,则和的关系是________;
思考:从上面的问题可以看出:当直角三角形的一个锐角的大小已确定时,它的对边与斜边的比值________,根据是________________________.它的邻边与斜边的比值呢
归纳概念:
1.正弦的定义:
在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角∠A的对边BC与斜边AB的比叫做∠A的正弦,记作sin A,即sin A=________.
2.余弦的定义:
在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角∠A的邻边AC与斜边AB的比叫做∠A的余弦,记作cos A,即cos A=________.
3.锐角A的正弦,余弦,正切和余切都叫做∠A的三角函数.
探究活动2:我们知道,梯子的倾斜程度与tan A有关系,tan A越大,梯子越陡,那么梯子的倾斜程度与sin A和cos A有关系吗 是怎样的关系
探索发现:梯子的倾斜程度与sin A,cos A的关系:
sin A越大,梯子________;
cos A越________,梯子越陡.
探究活动3:在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=20,sin A=0.6,求BC和cos B.
通过上面的计算,你发现sin A与cos B有什么关系呢 sin B与cos A呢 在其他直角三角形中是不是也一样呢 请举例说明.
小结规律:在直角三角形中,一个锐角的正弦等于另一个锐角的________.
三、交流反思
检查学生掌握情况,同时能对知识进行及时梳理,有利于学生归纳和消化,特别对于重要的方法提示和要注意的细节,能再次呈现,使学生印象深刻.
四、检测反馈
1.如图,分别求∠α,∠β的三个三角函数值.
2.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sin B,cos B.
3.在△ABC中,AB=5,BC=13,AD是BC边上的高,AD=4.求:CD和sin C.
五、布置作业
课本P7 习题 3,4
六、板书设计
1 锐角三角函数 第2课时
1.探究: 2.推导性质: 3.应用:
归纳定义 练习
七、教学反思
本节课结合初中学生身心发展的特点,运用了类比法教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,很容易掌握正弦和余弦的概念和意义.同时,探究活动培养和发展了学生的观察、思维能力.本课时贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的基本认识规律,运用了这些直观教学,能使学生学习数学的过程成为积极的愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.
