兰西一中2024-2025学年高二上学期暑假验收
数学
时间：2小时；分值：150
一、单选题（每题5分，40分）
1．（ ）．
A． B． C． D．
2．在中，点D，N分别满足，，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
3．棱长为的正方体的内切球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．11月29日，江西新余仙女湖的渔民们迎来入冬第一个开捕日，仙女湖的有机鱼迎来又一个丰收年.七位渔民分在一个小组，各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
A．96种 B．120种 C．192种 D．240种
5．若圆锥的轴截面是斜边为4的等腰直角三角形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．如图，已知正方体的棱长为1，点为上一动点，现有以下四个结论：①面面；②面；③当为的中点时，的周长取得最小值；④三棱锥的体积是定值，其中正确的结论个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知，为椭圆（）的两个焦点，若椭圆上存在点满足，则此椭圆离心率的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分，18分）
9．给出以下24个数据：
148.0 149.0 154.0 154.0 155.0 155.0 155.2 157.0
158.0 158.0 159.0 159.5 161.5 162.0 162.5 162.5
163.0 163.0 164.0 164.1 165.0 170.0 171.0 172.0
对于以上给出的数据，下列选项正确的为（ ）
A．极差为24.0 B．第75百分位数为164.0
C．第25百分位数为155.2 D．80%分位数为164.1
10．下列基本事实叙述正确的是（ ）
A．经过两条相交直线，有且只有一个平面
B．经过两条平行直线，有且只有一个平面
C．经过三点，有且只有一个平面
D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面
11．已知正六边形的中心为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．存在实数，使得 D．
三、填空题（每题5分，15分）
12．已知正三角形边长为2，若点在边上且满足·=则·=
13．某班共有36名男生和24名女生，统计他们的体重数据（单位：kg），已知男生体重的平均数为65，方差为34，全体学生体重的平均数为59，方差为86，则该班女生体重的方差为 .
14．如图，小明在山脚测得山顶的仰角为45°，在山脚测得山顶的仰角为30°，测得，，是钝角，已知山脚和，在同一水平面上，则山的高度为 ．
四、解答题(77分)
15．（13分）如图，四面体中，，D在棱上，，，，，证明平面PBC.
16．（15分）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出名学生，将其成绩（均为整数）分成六段，后画出如图的频率分布直方图.
观察图形的信息，回答下列问题：
（1）估计这次考试成绩的众数；（5分）
（2）估计这次考试成绩的及格率（分及以上及格）.（10分）
17．（15分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q分别是平面AA1D1D、平面A1B1C1D1的中心，证明：
（1）D1Q∥平面C1DB；（6分）
（2）平面D1PQ∥平面C1DB．（9分）
18．（17分）在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，.若M是BC的中点，且，求△的面积.
19．（17分）已知复数满足.
（1）若是实数，求复数；（7分）
（2）求的取值范围.（10分）1-11：DDACBADC AD AB ACD
12．
13．
14．100
15．证明见解析.
【分析】连接PD，证明，然后利用线面垂直的判定定理即可得到证明.
【详解】证明：连接PD
，，
∴由余弦定理，，
又
平面PBC
16．（1）；（2）.
【详解】试题分析：（1）根据频率分布直方图中最高的小矩形，即可求出这次考试成绩的众数；（2）通过频率分布直方图，可估计该次考试中的及格率.
试题解析：（1）因为第四组的频率最大，所以这次考试成绩的众数为；
（2）依题意，及以上分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为，
所以，抽样学生成绩的合格分及以上是.
考点：频率分布直方图的应用及中位数.
17．（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【解析】(1)D1Q∥DB且D1Q 平面C1DB，DB 平面C1DB，由线面平行判定定理可证D1Q∥
平面C1DB
(2)同(1)，线面平行判定定理可证D1P∥平面C1DB，结合(1)结论且D1Q∩D1P＝D1，由面面平行判定定理可证平面D1PQ∥平面C1DB
【详解】证明：（1）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，可知D1Q∥DB，
∵D1Q 平面C1DB，DB 平面C1DB，
∴D1Q∥平面C1DB.
（2）由ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，D1P∥C1B，
∵D1P 平面C1DB，C1B 平面C1DB，
∴D1P∥平面C1DB，
由（1）知，D1Q∥平面C1DB，
又D1Q∩D1P＝D1
∴平面D1PQ∥平面C1DB.
18．
【分析】由余弦定理及勾股定理易知△为等腰直角三角形，结合已知，在△中应用正弦定理求得，进而可得，最后由三角形面积公式求面积即可.
【详解】由题设，，故，
所以△为等腰直角三角形，而，
在△中，，则，可得，
所以，且M是BC的中点，则.
19．（1）复数或；（2）.
【分析】（1）利用实数概念及模长，即可得到复数；
（2）利用点与圆的位置关系，即可得到取值范围.
【详解】（1）设i ，、，则，
又是实数，
∴，又，
∴或，
∴复数或；
（2）
表示复数对应的点与对应的点间的距离，
而复数在以原点为圆心，半径为5的圆上，
如图所示，
，
∴.
