(共19张PPT)
3 用公式法求解一元二次方程
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题 模型观念、运算能力、应用意识
2.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性 模型观念、应用意识
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
新知要点
已知一个几何图形的面积,求其边长(底或高)时,通常依据几何图形的__________列
方程求解.设其中一边为未知数,并用其表示另一边.
面积公式
对点小练
如图,一长为32 m、宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分),
余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540 m2,设道路宽度为x m,则题中涉及的
等量关系式为( )
A.(32-x)(20-x)=540 B.(x-32)(20-x)=540
C.(x-32)(x-20)=540 D.(32×24)-(32x+20x)=540
A
重点典例研析
【重点】重点列一元二次方程解面积型问题(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例】(教材再开发·P45习题2.6T2拓展)(2024·黔东南州期末)某助农单位为了提高农民的经济收入,购买了33 m的铁栅栏,准备用这些铁栅栏为农民靠墙(墙长15 m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示).
(1)若要建的矩形养鸡场面积为90 m2,求养鸡场的长(AB)和宽(BC);
【自主解答】(1)设BC=x m,则AB=(33-3x)m,依题意,得:x(33-3x)=90,
解得x1=6,x2=5.
当x=6时,33-3x=15,符合题意,当x=5时,33-3x=18,18>15,不合题意,舍去.
答:养鸡场的长(AB)为15 m,宽(BC)为6 m.
【典例】(教材再开发·P45习题2.6T2拓展)(2024·黔东南州期末)某助农单位为了提高农民的经济收入,购买了33 m的铁栅栏,准备用这些铁栅栏为农民靠墙(墙长15 m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示).
(2)该助农单位想要建一个100 m2的矩形养鸡场,这一想法能实现吗 请说明理由.
【自主解答】(2)不能,理由如下:
设BC=y m,则AB=(33-3y)m,
依题意,得y(33-3y)=100,
整理,得3y2-33y+100=0.
∵Δ=(-33)2-4×3×100=-111<0,
∴该方程无实数根,即该助农单位不能建成一个100 m2的矩形养鸡场.
【举一反三】
1.如图,有长为34米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为22米)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门,设花圃的宽AB为x米.若围成的花圃面积为96平方米,求此时的宽AB.
【解析】∵花圃的宽AB为x米,
∴花圃的长AD为(34+2-3x)米.
依题意得x(34+2-3x)=96,
解得x1=4,x2=8.
当x=4时,34+2-3x=24>22,不符合题意,舍去;当x=8时,34+2-3x=12<22,符合题意.
答:此时宽AB为8米.
2.某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场.鸡场的一边靠墙,墙的对面留有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长30米.若墙长不限,要围成的鸡场面积是120平方米.则鸡场的长和宽各为多少米
【解析】设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的边长为(30+2-2x)米,
依题意得x(30+2-2x)=120,
整理得x2-16x+60=0,
解得x1=10,x2=6.
当x=10时,30+2-2x=30+2-2×10=12;
当x=6时,30+2-2x=30+2-2×6=20.
答:鸡场的长为12米,宽为10米,或长为20米,宽为6米.
【技法点拨】
解决图形问题的三点注意
1.等量关系的寻找:可根据几何图形的特征,从面积公式、体积公式、勾股定理、全等等方面寻找等量关系.
2.转化思想的应用:在解决面积类问题时,常将不规则图形通过平移等转化为规则的图形,通过求面积列一元二次方程.
3.最终结果的检验:方程的解可以是任意实数,而实际问题的解应使实际问题有意义.
(10分钟·15分)
1.(4分·运算能力、应用意识)(2024·遵义红花岗区质检)如图,一块长16 m,宽8 m的
矩形菜地,现要在中间铺设同样宽度的石子路,余下的部分用于种植,且种植面积
为105 m2.设石子路的宽度为x m,则下面所列方程正确的是( )
A.(16-x)(8-x)+x2=105
B.(16-x)(8-x)=105
C.(16-2x)(8-x)+x2=105
D.(16-2x)(8-x)=105
素养当堂测评
B
2. (4分·运算能力、应用意识)如图是建筑物的平面示意图,四边形ABCD是矩形,
图中阴影部分是两条东西向走道和一条南北向走道.已知南北向走道宽度是东西
向走道宽度的倍,AB的长为104米,BC的长为71米,矩形ABCD除去阴影部分的面
积为6 060平方米,设东西向走道的宽度为x米,则根据题意可列方程为
_______________________.
(71-x) (104-2x)=6 060
3.(7分·模型观念、运算能力)(2024·贵阳期中)某展览馆计划将长60米,宽40米的矩形场馆重新布置,展览馆的中间是个1 500平方米的矩形展览区,四周留有等宽的通道.求通道的宽为多少米.
【解析】设通道的宽为x米,则展览区的长为(60-2x)米,宽为(40-2x)米,
根据题意得:(60-2x)(40-2x)=1 500,
整理得x2-50x+225=0,
解得x1=5,x2=45(不符合题意,舍去).
答:通道的宽为5米.
本课结束3 用公式法求解一元二次方程
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题 模型观念、运算能力、应用意识
2.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性 模型观念、应用意识
基础主干落实
新知要点 对点小练
已知一个几何图形的面积,求其边长(底或高)时,通常依据几何图形的面积公式列方程求解.设其中一边为未知数,并用其表示另一边. 如图,一长为32 m、宽为20 m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分),余下部分进行了绿化.若已知绿化面积为540 m2,设道路宽度为x m,则题中涉及的等量关系式为(A) A.(32-x)(20-x)=540 B.(x-32)(20-x)=540 C.(x-32)(x-20)=540 D.(32×24)-(32x+20x)=540
重点典例研析
【重点】重点列一元二次方程解面积型问题(模型观念、运算能力、应用意识)
【典例】(教材再开发·P45习题2.6T2拓展)(2024·黔东南州期末)某助农单位为了提高农民的经济收入,购买了33 m的铁栅栏,准备用这些铁栅栏为农民靠墙(墙长15 m)围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场(如图所示).
(1)若要建的矩形养鸡场面积为90 m2,求养鸡场的长(AB)和宽(BC);
【自主解答】(1)设BC=x m,则AB=(33-3x)m,依题意,得:x(33-3x)=90,
解得x1=6,x2=5.
当x=6时,33-3x=15,符合题意,当x=5时,33-3x=18,18>15,不合题意,舍去.
答:养鸡场的长(AB)为15 m,宽(BC)为6 m.
(2)该助农单位想要建一个100 m2的矩形养鸡场,这一想法能实现吗 请说明理由.
【自主解答】(2)不能,理由如下:
设BC=y m,则AB=(33-3y)m,
依题意,得y(33-3y)=100,
整理,得3y2-33y+100=0.
∵Δ=(-33)2-4×3×100=-111<0,
∴该方程无实数根,即该助农单位不能建成一个100 m2的矩形养鸡场.
【举一反三】
1.如图,有长为34米的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度为22米)围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃,园主在花圃的前端各设计了两个宽1米的小门,设花圃的宽AB为x米.若围成的花圃面积为96平方米,求此时的宽AB.
【解析】∵花圃的宽AB为x米,
∴花圃的长AD为(34+2-3x)米.
依题意得x(34+2-3x)=96,
解得x1=4,x2=8.
当x=4时,34+2-3x=24>22,不符合题意,舍去;当x=8时,34+2-3x=12<22,符合题意.
答:此时宽AB为8米.
2.某养殖专业户要建一个如图所示的长方形鸡场.鸡场的一边靠墙,墙的对面留有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长30米.若墙长不限,要围成的鸡场面积是120平方米.则鸡场的长和宽各为多少米
【解析】设垂直于墙的边长为x米,则平行于墙的边长为(30+2-2x)米,
依题意得x(30+2-2x)=120,
整理得x2-16x+60=0,
解得x1=10,x2=6.
当x=10时,30+2-2x=30+2-2×10=12;
当x=6时,30+2-2x=30+2-2×6=20.
答:鸡场的长为12米,宽为10米,或长为20米,宽为6米.
【技法点拨】
解决图形问题的三点注意
1.等量关系的寻找:可根据几何图形的特征,从面积公式、体积公式、勾股定理、全等等方面寻找等量关系.
2.转化思想的应用:在解决面积类问题时,常将不规则图形通过平移等转化为规则的图形,通过求面积列一元二次方程.
3.最终结果的检验:方程的解可以是任意实数,而实际问题的解应使实际问题有意义.
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(4分·运算能力、应用意识)(2024·遵义红花岗区质检)如图,一块长16 m,宽8 m的矩形菜地,现要在中间铺设同样宽度的石子路,余下的部分用于种植,且种植面积为105 m2.设石子路的宽度为x m,则下面所列方程正确的是(B)
A.(16-x)(8-x)+x2=105
B.(16-x)(8-x)=105
C.(16-2x)(8-x)+x2=105
D.(16-2x)(8-x)=105
2. (4分·运算能力、应用意识)如图是建筑物的平面示意图,四边形ABCD是矩形,图中阴影部分是两条东西向走道和一条南北向走道.已知南北向走道宽度是东西向走道宽度的倍,AB的长为104米,BC的长为71米,矩形ABCD除去阴影部分的面积为6 060平方米,设东西向走道的宽度为x米,则根据题意可列方程为 (71-x) (104-2x)=6 060 .
3.(7分·模型观念、运算能力)(2024·贵阳期中)某展览馆计划将长60米,宽40米的矩形场馆重新布置,展览馆的中间是个1 500平方米的矩形展览区,四周留有等宽的通道.求通道的宽为多少米.
【解析】设通道的宽为x米,则展览区的长为(60-2x)米,宽为(40-2x)米,
根据题意得:(60-2x)(40-2x)=1 500,
整理得x2-50x+225=0,
解得x1=5,x2=45(不符合题意,舍去).
答:通道的宽为5米.
