3 用公式法求解一元二次方程
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程 推理能力、运算能力
2.会用公式法解一元二次方程 模型观念、运算能力
3.会用根的判别式b2-4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实
新知要点 对点小练
1.用公式法求解一元二次方程 1.(1)用求根公式计算方程x2-3x+2=0的根,公式中b的值为(B) A.3 B.-3 C.2 D.- (2)用公式法解方程3x2+5x+1=0,正确的是(A) A.x= B.x= C.x= D.x=
2.一元二次方程根的判别式 根的判别式根的情况与判别式的关系Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0有两个不相等的实数根有两个相等的实数根没有实数根
2.(1)一元二次方程2x2+3x-1=0的根的判别式的值为 17 . (2)如果关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根,那么实数k的值是 .
重点典例研析
【重点1】用公式法求解一元二次方程(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P42例题拓展)用公式法解下列方程:
(1)2x2+5=7x.
【自主解答】(1)将原方程化为一般式,得2x2-7x+5=0,这里a=2,b=-7,c=5,
∴Δ=b2-4ac=(-7)2-4×2×5=9>0,
∴x==,
即x1=1,x2=.
(2)4x2+5(2x+1)=0.
【自主解答】(2)将原方程化为一般式,得4x2+10x+5=0,这里a=4,b=10,c=5,
∵Δ=b2-4ac=102-4×4×5=20>0,
∴x==,
即x1=,x2=.
【举一反三】
用公式法解下列方程:
(1)3x2-7x+3=-1;
【解析】(1)3x2-7x+3=-1,
3x2-7x+4=0,
b2-4ac=(-7)2-4×3×4=1>0,
x=,
x1=1,x2=.
(2)x(x-2)=3-x.
【解析】(2)x(x-2)=3-x,
x2-2x=3-x,
x2-x-3=0,
b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13>0,
x=,
x1=,x2=.
【重点2】根的判别式及应用(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材溯源·P42“议一议”·2023贵州中考)若一元二次方程kx2-3x+1=0有两个相等的实数根,则k的值是 .
【举一反三】
1.(2022·安顺中考)定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况是(B)
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
2.(2024·咸阳期中)已知关于x的方程x2-(m-3)x+m-4=0.
(1)求证:无论m取何值,该方程都有实数根;
(2)任取一个m的值,求出此时方程的解.
【解析】(1)∵关于x的方程x2-(m-3)x+m-4=0,∴Δ=[-(m-3)]2-4(m-4)=
m2-10m+25=(m-5)2≥0,
∴无论m取何值,该方程都有实数根.
(2)(答案不唯一)当m=3时,方程x2-(m-3)x+m-4=0为方程x2-1=0,
解得x1=-1,x2=1.
故当m=3时,方程的根是x1=-1,x2=1.
素养当堂测评 (10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)用公式法解方程x2-2x=-1时,a,b,c的值为(D)
A.a=1,b=2,c=-1
B.a=1,b=-2,c=-1
C.a=-1,b=2,c=-1
D.a=1,b=-2,c=1
2.(3分·模型观念、运算能力)x=是下列哪个一元二次方程的根(C)
A.2x2+x-3=0 B.x2-2x-3=0
C.2x2-x-3=0 D.x2+2x-3=0
3.(3分·运算能力)已知关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是(D)
A.a≥-4 B.a>-4
C.a≥-4且a≠0 D.a>-4且a≠0
4.(3分·运算能力)若一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为 1 .
5.(8分·推理能力、运算能力)关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)当方程根的判别式等于5时,则m=________.
【解析】(1)Δ=[-(m+3)]2-4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+4.
∵(m+1)2≥0,∴(m+1)2+4>0,即Δ>0,
∴无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵Δ=m2+2m+5=5,∴m(m+2)=0,
∴m1=0,m2=-2.
答案:0或-2(共18张PPT)
3 用公式法求解一元二次方程
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.理解一元二次方程求根公式的推导过程 推理能力、运算能力
2.会用公式法解一元二次方程 模型观念、运算能力
3.会用根的判别式b2-4ac判断一元二次方程根的情况及相关应用 模型观念、运算能力、应用意识
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
新知要点
1.用公式法求解一元二次方程
对点小练
1.(1)用求根公式计算方程x2-3x+2=0的根,公式中b的值为( )
A.3 B.-3 C.2 D.-
(2)用公式法解方程3x2+5x+1=0,正确的是( )
A.x= B.x=
C.x= D.x=
B
A
新知要点
2.一元二次方程根的判别式
根的判别式 根的情况与判别式的关系
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0
有____________的实数根 有__________的实数根 ______实数根
两个不相等
两个相等
没有
对点小练
2.(1)一元二次方程2x2+3x-1=0的根的判别式的值为________.
(2)如果关于x的方程x2-3x+k=0有两个相等的实数根,那么实数k的值是_____.
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重点典例研析
【重点1】用公式法求解一元二次方程(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P42例题拓展)用公式法解下列方程:
(1)2x2+5=7x.
【自主解答】(1)将原方程化为一般式,得2x2-7x+5=0,这里a=2,b=-7,c=5,
∴Δ=b2-4ac=(-7)2-4×2×5=9>0,
∴x==,
即x1=1,x2=.
(2)4x2+5(2x+1)=0.
【自主解答】(2)将原方程化为一般式,得4x2+10x+5=0,这里a=4,b=10,c=5,
∵Δ=b2-4ac=102-4×4×5=20>0,
∴x==,
即x1=,x2=.
【举一反三】
用公式法解下列方程:
(1)3x2-7x+3=-1;
【解析】(1)3x2-7x+3=-1,
3x2-7x+4=0,
b2-4ac=(-7)2-4×3×4=1>0,
x=,
x1=1,x2=.
(2)x(x-2)=3-x.
【解析】(2)x(x-2)=3-x,
x2-2x=3-x,
x2-x-3=0,
b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13>0,
x=,
x1=,x2=.
【重点2】根的判别式及应用(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材溯源·P42“议一议”·2023贵州中考)若一元二次方程kx2-3x+1=0有
两个相等的实数根,则k的值是_____.
【举一反三】
1.(2022·安顺中考)定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b=(a+b)(a-b)-1,其中等
式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k
为实数)是关于x的方程,则它的根的情况是( )
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
B
2.(2024·咸阳期中)已知关于x的方程x2-(m-3)x+m-4=0.
(1)求证:无论m取何值,该方程都有实数根;
(2)任取一个m的值,求出此时方程的解.
【解析】(1)∵关于x的方程x2-(m-3)x+m-4=0,∴Δ=[-(m-3)]2-4(m-4)=
m2-10m+25=(m-5)2≥0,
∴无论m取何值,该方程都有实数根.
(2)(答案不唯一)当m=3时,方程x2-(m-3)x+m-4=0为方程x2-1=0,
解得x1=-1,x2=1.
故当m=3时,方程的根是x1=-1,x2=1.
(10分钟·20分)
1.(3分·运算能力)用公式法解方程x2-2x=-1时,a,b,c的值为( )
A.a=1,b=2,c=-1
B.a=1,b=-2,c=-1
C.a=-1,b=2,c=-1
D.a=1,b=-2,c=1
素养当堂测评
D
2.(3分·模型观念、运算能力)x=是下列哪个一元二次方程的根
( )
A.2x2+x-3=0 B.x2-2x-3=0
C.2x2-x-3=0 D.x2+2x-3=0
3.(3分·运算能力)已知关于x的一元二次方程ax2-4x-1=0有两个不相等的实数根,
则a的取值范围是( )
A.a≥-4 B.a>-4
C.a≥-4且a≠0 D.a>-4且a≠0
C
D
4.(3分·运算能力)若一元二次方程x2+2x+k=0有两个相等的实数根,则k的值为_______.
5.(8分·推理能力、运算能力)关于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根;
(2)当方程根的判别式等于5时,则m=________.
【解析】(1)Δ=[-(m+3)]2-4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+4.
∵(m+1)2≥0,∴(m+1)2+4>0,即Δ>0,
∴无论m为何值,方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵Δ=m2+2m+5=5,∴m(m+2)=0,∴m1=0,m2=-2.
答案:0或-2
1
本课结束
