4 探索三角形相似的条件
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.利用两角分别相等或两边成比例且夹角相等证明三角形相似 应用意识、抽象能力
2.应用两角分别相等或两边成比例且夹角相等的两三角形相似的判定解决问题 模型观念、运算能力、推理能力
基础主干落实
新知要点 对点小练
1.三角形相似的判定方法1 文字 语言条件两个三角形中,有两角分别相等结论这两个三角形相似符号 语言 ∵ ∠A=∠A',∠B=∠B', ∴ △ABC ∽△A'B'C'
1.已知一个三角形的两个内角分别是30°,70°,另一个三角形的两个内角分别是70°,80°,则这两个三角形 (A) A.一定相似 B.不一定相似 C.一定不相似 D.不能确定
2.三角形相似的判定方法2 文字 语言条件两个三角形中,两边成比例且夹角相等结论这两个三角形相似符号 语言 ∵ ∠A=∠A', ∴ △ABC ∽△A'B'C'
2.下列可以判定△ABC∽△A'B'C'的条件是 (C) A.=,且∠B=∠B' B.=且∠C=∠C' C.=且∠A=∠A' D.=且∠B=∠B'
重点典例研析
【重点1】利用两角分别相等判定两三角形相似(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材溯源·P90习题T3·2023湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
【自主解答】(1)∵AD是斜边BC上的高,∴∠BDA=90°,
∵∠BAC=90°,∴∠BDA=∠BAC,又∵∠B为公共角,∴△ABD∽△CBA;
(2)由(1)知△ABD∽△CBA,∴=,∴=,∴BD=3.6.
【举一反三】
(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)证明:△ABC∽△DEB.
(2)求线段BD的长.
【解析】(1)∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,∴∠A=∠CBE=∠D=90°,
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB;
(2)∵△ABC∽△DEB,∴=,∴=,∴BD=3.
【重点2】利用两边成比例且夹角相等判定两三角形相似(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P92随堂练习延伸)
如图,点B,C分别在△ADE的边AD,AE上,且AC=3,AB=2.5,EC=2,DB=3.5,∠E=94°,则∠ABC的度数为 94° .
【举一反三】
(2024·铜仁期末)如图,D,E分别为AB,AC边上两点,且AD=5,BD=3,AE=4,CE=6.
求证:△ADE∽△ACB.
【解析】∵AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,∴AB=AD+BD=8,AC=AE+CE=10,
∴==,==,∴=,又∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB.
素养当堂测评 (10分钟·15分)
1.(4分·抽象能力)下列各组中两个图形不一定相似的是 (B)
A.有一个角是120°的两个等腰三角形
B.有一个角是35°的两个等腰三角形
C.两个等腰直角三角形
D.顶角相等的两个等腰三角形
2.(4分·模型观念、抽象能力)如图,以下三个三角形中,相似的是 (B)
A.(1)和(2) B.(2)和(3)
C.(1)和(3) D.(1)和(2)和(3)
3.(7分·模型观念、推理能力)(2024·铜仁期末)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BF平分∠ABC交AD于E,交AC于F.求证:△ABE∽△CBF.
【证明】∵△ABC中,∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠C+∠CAD=90°,∴∠C=∠BAD,
∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠EBD,∴△ABE∽△CBF.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十三”(共17张PPT)
4 探索三角形相似的条件
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.利用两角分别相等或两边成比例且夹角相等证明三角形相似 应用意识、抽象能力
2.应用两角分别相等或两边成比例且夹角相等的两三角形相似的判定解决问题 模型观念、运算能力、推理能力
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
新知要点
1.三角形相似的判定方法1
文字 语言 条件 两个三角形中,有两角分别______
结论 这两个三角形______
符号 语言
∵ ∠A=∠A',∠B=∠B',
∴ △ABC ∽△A'B'C'
相等
相似
对点小练
1.已知一个三角形的两个内角分别是30°,70°,另一个三角形的两个内角分别是70°,80°,则这两个三角形 ( )
A.一定相似 B.不一定相似
C.一定不相似 D.不能确定
A
新知要点
2.三角形相似的判定方法2
文字 语言 条件 两个三角形中,两边________且夹角______
结论 这两个三角形______
符号 语言
∵ ∠A=∠A',
∴ △ABC ∽△A'B'C'
成比例
相等
相似
对点小练
2.下列可以判定△ABC∽△A'B'C'的条件是 ( )
A.=,且∠B=∠B'
B.=且∠C=∠C'
C.=且∠A=∠A'
D.=且∠B=∠B'
C
重点典例研析
【重点1】利用两角分别相等判定两三角形相似(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材溯源·P90习题T3·2023湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(1)证明:△ABD∽△CBA;
【自主解答】(1)∵AD是斜边BC上的高,
∴∠BDA=90°,∵∠BAC=90°,
∴∠BDA=∠BAC,又∵∠B为公共角,∴△ABD∽△CBA;
【典例1】(教材溯源·P90习题T3·2023湘潭中考)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高.
(2)若AB=6,BC=10,求BD的长.
【自主解答】(2)由(1)知△ABD∽△CBA,
∴=,∴=,∴BD=3.6.
【举一反三】
(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的
一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(1)证明:△ABC∽△DEB.
【解析】(1)∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,∴∠A=∠CBE=∠D=90°,
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,∴∠C=∠DBE,∴△ABC∽△DEB;
(2023·邵阳中考)如图,CA⊥AD,ED⊥AD,点B是线段AD上的一点,且CB⊥BE.已知AB=8,AC=6,DE=4.
(2)求线段BD的长.
【解析】 (2)∵△ABC∽△DEB,∴=,∴=,∴BD=3.
【重点2】利用两边成比例且夹角相等判定两三角形相似(模型观念、推理能力)
【典例2】(教材再开发·P92随堂练习延伸)
如图,点B,C分别在△ADE的边AD,AE上,且AC=3,AB=2.5,EC=2,DB=3.5,∠E=94°,则∠ABC的度数为________.
94°
【举一反三】
(2024·铜仁期末)如图,D,E分别为AB,AC边上两点,且AD=5,BD=3,AE=4,CE=6.
求证:△ADE∽△ACB.
【解析】∵AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,∴AB=AD+BD=8,AC=AE+CE=10,
∴==,==,∴=,又∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB.
(10分钟·15分)
1.(4分·抽象能力)下列各组中两个图形不一定相似的是( )
A.有一个角是120°的两个等腰三角形
B.有一个角是35°的两个等腰三角形
C.两个等腰直角三角形
D.顶角相等的两个等腰三角形
素养当堂测评
B
2.(4分·模型观念、抽象能力)如图,以下三个三角形中,相似的是( )
A.(1)和(2) B.(2)和(3)
C.(1)和(3) D.(1)和(2)和(3)
B
3.(7分·模型观念、推理能力)(2024·铜仁期末)如图,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,BF平分∠ABC交AD于E,交AC于F.求证:△ABE∽△CBF.
【证明】∵△ABC中,∠BAC=90°,∴∠BAD+∠CAD=90°,
∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,∴∠C+∠CAD=90°,∴∠C=∠BAD,
∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠EBD,∴△ABE∽△CBF.
本课结束
