(共16张PPT)
6 利用相似三角形测高
课时学习目标 素养目标达成
1.理解相似三角形的判定定理与定义 抽象能力、推理能力
2.综合应用相似三角形的判定定理与定义解决问题 应用意识、模型观念、运算能力、推理能力
基础主干落实
重点典例研析
素养当堂测评
基础主干落实
新知要点
1.利用阳光下的影子测高
(1)原理:同一时刻,物体的高度与其影长成比例;
(2)测量数据:人影长、人高、物影长.
对点小练
1.在相同时刻的物高与影长成比例,如果高为1.5米的旗杆的影长为3米,那么影长
为30米的旗杆的高是 ( )
A.20米 B.18米 C.16米 D.15米
D
新知要点
2.利用标杆测高
(1)原理:标杆测量高度,构造两个三角形,证明相似;
(2)测量数据:人高、人到标杆的距离、标杆高、标杆到物体的距离.
对点小练
2.如图,已知标杆高度CD=3 m,标杆与旗杆的水平距离BD=15 m,人的眼睛到地面
的高度EF=1.6 m,人与标杆CD的水平距离DF=2 m,
则旗杆AB的高度为_________m.
13.5
新知要点
3.利用镜子的反射测高
(1)原理:平面镜测量高度,利用反射角等于入射角,证明两个三角形相似;
(2)测量数据:人高、人到镜子的距离、镜子到物体的距离.
对点小练
3.如图,雨后初晴,一个学生在运动场上玩耍,在他前面2 m远处有一块小积水,他看到了旗杆顶端的倒影.若旗杆底端到积水处的距离为40 m,该学生的眼部高度为1.5 m,则旗杆的高度是________m.
30
重点典例研析
【重点1】构造标杆中的相似三角形,计算物体的高度(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P103“方法2”强化)(2024·贵阳期末)小星测量如图所示大楼的高度MN.在距离大楼39 m的点B处竖立一根长为3 m的标杆AB.他调整自己的位置.站在D处时.使得他直立时眼睛C、标杆顶点A和大楼顶点M三点共线.已知BD=1 m.小星的眼睛距离地面高度CD为1.7 m.求大楼的高度.
【自主解答】如图,过点C作CG⊥MN,垂足为G,交AB于点H,
∵∠AHC=∠MGC=90°,∠ACH=∠MCG,
∴△CAH∽△CMG,
∴=,即=,
∴MG=52 m,∴MN=MG+GN=52+1.7=53.7(m)
∴大楼的高度为53.7 m.
【重点2】构造镜子反射中的相似三角形,计算物体的高度(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材溯源·P103“方法3”·2023南充中考)如图,数学活动课上,为测量学
校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、平面镜和
旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛
离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平
距离为10 m,则旗杆高度为 ( )
A.6.4 m B.8 m
C.9.6 m D.12.5 m
B
【举一反三】
如图,强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度,先在操场上点A处放一面平面镜,从点A处后退1 m到点B处,恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像;再将平面镜向后移动4 m(即AC=4 m)放在C处,从点C处向后退1.5 m到点D处,恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像,测得强强的眼睛距地面的高度FB,GD为1.5 m,已知点O,A,B,C,D在同一水平线上,且GD⊥OD,FB⊥OD,EO⊥OD.求大树OE的高度.(平面镜的大小忽略不计)
【解析】由已知得,AB=1 m,CD=1.5 m,AC=4 m,FB=GD=1.5 m,
∠AOE=∠ABF=∠CDG=90°,∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE.
∵∠BAF=∠OAE,∠ABF=∠AOE,∴△BAF∽△OAE,
∴=,即=,∴OE=1.5OA.
∵∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE,∴△GDC∽△EOC,
∴=,即=,∴OE=OA+4,∴1.5OA=OA+4,
∴OA=8 m,OE=12 m.
答:大树OE的高度为12 m.
(10分钟·16分)
1.(4分·抽象能力)如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为10 cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长是( )
A. cm B. cm C.7 cm D.6 cm
素养当堂测评
A
2.(4分·抽象能力)一种雨伞的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF=30 cm,
当点O沿AD滑动时,雨伞开闭.若AB=3AE,AD=3AO,此时B,D两点间的距离等于 ( )
A.60 cm B.80 cm
C.90 cm D.120 cm
C
3.(8分·模型观念、运算能力)如图所示,在离某建筑物4 m处有一棵树AB,在某时刻,1.2 m长的竹竿A'B'垂直地面,影长为2 m,此时,树的影子有一部分映在地面上,还有一部分影子映在建筑物的墙上,墙上的影高为2 m,那么这棵树高多少米
【解析】过点C作CE∥AD交AB于点E,∵AB∥CD,
∴四边形AECD是平行四边形,∴CD=AE=2 m.
由题意知,A'B∥AD,∴A'B∥CE,∴∠A'BB'=∠ECB.
又∵∠B'=∠EBC=90°,∴△BCE∽△B'BA',
∴A'B'∶B'B=BE∶BC,即1.2∶2=BE∶4,∴BE=2.4,
∴AB=2.4+2=4.4,
答:这棵树高4.4 m.
本课结束6 利用相似三角形测高
课时学习目标 素养目标达成
1.理解相似三角形的判定定理与定义 抽象能力、推理能力
2.综合应用相似三角形的判定定理与定义解决问题 应用意识、模型观念、运算能力、推理能力
基础主干落实
新知要点 对点小练
1.利用阳光下的影子测高 (1)原理:同一时刻,物体的高度与其影长成比例; (2)测量数据:人影长、人高、物影长. 1.在相同时刻的物高与影长成比例,如果高为1.5米的旗杆的影长为3米,那么影长为30米的旗杆的高是 (D) A.20米 B.18米 C.16米 D.15米
2.利用标杆测高 (1)原理:标杆测量高度,构造两个三角形,证明相似; (2)测量数据:人高、人到标杆的距离、标杆高、标杆到物体的距离. 2.如图,已知标杆高度CD=3 m,标杆与旗杆的水平距离BD=15 m,人的眼睛到地面的高度EF=1.6 m,人与标杆CD的水平距离DF=2 m,则旗杆AB的高度为 13.5 m.
3.利用镜子的反射测高 (1)原理:平面镜测量高度,利用反射角等于入射角,证明两个三角形相似; (2)测量数据:人高、人到镜子的距离、镜子到物体的距离. 3.如图,雨后初晴,一个学生在运动场上玩耍,在他前面2 m远处有一块小积水,他看到了旗杆顶端的倒影.若旗杆底端到积水处的距离为40 m,该学生的眼部高度为1.5 m,则旗杆的高度是 30 m.
重点典例研析
【重点1】构造标杆中的相似三角形,计算物体的高度(模型观念、运算能力)
【典例1】(教材再开发·P103“方法2”强化)(2024·贵阳期末)小星测量如图所示大楼的高度MN.在距离大楼39 m的点B处竖立一根长为3 m的标杆AB.他调整自己的位置.站在D处时.使得他直立时眼睛C、标杆顶点A和大楼顶点M三点共线.已知BD=1 m.小星的眼睛距离地面高度CD为1.7 m.求大楼的高度.
【自主解答】如图,过点C作CG⊥MN,垂足为G,交AB于点H,
∵∠AHC=∠MGC=90°,∠ACH=∠MCG,
∴△CAH∽△CMG,
∴=,即=,
∴MG=52 m,∴MN=MG+GN=52+1.7=53.7(m)
∴大楼的高度为53.7 m.
【重点2】构造镜子反射中的相似三角形,计算物体的高度(模型观念、运算能力)
【典例2】(教材溯源·P103“方法3”·2023南充中考)如图,数学活动课上,为测量学校旗杆高度,小菲同学在脚下水平放置一平面镜,然后向后退(保持脚、平面镜和旗杆底端在同一直线上),直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端.已知小菲的眼睛离地面高度为1.6 m,同时量得小菲与镜子的水平距离为2 m,镜子与旗杆的水平距离为10 m,则旗杆高度为 (B)
A.6.4 m B.8 m
C.9.6 m D.12.5 m
【举一反三】
如图,强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度,先在操场上点A处放一面平面镜,从点A处后退1 m到点B处,恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像;再将平面镜向后移动4 m(即AC=4 m)放在C处,从点C处向后退1.5 m到点D处,恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点的像,测得强强的眼睛距地面的高度FB,GD为1.5 m,已知点O,A,B,C,D在同一水平线上,且GD⊥OD,FB⊥OD,EO⊥OD.求大树OE的高度.(平面镜的大小忽略不计)
【解析】由已知得,AB=1 m,CD=1.5 m,AC=4 m,FB=GD=1.5 m,∠AOE=∠ABF=∠CDG=90°,∠BAF=∠OAE,∠DCG=∠OCE.
∵∠BAF=∠OAE,∠ABF=∠AOE,∴△BAF∽△OAE,
∴=,即=,∴OE=1.5OA.
∵∠DCG=∠OCE,∠CDG=∠COE,∴△GDC∽△EOC,
∴=,即=,∴OE=OA+4,∴1.5OA=OA+4,
∴OA=8 m,OE=12 m.
答:大树OE的高度为12 m.
素养当堂测评 (10分钟·16分)
1.(4分·抽象能力)如图,测量小玻璃管口径的量具ABC,AB的长为10 cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长是(A)
A. cm B. cm C.7 cm D.6 cm
2.(4分·抽象能力)一种雨伞的截面图如图所示,伞骨AB=AC,支撑杆OE=OF=30 cm,当点O沿AD滑动时,雨伞开闭.若AB=3AE,AD=3AO,此时B,D两点间的距离等于 (C)
A.60 cm B.80 cm C.90 cm D.120 cm
3.(8分·模型观念、运算能力)如图所示,在离某建筑物4 m处有一棵树AB,在某时刻,1.2 m长的竹竿A'B'垂直地面,影长为2 m,此时,树的影子有一部分映在地面上,还有一部分影子映在建筑物的墙上,墙上的影高为2 m,那么这棵树高多少米
【解析】过点C作CE∥AD交AB于点E,∵AB∥CD,
∴四边形AECD是平行四边形,∴CD=AE=2 m.
由题意知,A'B∥AD,∴A'B∥CE,∴∠A'BB'=∠ECB.
又∵∠B'=∠EBC=90°,∴△BCE∽△B'BA',
∴A'B'∶B'B=BE∶BC,即1.2∶2=BE∶4,∴BE=2.4,
∴AB=2.4+2=4.4,
答:这棵树高4.4 m.
训练升级,请使用 “课时过程性评价 二十六”
