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九年级上册
第四章 图形的相似
概述知识脉络
课标内容要求
素养能力培养
概述知识脉络
本章图形的相似是图形变换中最重要的一种变换形式,通过对三角形、四边形等图形的性质及全等三角形的学习,为图形的相似打下了基础,同时本章的学习也为后一章投影与视图打下了基础,通过梳理各知识之间的内在联系,可建立下面的知识体系:
课标内容要求
认知水平 课标内容 素养目标
理解 了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段,黄金分 割,图形的相似、位似等概念 几何直观
了解相似三角形的判定定理、性质定理
掌握 掌握基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应 线段成比例 运算能力
推理能力
模型观念
掌握相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形 相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成 比例的两个三角形相似
认知水平 课标内容 素养目标
掌握 掌握相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的 比等于相似比;面积比等于相似比的平方 运算能力
推理能力
模型观念
掌握基本事实的推论:平行于三角形一边的直线与其 他两边相交,截得的对应线段成比例
运用 会利用图形的相似解决一些简单的实际问题 应用意识
了解黄金分割在建筑、艺术上的实例;运用位似将一 个图形放大或缩小
本章的数学内容能进一步发展空间观念、几何直观、推理能力等数学核心素养;在学习过程中通过画图、实践体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果.在解决问题的过程中,发展数学思维能力.
素养能力培养
体系自我构建
目标维度评价
【维度1】基础知识的应用
1.(2023·广东中考)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献,优选法
中有一种0.618法应用了 ( )
A.黄金分割数 B.平均数
C.众数 D.中位数
2.(2022·宁夏中考)如图,将三角尺直立举起靠近墙面,打开手机手电筒照射三角尺,
在墙面上形成影子.则三角尺与影子之间属于以下哪种图形
变换( )
A.平移 B.轴对称
C.旋转 D.位似
A
D
【维度2】基本技能(方法)、基本思想的应用
3.(2023·吉林中考)如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则的值是( )
A. B. C. D.
A
4.(2022·徐州中考)如图,若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面
积为( )
A.5 B.6 C. D.
C
5.(2023·哈尔滨中考)如图,AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是AB的中点,MN∥AC,交BD于点N,若DO∶OB=1∶2,AC=12,则MN的长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
B
6.(2023·雅安中考)如图,在 ABCD中,F是AD上一点,CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线于点G,EF=1,EC=3,则GF的长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
C
7.(2023·内江中考)如图,在△ABC中,点D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上,AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为( )
A.1 B. C.2 D.3
C
8.(2023·赤峰中考)如图,把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠,使点C与AB延长线上的点Q重合,DE交BC于点F,交AB延长线于点E,DQ交BC于点P,DM⊥AB于点M,AM=4,则下列结论:①DQ=EQ,②BQ=3,③BP=,④BD∥FQ.正确的是 ( )
A.①②③ B.②④
C.①③④ D.①②③④
A
9.(2023·甘孜中考)若=2,则=_______.
10.(2023·临沂中考)如图,三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角,得到的平行四边形纸片的周长是 ______.
1
14
11.(2023·乐山中考)如图,在平行四边形ABCD中,E是线段AB上一点,连接AC,DE交于点F.若=,则=_____.
12.(2023·达州中考)如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为_______________cm.(结果保留根号)
(80-160)
13.(2023·绥化中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,
点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°.则点C'的坐标为__________.
(结果用含a,b的式子表示)
(6-2a,-2b)
14.(2023·包头中考)如图,AC,AD,CE是正五边形ABCDE的对角线,AD与CE相交于点F.下列结论:①CF平分∠ACD;②AF=2DF;③四边形ABCF是菱形;④AB2=AD·EF.其中正确的结论是____________.(填写所有正确结论的序号)
①③④
15.(2023·常德中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,延长DA至E,连接EB,
EC.
(1)求证:△BAE≌△CAE;
【证明】(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD是BC的垂直平分线,
又∵E在直线AD上,∴EB=EC,
在△BAE和△CAE中,,
∴△BAE≌△CAE(SSS);
15.(2023·常德中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,延长DA至E,连接EB,EC.
(2)在如图1中,若AE=AD,其他条件不变得到图2,在图2中过点D作DF⊥AB于F,设H是EC的中点,过点H作HG∥AB交FD于G,交DE于M.求证:①AF·MH=AM·AE;②GF=GD.
【证明】(2)①连接AH,∵A,H分别是ED和EC的中点,
∴AH为△EDC的中位线,∴AH∥DC,∴∠EAH=∠EDC=90°,
又∵DF⊥AB,∴∠AFD=90°,又∵HG∥AB,∴∠FAD=∠AMH,
∴△AFD∽△MAH,∴=,∴AF·MH=AM·AD,
∵AE=AD,∴AF·MH=AM·AE;
②∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ABD=∠ADF=∠AHM,
∴∠AHM=∠ACB,∴△AMH∽△DAC,
∵A,H分别为ED和EC的中点,∴AH为△EDC的中位线,∴==,∴AM=AD,即M为AD中点,∵AF∥GH,∴G为FD的中点,∴GF=GD.
【维度3】实际生活生产中的运用
16.(2023·攀枝花中考)拜寺口双塔,分为东西两塔,位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内,是保存最为完整的西夏佛塔,已有近1 000年历史,是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理,来测量东塔的高度.东塔的高度为AB,选取与塔底B在同一水平地面上的E,G两点,分别垂直地面竖立两根高为1.5 m的标杆EF和GH,两标杆间隔EG为46 m,并且东塔AB,标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退2 m到D处(即ED=2 m),从D处观察A点,A,F,D在一条直线上;从标杆GH后退4 m到C处(即CG=4 m),从C处观察A点,A,H,C三点也在一条直线上,且B,E,D,G,C在同一条直线上,请你根据以上测量数据,帮助兴趣小组求出东塔AB的高度.
【解析】设BD=x m,则BC=BD+DG+CG=(x+48)m
∵AB⊥BC,EF⊥BC,∴∠B=∠FED=90°,∵∠ADB=∠FDE,∴△ABD∽△FED,
∴=,即=,同理可证△ABC∽△HGC,∴=,即=,∴=,
解得x=48,经检验,x=48是原方程的解,∴=,∴AB=36,
∴东塔AB的高度为36 m.
【维度4】跨学科应用
17.(与物理结合)(2023·东营中考)如图,一束光线从点A(-2,5)出发,经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n),则2m-n的值是_______.
-1
感悟思想 体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
方程思想 利用相似的性质求线段长
分类讨论思想 利用位似的性质求坐标
类比思想 利用相似测量物体的高度
数形结合思想 利用位似的性质求坐标
本课结束九年级上册 第四章 单元复习课
体系自我构建
目标维度评价
【维度1】基础知识的应用
1.(2023·广东中考)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献,优选法中有一种0.618法应用了 (A)
A.黄金分割数 B.平均数
C.众数 D.中位数
2.(2022·宁夏中考)如图,将三角尺直立举起靠近墙面,打开手机手电筒照射三角尺,在墙面上形成影子.则三角尺与影子之间属于以下哪种图形变换 (D)
A.平移 B.轴对称
C.旋转 D.位似
【维度2】基本技能(方法)、基本思想的应用
3.(2023·吉林中考)如图,在△ABC中,点D在边AB上,过点D作DE∥BC,交AC于点E.若AD=2,BD=3,则的值是 (A)
A. B. C. D.
4.(2022·徐州中考)如图,若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为(C)
A.5 B.6 C. D.
5.(2023·哈尔滨中考)如图,AC,BD相交于点O,AB∥DC,M是AB的中点,MN∥AC,交BD于点N,若DO∶OB=1∶2,AC=12,则MN的长为 (B)
A.2 B.4 C.6 D.8
6.(2023·雅安中考)如图,在 ABCD中,F是AD上一点,CF交BD于点E,CF的延长线交BA的延长线于点G,EF=1,EC=3,则GF的长为 (C)
A.4 B.6 C.8 D.10
7.(2023·内江中考)如图,在△ABC中,点D,E为边AB的三等分点,点F,G在边BC上,AC∥DG∥EF,点H为AF与DG的交点.若AC=12,则DH的长为 (C)
A.1 B. C.2 D.3
8.(2023·赤峰中考)如图,把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠,使点C与AB延长线上的点Q重合,DE交BC于点F,交AB延长线于点E,DQ交BC于点P,DM⊥AB于点M,AM=4,则下列结论:①DQ=EQ,②BQ=3,③BP=,④BD∥FQ.正确的是 (A)
A.①②③ B.②④
C.①③④ D.①②③④
9.(2023·甘孜中考)若=2,则= 1 .
10.(2023·临沂中考)如图,三角形纸片ABC中,AC=6,BC=9,分别沿与BC,AC平行的方向,从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角,得到的平行四边形纸片的周长是 14 .
11.(2023·乐山中考)如图,在平行四边形ABCD中,E是线段AB上一点,连接AC,DE交于点F.若=,则= .
12.(2023·达州中考)如图,乐器上的一根弦AB=80 cm,两个端点A,B固定在乐器面板上,支撑点C是靠近点B的黄金分割点,支撑点D是靠近点A的黄金分割点,则支撑点C,D之间的距离为 (80-160) cm.(结果保留根号)
13.(2023·绥化中考)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°.则点C'的坐标为 (6-2a,-2b) .(结果用含a,b的式子表示)
14.(2023·包头中考)如图,AC,AD,CE是正五边形ABCDE的对角线,AD与CE相交于点F.下列结论:①CF平分∠ACD;②AF=2DF;③四边形ABCF是菱形;④AB2=AD·EF.其中正确的结论是 ①③④ .(填写所有正确结论的序号)
15.(2023·常德中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,延长DA至E,连接EB,EC.
(1)求证:△BAE≌△CAE;
(2)在如图1中,若AE=AD,其他条件不变得到图2,在图2中过点D作DF⊥AB于F,设H是EC的中点,过点H作HG∥AB交FD于G,交DE于M.求证:①AF·MH=AM·AE;②GF=GD.
【证明】(1)∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD是BC的垂直平分线,
又∵E在直线AD上,∴EB=EC,
在△BAE和△CAE中,,
∴△BAE≌△CAE(SSS);
(2)①连接AH,∵A,H分别是ED和EC的中点,
∴AH为△EDC的中位线,∴AH∥DC,∴∠EAH=∠EDC=90°,
又∵DF⊥AB,∴∠AFD=90°,又∵HG∥AB,∴∠FAD=∠AMH,
∴△AFD∽△MAH,∴=,∴AF·MH=AM·AD,
∵AE=AD,∴AF·MH=AM·AE;
②∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∵∠ABD=∠ADF=∠AHM,
∴∠AHM=∠ACB,∴△AMH∽△DAC,
∵A,H分别为ED和EC的中点,∴AH为△EDC的中位线,∴==,∴AM=AD,即M为AD中点,∵AF∥GH,∴G为FD的中点,∴GF=GD.
【维度3】实际生活生产中的运用
16.(2023·攀枝花中考)拜寺口双塔,分为东西两塔,位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内,是保存最为完整的西夏佛塔,已有近1 000年历史,是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品.某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理,来测量东塔的高度.东塔的高度为AB,选取与塔底B在同一水平地面上的E,G两点,分别垂直地面竖立两根高为1.5 m的标杆EF和GH,两标杆间隔EG为46 m,并且东塔AB,标杆EF和GH在同一竖直平面内.从标杆EF后退2 m到D处(即ED=2 m),从D处观察A点,A,F,D在一条直线上;从标杆GH后退4 m到C处(即CG=4 m),从C处观察A点,A,H,C三点也在一条直线上,且B,E,D,G,C在同一条直线上,请你根据以上测量数据,帮助兴趣小组求出东塔AB的高度.
【解析】设BD=x m,则BC=BD+DG+CG=(x+48)m
∵AB⊥BC,EF⊥BC,∴∠B=∠FED=90°,∵∠ADB=∠FDE,∴△ABD∽△FED,
∴=,即=,同理可证△ABC∽△HGC,∴=,即=,∴=,
解得x=48,经检验,x=48是原方程的解,∴=,∴AB=36,
∴东塔AB的高度为36 m.
【维度4】跨学科应用
17.(与物理结合)(2023·东营中考)如图,一束光线从点A(-2,5)出发,经过y轴上的点B(0,1)反射后经过点C(m,n),则2m-n的值是 -1 .
感悟思想 体会本章数学思想的“润物无声”
数学思想 应用载体
方程思想 利用相似的性质求线段长
分类讨论思想 利用位似的性质求坐标
类比思想 利用相似测量物体的高度
数形结合思想 利用位似的性质求坐标
阶段测评,请使用 “单元质量评价(四)”
