广东省顺德区2023-2024学年高二下学期镇街联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024高二下·顺德月考）若X服从分布，且，则（ ）
A．0.75 B．1.25 C．0.25 D．0.5
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为X服从分布，所以，，
因为，所以，，，
故．
故选：C.
【分析】根据分布的概念结合概率的性质，再结合已知条件得出的值，从而由随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出的值.
2．（2024高二下·顺德月考）6名同学参加同时举办的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择参加其中的1个讲座，则不同选择的种数为（ ）
A． B． C．24 D．10
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据分步乘法计数原理，可知每人的选择均有4种，不同选择的种数为．
故选：A.
【分析】利用已知条件结合分步计数原理，从而求出不同选择的种数.
3．（2024高二下·顺德月考）设等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A．272 B．270 C．157 D．153
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
故．
故选：D.
【分析】根据等差数列的性质和等差数列前n项和公式，进而得出的值.
4．（2024高二下·顺德月考）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，所以，
因为，所以，所求切线方程为，即．
故选：B.
【分析】先利用导数的几何意义求出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，最后利用点斜式写出切线方程.
5．（2024高二下·顺德月考）已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：用表示女孩，表示男孩，
则样本空间．
分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件事件，
则，，
所以．
故答案为：B.
【分析】列出所有的基本事件，用条件概率公式求相应的概率即可.
6．（2024高二下·顺德月考）下表中的数阵为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列
2 3 4 5 6 7 …
3 5 7 9 11 13 …
4 7 10 18 16 19 …
5 9 13 17 21 25 …
6 11 16 21 26 31 …
7 13 19 25 31 37 …
… … … … … ……
表中对角线上的一列数2，5.10，17，26，37，…构成数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列的递推公式为，，
所以，，，，，
累加得，
所以，，所以，，
经检验，当n=1时，则，所以，，
故．
故选：B.
【分析】利用已知条件结合递推公式和累加法以及检验法，从而得出数列的通项公式，再结合代入法得出数列第985项的值.
7．（2024高二下·顺德月考）甲、乙、丙、丁四个城市准备竞争新能源汽车、半导体、通信设备、风电设备、石油冶炼这五个项目，每个城市至少能竞得一个项目．每个项目有且只有一个城市竞得，则丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：5个项目分配到4个城市，按照要求，必定会有两个项目分配到1个城市，所以，所有的分配方案有：种，
又因为丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目，
（1）若丁城市竞得2个项目，则有种；
（2）若丁城市竞得1个项目，则有种，
所以，丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率为：．
故选：C.
【分析】利用已知条件结合“特殊元素（特殊位置）优先法”，再利用分类加法计数原理，从而由组合数和排列数公式以及古典概型求概率公式，进而得出丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率.
8．（2024高二下·顺德月考）已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：令，则，
当时，，则，
所以在上单调递增，
因为为R上的奇函数，所以，，
所以，函数在定义域内为奇函数，
因为，所以，
则，
当或时，；
当或时，；
因为为奇函数，所以，
由可得
故要使只需要，
所以，所以，不等式的解集为．
故选：D.
【分析】利用已知条件构造函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合奇函数的性质，从而解一元二次不等式，进而得出不等式的解集.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·顺德月考）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，则，，
所以，，
因为，所以，
所以，，
即，且，．
对于A，，，
所以，故选项A正确；
对于B，，，
所以，故选项B正确；
对于C，，故选项C正确；
对于D，，，
所以，故选项D不正确．
故选：ABC.
【分析】根据随机变量X满足正态分布，从而得出随机变量X的数学期望和方差，再结合X与Y的关系式，从而结合数学期望和方差的性质得出随机变量Y的数学期望和方差，进而得出随机变量Y满足正态分布，再结合正态分布对应的密度曲线的对称性，进而得出正确的选项.
10．（2024高二下·顺德月考）已知，则（ ）
A．，，，中最大 B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：对于A，因为二项式展开式的通项为，
所以，，，，为正值，，，，为负值，故选项A错误；
对于B，令，则．
即，
令，得，所以，故选项B正确；
对于C，令，得，
所以，故选项C错误；
对于D，设，
则，
令，得，故选项D正确．
故选：BD.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项，从而判断出二项展开式各项系数的符号，进而判断出选项A；采用赋值法和二项式的展开式，从而判断选项B和选项C；设，再结合求导的方法和赋值法以及二项式的展开式，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2024高二下·顺德月考）投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的“射”指的就是指“投壶”这个游戏．现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶．无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为，则（ ）
A．第3次投壶的人是甲的概率为
B．在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为
C．前4次投壶中甲只投1次的概率为
D．第10次投壶的人是甲的概率为
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；概率的应用；条件概率
【解析】【解答】解：设第次投壶的人是甲为事件，第次投壶的人是乙为事件，
因为；所以，
所以，而，故，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
对于A，，故选项A正确.
对于D，，故选项D正确.
对于B，，故，
所以，选项B正确：
对于C，因为4次投壶中甲只投1次的概率为：
，
所以，选项C错误.
故选：ABD.
【分析】利用已知条件结合等比数列的定义，进而判断出是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式求出第次投壶是甲的概率的一般形式，再根据赋值法，从而判断出选项A和选项D；利用条件概率可判断选项B；利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而判断出选项C，从而找出正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·顺德月考）已知随机变量X的分布列为
X 0 10 100
P 0.81 0.09
则 ； ．
【答案】0.3；90
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，
所以，，
故．
故填：；.
【分析】根据概率的性质结合随机变量X的分布列，从而得出p的值，再结合随机变量的分布列求数学期望公式和方差公式，进而求解.
13．（2024高二下·顺德月考）函数的极大值点为 ．
【答案】
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
由或，
由，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
故极大值点为．
故填：.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极大值点.
14．（2024高二下·顺德月考）下图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数之和，如，，，则第11行第5个数（从左往右数）为 ．
【答案】
【知识点】组合及组合数公式；归纳推理
【解析】【解答】解：由题可知，第行第5个数（从左往右数）是，
所以，第11行第5个数（从左往右数）为．
故填：.
【分析】根据题结合归纳推理的方法，进而得出第行第5个数（从左往右数）是，再结合代入法得出第11行第5个数（从左往右数）.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·顺德月考）某学校计划开设人工智能课程，为了解学生对人工智能是否感兴趣，随机从该校男生和女生中各抽取100人进行调查，调查结果显示，对人工智能感兴趣的男生比女生多20人，且从样本中随机抽取1人，在抽取的1人对人工智能感兴趣的条件下，该人是男生的概率为．
（1）完成下列答题卡中的表格；
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行采访，用随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设对人工智能感兴趣的男生人数为，则不感兴趣的男生有人，
感兴趣的女生有人，不感兴趣的女生有人，
所以，感兴趣的共有人，不感兴趣的共有人，
因为从样本中随机抽取1人，在抽取的1人对人工智能感兴趣的条件下，
该人是男生的概率为，所以，解得，
所以，表格完成如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 80 20 100
女生 60 40 100
合计 140 60 200
（2）解：从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，其中男生人，女生人，
所以的可能取值为、、、，
所以；；；，
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以．
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设对人工智能感兴趣的男生人数为，再由古典概型的概率公式求出，从而完成表格.
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出男、女被抽到的人数，进而得出随机变量的可能取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式，从而求出所对应的概率，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的期望值.
16．（2024高二下·顺德月考）已知二项式的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项，第5项，第6项的系数成等差数列．
（1）求和n的值；
（2）当，，时，若恰好能被6整除，求的最小值．
【答案】（1）解：因为二项式的展开式中仅第项的二项式系数最大，所以，
因为二项式，展开式的通项公式为（且），
所以，第项，第项，第项的系数分别为，，，
由，又因为，所以，解得或．
（2）解：因为，所以，
当时，，
因为
，且恰好能被整除，
所以，，
因为，所以的最小值为．
【知识点】等差数列的性质；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据二项式系数的特征求出的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，再根据等差中项的性质进而展开式的通项，从而得出方程，再结合，从而解一元二次方程得出满足要求的a的值.
（2）依题意可得a的值，再利用x的值和二项式定理求出二项式的展开式，再由整除的方法得出，，从而利用b的取值范围从b的最小值.
17．（2024高二下·顺德月考）甲、乙两位选手进行围棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
（1）若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
（2）若采用五局三胜制比采用三局两胜制对甲更有利，求p的取值范围；
（3）若，已知甲、乙进行了n局比赛且甲胜了11局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）．
【答案】（1）解：若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或．
因为每局比赛的结果是独立的，所以，甲最终获胜的概率为．
（2）解：若采用五局三胜制，则甲最终获胜的三种可能的比分为，或；
因为每局比赛的结果是独立的，可得甲最终获胜的概率为：
若用三局两胜制，由（1）可得甲最终获胜的概率，
因为五局三胜制对甲有利，所以，
所以，则，
解得，所以．
（3）解：易得，，，
记，
则，
由，得，
即当时，；
当时，，
故当时，最大，
所以n的估计值为．
【知识点】函数的最大（小）值；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；二项分布
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合独立事件乘法求概率公式得出甲获胜的概率.
（2）根据题意，利用二项分布求概率公式，分别求出采用5局3胜制和3局2胜制甲最终获胜的概率，再结合比较法和不等式求解方法，进而得出p的取值范围.
（3）根据二项分布得，再结合二项分布求概率公式得出随机变量C的分布列，记，再结合函数的单调性得出n的取值范围，再结合分类讨论的方法和函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出使得最大的n的值.
18．（2024高二下·顺德月考）已知数列满足，，数列的前项和为，且．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为，，
所以，当时，，得，
当时，，
所以，，所以，
因为当时也满足，
所以，所以，即，
又因为也满足，所以，
因为，所以当时，，解得，
当时，，所以，
所以，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）解：由（1）可得，
所以，
，
两式相减得
，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和作差法和检验法，进而得到，再利用累乘法求出数列的通项公式，再根据和检验法和等比数列的定义，进而判断出数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）得出的数列，的通项公式，从而可得，再利用错位相减的方法，从而得出数列的前项和．
19．（2024高二下·顺德月考）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）解：函数的定义域为，且，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，，
令，解得；
令，解得，
所以在上单调递增，
在上单调递减；
综上可得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，
在上单调递减．
（2）解：由，得，
显然，从而恒成立，
令，，
则，
令，，
因为在上单调递增，且，，
所以，，
所以当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以，
所以，
所以，即实数的最大值为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，从而结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性.
（2）利用已知条件结合参变分离可得，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围，进而得出实数a的最大值.
1 / 1广东省顺德区2023-2024学年高二下学期镇街联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024高二下·顺德月考）若X服从分布，且，则（ ）
A．0.75 B．1.25 C．0.25 D．0.5
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为X服从分布，所以，，
因为，所以，，，
故．
故选：C.
【分析】根据分布的概念结合概率的性质，再结合已知条件得出的值，从而由随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出的值.
2．（2024高二下·顺德月考）6名同学参加同时举办的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择参加其中的1个讲座，则不同选择的种数为（ ）
A． B． C．24 D．10
【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据分步乘法计数原理，可知每人的选择均有4种，不同选择的种数为．
故选：A.
【分析】利用已知条件结合分步计数原理，从而求出不同选择的种数.
3．（2024高二下·顺德月考）设等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A．272 B．270 C．157 D．153
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
故．
故选：D.
【分析】根据等差数列的性质和等差数列前n项和公式，进而得出的值.
4．（2024高二下·顺德月考）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，所以，
因为，所以，所求切线方程为，即．
故选：B.
【分析】先利用导数的几何意义求出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，最后利用点斜式写出切线方程.
5．（2024高二下·顺德月考）已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：用表示女孩，表示男孩，
则样本空间．
分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件事件，
则，，
所以．
故答案为：B.
【分析】列出所有的基本事件，用条件概率公式求相应的概率即可.
6．（2024高二下·顺德月考）下表中的数阵为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列
2 3 4 5 6 7 …
3 5 7 9 11 13 …
4 7 10 18 16 19 …
5 9 13 17 21 25 …
6 11 16 21 26 31 …
7 13 19 25 31 37 …
… … … … … ……
表中对角线上的一列数2，5.10，17，26，37，…构成数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列的递推公式为，，
所以，，，，，
累加得，
所以，，所以，，
经检验，当n=1时，则，所以，，
故．
故选：B.
【分析】利用已知条件结合递推公式和累加法以及检验法，从而得出数列的通项公式，再结合代入法得出数列第985项的值.
7．（2024高二下·顺德月考）甲、乙、丙、丁四个城市准备竞争新能源汽车、半导体、通信设备、风电设备、石油冶炼这五个项目，每个城市至少能竞得一个项目．每个项目有且只有一个城市竞得，则丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：5个项目分配到4个城市，按照要求，必定会有两个项目分配到1个城市，所以，所有的分配方案有：种，
又因为丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目，
（1）若丁城市竞得2个项目，则有种；
（2）若丁城市竞得1个项目，则有种，
所以，丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率为：．
故选：C.
【分析】利用已知条件结合“特殊元素（特殊位置）优先法”，再利用分类加法计数原理，从而由组合数和排列数公式以及古典概型求概率公式，进而得出丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率.
8．（2024高二下·顺德月考）已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：令，则，
当时，，则，
所以在上单调递增，
因为为R上的奇函数，所以，，
所以，函数在定义域内为奇函数，
因为，所以，
则，
当或时，；
当或时，；
因为为奇函数，所以，
由可得
故要使只需要，
所以，所以，不等式的解集为．
故选：D.
【分析】利用已知条件构造函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合奇函数的性质，从而解一元二次不等式，进而得出不等式的解集.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·顺德月考）设，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，则，，
所以，，
因为，所以，
所以，，
即，且，．
对于A，，，
所以，故选项A正确；
对于B，，，
所以，故选项B正确；
对于C，，故选项C正确；
对于D，，，
所以，故选项D不正确．
故选：ABC.
【分析】根据随机变量X满足正态分布，从而得出随机变量X的数学期望和方差，再结合X与Y的关系式，从而结合数学期望和方差的性质得出随机变量Y的数学期望和方差，进而得出随机变量Y满足正态分布，再结合正态分布对应的密度曲线的对称性，进而得出正确的选项.
10．（2024高二下·顺德月考）已知，则（ ）
A．，，，中最大 B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：对于A，因为二项式展开式的通项为，
所以，，，，为正值，，，，为负值，故选项A错误；
对于B，令，则．
即，
令，得，所以，故选项B正确；
对于C，令，得，
所以，故选项C错误；
对于D，设，
则，
令，得，故选项D正确．
故选：BD.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项，从而判断出二项展开式各项系数的符号，进而判断出选项A；采用赋值法和二项式的展开式，从而判断选项B和选项C；设，再结合求导的方法和赋值法以及二项式的展开式，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2024高二下·顺德月考）投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的“射”指的就是指“投壶”这个游戏．现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶．无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为，则（ ）
A．第3次投壶的人是甲的概率为
B．在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为
C．前4次投壶中甲只投1次的概率为
D．第10次投壶的人是甲的概率为
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；概率的应用；条件概率
【解析】【解答】解：设第次投壶的人是甲为事件，第次投壶的人是乙为事件，
因为；所以，
所以，而，故，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
对于A，，故选项A正确.
对于D，，故选项D正确.
对于B，，故，
所以，选项B正确：
对于C，因为4次投壶中甲只投1次的概率为：
，
所以，选项C错误.
故选：ABD.
【分析】利用已知条件结合等比数列的定义，进而判断出是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式求出第次投壶是甲的概率的一般形式，再根据赋值法，从而判断出选项A和选项D；利用条件概率可判断选项B；利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而判断出选项C，从而找出正确的选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·顺德月考）已知随机变量X的分布列为
X 0 10 100
P 0.81 0.09
则 ； ．
【答案】0.3；90
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，
所以，，
故．
故填：；.
【分析】根据概率的性质结合随机变量X的分布列，从而得出p的值，再结合随机变量的分布列求数学期望公式和方差公式，进而求解.
13．（2024高二下·顺德月考）函数的极大值点为 ．
【答案】
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
由或，
由，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
故极大值点为．
故填：.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极大值点.
14．（2024高二下·顺德月考）下图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数之和，如，，，则第11行第5个数（从左往右数）为 ．
【答案】
【知识点】组合及组合数公式；归纳推理
【解析】【解答】解：由题可知，第行第5个数（从左往右数）是，
所以，第11行第5个数（从左往右数）为．
故填：.
【分析】根据题结合归纳推理的方法，进而得出第行第5个数（从左往右数）是，再结合代入法得出第11行第5个数（从左往右数）.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·顺德月考）某学校计划开设人工智能课程，为了解学生对人工智能是否感兴趣，随机从该校男生和女生中各抽取100人进行调查，调查结果显示，对人工智能感兴趣的男生比女生多20人，且从样本中随机抽取1人，在抽取的1人对人工智能感兴趣的条件下，该人是男生的概率为．
（1）完成下列答题卡中的表格；
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行采访，用随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
【答案】（1）解：设对人工智能感兴趣的男生人数为，则不感兴趣的男生有人，
感兴趣的女生有人，不感兴趣的女生有人，
所以，感兴趣的共有人，不感兴趣的共有人，
因为从样本中随机抽取1人，在抽取的1人对人工智能感兴趣的条件下，
该人是男生的概率为，所以，解得，
所以，表格完成如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 80 20 100
女生 60 40 100
合计 140 60 200
（2）解：从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，其中男生人，女生人，
所以的可能取值为、、、，
所以；；；，
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以．
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设对人工智能感兴趣的男生人数为，再由古典概型的概率公式求出，从而完成表格.
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出男、女被抽到的人数，进而得出随机变量的可能取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式，从而求出所对应的概率，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的期望值.
16．（2024高二下·顺德月考）已知二项式的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项，第5项，第6项的系数成等差数列．
（1）求和n的值；
（2）当，，时，若恰好能被6整除，求的最小值．
【答案】（1）解：因为二项式的展开式中仅第项的二项式系数最大，所以，
因为二项式，展开式的通项公式为（且），
所以，第项，第项，第项的系数分别为，，，
由，又因为，所以，解得或．
（2）解：因为，所以，
当时，，
因为
，且恰好能被整除，
所以，，
因为，所以的最小值为．
【知识点】等差数列的性质；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据二项式系数的特征求出的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，再根据等差中项的性质进而展开式的通项，从而得出方程，再结合，从而解一元二次方程得出满足要求的a的值.
（2）依题意可得a的值，再利用x的值和二项式定理求出二项式的展开式，再由整除的方法得出，，从而利用b的取值范围从b的最小值.
17．（2024高二下·顺德月考）甲、乙两位选手进行围棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
（1）若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
（2）若采用五局三胜制比采用三局两胜制对甲更有利，求p的取值范围；
（3）若，已知甲、乙进行了n局比赛且甲胜了11局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）．
【答案】（1）解：若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或．
因为每局比赛的结果是独立的，所以，甲最终获胜的概率为．
（2）解：若采用五局三胜制，则甲最终获胜的三种可能的比分为，或；
因为每局比赛的结果是独立的，可得甲最终获胜的概率为：
若用三局两胜制，由（1）可得甲最终获胜的概率，
因为五局三胜制对甲有利，所以，
所以，则，
解得，所以．
（3）解：易得，，，
记，
则，
由，得，
即当时，；
当时，，
故当时，最大，
所以n的估计值为．
【知识点】函数的最大（小）值；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；二项分布
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合独立事件乘法求概率公式得出甲获胜的概率.
（2）根据题意，利用二项分布求概率公式，分别求出采用5局3胜制和3局2胜制甲最终获胜的概率，再结合比较法和不等式求解方法，进而得出p的取值范围.
（3）根据二项分布得，再结合二项分布求概率公式得出随机变量C的分布列，记，再结合函数的单调性得出n的取值范围，再结合分类讨论的方法和函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出使得最大的n的值.
18．（2024高二下·顺德月考）已知数列满足，，数列的前项和为，且．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
【答案】（1）解：因为，，
所以，当时，，得，
当时，，
所以，，所以，
因为当时也满足，
所以，所以，即，
又因为也满足，所以，
因为，所以当时，，解得，
当时，，所以，
所以，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）解：由（1）可得，
所以，
，
两式相减得
，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和作差法和检验法，进而得到，再利用累乘法求出数列的通项公式，再根据和检验法和等比数列的定义，进而判断出数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）得出的数列，的通项公式，从而可得，再利用错位相减的方法，从而得出数列的前项和．
19．（2024高二下·顺德月考）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若恒成立，求实数的最大值．
【答案】（1）解：函数的定义域为，且，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，，
令，解得；
令，解得，
所以在上单调递增，
在上单调递减；
综上可得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，
在上单调递减．
（2）解：由，得，
显然，从而恒成立，
令，，
则，
令，，
因为在上单调递增，且，，
所以，，
所以当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以，
所以，
所以，即实数的最大值为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，从而结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性.
（2）利用已知条件结合参变分离可得，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围，进而得出实数a的最大值.
1 / 1广东省顺德区2023-2024学年高二下学期镇街联考数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024高二下·顺德月考）若X服从分布，且，则（ ）
A．0.75 B．1.25 C．0.25 D．0.5
2．（2024高二下·顺德月考）6名同学参加同时举办的4个课外知识讲座，每名同学可自由选择参加其中的1个讲座，则不同选择的种数为（ ）
A． B． C．24 D．10
3．（2024高二下·顺德月考）设等差数列的前项和为，已知，则（ ）
A．272 B．270 C．157 D．153
4．（2024高二下·顺德月考）函数的图象在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·顺德月考）已知生男孩和生女孩是等可能的，现随机选择一个有三个孩子的家庭，且该家庭有女孩，则三个小孩都是女孩的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·顺德月考）下表中的数阵为“森德拉姆筛”，其特点是每行每列都成等差数列
2 3 4 5 6 7 …
3 5 7 9 11 13 …
4 7 10 18 16 19 …
5 9 13 17 21 25 …
6 11 16 21 26 31 …
7 13 19 25 31 37 …
… … … … … ……
表中对角线上的一列数2，5.10，17，26，37，…构成数列，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·顺德月考）甲、乙、丙、丁四个城市准备竞争新能源汽车、半导体、通信设备、风电设备、石油冶炼这五个项目，每个城市至少能竞得一个项目．每个项目有且只有一个城市竞得，则丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·顺德月考）已知函数是定义在R上的奇函数，是的导函数，且当时，，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·顺德月考）设，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高二下·顺德月考）已知，则（ ）
A．，，，中最大 B．
C． D．
11．（2024高二下·顺德月考）投壶是中国古代士大夫宴饮时玩的一种投掷游戏，游戏方式是把箭向壶里投．《醉翁亭记》中的“射”指的就是指“投壶”这个游戏．现甲、乙两人玩投壶游戏，每次由其中一人投壶，规则如下：若投中，则此人继续投壶，若未投中，则换为对方投壶．无论之前投壶的情况如何，甲每次投壶的命中率均为，乙每次投壶的命中率均为，由抽签确定第1次投壶的人选，第1次投壶的人是甲、乙的概率各为，则（ ）
A．第3次投壶的人是甲的概率为
B．在第3次投壶的人是甲的条件下，第1次投壶的人是乙的概率为
C．前4次投壶中甲只投1次的概率为
D．第10次投壶的人是甲的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·顺德月考）已知随机变量X的分布列为
X 0 10 100
P 0.81 0.09
则 ； ．
13．（2024高二下·顺德月考）函数的极大值点为 ．
14．（2024高二下·顺德月考）下图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数之和，如，，，则第11行第5个数（从左往右数）为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（2024高二下·顺德月考）某学校计划开设人工智能课程，为了解学生对人工智能是否感兴趣，随机从该校男生和女生中各抽取100人进行调查，调查结果显示，对人工智能感兴趣的男生比女生多20人，且从样本中随机抽取1人，在抽取的1人对人工智能感兴趣的条件下，该人是男生的概率为．
（1）完成下列答题卡中的表格；
感兴趣 不感兴趣 合计
男生
女生
合计
（2）从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行采访，用随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列和数学期望．
16．（2024高二下·顺德月考）已知二项式的展开式中仅第5项的二项式系数最大，且第4项，第5项，第6项的系数成等差数列．
（1）求和n的值；
（2）当，，时，若恰好能被6整除，求的最小值．
17．（2024高二下·顺德月考）甲、乙两位选手进行围棋比赛，设各局比赛的结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
（1）若，比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
（2）若采用五局三胜制比采用三局两胜制对甲更有利，求p的取值范围；
（3）若，已知甲、乙进行了n局比赛且甲胜了11局，试给出n的估计值（X表示n局比赛中甲胜的局数，以使得最大的n的值作为n的估计值）．
18．（2024高二下·顺德月考）已知数列满足，，数列的前项和为，且．
（1）求，的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（2024高二下·顺德月考）已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若恒成立，求实数的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为X服从分布，所以，，
因为，所以，，，
故．
故选：C.
【分析】根据分布的概念结合概率的性质，再结合已知条件得出的值，从而由随机变量的分布列求数学期望公式，从而得出的值.
2．【答案】A
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：根据分步乘法计数原理，可知每人的选择均有4种，不同选择的种数为．
故选：A.
【分析】利用已知条件结合分步计数原理，从而求出不同选择的种数.
3．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：因为，所以，
故．
故选：D.
【分析】根据等差数列的性质和等差数列前n项和公式，进而得出的值.
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为，所以，
因为，所以，所求切线方程为，即．
故选：B.
【分析】先利用导数的几何意义求出切线的斜率，再结合代入法得出切点坐标，最后利用点斜式写出切线方程.
5．【答案】B
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：用表示女孩，表示男孩，
则样本空间．
分别设“选择的家庭中有女孩”和“选择的家庭中三个小孩都是女孩”为事件事件，
则，，
所以．
故答案为：B.
【分析】列出所有的基本事件，用条件概率公式求相应的概率即可.
6．【答案】B
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：数列的递推公式为，，
所以，，，，，
累加得，
所以，，所以，，
经检验，当n=1时，则，所以，，
故．
故选：B.
【分析】利用已知条件结合递推公式和累加法以及检验法，从而得出数列的通项公式，再结合代入法得出数列第985项的值.
7．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：5个项目分配到4个城市，按照要求，必定会有两个项目分配到1个城市，所以，所有的分配方案有：种，
又因为丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目，
（1）若丁城市竞得2个项目，则有种；
（2）若丁城市竞得1个项目，则有种，
所以，丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率为：．
故选：C.
【分析】利用已知条件结合“特殊元素（特殊位置）优先法”，再利用分类加法计数原理，从而由组合数和排列数公式以及古典概型求概率公式，进而得出丁城市既没有竞得风电设备项目，又没有竞得石油冶炼项目的概率.
8．【答案】D
【知识点】奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：令，则，
当时，，则，
所以在上单调递增，
因为为R上的奇函数，所以，，
所以，函数在定义域内为奇函数，
因为，所以，
则，
当或时，；
当或时，；
因为为奇函数，所以，
由可得
故要使只需要，
所以，所以，不等式的解集为．
故选：D.
【分析】利用已知条件构造函数，再利用求导的方法判断函数的单调性，再结合奇函数的性质，从而解一元二次不等式，进而得出不等式的解集.
9．【答案】A,B,C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，则，，
所以，，
因为，所以，
所以，，
即，且，．
对于A，，，
所以，故选项A正确；
对于B，，，
所以，故选项B正确；
对于C，，故选项C正确；
对于D，，，
所以，故选项D不正确．
故选：ABC.
【分析】根据随机变量X满足正态分布，从而得出随机变量X的数学期望和方差，再结合X与Y的关系式，从而结合数学期望和方差的性质得出随机变量Y的数学期望和方差，进而得出随机变量Y满足正态分布，再结合正态分布对应的密度曲线的对称性，进而得出正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：对于A，因为二项式展开式的通项为，
所以，，，，为正值，，，，为负值，故选项A错误；
对于B，令，则．
即，
令，得，所以，故选项B正确；
对于C，令，得，
所以，故选项C错误；
对于D，设，
则，
令，得，故选项D正确．
故选：BD.
【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项，从而判断出二项展开式各项系数的符号，进而判断出选项A；采用赋值法和二项式的展开式，从而判断选项B和选项C；设，再结合求导的方法和赋值法以及二项式的展开式，进而判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；概率的应用；条件概率
【解析】【解答】解：设第次投壶的人是甲为事件，第次投壶的人是乙为事件，
因为；所以，
所以，而，故，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
对于A，，故选项A正确.
对于D，，故选项D正确.
对于B，，故，
所以，选项B正确：
对于C，因为4次投壶中甲只投1次的概率为：
，
所以，选项C错误.
故选：ABD.
【分析】利用已知条件结合等比数列的定义，进而判断出是首项为，公比为的等比数列，再由等比数列的通项公式求出第次投壶是甲的概率的一般形式，再根据赋值法，从而判断出选项A和选项D；利用条件概率可判断选项B；利用独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而判断出选项C，从而找出正确的选项.
12．【答案】0.3；90
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为，
所以，，
故．
故填：；.
【分析】根据概率的性质结合随机变量X的分布列，从而得出p的值，再结合随机变量的分布列求数学期望公式和方差公式，进而求解.
13．【答案】
【知识点】函数在某点取得极值的条件
【解析】【解答】解：因为，
由或，
由，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
故极大值点为．
故填：.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极大值点.
14．【答案】
【知识点】组合及组合数公式；归纳推理
【解析】【解答】解：由题可知，第行第5个数（从左往右数）是，
所以，第11行第5个数（从左往右数）为．
故填：.
【分析】根据题结合归纳推理的方法，进而得出第行第5个数（从左往右数）是，再结合代入法得出第11行第5个数（从左往右数）.
15．【答案】（1）解：设对人工智能感兴趣的男生人数为，则不感兴趣的男生有人，
感兴趣的女生有人，不感兴趣的女生有人，
所以，感兴趣的共有人，不感兴趣的共有人，
因为从样本中随机抽取1人，在抽取的1人对人工智能感兴趣的条件下，
该人是男生的概率为，所以，解得，
所以，表格完成如下：
感兴趣 不感兴趣 合计
男生 80 20 100
女生 60 40 100
合计 140 60 200
（2）解：从对人工智能感兴趣的学生中按性别采用分层随机抽样的方法随机抽取7人，其中男生人，女生人，
所以的可能取值为、、、，
所以；；；，
所以，随机变量的分布列为：
0 1 2 3
所以．
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）设对人工智能感兴趣的男生人数为，再由古典概型的概率公式求出，从而完成表格.
（2）利用已知条件结合分层抽样的方法得出男、女被抽到的人数，进而得出随机变量的可能取值，再结合组合数公式和古典概型求概率公式，从而求出所对应的概率，进而得出随机变量X的分布列，再结合随机变量分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的期望值.
16．【答案】（1）解：因为二项式的展开式中仅第项的二项式系数最大，所以，
因为二项式，展开式的通项公式为（且），
所以，第项，第项，第项的系数分别为，，，
由，又因为，所以，解得或．
（2）解：因为，所以，
当时，，
因为
，且恰好能被整除，
所以，，
因为，所以的最小值为．
【知识点】等差数列的性质；二项式系数的性质；二项式定理的应用
【解析】【分析】（1）根据二项式系数的特征求出的值，再利用二项式定理求出展开式的通项，再根据等差中项的性质进而展开式的通项，从而得出方程，再结合，从而解一元二次方程得出满足要求的a的值.
（2）依题意可得a的值，再利用x的值和二项式定理求出二项式的展开式，再由整除的方法得出，，从而利用b的取值范围从b的最小值.
17．【答案】（1）解：若采用三局两胜制，则最终获胜的两种可能的比分为或．
因为每局比赛的结果是独立的，所以，甲最终获胜的概率为．
（2）解：若采用五局三胜制，则甲最终获胜的三种可能的比分为，或；
因为每局比赛的结果是独立的，可得甲最终获胜的概率为：
若用三局两胜制，由（1）可得甲最终获胜的概率，
因为五局三胜制对甲有利，所以，
所以，则，
解得，所以．
（3）解：易得，，，
记，
则，
由，得，
即当时，；
当时，，
故当时，最大，
所以n的估计值为．
【知识点】函数的最大（小）值；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；二项分布
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合独立事件乘法求概率公式得出甲获胜的概率.
（2）根据题意，利用二项分布求概率公式，分别求出采用5局3胜制和3局2胜制甲最终获胜的概率，再结合比较法和不等式求解方法，进而得出p的取值范围.
（3）根据二项分布得，再结合二项分布求概率公式得出随机变量C的分布列，记，再结合函数的单调性得出n的取值范围，再结合分类讨论的方法和函数的单调性，从而得出函数的最大值，进而得出使得最大的n的值.
18．【答案】（1）解：因为，，
所以，当时，，得，
当时，，
所以，，所以，
因为当时也满足，
所以，所以，即，
又因为也满足，所以，
因为，所以当时，，解得，
当时，，所以，
所以，所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
故．
（2）解：由（1）可得，
所以，
，
两式相减得
，
所以.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等比数列概念与表示；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合递推公式和作差法和检验法，进而得到，再利用累乘法求出数列的通项公式，再根据和检验法和等比数列的定义，进而判断出数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的通项公式得出数列的通项公式.
（2）由（1）得出的数列，的通项公式，从而可得，再利用错位相减的方法，从而得出数列的前项和．
19．【答案】（1）解：函数的定义域为，且，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，，
令，解得；
令，解得，
所以在上单调递增，
在上单调递减；
综上可得：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，
在上单调递减．
（2）解：由，得，
显然，从而恒成立，
令，，
则，
令，，
因为在上单调递增，且，，
所以，，
所以当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以．
因为，所以，
所以，
所以，即实数的最大值为．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用已知条件求出函数的定义域与导函数，再分、两种情况讨论，从而结合求导的方法判断函数的单调性，进而讨论出函数的单调性.
（2）利用已知条件结合参变分离可得，令，，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最小值，再结合不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围，进而得出实数a的最大值.
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