四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下期第一次月考数学试题
一、单选题
1．（2024高二下·内江月考），则（ ）
A． B．2 C． D．6
2．（2024高二下·内江月考）已知数列，分别为等差数列、等比数列，若，，则（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．（2024高二下·内江月考）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有（ ）
A．20个 B．48个 C．52个 D．120个
4．（2024高二下·内江月考）若点是曲线上任意一点，则点到直线：的距离的最小值为( )
A． B． C． D．
5．（2024高二下·内江月考）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．360 C．480 D．600
6．（2024高二下·内江月考）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·内江月考）若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·内江月考）拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得．已知函数，那么实数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．0
二、多选题
9．（2024高二下·内江月考）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
10．（2024高二下·内江月考）内江六中某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理、化学5节课，且该天上午总共5节课，下列结论正确的是（ ）
A．若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则有72种不同的安排方法
B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有48种不同的安排方法
C．若语文课和数学课不能相邻，则有72种不同的安排方法
D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有40种不同的安排方法
11．（2024高二下·内江月考）在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则是中的最小项
12．（2024高二下·内江月考）已知函数，，，则（ ）
A．当时，函数有两个零点
B．存在某个，使得函数与零点个数不相同
C．存在，使得与有相同的零点
D．若函数有两个零点，有两个零点，，一定有
三、填空题
13．（2024高二下·内江月考）若函数的导函数为，且满足，则 ．
14．（2024高二下·内江月考）已知数列满足，，则 ，数列的前99项和为 ．
15．（2024高二下·内江月考）某公园新购进盆不同的锦紫苏、盆不同的虞美人、盆郁金香共盆盆栽，现将这盆盆栽摆成一排，则郁金香不在两边，任意两盆锦紫苏不相邻的摆法共有 ．
16．（2024高二下·内江月考）已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是 .
四、解答题
17．（2024高二下·内江月考）记为等差数列的前n项和．已知，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
18．（2024高二下·内江月考）已知曲线在点处的切线方程是.
（1）求，的值；
（2）如果曲线的某一切线与直线：垂直，求切点坐标与切线的方程.
19．（2024高二下·内江月考）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
20．（2024高二下·内江月考）已知数列的前n项和为，，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围．
21．（2024高二下·内江月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明不等式恒成立．
22．（2024高二下·内江月考）已知函数．
（1）若恒成立，求实数的值；
（2）证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：函数定义域为，，则.
故答案为：C.
【分析】根据导数的定义，结合导数的计算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：因为数列，分别为等差数列、等比数列，
且满足，，所以，，
解得，，则.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据等差中项以及等比中项的性质求出，，即可得的值.
3．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，分2种情况讨论：
①若0在个位，
此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有A52=20个没有重复数字的三位偶数；
②若0不在个位，
此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，
0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，
此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数，
综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数．
故答案为：C．
【分析】分0在个位，只须考虑任选两个数放在十位和百位即可；再讨论0不在个位，此时先确定个位，必须在2或4中任取1个，再确定百位，即可求解。
4．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：已知函数，
可得，
直线的斜率为-1，
令即，可得，
因为，可得，则，
即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
故答案为：B.
【分析】先求出导函数，利用导数的几何意义求得平行于直线与曲线相切的切点坐标的横坐标，从而可得切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：将区域标号，如图所示：
由于②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，有3种不同的涂色方法；
则共有种不同的涂色方法.
故答案为：C.
【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理求解即可.
6．【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】接：因为数列，均为等差数列，且，
所示设，，
则，，则.
故答案为：D.
【分析】由题意，设，，由，求解即可.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为 在区间 内存在单调递增区间，
所以 在区间 上成立，
即 在区间 上有解，
因此，只需 ，解得 .
故答案为：D
【分析】先将函数 在区间 内存在单调递增区间，转化为 在区间 上有解，再转化为 ，进而可求出结果.
8．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数在上连续，且在上可导，则必有，使得，
函数，，则，，
又因为，所以，因为，且，所以，
不妨设，函数定义域为，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
则当时，λ取得最大值，最大值为．
故答案为：C．
【分析】利用导数判断单调性，求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、由图可知：当时，，则为函数的单调递增区间，故A正确；
B、当 时，，故为函数的单调递增区间，故B错误；
C、当时，，当时，，则是函数的极大值点，故C正确；
D、当时，，当时，，则是函数的极小值点，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据图象，结合函数的单调性逐项判断即可.
10．【答案】A,C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则数学课有3节课可选，
其余科目没有要求，有安排方法，则有种不同的安排方法，故A正确；
B、语文课和数学课捆绑在一起，看作一个元素，与余下的科目一起排列，则有种不同的安排方法，故B错误；
C、先安排英语、物理、化学3节课，有种不同的安排方法，把语文课和数学课安排在英语、物理、化学产生的4个空位上，有种不同的安排方法，则共有种不同的安排方法，故C正确；
D、若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有种不同的安排方法，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先安排数学课再安排其余科目即可判断A；利用捆绑法即可判断B；利用插空法即可判断C；利用倍缩法即可判断D.
11．【答案】A,C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：A、因为，所以，所以，故A正确；
B、因为，所以，得，又因为，所以，所以有可能大于零，也有可能小于零，所以与无法比较大小，故B错误；
C、因为，所以，所以，所以，所以，故C正确，
D、因为，可得，因为，所以，，所以是中的最大项，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用等差数列的求和公式和等差数列的性质逐项分析判断即可.
12．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，解得，当时，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且，
A、当时，，
又因为，且时，，
根据零点存在性定理可知函数在和内各有一个零点，故A正确；
B、当时，此时，则有一个零点，
当时，，则此时无零点，
又易得，
则，函数的零点个数与的零点个数相同，故B错误；
C、由A、B可知：当时，有两个零点，，
同时有两个零点，，则根据单调递增可知，存在唯一的满足成立，使得，
若C正确，因为，则只能有，即，
由题意易知：，
令，则时，，
时，，故在上单调递减，在上单调递增，
且时，，时，，
设，，
因为，时，，，
所以存在，使得，即，
所以，即存在，使得与有相同的零点，故C正确；
D、由C可知，，，，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求导，利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理逐项分析判断即可.
13．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由，求导可得，
令，则，解得，
则函数，故.
故答案为：.
【分析】先求导，令求得的值，即可得函数解析式，再将代入计算即可.
14．【答案】；
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，，
所以，，，，，
，，即数列是以为周期的周期数列，
则数列的前99项和为.
故答案为：；.
【分析】根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可判断数列为周期数列，再求和即可.
15．【答案】120
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先排盆虞美人、盆郁金香有种，再将盆锦紫苏放入到个位置中有种，
根据分步乘法计数原理有种排法；
若郁金香在两边，先排盆虞美人、盆郁金香有种，
再将盆锦紫苏放入到个位置中有，根据分步计数原理有种排法，
综上，共有种排法.
故答案为：.
【分析】利用插空法将盆盆栽排好，再考虑郁金香在两边的情形结合排列组合求解即可.
16．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数上关于轴对称，所以函数为偶函数，
令，满足，则函数为奇函数，，
当时，不等式，即，则函数在上单调递增，
又因为函数为奇函数，所以函数在上单调递增；
对，不等式恒成立，即，
即，，
当时，，则，
则；；
故在单调递减，在单调递增；
则时，函数取得极小值即最小值，且最小值为，，
当时，，则，则，则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】构造函数，求导利用导数判断函数的单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立，分离参数求最值即可求的a的取值范围.
17．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
因为等差数列的前n项和，
所以，，
解得，则公差 ，
则数列是首项为2，公差为1的等差数列，
即；
（2）解：由（1）可得，
设数列的前n项和为，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，根据等差数列的性质，结合等差数列的前n项和求得的值，即可得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，利用裂项法求和即可.
18．【答案】解：（1）函数定义域为，，
由题意可得，，解得，；
（2）因为曲线的某一切线与直线垂直，所以切线的斜率，
设切点的坐标为，则，解得，
由，可得，或，
则切线方程为或，即或.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；用斜率判定两直线垂直
【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义结合已知条件列式求解即可；
（2）设切点的坐标为，由两直线垂直的条件，斜率之积为，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，即可求得切线方程.
19．【答案】（1）当时，，其定义域为，
求导，得．
令，得（舍去），
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）解：由条件可知，于是，解得．
当时，，构造函数，，
对其求导，得，
所以函数在上单调递减，于是，
因此实数m的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求出导函数，根据导函数的正负即可判断原函数的单调性求单调区间；
（2）可借助，解得，，构造函数，结合函数的单调性及最值即可求得实数m的取值范围.
20．【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，，则，两式相减得，即，
因为，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则数列的通项公式是；
（2）解：由（1）可得，
则，
，
两式相减得：
，
即，
因为且，，所以，
当时，数列是递增数列，所以的最小值为18，即实数的取值范围为.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的前n项和；数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）当时，求得，由之间的关系得数列为等比数列，即可得数列的通项公式；
（2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性求解即可.
21．【答案】解：（1）函数定义域为，，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，当时，，函数单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）设函数，，易知在上单调递增，
因为，，所以在上有唯一实数根，且，
则，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，结合，可知，
所以，
则，即不等式恒成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求出函数导数，讨论的范围结合导数判断函数的单调性即可；
（2）构造函数，利用导数可得在上有唯一实数根，且，则可得，证明即可.
22．【答案】（1）解：函数定义域为，
，
当时，因为，所以恒成立，则在上单调递增，
且，所以恒大于等于零不成立；
当时，由得，，易知当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，若恒成立，则
令，则，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以
所以当时，，
综上，若恒成立，则；
（2）证明：由（1）得，当时，恒成立，
即，当且仅当时等号成立，
令，则，，，
所以，，，
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
故当时，，即，
所以，，，
所以
.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）当时，求出导函数即可判断单调性直接说明；当时，求出导函数通过确定单调性，求最值即可得实数a的值；
（2）通过不等式以及进行放缩，再利用裂项相消法求和，证明即可.
1 / 1四川省内江市第六中学2023-2024学年高二下期第一次月考数学试题
一、单选题
1．（2024高二下·内江月考），则（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】C
【知识点】导数的概念
【解析】【解答】解：函数定义域为，，则.
故答案为：C.
【分析】根据导数的定义，结合导数的计算求解即可.
2．（2024高二下·内江月考）已知数列，分别为等差数列、等比数列，若，，则（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】等比中项；等差中项
【解析】【解答】解：因为数列，分别为等差数列、等比数列，
且满足，，所以，，
解得，，则.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据等差中项以及等比中项的性质求出，，即可得的值.
3．（2024高二下·内江月考）若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有（ ）
A．20个 B．48个 C．52个 D．120个
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理
【解析】【解答】根据题意，分2种情况讨论：
①若0在个位，
此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有A52=20个没有重复数字的三位偶数；
②若0不在个位，
此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，
0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，
此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数，
综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数．
故答案为：C．
【分析】分0在个位，只须考虑任选两个数放在十位和百位即可；再讨论0不在个位，此时先确定个位，必须在2或4中任取1个，再确定百位，即可求解。
4．（2024高二下·内江月考）若点是曲线上任意一点，则点到直线：的距离的最小值为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：已知函数，
可得，
直线的斜率为-1，
令即，可得，
因为，可得，则，
即平行于直线且与曲线相切的切点坐标为，
由点到直线的距离公式，可得点到直线的距离为.
故答案为：B.
【分析】先求出导函数，利用导数的几何意义求得平行于直线与曲线相切的切点坐标的横坐标，从而可得切点坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可.
5．（2024高二下·内江月考）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（ ）
A．240 B．360 C．480 D．600
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：将区域标号，如图所示：
由于②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，有种不同的涂色方法，
若①与④的颜色相同，有1种不同的涂色方法；
若①与④的颜色不相同，有3种不同的涂色方法；
则共有种不同的涂色方法.
故答案为：C.
【分析】先涂区域②③④，再讨论①与④的颜色是否相同，结合计数原理求解即可.
6．（2024高二下·内江月考）已知等差数列与的前项和分别为，，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】接：因为数列，均为等差数列，且，
所示设，，
则，，则.
故答案为：D.
【分析】由题意，设，，由，求解即可.
7．（2024高二下·内江月考）若函数 在区间 内存在单调递增区间，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】因为 在区间 内存在单调递增区间，
所以 在区间 上成立，
即 在区间 上有解，
因此，只需 ，解得 .
故答案为：D
【分析】先将函数 在区间 内存在单调递增区间，转化为 在区间 上有解，再转化为 ，进而可求出结果.
8．（2024高二下·内江月考）拉格朗日中值定理又称拉氏定理：如果函数在上连续，且在上可导，则必有，使得．已知函数，那么实数的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数在上连续，且在上可导，则必有，使得，
函数，，则，，
又因为，所以，因为，且，所以，
不妨设，函数定义域为，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值，
则当时，λ取得最大值，最大值为．
故答案为：C．
【分析】利用导数判断单调性，求解即可.
二、多选题
9．（2024高二下·内江月考）如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
【答案】A,C,D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、由图可知：当时，，则为函数的单调递增区间，故A正确；
B、当 时，，故为函数的单调递增区间，故B错误；
C、当时，，当时，，则是函数的极大值点，故C正确；
D、当时，，当时，，则是函数的极小值点，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】根据图象，结合函数的单调性逐项判断即可.
10．（2024高二下·内江月考）内江六中某班星期一上午要安排语文、数学、英语、物理、化学5节课，且该天上午总共5节课，下列结论正确的是（ ）
A．若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则有72种不同的安排方法
B．若语文课和数学课必须相邻，且语文课排在数学课前面，则有48种不同的安排方法
C．若语文课和数学课不能相邻，则有72种不同的安排方法
D．若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有40种不同的安排方法
【答案】A,C
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：A、若数学课不安排在第一节且不在最后一节课，则数学课有3节课可选，
其余科目没有要求，有安排方法，则有种不同的安排方法，故A正确；
B、语文课和数学课捆绑在一起，看作一个元素，与余下的科目一起排列，则有种不同的安排方法，故B错误；
C、先安排英语、物理、化学3节课，有种不同的安排方法，把语文课和数学课安排在英语、物理、化学产生的4个空位上，有种不同的安排方法，则共有种不同的安排方法，故C正确；
D、若语文课、数学课、英语课按从前到后的顺序安排，则有种不同的安排方法，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】先安排数学课再安排其余科目即可判断A；利用捆绑法即可判断B；利用插空法即可判断C；利用倍缩法即可判断D.
11．（2024高二下·内江月考）在等差数列中，首项，公差，前项和为，则下列命题中正确的有（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则是中的最小项
【答案】A,C
【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：A、因为，所以，所以，故A正确；
B、因为，所以，得，又因为，所以，所以有可能大于零，也有可能小于零，所以与无法比较大小，故B错误；
C、因为，所以，所以，所以，所以，故C正确，
D、因为，可得，因为，所以，，所以是中的最大项，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用等差数列的求和公式和等差数列的性质逐项分析判断即可.
12．（2024高二下·内江月考）已知函数，，，则（ ）
A．当时，函数有两个零点
B．存在某个，使得函数与零点个数不相同
C．存在，使得与有相同的零点
D．若函数有两个零点，有两个零点，，一定有
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数定义域为，，
当时，解得，当时，解得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，且，
A、当时，，
又因为，且时，，
根据零点存在性定理可知函数在和内各有一个零点，故A正确；
B、当时，此时，则有一个零点，
当时，，则此时无零点，
又易得，
则，函数的零点个数与的零点个数相同，故B错误；
C、由A、B可知：当时，有两个零点，，
同时有两个零点，，则根据单调递增可知，存在唯一的满足成立，使得，
若C正确，因为，则只能有，即，
由题意易知：，
令，则时，，
时，，故在上单调递减，在上单调递增，
且时，，时，，
设，，
因为，时，，，
所以存在，使得，即，
所以，即存在，使得与有相同的零点，故C正确；
D、由C可知，，，，即，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】求导，利用导数研究函数的单调性与最值，结合零点存在性定理逐项分析判断即可.
三、填空题
13．（2024高二下·内江月考）若函数的导函数为，且满足，则 ．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的值；导数的四则运算
【解析】【解答】解：由，求导可得，
令，则，解得，
则函数，故.
故答案为：.
【分析】先求导，令求得的值，即可得函数解析式，再将代入计算即可.
14．（2024高二下·内江月考）已知数列满足，，则 ，数列的前99项和为 ．
【答案】；
【知识点】数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【解答】解：因为数列满足，，
所以，，，，，
，，即数列是以为周期的周期数列，
则数列的前99项和为.
故答案为：；.
【分析】根据数列的递推公式求出数列的前几项，即可判断数列为周期数列，再求和即可.
15．（2024高二下·内江月考）某公园新购进盆不同的锦紫苏、盆不同的虞美人、盆郁金香共盆盆栽，现将这盆盆栽摆成一排，则郁金香不在两边，任意两盆锦紫苏不相邻的摆法共有 ．
【答案】120
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：先排盆虞美人、盆郁金香有种，再将盆锦紫苏放入到个位置中有种，
根据分步乘法计数原理有种排法；
若郁金香在两边，先排盆虞美人、盆郁金香有种，
再将盆锦紫苏放入到个位置中有，根据分步计数原理有种排法，
综上，共有种排法.
故答案为：.
【分析】利用插空法将盆盆栽排好，再考虑郁金香在两边的情形结合排列组合求解即可.
16．（2024高二下·内江月考）已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：因为函数上关于轴对称，所以函数为偶函数，
令，满足，则函数为奇函数，，
当时，不等式，即，则函数在上单调递增，
又因为函数为奇函数，所以函数在上单调递增；
对，不等式恒成立，即，
即，，
当时，，则，
则；；
故在单调递减，在单调递增；
则时，函数取得极小值即最小值，且最小值为，，
当时，，则，则，则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】构造函数，求导利用导数判断函数的单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立，分离参数求最值即可求的a的取值范围.
四、解答题
17．（2024高二下·内江月考）记为等差数列的前n项和．已知，
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
因为等差数列的前n项和，
所以，，
解得，则公差 ，
则数列是首项为2，公差为1的等差数列，
即；
（2）解：由（1）可得，
设数列的前n项和为，
则.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意，根据等差数列的性质，结合等差数列的前n项和求得的值，即可得数列的通项公式；
（2）由（1）求得，利用裂项法求和即可.
18．（2024高二下·内江月考）已知曲线在点处的切线方程是.
（1）求，的值；
（2）如果曲线的某一切线与直线：垂直，求切点坐标与切线的方程.
【答案】解：（1）函数定义域为，，
由题意可得，，解得，；
（2）因为曲线的某一切线与直线垂直，所以切线的斜率，
设切点的坐标为，则，解得，
由，可得，或，
则切线方程为或，即或.
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程；用斜率判定两直线垂直
【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义结合已知条件列式求解即可；
（2）设切点的坐标为，由两直线垂直的条件，斜率之积为，可得切线的斜率，解方程可得切点坐标，即可求得切线方程.
19．（2024高二下·内江月考）已知函数．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）当时，，其定义域为，
求导，得．
令，得（舍去），
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减．
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）解：由条件可知，于是，解得．
当时，，构造函数，，
对其求导，得，
所以函数在上单调递减，于是，
因此实数m的取值范围是．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；基本初等函数导函数公式
【解析】【分析】（1）将代入，求函数的定义域，再求出导函数，根据导函数的正负即可判断原函数的单调性求单调区间；
（2）可借助，解得，，构造函数，结合函数的单调性及最值即可求得实数m的取值范围.
20．（2024高二下·内江月考）已知数列的前n项和为，，其中．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前n项和，若对任意且，恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，解得，
当时，，则，两式相减得，即，
因为，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列，
则数列的通项公式是；
（2）解：由（1）可得，
则，
，
两式相减得：
，
即，
因为且，，所以，
当时，数列是递增数列，所以的最小值为18，即实数的取值范围为.
【知识点】数列的函数特性；等比数列的前n项和；数列的通项公式；数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）当时，求得，由之间的关系得数列为等比数列，即可得数列的通项公式；
（2）由等比数列求和公式、错位相减法结合数列单调性求解即可.
21．（2024高二下·内江月考）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明不等式恒成立．
【答案】解：（1）函数定义域为，，
当时，，则函数在上单调递增；
当时，当时，，函数单调递增；
当时，，单调递减，
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
（2）设函数，，易知在上单调递增，
因为，，所以在上有唯一实数根，且，
则，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，结合，可知，
所以，
则，即不等式恒成立．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）求出函数导数，讨论的范围结合导数判断函数的单调性即可；
（2）构造函数，利用导数可得在上有唯一实数根，且，则可得，证明即可.
22．（2024高二下·内江月考）已知函数．
（1）若恒成立，求实数的值；
（2）证明：．
【答案】（1）解：函数定义域为，
，
当时，因为，所以恒成立，则在上单调递增，
且，所以恒大于等于零不成立；
当时，由得，，易知当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，若恒成立，则
令，则，
在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以
所以当时，，
综上，若恒成立，则；
（2）证明：由（1）得，当时，恒成立，
即，当且仅当时等号成立，
令，则，，，
所以，，，
令，则恒成立，
所以函数在上单调递增，
故当时，，即，
所以，，，
所以
.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）当时，求出导函数即可判断单调性直接说明；当时，求出导函数通过确定单调性，求最值即可得实数a的值；
（2）通过不等式以及进行放缩，再利用裂项相消法求和，证明即可.
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