贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·印江月考）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·印江月考）已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
3．（2024高二下·印江月考）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·印江月考） 在等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A． B． C．2 D．4
5．（2024高二下·印江月考）已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·印江月考）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高二下·印江月考）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·印江月考）已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·印江月考）已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的焦距为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为
10．（2024高二下·印江月考）在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·印江月考）已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．与夹角的余弦值为
D．若，则共面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·印江月考）直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为 ．
13．（2024高二下·印江月考）已知圆与圆，则两圆的位置关系为 ．
14．（2024高二下·印江月考）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（2024高二下·印江月考）已知数列是等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求.
16．（2024高二下·印江月考）已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程．
17．（2024高二下·印江月考）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A，B两点为椭圆C的左、右顶点，点P（异于左、右顶点）为椭圆C上一动点，直线PA，PB的斜率分别为，，求证：为定值．
18．（2024高二下·印江月考）如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，求二面角的大小．
19．（2024高二下·印江月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为抛物线的标准方程为，，，，所以焦点坐标为，
故答案为：A．
【分析】本题考查抛物线的简单几何性质.先将抛物线方程化为标准方程，进而可求出的值，再判断出焦点所在的位置，利用焦点坐标公式可求出焦点坐标．
2．【答案】D
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】A，令，解得：，A错误；
B，令，解得：，B错误；
C，令，解得：，C错误；
D，令解得：或（舍），D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查数列的通项公式.依次令通项公式，，解方程依次求出的值，若，则该数是该数列中的项.
3．【答案】B
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率，由，得，
所以，即，又，则，
所以直线的倾斜角为．
故答案为：B．
【分析】本题考查利用斜率判断直线与直线的位置关系.先利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据两条直线垂直，则斜率相乘等于，据此可求出，再根据直线的倾斜角与斜率的关系，进而可求出直线的倾斜角．
4．【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：因为 ，，成等差数列 ，则，
又因为 为等比数列，则，即，
所以 .
故答案为：C.
【分析】根据等差中项结合等比数列性质可得，代入求解即可.
5．【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知该椭圆的长轴长为，
以16为弦长的圆的最小半径为8，
所以圆的最小面积为，
故答案为：D
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.先根据椭圆方程求出椭圆的长轴长，再根据以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小半径，利用圆的面积公式可求出该圆的最小面积.
6．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】
因为平行六面体中，点是线段上的一点，且，
所以
．
故答案为：C．
【分析】本题考查空间向量的基本定理.根据空间向量的线性运算可得，再根据平行六面体的性质可得：，再进行运算可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，
又由双曲线的离心率为，有，
可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.
故答案为：B.
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意可得：，再根据双曲线的离心率为，进而可求出的值，利用椭圆的关系式可求出的值，据此可写出双曲线方程，再将代入双曲线方程可求出该花瓶的高.
8．【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆，则圆心为，半径，
因为，在中，，
所以，所以点的轨迹方程为，即圆心为，半径，
又直线上存在点，
所以直线与有交点，所以，解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：D
【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先根据圆的方程求出圆的圆心坐标与半径，再根据，可推出动点的轨迹方程，再根据直线与圆有交点可得：圆心到直线的距离不大于半径，据此可列出关于的不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
9．【答案】B,C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线可知，；
A、双曲线的实轴长为，故A错误；
B、双曲线的焦距为，故B正确；
C、双曲线的离心率为，故C正确；
D、双曲线的渐近线方程为，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】根据双曲线的性质直接逐一判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，解得q=2，
∴，A选项错误，∴，B选项正确，
∴，C选项正确，
∴，D选项错误；
故选：BＣ.
【分析】根据等比数列的性质逐项求解判断即可.
11．【答案】B,C,D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】A：，又，A错误；
B：，则，B正确；
C：因为，所以，
所以，C正确；
D：因为，D正确.
故答案为：BCD
【分析】本题考查空间向量平行的坐标表示，空间向量垂直的坐标表示，空间向量的夹角计算公式，空间向量基本定理.先利用空间向量的坐标运算可求出的坐标，据此可判断与不成倍数关系，可判断A选项；先利用空间向量的的坐标运算可求出的坐标，据此可判断，判断B选项；根据题意求出，，利用空间向量的夹角计算公式可求出与夹角的余弦值，判断C选项；先利用空间向量的的坐标运算可求出的坐标，据此可推出，利用空间向量的基本定理可判断D选项.
12．【答案】
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为.
故答案为：
【分析】本题考查直线的点斜式方程.先利用直线的点斜式方程公式：，将点和斜率代入公式，再进行化简可求出直线的一般式方程.
13．【答案】相交
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】根据两圆的方程，
得，，，
，
两圆相交．
故答案为：相交.
【分析】本题考查圆与圆的位置关系.先利用两点间的距离公式可求出，进而可推出，据此可判断出两圆的位置关系.
14．【答案】25
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为点在椭圆上，根据椭圆定义可得，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立.
故答案为：25.
【分析】根据椭圆的定义可得，再利用基本不等式求解即可得得最大值.
15．【答案】（1）设的公差为，则
，
解得，
所以；
（2）由（1）知；
得.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.(1)设的公差为，利用等差数列的通项公式可列出方程组，解方程组可求出，利用等差数列的通项公式可求出的通项公式；
(2)利用等差数列的前n项和公式，代入数据可求出.
（1）设的公差为，则，解得，
所以；
（2）由（1）知；
得.
16．【答案】（1）由题意得，
当轴时，，两点的横坐标为，
当时，，解得，
，解得，
故抛物线的方程为；
（2）由（1）得，且直线的斜率存在，
设，，且，
则，，
，即，
线段的中点的纵坐标为，
，即，
，即直线的斜率，
直线的方程为，即．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系.（1）根据抛物线的焦点坐标为，根据题意可得，两点的横坐标为，利用两点间的距离公式可列出方程，解方程可求出的值，可求出抛物线的方程；
（2）由（1）得，根据题意可得直线的斜率存在，设，，据此可得，，利用直线的斜率公式和中点坐标公式可求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程可求出直线的方程.
（1）由题意得，
当轴时，，两点的横坐标为，
当时，，解得，
，解得，
故抛物线的方程为；
（2）由（1）得，且直线的斜率存在，
设，，且，
则，，
，即，
线段的中点的纵坐标为，
，即，
，即直线的斜率，
直线的方程为，即．
17．【答案】（1）根据题意得，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）证明：由（1）得，，
设点，则满足，即，
因为，，
所以，
∴为定值．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.（1）根据椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3，可得，再结合椭圆的离心率和椭圆的关系式可列出方程组，解方程组可求出a，b，c的值，据此可写出椭圆C的标准方程 ；
（2）由（1）可得，两点的坐标，设出P点的坐标，代入椭圆标准方程得出横纵坐标的关系式，再利用直线的斜率公式可求出，的值，再化简式子，可证明结论.
（1）根据题意得，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）证明：由（1）得，，
设点，则满足，即，
因为，，
所以，
∴为定值．
18．【答案】（1）在三棱锥中，因O为的中点，且，则，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）在线段上取点F，使，连接EF，如图，
因点E在棱上，且，则，因此，，
由(1)知平面，则有平面，而平面，从而有
因是边长为1的等边三角形，且O为的中点，即，则是直角三角形，，
过F作交BC于点G，连接EG，则有，因，平面，
于是得平面，而平面，因此，，即有是二面角的平面角，
因，则，而，，
，于是得，而有，因此得，
所以二面角的大小.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法.(1)先利用等腰三角形的性质证明，再根据平面平面，利用平面与平面垂直的性质可证明平面，利用直线与平面垂直的性质可证明结论；
(2)在线段上取点F，使，连接EF，利用平行线的性质可证明，利用直线与平面垂直的性质可证明，利用等边三角形的性质可证明，过F作交BC于点G，进而可推出，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，进而推出，据此可得是二面角的平面角，利用等腰三角形的性质可求出二面角的大小.
（1）在三棱锥中，因O为的中点，且，则，
又平面平面，平面平面，平面，于是得平面，而平面，
所以.
（2）在线段上取点F，使，连接EF，如图，
因点E在棱上，且，则，因此，，
由(1)知平面，则有平面，而平面，从而有
因是边长为1的等边三角形，且O为的中点，即，则是直角三角形，，
过F作交BC于点G，连接EG，则有，因，平面，
于是得平面，而平面，因此，，即有是二面角的平面角，
因，则，而，，
，于是得，而有，因此得，
所以二面角的大小.
19．【答案】（1）由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为 ，
所以，
解得或，故 或，
故直线方程为或
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由题意得，，，计算求解即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立得，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式原点到直线的距离为 ，即可根据三角形面积公式，计算求解即可.
1 / 1贵州省铜仁市印江土家族苗族自治县智成中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高二下·印江月考）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】因为抛物线的标准方程为，，，，所以焦点坐标为，
故答案为：A．
【分析】本题考查抛物线的简单几何性质.先将抛物线方程化为标准方程，进而可求出的值，再判断出焦点所在的位置，利用焦点坐标公式可求出焦点坐标．
2．（2024高二下·印江月考）已知数列的通项公式为，则下列数是该数列中的项的是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】数列的通项公式
【解析】【解答】A，令，解得：，A错误；
B，令，解得：，B错误；
C，令，解得：，C错误；
D，令解得：或（舍），D正确.
故答案为：D.
【分析】本题考查数列的通项公式.依次令通项公式，，解方程依次求出的值，若，则该数是该数列中的项.
3．（2024高二下·印江月考）已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系；用斜率判定两直线垂直
【解析】【解答】设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率，由，得，
所以，即，又，则，
所以直线的倾斜角为．
故答案为：B．
【分析】本题考查利用斜率判断直线与直线的位置关系.先利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据两条直线垂直，则斜率相乘等于，据此可求出，再根据直线的倾斜角与斜率的关系，进而可求出直线的倾斜角．
4．（2024高二下·印江月考） 在等比数列中，，，成等差数列，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】C
【知识点】等比数列的通项公式；等差中项
【解析】【解答】解：因为 ，，成等差数列 ，则，
又因为 为等比数列，则，即，
所以 .
故答案为：C.
【分析】根据等差中项结合等比数列性质可得，代入求解即可.
5．（2024高二下·印江月考）已知椭圆方程为，则以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知该椭圆的长轴长为，
以16为弦长的圆的最小半径为8，
所以圆的最小面积为，
故答案为：D
【分析】本题考查椭圆的简单几何性质.先根据椭圆方程求出椭圆的长轴长，再根据以该椭圆的长轴长为弦长的圆的最小半径，利用圆的面积公式可求出该圆的最小面积.
6．（2024高二下·印江月考）在平行六面体中，点是线段上的一点，且，设，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】
因为平行六面体中，点是线段上的一点，且，
所以
．
故答案为：C．
【分析】本题考查空间向量的基本定理.根据空间向量的线性运算可得，再根据平行六面体的性质可得：，再进行运算可求出答案.
7．（2024高二下·印江月考）如图，这是一个落地青花瓷，其中底座和瓶口的直径相等，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为，最大直径为，双曲线的离心率为，则该花瓶的高为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由该花瓶横截面圆的最小直径为，有，
又由双曲线的离心率为，有，
可得双曲线的方程为，代入，可得，故该花瓶的高为.
故答案为：B.
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据题意可得：，再根据双曲线的离心率为，进而可求出的值，利用椭圆的关系式可求出的值，据此可写出双曲线方程，再将代入双曲线方程可求出该花瓶的高.
8．（2024高二下·印江月考）已知圆，直线上存在点，过点作圆的切线，切点分别为，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】圆，则圆心为，半径，
因为，在中，，
所以，所以点的轨迹方程为，即圆心为，半径，
又直线上存在点，
所以直线与有交点，所以，解得，
即实数的取值范围是．
故答案为：D
【分析】本题考查直线与圆的位置关系.先根据圆的方程求出圆的圆心坐标与半径，再根据，可推出动点的轨迹方程，再根据直线与圆有交点可得：圆心到直线的距离不大于半径，据此可列出关于的不等式，解不等式可求出实数的取值范围.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2024高二下·印江月考）已知双曲线，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的实轴长为 B．双曲线的焦距为
C．双曲线的离心率为 D．双曲线的渐近线方程为
【答案】B,C
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】由双曲线可知，；
A、双曲线的实轴长为，故A错误；
B、双曲线的焦距为，故B正确；
C、双曲线的离心率为，故C正确；
D、双曲线的渐近线方程为，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】根据双曲线的性质直接逐一判断即可.
10．（2024高二下·印江月考）在等比数列中，已知，，其前项和为，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】等比数列的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，解得q=2，
∴，A选项错误，∴，B选项正确，
∴，C选项正确，
∴，D选项错误；
故选：BＣ.
【分析】根据等比数列的性质逐项求解判断即可.
11．（2024高二下·印江月考）已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．与夹角的余弦值为
D．若，则共面
【答案】B,C,D
【知识点】空间向量基本定理；空间向量平行的坐标表示；空间向量垂直的坐标表示；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】A：，又，A错误；
B：，则，B正确；
C：因为，所以，
所以，C正确；
D：因为，D正确.
故答案为：BCD
【分析】本题考查空间向量平行的坐标表示，空间向量垂直的坐标表示，空间向量的夹角计算公式，空间向量基本定理.先利用空间向量的坐标运算可求出的坐标，据此可判断与不成倍数关系，可判断A选项；先利用空间向量的的坐标运算可求出的坐标，据此可判断，判断B选项；根据题意求出，，利用空间向量的夹角计算公式可求出与夹角的余弦值，判断C选项；先利用空间向量的的坐标运算可求出的坐标，据此可推出，利用空间向量的基本定理可判断D选项.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2024高二下·印江月考）直线l过点，若l的斜率为3，则直线l的一般式方程为 ．
【答案】
【知识点】直线的点斜式方程
【解析】【解答】由直线的点斜式可得，方程为，化为一般式方程为.
故答案为：
【分析】本题考查直线的点斜式方程.先利用直线的点斜式方程公式：，将点和斜率代入公式，再进行化简可求出直线的一般式方程.
13．（2024高二下·印江月考）已知圆与圆，则两圆的位置关系为 ．
【答案】相交
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】根据两圆的方程，
得，，，
，
两圆相交．
故答案为：相交.
【分析】本题考查圆与圆的位置关系.先利用两点间的距离公式可求出，进而可推出，据此可判断出两圆的位置关系.
14．（2024高二下·印江月考）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P是椭圆C上的一点，则的最大值为 .
【答案】25
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】因为点在椭圆上，根据椭圆定义可得，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立.
故答案为：25.
【分析】根据椭圆的定义可得，再利用基本不等式求解即可得得最大值.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（2024高二下·印江月考）已知数列是等差数列，且.
（1）求的通项公式；
（2）若数列的前项和为，求.
【答案】（1）设的公差为，则
，
解得，
所以；
（2）由（1）知；
得.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式.(1)设的公差为，利用等差数列的通项公式可列出方程组，解方程组可求出，利用等差数列的通项公式可求出的通项公式；
(2)利用等差数列的前n项和公式，代入数据可求出.
（1）设的公差为，则，解得，
所以；
（2）由（1）知；
得.
16．（2024高二下·印江月考）已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．
（1）求抛物线的方程；
（2）当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程．
【答案】（1）由题意得，
当轴时，，两点的横坐标为，
当时，，解得，
，解得，
故抛物线的方程为；
（2）由（1）得，且直线的斜率存在，
设，，且，
则，，
，即，
线段的中点的纵坐标为，
，即，
，即直线的斜率，
直线的方程为，即．
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系.（1）根据抛物线的焦点坐标为，根据题意可得，两点的横坐标为，利用两点间的距离公式可列出方程，解方程可求出的值，可求出抛物线的方程；
（2）由（1）得，根据题意可得直线的斜率存在，设，，据此可得，，利用直线的斜率公式和中点坐标公式可求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程可求出直线的方程.
（1）由题意得，
当轴时，，两点的横坐标为，
当时，，解得，
，解得，
故抛物线的方程为；
（2）由（1）得，且直线的斜率存在，
设，，且，
则，，
，即，
线段的中点的纵坐标为，
，即，
，即直线的斜率，
直线的方程为，即．
17．（2024高二下·印江月考）已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设A，B两点为椭圆C的左、右顶点，点P（异于左、右顶点）为椭圆C上一动点，直线PA，PB的斜率分别为，，求证：为定值．
【答案】（1）根据题意得，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）证明：由（1）得，，
设点，则满足，即，
因为，，
所以，
∴为定值．
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.（1）根据椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3，可得，再结合椭圆的离心率和椭圆的关系式可列出方程组，解方程组可求出a，b，c的值，据此可写出椭圆C的标准方程 ；
（2）由（1）可得，两点的坐标，设出P点的坐标，代入椭圆标准方程得出横纵坐标的关系式，再利用直线的斜率公式可求出，的值，再化简式子，可证明结论.
（1）根据题意得，
∴椭圆C的标准方程为．
（2）证明：由（1）得，，
设点，则满足，即，
因为，，
所以，
∴为定值．
18．（2024高二下·印江月考）如图，在三棱锥中，平面平面，，O为的中点．
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点E在棱上，，求二面角的大小．
【答案】（1）在三棱锥中，因O为的中点，且，则，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以.
（2）在线段上取点F，使，连接EF，如图，
因点E在棱上，且，则，因此，，
由(1)知平面，则有平面，而平面，从而有
因是边长为1的等边三角形，且O为的中点，即，则是直角三角形，，
过F作交BC于点G，连接EG，则有，因，平面，
于是得平面，而平面，因此，，即有是二面角的平面角，
因，则，而，，
，于是得，而有，因此得，
所以二面角的大小.
【知识点】直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法.(1)先利用等腰三角形的性质证明，再根据平面平面，利用平面与平面垂直的性质可证明平面，利用直线与平面垂直的性质可证明结论；
(2)在线段上取点F，使，连接EF，利用平行线的性质可证明，利用直线与平面垂直的性质可证明，利用等边三角形的性质可证明，过F作交BC于点G，进而可推出，利用直线与平面垂直的判定定理可证明平面，进而推出，据此可得是二面角的平面角，利用等腰三角形的性质可求出二面角的大小.
（1）在三棱锥中，因O为的中点，且，则，
又平面平面，平面平面，平面，于是得平面，而平面，
所以.
（2）在线段上取点F，使，连接EF，如图，
因点E在棱上，且，则，因此，，
由(1)知平面，则有平面，而平面，从而有
因是边长为1的等边三角形，且O为的中点，即，则是直角三角形，，
过F作交BC于点G，连接EG，则有，因，平面，
于是得平面，而平面，因此，，即有是二面角的平面角，
因，则，而，，
，于是得，而有，因此得，
所以二面角的大小.
19．（2024高二下·印江月考）已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，过的直线l交双曲线C于A，B两点，且的面积为，求直线l的方程.
【答案】（1）由题意得：，，，
解得：，，，
双曲线的标准方程为．
（2）由题意可知，直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，，，，
联立方程组，消去整理得，
则，
原点到直线的距离为 ，
所以，
解得或，故 或，
故直线方程为或
【知识点】平面内点到直线的距离公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【分析】（1）由题意得，，，计算求解即可；
（2）设直线的方程为，与椭圆联立得，利用弦长公式表示，根据点到直线的距离公式原点到直线的距离为 ，即可根据三角形面积公式，计算求解即可.
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