四川省遂宁中学校高新校区2023-2024学年高二下学期7月月考数学试卷（含解析）

遂宁中学高2025届高二下7月月考数学试题
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分）
1．若的展开式中各项系数之和为，则第四项与第五项的系数之比为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数的导函数为，则（ ）
A． B． C． D．
3．函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ）
A．180 B．150 C．120 D．210
5．某地为响应“扶贫必扶智，扶智就扶知识、扶技术、扶方法”的号召，建立了农业科技图书馆，供农民免费借阅．现收集了该图书馆五年的借阅数据如表：
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代码 1 2 3 4 5
年借阅量（万册） 4.9 5.1 5.5 5.7 5.8
根据如表，可得关于的线性回归方程为，则下列说法中错误的是　　
A．
B．借阅量4.9，5.1，5.5，5.7，5.8的第75百分位数为5.7
C．与的线性相关系数 D．2021年的借阅量一定少于6.12万册
6．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
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7．已知函数，若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知红箱内有5个红球和3个白球，白箱内有3个红球和5个白球，所有小球形状大小完全相同.第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第次从与第次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去.记第次取出的球是白球的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每小题6分）
9．甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C．已知，则
D．从一批含有10件正品 4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为
11．若函数，则（ ）
A．的图象关于对称 B．在上单调递增
C．的极小值点为 D．有两个零点
第II卷（非选择题）
三、填空题
12．除以的余数为______.
13．有名演员，其中人会唱歌，人会跳舞，现要表演一个人唱歌人伴舞的节目，则不同的选派方法共有 种（写出具体数字结果）．
14．若，则实数a的取值范围为
四、解答题
15．（本小题13分）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．（参考数据：）
16．（本小题15分）已知函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)若对，恒成立，求实数的取值范围.
17．（本小题15分）某学校工会组织趣味投篮比赛，每名选手只能在下列两种比赛方式中选择一种.
方式一：选手投篮3次，每次投中可得1分，未投中不得分，累计得分；
方式二：选手最多投3次.如第1次投中可进行第2次投篮，如第2次投中可进行第3次投篮.如某次未投中，则投篮中止.每投中1次可得2分，未投中不得分，累计得分；
若甲乙两位老师参加比赛，已知甲选择方式一参加比赛，乙选择方式二参加比赛.
假设甲，乙每次投中的概率均为，且每次投篮相互独立.
(1)求甲得分不低于2分的概率；
(2)求乙得分的分布列及期望；
(3)求甲胜出的概率.
18（本小题17分）．吉林省从2021年开始，高考取消文理分科，实行“”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人），该校为了解高一年级学生对物理、历史的选科情况，采用比例分配的分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，其中选择历史的男生有40人，选
择物理的女生有30人．
性别 选择物理 选择历史 总计
男生
女生
总计
(1)利用以上信息完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为学生性别与选择科目有关？
(2)某个外语学习小组共有7人，其中有3人选择了历史，4人选择了物理，随机抽取4人进行对话练习，用表示抽中的4人中，选择历史的同学人数，求的分布列及期望．
0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
附：，其中
19．（本小题17分，2024年北京夏季高考试题）已知在处切线为l．
(1)若切线l的斜率，求单调区间；
(2)证明：切线l不经过；
(3)已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？
（参考数据：，，）
参考答案：
1．D 2．C 3．B 4．A 5．D 6．A
7．A【详解】函数有两个零点，即函数的图象与的图象有两个交点，函数的定义域为，
,令，解得 ，
- 0 +
单调递减 单调递增
,的变化情况如下表：
所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故当时，有极小值，
令，解得，
当时，；当时，，
当无限趋向于负无穷大时， 无限趋向于0；当无限趋向于正无穷大时时，无限趋向于正无穷大，
由此作出函数的大致图象：由图象得：当时，交点为0个；
当或时，交点为1个； 当时，交点为2个.
若函数的图象与的图象有两个交点，
则由图可知，实数的取值范围为.故选：A.
8．A【详解】由题意可知在红箱内取到红球的概率为，取到白球的概率为，在白箱内取到红球的概率为，取到白球的概率为，
第次取出白球，包括“第取出是红球”和“第次取出是白球”两种情况，
第次取出的球是白球的概率为，则第次取出的球是红球的概率为，
所以，故选：A
9．BC【详解】因为，所以，
所以根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物无效”；
根据小概率值的独立性检验，分析认为“药物有效”；故选：BC.
10．ABD
11．AC【详解】对于函数，令，解得或，
所以函数的定义域为，
又，
所以为奇函数，函数图象关于对称，故A正确；
又
，
当时，，即在上单调递减，故B错误；
当时，，即在上单调递增，
根据奇函数的对称性可知在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值点为，极大值点为，故C正确；
又，
且当趋近于1时，趋近于无穷大，当趋近于0时，趋近于无穷大，
所以在上无零点，根据对称性可知在上无零点，
故无零点，故D错误．故选：AC．
12． 故答案为：． 13．.
14．【详解】不等式可化为，
设，则，即在R上单调递增，
因为，所以恒成立，
根据对数函数的性质可得，时显然不成立，所以，
所以，所以恒成立.
令，则,
当时，即单调递减；当时，即单调递增.
所以，
所以只需，即，又，所以的取值范围为.
15．【详解】（1）令得，，
再令得，，所以，
（2）令得，，
所以，
所以
16．【详解】（1）因，
由可解得，或；由可解得，.
故函数的单调递增区间为：和；
函数的单调递减区间为：.
（2）因等价于，依题意，要求函数在区间上的最小值.
由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
故当时，函数，故得.
即实数的取值范围为.--------------------15分
17．【详解】（1）设甲选择方式一参加比赛得分为，
，，
设甲得分不低于2分为事件A，则；-----------6分
（2）设乙选择方式二参加比赛得分为Y，Y的可能取值为0，2，4，6，
，，
，，
所以Y的分布列为：
Y 0 2 4 6
P
所以；--------------------12分
（3）甲获胜的概率为，-----------------15分
18【详解】（1）根据采用比例分配的分层抽样得其中抽取男生的人数为人，则抽取女生人数为人，
性别 选择物理 选择历史 总计
男生 70 40 110
女生 30 60 90
总计 100 100 200
则列联表如下：
则，
能认为学生性别与选择科目有关；-----------7分
（2）可能取值为，，，，
，
，
则的分布列如：
.--------------17分
19．【详解】（1），
当时，；当，；
在上单调递减，在上单调递增.
则的单调递减区间为，单调递增区间为.--------------------5分
（2），切线的斜率为，
则切线方程为，
将代入则，
即，则，，
令，
假设过，则在存在零点.
，在上单调递增，，
在无零点，与假设矛盾，故直线不过.------------------10分
（3）时，.
，设与轴交点为，
时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾.
由（2）知.所以，
则切线的方程为，
令，则.
，则，
，记，
满足条件的有几个即有几个零点.
，
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减；
因为，
，
所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足的有两个.---------------------------17分