广东省惠州市实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题（本题8小题，共40分）
1．（2024高二下·惠州期中）下列函数求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·惠州期中）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
3．（2024高二下·惠州期中）记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二下·惠州期中）劳动可以树德、可以增智、可以健体、可以育美．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛，已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，则这5名同学的名次排列无并列名次共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
5．（2024高二下·惠州期中）已知随机变量的分布列满足：，其中为常数，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·惠州期中）已知随机变量满足，且随机变量的分布列如下：
0 1 2
则随机变量的方差（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·惠州期中）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二下·惠州期中）定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是
A． B． C． D．
二、多选题（本题3小题，共18分）
9．（2024高二下·惠州期中）连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为，记，事件为“”，事件为“”，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．事件与事件互为独立事件
10．（2024高二下·惠州期中）已知函数，则（ ）
A．为其定义域上的增函数 B．为偶函数
C．的图象与直线相切 D．有唯一的零点
11．（2024高二下·惠州期中）已知，则下列描述正确的是 （ ）
A． B．除以5所得的余数是1
C． D．
三、填空题（本题3小题，共15分）
12．（2024高二下·惠州期中） 的展开式中 的系数为 (用数字作答).
13．（2024高二下·惠州期中）位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点移动五次后位于点的概率是 ．
14．（2024高二下·惠州期中）杨辉是南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：
（1）第10行中从左到右的第4个数是 ；
（2）在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第3斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第斜列中第k个数．试用含有的数学公式表示上述结论 ．
四、解答题
15．（2024高二下·惠州期中）已知函数．
（1）求曲线的图象在点处的切线方程；
（2）若方程有3个不同的根，求实数k的取值范围．
16．（2024高二下·惠州期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，．求的面积．
17．（2024高二下·惠州期中）设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
18．（2024高二下·惠州期中）某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占．
（1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率；
（2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人．
①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率；
②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望．
19．（2024高二下·惠州期中）已知
（1）当a=3时，求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)有两个极值点，，证明：f()+f()++<0
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A选项，，故A错误；
B选项，，故B错误；
C选项，，故C正确；
D选项，，故D错误；
答案：C
【分析】根据导数的运算规则，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】甲：设数列首项为，公差为，则，
所以，
由等差数列通项公式可知数列是首项为，公差为的等差数列，即甲是乙的充分条件；
乙：设数列是首项为，公差为则，
∴，
由等差数列前n项和公式可知数列是首项为，公差为的等差数列，即乙是甲的充分条件；
∴甲是乙的充要条件。
故选：C
【分析】 根据题意表达数列，结合等差数列通项公式与前n项和公式即得答案。
3．【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，①，
由①化简得，，解得：，
所以．
故答案为：C．
【分析】先验证时是不成立，再利用等比数列前n项和公式求出，代入求和公式即可.
4．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：因为冠军是甲、乙当中的一人，所以排第1名有种方法，
丁和戊都不是最差的，所以排丁和戊有种方法，
排剩下2人的排法有种方法，
根据分步乘法计数原理有这5名同学的名次排列（无并列名次）共有（种）.
故答案为：B
【分析】根据题意可知完成该事件满足分步乘法计数原理，利用排列组合综合计数计算即可.
5．【答案】B
【知识点】概率分布列
【解析】【解答】解：由随机变量的分布列的性质可得，解故
答案：B
【分析】根据分布列的性质计算可得的值，根据公式求即可
6．【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由分布列的性质可得，所以期望，
所以方差，
又，所以．
故选：B
【分析】根据所有概率之和为1可得，进而根据题意根据公式直接计算期望与方程即可.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由已知换底可得，
函数在上单调递增，而函数在上单调递减，
因此，而，于是或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
答案：D
【分析】由换底公式得，由函数的单调性得建立不等式并求解即可得a的范围.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由得：，即 即有
故函数在上单调递减
，即
即 ，解得
答案：
【分析】根据联想构造函数，其导数小于0，即原函数单调递减，即可求不等式的解集.
9．【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】由已知得，
所以，A正确；，B正确；
，C错误；，D正确．
答案：ABD.
【分析】先求出事件的基本事件数量和事件A的基本事件，由条件概率的公式、古典概率的公式和独立事件的概念对选项分别判断即可得出答案.
10．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意，在中，定义域为，求导得，
∴为上的增函数，A正确；
由，∴为奇函数，B错误；
∵当时，解得：，此时，
∴斜率为0的切线为y=，不可能为直线，∴C错误；
为上的增函数，，∴有唯一的零点，D正确.
答案：AD.
【分析】求出可判断函数奇偶性，通过对函数求导，即可求出其单调性，切线和零点是否唯一.
11．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】对于A选项：令得：；令，得．于是
，故A错误；
对于B选项：
，故B正确
对于C选项：因为二项展开式的通项公式为，
由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以，
由，令，得到，
令，得到，
所以，故C错误
对于D选项：对原表达式的两边同时对求导，
得到，
令，得到，令，得
所以，，故D错误．
答案：B.
【分析】结合赋值法，令x=1，0，-1可分别判断ABC选项，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案.
12．【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，
①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 项为，
②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 项为，
则展开式中 项为，
故答案为：-28
【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】质点移动五次后，位于点处，则需向右移动次，向上移动次
则所求概率
答案：
【分析】可判断出质点需向右移动次，向上移动次，从而服从二项分布，利用二项分布求得概率.
14．【答案】120；（且）
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式
【解析】【解答】（1）根据题意，归纳规律可得：第n行的从左到右第个数为，（，且），则第10行中从左到右的第4个数为；
（2）由结论知第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第斜列中第k个数．
用公式表示为：（且） ．
证明：左式
右式，即左边=右边，
即等式（且）成立．
答案：（1）120；
（2）（且） ．
【分析】（1）根据题意，归纳可得：第n行的从左到右第个数为，计算即可求解；（2）根据结论可得第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第斜列中第k个数，从而可求解.
15．【答案】（1）解：求导得，则，而，
所以曲线的图象在点处的切线方程为，
即.
（2）解：求导得，令f'(x)=0得x=-2或2；
当时，，当时，，
函数在上单调递增；在上单调递减，
则当时，取得极大值，当时，取得极小值，
作出函数的图象，如图，
若方程有3个不同的根，则直线和函数的图象有3个交点，
观察图象知，当时，直线和函数的图象有3个交点，
所以实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导后后令x=1得切线的斜率，求出f(1)即可得点处的切线方程.（2）利用导数求出函数的极值，并作出其图象，数形结合求出的范围.
16．【答案】解：（1）由正弦定理，得，由，得，而，所以，因而．得，
所以．
（2）由正弦定理得，
而，所以，①
由余弦定理，得，
即， ②把①代入②得.
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，可得tanB的值，即可求得B的度数；
（2）利用正弦定理与余弦定理，可得a和c的值，再用三角形面积公式求解即可．
17．【答案】（1）解：因为，
当时，，即；
当n≥2时，，
得，
化简得：，
当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）解：，得，
，
两式相减得，
，
，
即，．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据前n项和作差可得即可求出数列的通项；
（2）利用错位相减法，，两式相减即可解出．
18．【答案】（1）解：记事件分别为抽取的1名学生获奖与不获奖，事件为抽取的1名学生是女生，
则，且互斥，，
由题意可知，，
且，
由全概率公式可知，
即从120名学生中随机抽取1名学生，恰好是女生的概率为；
（2）解：根据题意可知120名学生的获奖情况如下表所示．
获奖 不获奖
男生 60 20
女生 20 20
①由分层随机抽样方法得，选取的8人中，男生有（人），女生有（人），
记事件为“选出的2人中有女生”，共有（种）不同的选法，
事件为“选出的2人为1名男生、1名女生”，共有（种）不同的选法，
则，
②由题意，的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
则．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）借助全概率公式计算即可得随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率 ；
（2）①借助分层抽样的性质与条件概率计算即可；②计算出的所有可能取值及其概率即可得分布列和期望.
19．【答案】（1）解：当a=3时，，
令得0
ln3，
故f(x)的单调递增区间为(0，ln3)，单调递减区间为(-∞，0)和(ln3，+∞)
（2）解：，令t=，
则有两个不相等的正实数解为，
则△=16-4a>0，，，即0知，
则f()+f()++
=
=
=
=
设g(a)=(1-a)lna+a-2(0<4)，，
设，，
故h(a)单调递减.
而h(1)=1>0，，
故存在唯一的实数使，即，
当00，此时g(a)单调递增；
当所以g(a)的最大值为=，
由得，故，从而g(a)<0，
即f()+f()++<0，得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数值的正负即可判断原函数的单调性；
（2）根据已知可得、是方程的两个正根，借助根与系数关系可得，，进而用表示，构造函数后利用导数求得最值即可.
1 / 1广东省惠州市实验中学2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题（本题8小题，共40分）
1．（2024高二下·惠州期中）下列函数求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单复合函数求导法则
【解析】【解答】解：A选项，，故A错误；
B选项，，故B错误；
C选项，，故C正确；
D选项，，故D错误；
答案：C
【分析】根据导数的运算规则，即可求解.
2．（2024高二下·惠州期中）记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】甲：设数列首项为，公差为，则，
所以，
由等差数列通项公式可知数列是首项为，公差为的等差数列，即甲是乙的充分条件；
乙：设数列是首项为，公差为则，
∴，
由等差数列前n项和公式可知数列是首项为，公差为的等差数列，即乙是甲的充分条件；
∴甲是乙的充要条件。
故选：C
【分析】 根据题意表达数列，结合等差数列通项公式与前n项和公式即得答案。
3．（2024高二下·惠州期中）记为等比数列的前项和，若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，首项为，
若，则，与题意不符，所以；
由，可得，①，
由①化简得，，解得：，
所以．
故答案为：C．
【分析】先验证时是不成立，再利用等比数列前n项和公式求出，代入求和公式即可.
4．（2024高二下·惠州期中）劳动可以树德、可以增智、可以健体、可以育美．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动实践比赛，已知冠军是甲、乙当中的一人，丁和戊都不是最差的，则这5名同学的名次排列无并列名次共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式；排列、组合的实际应用；简单计数与排列组合
【解析】【解答】解：因为冠军是甲、乙当中的一人，所以排第1名有种方法，
丁和戊都不是最差的，所以排丁和戊有种方法，
排剩下2人的排法有种方法，
根据分步乘法计数原理有这5名同学的名次排列（无并列名次）共有（种）.
故答案为：B
【分析】根据题意可知完成该事件满足分步乘法计数原理，利用排列组合综合计数计算即可.
5．（2024高二下·惠州期中）已知随机变量的分布列满足：，其中为常数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率分布列
【解析】【解答】解：由随机变量的分布列的性质可得，解故
答案：B
【分析】根据分布列的性质计算可得的值，根据公式求即可
6．（2024高二下·惠州期中）已知随机变量满足，且随机变量的分布列如下：
0 1 2
则随机变量的方差（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由分布列的性质可得，所以期望，
所以方差，
又，所以．
故选：B
【分析】根据所有概率之和为1可得，进而根据题意根据公式直接计算期望与方程即可.
7．（2024高二下·惠州期中）已知且，若函数在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由已知换底可得，
函数在上单调递增，而函数在上单调递减，
因此，而，于是或，解得或，
所以实数a的取值范围为.
答案：D
【分析】由换底公式得，由函数的单调性得建立不等式并求解即可得a的范围.
8．（2024高二下·惠州期中）定义在上的函数的导函数为，若，则不等式的解集是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由得：，即 即有
故函数在上单调递减
，即
即 ，解得
答案：
【分析】根据联想构造函数，其导数小于0，即原函数单调递减，即可求不等式的解集.
二、多选题（本题3小题，共18分）
9．（2024高二下·惠州期中）连掷一枚均匀骰子两次，第一、二次所得向上的点数分别为，记，事件为“”，事件为“”，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．事件与事件互为独立事件
【答案】A,B,D
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；条件概率
【解析】【解答】由已知得，
所以，A正确；，B正确；
，C错误；，D正确．
答案：ABD.
【分析】先求出事件的基本事件数量和事件A的基本事件，由条件概率的公式、古典概率的公式和独立事件的概念对选项分别判断即可得出答案.
10．（2024高二下·惠州期中）已知函数，则（ ）
A．为其定义域上的增函数 B．为偶函数
C．的图象与直线相切 D．有唯一的零点
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题意，在中，定义域为，求导得，
∴为上的增函数，A正确；
由，∴为奇函数，B错误；
∵当时，解得：，此时，
∴斜率为0的切线为y=，不可能为直线，∴C错误；
为上的增函数，，∴有唯一的零点，D正确.
答案：AD.
【分析】求出可判断函数奇偶性，通过对函数求导，即可求出其单调性，切线和零点是否唯一.
11．（2024高二下·惠州期中）已知，则下列描述正确的是 （ ）
A． B．除以5所得的余数是1
C． D．
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】对于A选项：令得：；令，得．于是
，故A错误；
对于B选项：
，故B正确
对于C选项：因为二项展开式的通项公式为，
由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以，
由，令，得到，
令，得到，
所以，故C错误
对于D选项：对原表达式的两边同时对求导，
得到，
令，得到，令，得
所以，，故D错误．
答案：B.
【分析】结合赋值法，令x=1，0，-1可分别判断ABC选项，求导数法，二项式展开式的通项公式可得答案.
三、填空题（本题3小题，共15分）
12．（2024高二下·惠州期中） 的展开式中 的系数为 (用数字作答).
【答案】-28
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】解：(x+y)8的通项公式为，
①当8-r=2，即r=6时， 展开式中 项为，
②当8-r=3，即r=5时， 展开式中 项为，
则展开式中 项为，
故答案为：-28
【分析】由二项式定理，分类讨论求解即可.
13．（2024高二下·惠州期中）位于坐标原点的一个质点按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点移动五次后位于点的概率是 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】质点移动五次后，位于点处，则需向右移动次，向上移动次
则所求概率
答案：
【分析】可判断出质点需向右移动次，向上移动次，从而服从二项分布，利用二项分布求得概率.
14．（2024高二下·惠州期中）杨辉是南宋末年的一位杰出的数学家、教育家．杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．如图是一个11阶杨辉三角：
（1）第10行中从左到右的第4个数是 ；
（2）在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15；第3斜列中，第5个数为35．显然，1+3+6+10+15=35．事实上，一般有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第斜列中第k个数．试用含有的数学公式表示上述结论 ．
【答案】120；（且）
【知识点】二项式定理的应用；二项展开式
【解析】【解答】（1）根据题意，归纳规律可得：第n行的从左到右第个数为，（，且），则第10行中从左到右的第4个数为；
（2）由结论知第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第斜列中第k个数．
用公式表示为：（且） ．
证明：左式
右式，即左边=右边，
即等式（且）成立．
答案：（1）120；
（2）（且） ．
【分析】（1）根据题意，归纳可得：第n行的从左到右第个数为，计算即可求解；（2）根据结论可得第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第斜列中第k个数，从而可求解.
四、解答题
15．（2024高二下·惠州期中）已知函数．
（1）求曲线的图象在点处的切线方程；
（2）若方程有3个不同的根，求实数k的取值范围．
【答案】（1）解：求导得，则，而，
所以曲线的图象在点处的切线方程为，
即.
（2）解：求导得，令f'(x)=0得x=-2或2；
当时，，当时，，
函数在上单调递增；在上单调递减，
则当时，取得极大值，当时，取得极小值，
作出函数的图象，如图，
若方程有3个不同的根，则直线和函数的图象有3个交点，
观察图象知，当时，直线和函数的图象有3个交点，
所以实数的取值范围为．
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导后后令x=1得切线的斜率，求出f(1)即可得点处的切线方程.（2）利用导数求出函数的极值，并作出其图象，数形结合求出的范围.
16．（2024高二下·惠州期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角；
（2）若，．求的面积．
【答案】解：（1）由正弦定理，得，由，得，而，所以，因而．得，
所以．
（2）由正弦定理得，
而，所以，①
由余弦定理，得，
即， ②把①代入②得.
【知识点】解三角形
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边化角，可得tanB的值，即可求得B的度数；
（2）利用正弦定理与余弦定理，可得a和c的值，再用三角形面积公式求解即可．
17．（2024高二下·惠州期中）设为数列的前n项和，已知．
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【答案】（1）解：因为，
当时，，即；
当n≥2时，，
得，
化简得：，
当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）解：，得，
，
两式相减得，
，
，
即，．
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）根据前n项和作差可得即可求出数列的通项；
（2）利用错位相减法，，两式相减即可解出．
18．（2024高二下·惠州期中）某校为了解高三年级1200名学生对成语的掌握情况，举行了一次“成语测试”比赛．从中随机抽取120名学生，统计结果如下：获奖人数与不获奖人数之比为，其中获奖人数中，女生占，不获奖人数中，女生占．
（1）现从这120名学生中随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率；
（2）对获奖学生采用按性别分层随机抽样的方法选取8人，参加赛后经验交流活动．若从这8人中随机选取2人．
①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到1名男生和1名女生的概率；
②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望．
【答案】（1）解：记事件分别为抽取的1名学生获奖与不获奖，事件为抽取的1名学生是女生，
则，且互斥，，
由题意可知，，
且，
由全概率公式可知，
即从120名学生中随机抽取1名学生，恰好是女生的概率为；
（2）解：根据题意可知120名学生的获奖情况如下表所示．
获奖 不获奖
男生 60 20
女生 20 20
①由分层随机抽样方法得，选取的8人中，男生有（人），女生有（人），
记事件为“选出的2人中有女生”，共有（种）不同的选法，
事件为“选出的2人为1名男生、1名女生”，共有（种）不同的选法，
则，
②由题意，的所有可能取值为0，1，2，
则，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
则．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）借助全概率公式计算即可得随机抽取1名学生，求恰好是女生的概率 ；
（2）①借助分层抽样的性质与条件概率计算即可；②计算出的所有可能取值及其概率即可得分布列和期望.
19．（2024高二下·惠州期中）已知
（1）当a=3时，求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)有两个极值点，，证明：f()+f()++<0
【答案】（1）解：当a=3时，，
令得0ln3，
故f(x)的单调递增区间为(0，ln3)，单调递减区间为(-∞，0)和(ln3，+∞)
（2）解：，令t=，
则有两个不相等的正实数解为，
则△=16-4a>0，，，即0知，
则f()+f()++
=
=
=
=
设g(a)=(1-a)lna+a-2(0<4)，，
设，，
故h(a)单调递减.
而h(1)=1>0，，
故存在唯一的实数使，即，
当00，此时g(a)单调递增；
当所以g(a)的最大值为=，
由得，故，从而g(a)<0，
即f()+f()++<0，得证.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）利用导数值的正负即可判断原函数的单调性；
（2）根据已知可得、是方程的两个正根，借助根与系数关系可得，，进而用表示，构造函数后利用导数求得最值即可.
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