云南省曲靖市会泽县2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024高二下·会泽期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查集合交集的概念.根据集合的交集概念：将集合B中的元素代入集合B中，看是否满足，进而可求出
2．（2024高二下·会泽期末）已知复数，则（ ）
A．5 B．25 C．4 D．3
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：A
【分析】本题考查复数的乘法运算，复数的模长公式.先利用复数的乘法运算求出，再根据复数的模长的计算公式：进行计算可求出答案.
3．（2024高二下·会泽期末）已知数列，则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质
【解析】【解答】解：若，则不一定为等比数列，比如
若为等比数列，则一定成立
所以“”是“为等比数列”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】本题考查等比数列的性质，充分条件和必要条件的定义.举出反例：，成立，但不一定为等比数列，充分性不成立；当为等比数列，根据等比中项的定义可推出必要性成立，进而选出答案.
4．（2024高二下·会泽期末）在一次身高检查中，某班10名同学的身高分别为，，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将这10个数据从小到大排列，因为，
所以第80百分位数为第8个数与第9个数的平均数，即.
故答案为：C
【分析】本题考查百分位数的定义.先将将这10个数据从小到大排列，再求出第80百分位数的个数，根据百分位数的定义进行求解可求出第80百分位数.
5．（2024高二下·会泽期末）函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为，所以为偶函数，排除，
因为，排除D，因为当时，，所以排除，
故答案为：A
【分析】本题考查函数图象.观察选项可得A，B，D为偶函数，C选项为奇函数，进而先判断函数的奇偶性，可知为偶函数，可排除选项；再根据，可排除D选项；由时，根据正弦函数的符号可推出，据此可得，进而可排除选项，选出答案.
6．（2024高二下·会泽期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
故答案为：C
【分析】本题考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式.先利用二倍角的正切公式可求出，再利用两角和的正切公式进行展开可得：，代入数据可求出答案.
7．（2024高二下·会泽期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．-3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则两式相减得，整理得，
因为的中点为，则，
所以，即直线的斜率为.
故答案为：D.
【分析】本题考查抛物线的简单几何性质.先设出直线的斜率为，将点的坐标代入抛物线方程，两式相减，再通过变形可得：，又的中点为，利用中点坐标公式进行计算可得：，代入式子进行计算可求出斜率.
8．（2024高二下·会泽期末）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．42 B．38 C．54 D．48
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为10根火柴可以摆出的数字为2，3或2，5或3，5或4，6或4，9或7，8或1，2，5或1，3，7或，5，7，所以可以组成个无重复数字的三位数.
故答案为：A
【分析】本题考查排列组合的实际应用.先对10根火柴可以摆出的数字进行分类讨论，利用排列组合的知识可求出无重复数字的三位数的个数.
二、 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·会泽期末）已知，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则与夹角的余弦值为
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A，若，则，
解得，错误；
B，，
若，则存在实数，使得，
即，解得，B正确；
C，若，则，，C正确；
D，由C知，，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题考查平面向量垂直的坐标转化，平面向量平行的坐标转化，平面向量的模长，平面向量的夹角.利用平面向量垂直的坐标转化可列出方程，解方程可求出的值，判断A选项；先求出，利用平面向量平行的坐标转化，可列出方程组，解方程组可求出的值，判断B选项；当时，先求出的坐标，再利用向量的模长计算公式可求出，判断C选项；先求出，再利用平面向量的夹角计算公式可求出夹角的余弦值，判断D选项.
10．（2024高二下·会泽期末）已知点在左 右焦点分别为的双曲线上，，则（ ）
A．渐近线方程为 B．离心率为
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A和B.因为，所以的渐近线方程为，离心率，A错误，B正确.
C.不妨设点在的右支上，则.因为，
所以.在中，，
则，C正确
D.所以的面积，D正确.
故答案为：BCD
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据双曲线的标准方程可求出的值，利用双曲线的渐近线方程公式求出渐近线可判断A选项；利用双曲线的离心率计算公式求出离心率可判断B选项；不妨设点在的右支上，根据双曲线的定义可得：.再结合题意，可求出，利用余弦定理可求出，据此可判断C选项；利用同角三角函数的基本关系可求出，利用三角形的面积公式可求出的面积，判断D选项.
11．（2024高二下·会泽期末）在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，
B．当时，三棱锥的体积为
C．当时，平面
D．当时，到平面的距离为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：
A.当时，，根据正方体结构特征，易知平面平面，所以，A正确.
B.当时，.易知到平面的距离为定值2.
因为，所以，B错误.
C.当时，，根据正方体结构特征，易证面面面，所以面，C正确.
D.当时，，即为的中点，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以平面的法向量为，，
所以到平面的距离，D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查直线与平面垂直的性质，三棱锥的体积公式，直线与平面平行的判定，点到平面的距离.当时，根据正方体结构特征可推出：平面，利用直线与平面的性质可推出结论，判断A选项；当时，可推出点到平面的距离为定值2，利用三棱锥的体积计算公式可求出三棱锥的体积，判断B选项.当时，根据正方体结构特征可推出：面面，利用平面与平面平行的性质可推出面，判断C选项；以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面的法向量，利用空间向量的距离公式可求出到平面的距离，判断D选项.
12．（2024高二下·会泽期末）定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A．
B．的一个周期为4
C．的图象关于点对称
D．
【答案】A,B
【知识点】抽象函数及其应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：A，因为为偶函数，且当时，，
所以，A正确；
B，因为为偶函数，且，
所以，所以，
所以的周期为4，B正确；
C，因为，所以的图象关于直线对称.
因为的周期为4，所以的图象关于直线对称，C错误；
D，因为，
所以，D错误.
故答案为：AB
【分析】本题考查抽象函数的应用.利用偶函数的性质可求出，据此可判断A选项；即可判断；根据偶函数的性质和题意函数不等式可推出，进而可得：，推出函数的周期性，判断B选项；根据函数等式可推出的图象关于直线对称，再结合周期性可推出的图象关于直线对称，判断C选项；
先求出的值，再利用函数的周期性进行计算，可判断D选项.
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高二下·会泽期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 .
【答案】
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：
【分析】本题考查曲线的切线方程.先求出函数的导函数，再利用导函数的几何意义可求出切线的斜率，利用直线的点斜式方程可求出切线方程.
14．（2024高二下·会泽期末）函数的最小正周期为，则曲线的一条对称轴方程为 .
【答案】
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由函数的最小正周期为，
所以，得，所以.
令，得.
故答案为：（，只需写一个答案即可
【分析】本题考查余弦函数的图象和性质.先利用余弦函数的周期计算公式可求出，再利用余弦函数的对称轴公式可列出方程，解方程可求出对称轴，再取具体的值可求出答案
15．（2024高二下·会泽期末）过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 .
【答案】4
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：
由题知，圆心，半径，
圆心到直线的距离.
因为为直角三角形，且，
所以，
当且仅当与直线垂直时，等号成立，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】本题考查直线与圆的位置关系.根据题意先找出圆心，半径，再画出图形，求出圆心到直线的距离，利用切线性质可得，再利用点到直线的距离公式可求出的最小值；
16．（2024高二下·会泽期末）《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补后才最后成书.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，点在线段上，的最小值为 ；当的值最小时，三棱锥外接球的表面积为 .（本题第一空2分，第二空3分）
【答案】；
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体
【解析】【解答】解：
如图，将与展开至同一平面内，连接交于，此时的值最小，
在中，，所以，，即的最小值为.
因为平面，平面，所以，
在中，因为，，所以，
又，得到，又，所以外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，则，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：；.
【分析】本题考查球的内接几何体问题.将与展开至同一平面内，连接交于，此时的值最小，利用余弦定理可求出，进而可求出的最小值；利用直线与平面的性质可推出，利用直角三角形的性质可求出，利用余弦定理可求出外接圆的半径，利用勾股定理可求出外接球的半径，利用球的体积计算公式可求出答案.
四、 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2024高二下·会泽期末）已知在等差数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
【答案】（1）设的公差为.由，可得.
因为，所以.
因为，所以，故.
（2）因为，所以，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和.
（1）设的公差为.，根据等差数列的性质可求出，进而可求出，利用等差数列的通项公式可求出，利用等差数列的通项公式可求出的通项公式；
（2）根据（1）的结论，利用裂项相消法可得：，再利用裂项相消法可求出.
18．（2024高二下·会泽期末）在中，内角的对边分别为.
（1）求的面积；
（2）若，求.
【答案】（1）因为，且，所以.
因为，所以或（舍去），所以，
所以的面积为.
（2）因为，所以，
所以，
所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.
（1）根据，利用同角三角函数的基本关系可求出，再利用余弦定理进行化简可求出：，再利用三角形的面积公进行计算可求出的面积；
（2）利用正弦定理可得：，再结合条件可求出的值.
19．（2024高二下·会泽期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，若为的中点，的面积为.
（1）求到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）连接交于点，连接.因为为菱形，所以.
因为，且为的中点，所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以.因为，所以.
在中，为中位线，所以.在中，，所以.
因为，所以平面，
所以到平面的距离为.
（2）如图，以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为，因为，
所以令，得.
设平面的法向量为，因为，
所以令，得.
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】本题考查点到平面的距离，利用空间向量求二面角.
（1）连接交于点，连接，，利用菱形的性质和等腰三角形的性质可证明平面，利用直线与平面平行的性质可得：，再利用三角形的面积可求出，进而可求出，，利用勾股定理的逆定理可求出，进而可证明平面，根据点到平面的距离的定义可求出答案；
（2）以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应的向量，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出平面与平面夹角的余弦值.
20．（2024高二下·会泽期末）广场舞 健步走已成为广大群众喜闻乐见的健身活动，但围绕其噪音 占道发生的“扰民”问题常让人感到头疼，也成为社会关注的热点.某地为引导群众文明开展健身活动，促进全民养成文明健康 绿色环保的生活方式，规范广场舞 集体健步走等活动的开展，发布了《静音广场舞，规范健步走倡议书》.小明的妈妈为响应号召，在家里积极段炼，等步长沿直线前后连续移步.已知她从点出发，每次向前移动1步的概率为，向后移动1步的概率为.
（1）求移动4步后回到点的概率；
（2）若移动5步后到达点，记两点之间的步数为随机变量，求的分布列和数学期望.
【答案】（1）设向前移动1步为事件，所以，
移动4步，回到点相当于4步中2步向前，2步向后，
所以.
（2）由题知，的可能取值为，
所以的分布列为
1 3 5
所以随机变量的期望.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】本题考查二项分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望.
（1）设向前移动1步为事件，根据题意可求出，利用二项分布的概率计算公式可求出移动4步后回到点的概率；
（2）根据题意先找出随机变量的可能取值，再利用二项分布的概率公式求出每个变量对应的概率，据此可列出分布列，再利用随机变量的期望计算公式可求出对应的期望.
21．（2024高二下·会泽期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程.
（2）设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为.若0，试判断直线的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）因为椭圆的离心率为，且过点，
所以解得
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，
直线的方程为，即，
联立方程组消去，得.
因为为直线与椭圆的交点，所以，即，
把换为得，所以.
因为，
所以直线的斜率为，即直线的斜率为定值1.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.
（1）利用椭圆的离心率计算公式，将点坐标代入椭圆的方程，椭圆的关系式可列出方程组，解方程组可求出的值，进而可求出椭圆的方程；
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，进而可写出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程进行联立，再利用韦达定理进行计算可推出：，，利用直线的斜率公式进行计算可证明斜率为定值.
22．（2024高二下·会泽期末）已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围.
（2）已知方程有两个不相等的实数根，且.
①求的取值范围；
②若，证明：.
【答案】（1）因为函数在上单调递增，所以在上恒成立.因为，
所以，即.
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
由，得，即的取值范围是.
（2）①由题意知关于的方程有两个不相等的实数根，
即关于的方程有两个不相等的实数根，即关于的方程有两个不相等的实数根，等价于直线与曲线有两个不同的交点.
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，所以.
②因为所以，所以.
令，因为，所以，所以.
令，则.
令，则，所以在上单调递增，所以，所以当时，，所以在上单调递减.
因为，所以，所以，所以.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题考查函数的恒成立问题，利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的最值.
（1）根据导函数与函数单调性关系可推出在上恒成立，参变分离可得：，设，求出导函数，令和，解不等式可求出的单调区间，进而求出最值，求出实数的取值范围；
（2）①根据方程有两个不相等的实数根，即转化为方程方程有两个不相等的实数根，由（1）可得的单调性和最值，据此可求出实数的取值范围；
②由零点得，利用比值代换，设令，，可设，求出导函数，令和可求出函数的单调性，利用函数的单调性可可证明结论.
1 / 1云南省曲靖市会泽县2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷
一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．（2024高二下·会泽期末）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·会泽期末）已知复数，则（ ）
A．5 B．25 C．4 D．3
3．（2024高二下·会泽期末）已知数列，则“”是“为等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高二下·会泽期末）在一次身高检查中，某班10名同学的身高分别为，，则这组数据的第80百分位数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·会泽期末）函数在区间上的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024高二下·会泽期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二下·会泽期末）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，则直线的斜率为（ ）
A．-3 B． C． D．
8．（2024高二下·会泽期末）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字.如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字，比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒.若用10根火柴棒以适当的方式全部放入表格中中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数的个数为（ ）
A．42 B．38 C．54 D．48
二、 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（2024高二下·会泽期末）已知，则下列选项中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则与夹角的余弦值为
10．（2024高二下·会泽期末）已知点在左 右焦点分别为的双曲线上，，则（ ）
A．渐近线方程为 B．离心率为
C． D．
11．（2024高二下·会泽期末）在棱长为2的正方体中，点满足，其中，，则（ ）
A．当时，
B．当时，三棱锥的体积为
C．当时，平面
D．当时，到平面的距离为
12．（2024高二下·会泽期末）定义在上的偶函数满足，当时，，则（ ）
A．
B．的一个周期为4
C．的图象关于点对称
D．
三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2024高二下·会泽期末）已知函数，则曲线在点处的切线方程为 .
14．（2024高二下·会泽期末）函数的最小正周期为，则曲线的一条对称轴方程为 .
15．（2024高二下·会泽期末）过直线上一点向圆作切线，切点为，则的最小值为 .
16．（2024高二下·会泽期末）《九章算术》是中国古代数学专著，承先秦数学发展的源流，进入汉朝后又经许多学者的删补后才最后成书.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，点在线段上，的最小值为 ；当的值最小时，三棱锥外接球的表面积为 .（本题第一空2分，第二空3分）
四、 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2024高二下·会泽期末）已知在等差数列中，.
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和.
18．（2024高二下·会泽期末）在中，内角的对边分别为.
（1）求的面积；
（2）若，求.
19．（2024高二下·会泽期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，若为的中点，的面积为.
（1）求到平面的距离；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
20．（2024高二下·会泽期末）广场舞 健步走已成为广大群众喜闻乐见的健身活动，但围绕其噪音 占道发生的“扰民”问题常让人感到头疼，也成为社会关注的热点.某地为引导群众文明开展健身活动，促进全民养成文明健康 绿色环保的生活方式，规范广场舞 集体健步走等活动的开展，发布了《静音广场舞，规范健步走倡议书》.小明的妈妈为响应号召，在家里积极段炼，等步长沿直线前后连续移步.已知她从点出发，每次向前移动1步的概率为，向后移动1步的概率为.
（1）求移动4步后回到点的概率；
（2）若移动5步后到达点，记两点之间的步数为随机变量，求的分布列和数学期望.
21．（2024高二下·会泽期末）已知椭圆的离心率为，且椭圆过点.
（1）求椭圆的方程.
（2）设是椭圆上异于的两个动点，直线的斜率分别为.若0，试判断直线的斜率是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
22．（2024高二下·会泽期末）已知函数.
（1）若在上单调递增，求的取值范围.
（2）已知方程有两个不相等的实数根，且.
①求的取值范围；
②若，证明：.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】本题考查集合交集的概念.根据集合的交集概念：将集合B中的元素代入集合B中，看是否满足，进而可求出
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：A
【分析】本题考查复数的乘法运算，复数的模长公式.先利用复数的乘法运算求出，再根据复数的模长的计算公式：进行计算可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质
【解析】【解答】解：若，则不一定为等比数列，比如
若为等比数列，则一定成立
所以“”是“为等比数列”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】本题考查等比数列的性质，充分条件和必要条件的定义.举出反例：，成立，但不一定为等比数列，充分性不成立；当为等比数列，根据等比中项的定义可推出必要性成立，进而选出答案.
4．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将这10个数据从小到大排列，因为，
所以第80百分位数为第8个数与第9个数的平均数，即.
故答案为：C
【分析】本题考查百分位数的定义.先将将这10个数据从小到大排列，再求出第80百分位数的个数，根据百分位数的定义进行求解可求出第80百分位数.
5．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为，所以为偶函数，排除，
因为，排除D，因为当时，，所以排除，
故答案为：A
【分析】本题考查函数图象.观察选项可得A，B，D为偶函数，C选项为奇函数，进而先判断函数的奇偶性，可知为偶函数，可排除选项；再根据，可排除D选项；由时，根据正弦函数的符号可推出，据此可得，进而可排除选项，选出答案.
6．【答案】C
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：因为，所以，
所以，
故答案为：C
【分析】本题考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式.先利用二倍角的正切公式可求出，再利用两角和的正切公式进行展开可得：，代入数据可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则两式相减得，整理得，
因为的中点为，则，
所以，即直线的斜率为.
故答案为：D.
【分析】本题考查抛物线的简单几何性质.先设出直线的斜率为，将点的坐标代入抛物线方程，两式相减，再通过变形可得：，又的中点为，利用中点坐标公式进行计算可得：，代入式子进行计算可求出斜率.
8．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：因为10根火柴可以摆出的数字为2，3或2，5或3，5或4，6或4，9或7，8或1，2，5或1，3，7或，5，7，所以可以组成个无重复数字的三位数.
故答案为：A
【分析】本题考查排列组合的实际应用.先对10根火柴可以摆出的数字进行分类讨论，利用排列组合的知识可求出无重复数字的三位数的个数.
9．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：A，若，则，
解得，错误；
B，，
若，则存在实数，使得，
即，解得，B正确；
C，若，则，，C正确；
D，由C知，，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】本题考查平面向量垂直的坐标转化，平面向量平行的坐标转化，平面向量的模长，平面向量的夹角.利用平面向量垂直的坐标转化可列出方程，解方程可求出的值，判断A选项；先求出，利用平面向量平行的坐标转化，可列出方程组，解方程组可求出的值，判断B选项；当时，先求出的坐标，再利用向量的模长计算公式可求出，判断C选项；先求出，再利用平面向量的夹角计算公式可求出夹角的余弦值，判断D选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：A和B.因为，所以的渐近线方程为，离心率，A错误，B正确.
C.不妨设点在的右支上，则.因为，
所以.在中，，
则，C正确
D.所以的面积，D正确.
故答案为：BCD
【分析】本题考查双曲线的简单几何性质.根据双曲线的标准方程可求出的值，利用双曲线的渐近线方程公式求出渐近线可判断A选项；利用双曲线的离心率计算公式求出离心率可判断B选项；不妨设点在的右支上，根据双曲线的定义可得：.再结合题意，可求出，利用余弦定理可求出，据此可判断C选项；利用同角三角函数的基本关系可求出，利用三角形的面积公式可求出的面积，判断D选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质；点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：
A.当时，，根据正方体结构特征，易知平面平面，所以，A正确.
B.当时，.易知到平面的距离为定值2.
因为，所以，B错误.
C.当时，，根据正方体结构特征，易证面面面，所以面，C正确.
D.当时，，即为的中点，
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以平面的法向量为，，
所以到平面的距离，D正确.
故答案为：ACD
【分析】本题考查直线与平面垂直的性质，三棱锥的体积公式，直线与平面平行的判定，点到平面的距离.当时，根据正方体结构特征可推出：平面，利用直线与平面的性质可推出结论，判断A选项；当时，可推出点到平面的距离为定值2，利用三棱锥的体积计算公式可求出三棱锥的体积，判断B选项.当时，根据正方体结构特征可推出：面面，利用平面与平面平行的性质可推出面，判断C选项；以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应向量，求出平面的法向量，利用空间向量的距离公式可求出到平面的距离，判断D选项.
12．【答案】A,B
【知识点】抽象函数及其应用；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：A，因为为偶函数，且当时，，
所以，A正确；
B，因为为偶函数，且，
所以，所以，
所以的周期为4，B正确；
C，因为，所以的图象关于直线对称.
因为的周期为4，所以的图象关于直线对称，C错误；
D，因为，
所以，D错误.
故答案为：AB
【分析】本题考查抽象函数的应用.利用偶函数的性质可求出，据此可判断A选项；即可判断；根据偶函数的性质和题意函数不等式可推出，进而可得：，推出函数的周期性，判断B选项；根据函数等式可推出的图象关于直线对称，再结合周期性可推出的图象关于直线对称，判断C选项；
先求出的值，再利用函数的周期性进行计算，可判断D选项.
13．【答案】
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，求导得，则，而，
所以所求切线方程为，即.
故答案为：
【分析】本题考查曲线的切线方程.先求出函数的导函数，再利用导函数的几何意义可求出切线的斜率，利用直线的点斜式方程可求出切线方程.
14．【答案】
【知识点】函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由函数的最小正周期为，
所以，得，所以.
令，得.
故答案为：（，只需写一个答案即可
【分析】本题考查余弦函数的图象和性质.先利用余弦函数的周期计算公式可求出，再利用余弦函数的对称轴公式可列出方程，解方程可求出对称轴，再取具体的值可求出答案
15．【答案】4
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：
由题知，圆心，半径，
圆心到直线的距离.
因为为直角三角形，且，
所以，
当且仅当与直线垂直时，等号成立，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
【分析】本题考查直线与圆的位置关系.根据题意先找出圆心，半径，再画出图形，求出圆心到直线的距离，利用切线性质可得，再利用点到直线的距离公式可求出的最小值；
16．【答案】；
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；多面体和旋转体表面上的最短距离问题；球内接多面体
【解析】【解答】解：
如图，将与展开至同一平面内，连接交于，此时的值最小，
在中，，所以，，即的最小值为.
因为平面，平面，所以，
在中，因为，，所以，
又，得到，又，所以外接圆的半径，
设三棱锥外接球的半径为，则，
所以三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：；.
【分析】本题考查球的内接几何体问题.将与展开至同一平面内，连接交于，此时的值最小，利用余弦定理可求出，进而可求出的最小值；利用直线与平面的性质可推出，利用直角三角形的性质可求出，利用余弦定理可求出外接圆的半径，利用勾股定理可求出外接球的半径，利用球的体积计算公式可求出答案.
17．【答案】（1）设的公差为.由，可得.
因为，所以.
因为，所以，故.
（2）因为，所以，
所以
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】本题考查等差数列的通项公式，裂项相消法求数列的和.
（1）设的公差为.，根据等差数列的性质可求出，进而可求出，利用等差数列的通项公式可求出，利用等差数列的通项公式可求出的通项公式；
（2）根据（1）的结论，利用裂项相消法可得：，再利用裂项相消法可求出.
18．【答案】（1）因为，且，所以.
因为，所以或（舍去），所以，
所以的面积为.
（2）因为，所以，
所以，
所以.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形.
（1）根据，利用同角三角函数的基本关系可求出，再利用余弦定理进行化简可求出：，再利用三角形的面积公进行计算可求出的面积；
（2）利用正弦定理可得：，再结合条件可求出的值.
19．【答案】（1）连接交于点，连接.因为为菱形，所以.
因为，且为的中点，所以.
因为，所以平面.
因为平面，所以.因为，所以.
在中，为中位线，所以.在中，，所以.
因为，所以平面，
所以到平面的距离为.
（2）如图，以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则
设平面的法向量为，因为，
所以令，得.
设平面的法向量为，因为，
所以令，得.
因为，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】点、线、面间的距离计算；二面角及二面角的平面角
【解析】【分析】本题考查点到平面的距离，利用空间向量求二面角.
（1）连接交于点，连接，，利用菱形的性质和等腰三角形的性质可证明平面，利用直线与平面平行的性质可得：，再利用三角形的面积可求出，进而可求出，，利用勾股定理的逆定理可求出，进而可证明平面，根据点到平面的距离的定义可求出答案；
（2）以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标，求出对应的向量，求出平面的法向量和平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式可求出平面与平面夹角的余弦值.
20．【答案】（1）设向前移动1步为事件，所以，
移动4步，回到点相当于4步中2步向前，2步向后，
所以.
（2）由题知，的可能取值为，
所以的分布列为
1 3 5
所以随机变量的期望.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】本题考查二项分布，离散型随机变量的分布列，离散型随机变量的期望.
（1）设向前移动1步为事件，根据题意可求出，利用二项分布的概率计算公式可求出移动4步后回到点的概率；
（2）根据题意先找出随机变量的可能取值，再利用二项分布的概率公式求出每个变量对应的概率，据此可列出分布列，再利用随机变量的期望计算公式可求出对应的期望.
21．【答案】（1）因为椭圆的离心率为，且过点，
所以解得
所以椭圆的方程为.
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，设，
直线的方程为，即，
联立方程组消去，得.
因为为直线与椭圆的交点，所以，即，
把换为得，所以.
因为，
所以直线的斜率为，即直线的斜率为定值1.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系.
（1）利用椭圆的离心率计算公式，将点坐标代入椭圆的方程，椭圆的关系式可列出方程组，解方程组可求出的值，进而可求出椭圆的方程；
（2）设直线的斜率为，则直线的斜率为，进而可写出直线的方程，将直线的方程与椭圆方程进行联立，再利用韦达定理进行计算可推出：，，利用直线的斜率公式进行计算可证明斜率为定值.
22．【答案】（1）因为函数在上单调递增，所以在上恒成立.因为，
所以，即.
令，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以.
由，得，即的取值范围是.
（2）①由题意知关于的方程有两个不相等的实数根，
即关于的方程有两个不相等的实数根，即关于的方程有两个不相等的实数根，等价于直线与曲线有两个不同的交点.
由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
且当时，，当时，，所以.
②因为所以，所以.
令，因为，所以，所以.
令，则.
令，则，所以在上单调递增，所以，所以当时，，所以在上单调递减.
因为，所以，所以，所以.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】本题考查函数的恒成立问题，利用导函数研究函数的单调性，利用导函数研究函数的最值.
（1）根据导函数与函数单调性关系可推出在上恒成立，参变分离可得：，设，求出导函数，令和，解不等式可求出的单调区间，进而求出最值，求出实数的取值范围；
（2）①根据方程有两个不相等的实数根，即转化为方程方程有两个不相等的实数根，由（1）可得的单调性和最值，据此可求出实数的取值范围；
②由零点得，利用比值代换，设令，，可设，求出导函数，令和可求出函数的单调性，利用函数的单调性可可证明结论.
1 / 1
