四川省眉山市仁寿一中北校区2022级高二数学5月考试试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2024高二下·仁寿月考）曲线在点处的切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：求导，，所以，
所以切点为，切线的斜率，切线方程为，即.
故答案为：B.
【分析】求导，求出切线的斜率，再由点斜式即可得解.
2．（2024高二下·仁寿月考）的展开式中，的系数是（ ）
A．160 B． C．240 D．
【答案】C
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，可得的系数是.
故答案为：C.
【分析】求出二项展开式的通项，结合通项确定的值，即可得解.
3．（2024高二下·仁寿月考）有5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从中间的三个位置中选出2个安排甲乙，再把剩下的3个位置进行全排列，甲乙都不站两端的不同站法共有种.
故答案为：A.
【分析】先安排甲乙，再把剩余的3个位置进行全排列即可.
4．（2024高二下·仁寿月考）函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：的定义域为，，
令，解得，所以函数的减区间为，
又因为在上单调递减，所以，的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】求导，进而求出减区间，借助集合的包含关系即可得解.
5．（2024高二下·仁寿月考）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.04 B．0.48 C．0.5 D．0.96
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由正态分布的对称性可知，，
所以．
故答案为：D.
【分析】根据正态分布的性质即可得解.
6．（2024高二下·仁寿月考）在展开式中，所有二项式系数之和为32，则所有项的系数和为（ ）
A．32 B． C．0 D．1
【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为 所有二项式系数之和为32 ，所以，解得，
令，的展开式所有项的系数和为.
故答案为：A.
【分析】由二项式系数和可求出n，再用赋值法即可得解.
7．（2024高二下·仁寿月考）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ）
A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚
C．甲200枚，乙100枚 D．甲240枚，乙60枚
【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为，若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负，
①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；
②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；
③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为；
所以甲胜的概率为，甲应分得赌金的，
所以枚，乙分得赌金枚.
故答案为：B.
【分析】由题意可得甲乙获胜的概率均为，且游戏最多再进行2局，求出甲获胜的概率，即可得解.
8．（2024高二下·仁寿月考）函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作.类似的，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数….一般地，阶导数的导数叫做阶导数，函数的阶导数记作，例如的阶导数.若，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【答案】C
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以，，，
，，，
，，…，
所以，，
，，，
所以，.
故答案为：C.
【分析】根据n阶导数的定义求出，进而即可得解.
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．（2024高二下·仁寿月考）有甲、乙等4名同学，则下列说法正确的是（ ）
A．4人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为12种
B．4人站成一排，甲、乙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为24种
C．4名同学分成两组分别到A、B两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有20种
D．4名同学分成两组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙在一起，则不同的安排方法有6种
【答案】A,D
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、4人站成一排，甲、乙相邻用捆绑法，则不同的排法种数为，故A正确；
B、4个位置挑两个安排余下的两人再让甲乙站进去即可，即种，故B错误；
C、4名同学平均分成两组分别到A、B两个工厂，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，有种，
4名同学不平均分成两组分别到A、B两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，有种，所以共有种，故C错误；
D、6名同学分成两组参加不同的活动，甲、乙在一起，若还有一位同学与他们一组，则有种分法；
若甲、乙一个组，则另两人一个组共有；
共有种，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】用捆绑法，平均分组与不平均分组，分类加法分步乘法原理逐项判断即可.
10．（2024高二下·仁寿月考）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，令，得或，有“巧值点”，故A正确；
B、，令，得，有“巧值点”，故B正确；
C、，令，，的图象有交点，所以有解，有“巧值点”，故C正确；
D、，令，即，得，无解，所以无“巧值点”，故D正确.
故答案为：ABC.
【分析】结合“巧值点”的定义，判断是否有解即可.
11．（2024高二下·仁寿月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数的极大值为，极小值为
C．若时，，则的最大值为2
D．若方程有两个实根，则
【答案】C,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、令，解得或，所以存在二个不同的零点，故A错误；
B、的定义域为，，
令，可得或，
令，得或，在，上单调递减，
令，得，在上单调递增；
所以时，函数取极小值，当时，函数取极大值，故B错误；
C、如图，
因为，所以存在另一个解，，
若当时，，则，所以的最大值为2，故C正确；
D、因为方程有两个实根，所以的图象与的图象有两个交点，
如图，
或，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】解方程即可得零点，可判断A；利用导数判断函数的单调性，求其极值点，可判断B；根据图象可判断CD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高二下·仁寿月考）若， .
【答案】0
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：因为，
所以令，可得.
故答案为：.
【分析】令，即可得解.
13．（2024高二下·仁寿月考）已知随机变量，，则 .
【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为，所以，，.
故答案为：.
【分析】由二项分布期望公式与方差公式，结合方差的性质即可得解.
14．（2024高二下·仁寿月考）若函数与的图象在实数集上有且只有3个交点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知有个解，显然，所以，即仅有个解，
设，定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，
考虑时的情况，，，
当时，，在上递减，
当时，，在上递增，
则函数的极大值为，且当时，；当时，；
作出的大致图象，
因为仅有个解，所以与的图象仅有个交点，
由图象可知或，解得或．
故答案为：．
【分析】由题意可知有个解，进而可得仅有个解，设，利用导数研究函数的性质，作出其图象，根据图象即可得解
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2024高二下·仁寿月考）某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个．
（1）求该学生能通过自主招生初试的概率；
（2）若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
【答案】（1）解：该学生通过自主招生初试的概率，
（2）解：该学生答对题的数量的可能取值为2，3，4，则，，，
所以的概率分布列为
2 3 4
．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）利用超几何分布的概率公式即可得解；
（2）根据超几何分布的概率公式求出概率即可得分布列，再由期望公式即可求出期望.
16．（2024高二下·仁寿月考）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
【答案】（1）解：函数的定义域为R．
导函数．
所以，
，
所以函数在点处的切线方程为，
即；
（2）解：令，解得：或．列表得：
x 1 （1，3） 3
＋ 0 － 0 ＋
单调增 极大值2 单调减 极小值－2 单调增
所以函数的单调增区间为，；
单调减区间为（1，3）；
的极大值为，
极小值为
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，先求出f(x)在x=2处斜率，进而求出切点坐标，利用点斜式方程求出切线方程；
（2）求导，利用导数的正负值判断函数单调性，进而求出函数的极值.
17．（2024高二下·仁寿月考）某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.
（1）若该班获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望；
（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入，两个纸箱中，箱中有3道选择题和3道填空题，箱中有4道选择题和4道填空题.决赛中要求每位参赛同学在，两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再从箱中抽取题目.
①求乙从箱中抽取的第一题是选择题的概率；
②已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率.
【答案】（1）甲获得决赛资格的概率，
乙获得决赛资格的概率.
由题意得，
；
；
.
的分布列为：
0 1 2
（2）设事件“甲取到道选择题”，；
事件“乙取到第一题是选择题”.
，，.
，，.
①由全概率公式可得：.
②由条件概率公式和乘法公式可得：
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）该班获得决赛资格的同学个数为x，因此需要分别计算出甲和乙获得决赛资格的概率和. ，求出概率，列出分布列，再由期望公式计算即可.
（2）能够直接计算出的是甲取到道选择题的概率()，以及分别在甲抽取道选择题条件下乙再抽取到选择题的概率，利用全概率公式和条件概率公式、乘法公式，即可得解.
18．（2024高二下·仁寿月考）已知函数.
（1）若在时有极值，求函数的解析式；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）解：因为，所以
由在处取极值，得，求得，
所以
（2）解：由于，
令，则.
若，则当时，，为减函数，而，
从而当时，，即，
若，则当时，，为减函数，而，
从而当时，，即，
综上，的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）由题意可知，可求出a，即可得的表达式，然后进行检验即可；
（2由题意可得对于恒成立，令，只需，利用导数分析的单调性，即可得解.
19．（2024高二下·仁寿月考）函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数，根据以上材料：
（1）求初等函数极值点；
（2）求初等函数极值.
【答案】（1），，
因为，所以即时递增；
即时递减.
所以极小值点为，无极大值点.
（2），所以，
令得，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以有极大值且为，无极小值.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）， ，由此求得极值点.
（2）利用复合函数求导研究的单调性，由此求得的极值.
1 / 1四川省眉山市仁寿一中北校区2022级高二数学5月考试试题
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．（2024高二下·仁寿月考）曲线在点处的切线的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高二下·仁寿月考）的展开式中，的系数是（ ）
A．160 B． C．240 D．
3．（2024高二下·仁寿月考）有5名学生站成一排，若学生甲乙都不站两端，则不同站法共有（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
4．（2024高二下·仁寿月考）函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高二下·仁寿月考）已知随机变量，且，则（ ）
A．0.04 B．0.48 C．0.5 D．0.96
6．（2024高二下·仁寿月考）在展开式中，所有二项式系数之和为32，则所有项的系数和为（ ）
A．32 B． C．0 D．1
7．（2024高二下·仁寿月考）概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定，各出赌金150枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局．这300枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ）
A．甲150枚，乙150枚 B．甲225枚，乙75枚
C．甲200枚，乙100枚 D．甲240枚，乙60枚
8．（2024高二下·仁寿月考）函数的导数仍是的函数，通常把导函数的导数叫做函数的二阶导数，记作.类似的，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数….一般地，阶导数的导数叫做阶导数，函数的阶导数记作，例如的阶导数.若，则（ ）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9．（2024高二下·仁寿月考）有甲、乙等4名同学，则下列说法正确的是（ ）
A．4人站成一排，甲、乙两人相邻，则不同的排法种数为12种
B．4人站成一排，甲、乙按从左到右的顺序站位（不一定相邻），则不同的站法种数为24种
C．4名同学分成两组分别到A、B两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，则不同的安排方法有20种
D．4名同学分成两组参加不同的活动，每名同学必须去，且每个活动都有人参加，甲、乙在一起，则不同的安排方法有6种
10．（2024高二下·仁寿月考）已知函数的导数为，若存在，使得，则称是的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高二下·仁寿月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数的极大值为，极小值为
C．若时，，则的最大值为2
D．若方程有两个实根，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2024高二下·仁寿月考）若， .
13．（2024高二下·仁寿月考）已知随机变量，，则 .
14．（2024高二下·仁寿月考）若函数与的图象在实数集上有且只有3个交点，则实数的取值范围为 .
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2024高二下·仁寿月考）某高校实行提前自主招生，老师从6个不同的试题中随机抽取4个让学生作答，至少答对3个才能通过初试，已知某学生能答对这6个试题中的4个．
（1）求该学生能通过自主招生初试的概率；
（2）若该学生答对的题数为，求的分布列以及数学期望．
16．（2024高二下·仁寿月考）已知函数．
（1）求函数在处的切线方程；
（2）求函数的单调区间和极值．
17．（2024高二下·仁寿月考）某校高二年级数学竞赛选拔赛分为初赛和决赛两阶段进行.初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两名同学，且每名同学都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的同学才具备参与决赛的资格.高二某班派出甲和乙参赛.在初赛中，若甲通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，乙通过第一轮与第二轮比赛的概率分别是、，且每名同学所有轮次比赛的结果互不影响.
（1）若该班获得决赛资格的同学个数为，求的分布列和数学期望；
（2）已知甲和乙都获得了决赛资格.决赛的规则如下：将问题放入，两个纸箱中，箱中有3道选择题和3道填空题，箱中有4道选择题和4道填空题.决赛中要求每位参赛同学在，两个纸箱中随机抽取两题作答.甲先从箱中依次抽取2道题目，答题结束后将题目一起放入箱中，然后乙再从箱中抽取题目.
①求乙从箱中抽取的第一题是选择题的概率；
②已知乙从箱中抽取的第一题是选择题，求甲从箱中抽出的是2道选择题的概率.
18．（2024高二下·仁寿月考）已知函数.
（1）若在时有极值，求函数的解析式；
（2）当时，，求的取值范围.
19．（2024高二下·仁寿月考）函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数，我们可以作变形：，所以可看作是由函数和复合而成的，即为初等函数，根据以上材料：
（1）求初等函数极值点；
（2）求初等函数极值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：求导，，所以，
所以切点为，切线的斜率，切线方程为，即.
故答案为：B.
【分析】求导，求出切线的斜率，再由点斜式即可得解.
2．【答案】C
【知识点】二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，
令，可得的系数是.
故答案为：C.
【分析】求出二项展开式的通项，结合通项确定的值，即可得解.
3．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：从中间的三个位置中选出2个安排甲乙，再把剩下的3个位置进行全排列，甲乙都不站两端的不同站法共有种.
故答案为：A.
【分析】先安排甲乙，再把剩余的3个位置进行全排列即可.
4．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：的定义域为，，
令，解得，所以函数的减区间为，
又因为在上单调递减，所以，的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】求导，进而求出减区间，借助集合的包含关系即可得解.
5．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由正态分布的对称性可知，，
所以．
故答案为：D.
【分析】根据正态分布的性质即可得解.
6．【答案】A
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：因为 所有二项式系数之和为32 ，所以，解得，
令，的展开式所有项的系数和为.
故答案为：A.
【分析】由二项式系数和可求出n，再用赋值法即可得解.
7．【答案】B
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：对单独每一局游戏，甲乙获胜的概率均为，若游戏继续进行，最多再进行2局即可分出胜负，
①第四局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；
②第四局乙赢，第五局甲赢，比赛结束，甲胜出，概率为；
③第四局乙赢，第五局乙赢，比赛结束，乙胜出，概率为；
所以甲胜的概率为，甲应分得赌金的，
所以枚，乙分得赌金枚.
故答案为：B.
【分析】由题意可得甲乙获胜的概率均为，且游戏最多再进行2局，求出甲获胜的概率，即可得解.
8．【答案】C
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为，所以，，，
，，，
，，…，
所以，，
，，，
所以，.
故答案为：C.
【分析】根据n阶导数的定义求出，进而即可得解.
9．【答案】A,D
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：A、4人站成一排，甲、乙相邻用捆绑法，则不同的排法种数为，故A正确；
B、4个位置挑两个安排余下的两人再让甲乙站进去即可，即种，故B错误；
C、4名同学平均分成两组分别到A、B两个工厂，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，有种，
4名同学不平均分成两组分别到A、B两个工厂参观，每名同学必须去，且每个工厂都有人参观，有种，所以共有种，故C错误；
D、6名同学分成两组参加不同的活动，甲、乙在一起，若还有一位同学与他们一组，则有种分法；
若甲、乙一个组，则另两人一个组共有；
共有种，故D正确．
故答案为：AD.
【分析】用捆绑法，平均分组与不平均分组，分类加法分步乘法原理逐项判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，令，得或，有“巧值点”，故A正确；
B、，令，得，有“巧值点”，故B正确；
C、，令，，的图象有交点，所以有解，有“巧值点”，故C正确；
D、，令，即，得，无解，所以无“巧值点”，故D正确.
故答案为：ABC.
【分析】结合“巧值点”的定义，判断是否有解即可.
11．【答案】C,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、令，解得或，所以存在二个不同的零点，故A错误；
B、的定义域为，，
令，可得或，
令，得或，在，上单调递减，
令，得，在上单调递增；
所以时，函数取极小值，当时，函数取极大值，故B错误；
C、如图，
因为，所以存在另一个解，，
若当时，，则，所以的最大值为2，故C正确；
D、因为方程有两个实根，所以的图象与的图象有两个交点，
如图，
或，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】解方程即可得零点，可判断A；利用导数判断函数的单调性，求其极值点，可判断B；根据图象可判断CD.
12．【答案】0
【知识点】二项展开式
【解析】【解答】解：因为，
所以令，可得.
故答案为：.
【分析】令，即可得解.
13．【答案】
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】解：因为，所以，，.
故答案为：.
【分析】由二项分布期望公式与方差公式，结合方差的性质即可得解.
14．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知有个解，显然，所以，即仅有个解，
设，定义域关于原点对称，且，所以为奇函数，
考虑时的情况，，，
当时，，在上递减，
当时，，在上递增，
则函数的极大值为，且当时，；当时，；
作出的大致图象，
因为仅有个解，所以与的图象仅有个交点，
由图象可知或，解得或．
故答案为：．
【分析】由题意可知有个解，进而可得仅有个解，设，利用导数研究函数的性质，作出其图象，根据图象即可得解
15．【答案】（1）解：该学生通过自主招生初试的概率，
（2）解：该学生答对题的数量的可能取值为2，3，4，则，，，
所以的概率分布列为
2 3 4
．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【分析】（1）利用超几何分布的概率公式即可得解；
（2）根据超几何分布的概率公式求出概率即可得分布列，再由期望公式即可求出期望.
16．【答案】（1）解：函数的定义域为R．
导函数．
所以，
，
所以函数在点处的切线方程为，
即；
（2）解：令，解得：或．列表得：
x 1 （1，3） 3
＋ 0 － 0 ＋
单调增 极大值2 单调减 极小值－2 单调增
所以函数的单调增区间为，；
单调减区间为（1，3）；
的极大值为，
极小值为
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）求导，先求出f(x)在x=2处斜率，进而求出切点坐标，利用点斜式方程求出切线方程；
（2）求导，利用导数的正负值判断函数单调性，进而求出函数的极值.
17．【答案】（1）甲获得决赛资格的概率，
乙获得决赛资格的概率.
由题意得，
；
；
.
的分布列为：
0 1 2
（2）设事件“甲取到道选择题”，；
事件“乙取到第一题是选择题”.
，，.
，，.
①由全概率公式可得：.
②由条件概率公式和乘法公式可得：
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【分析】（1）该班获得决赛资格的同学个数为x，因此需要分别计算出甲和乙获得决赛资格的概率和. ，求出概率，列出分布列，再由期望公式计算即可.
（2）能够直接计算出的是甲取到道选择题的概率()，以及分别在甲抽取道选择题条件下乙再抽取到选择题的概率，利用全概率公式和条件概率公式、乘法公式，即可得解.
18．【答案】（1）解：因为，所以
由在处取极值，得，求得，
所以
（2）解：由于，
令，则.
若，则当时，，为减函数，而，
从而当时，，即，
若，则当时，，为减函数，而，
从而当时，，即，
综上，的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件
【解析】【分析】（1）由题意可知，可求出a，即可得的表达式，然后进行检验即可；
（2由题意可得对于恒成立，令，只需，利用导数分析的单调性，即可得解.
19．【答案】（1），，
因为，所以即时递增；
即时递减.
所以极小值点为，无极大值点.
（2），所以，
令得，
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以有极大值且为，无极小值.
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）， ，由此求得极值点.
（2）利用复合函数求导研究的单调性，由此求得的极值.
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