四川省自贡市第一中学校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
一、单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）
1．（2024高二下·自贡月考）下列函数的求导运算中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高二下·自贡月考）的展开式中含项的系数为（ ）
A．24 B．28 C．20 D．32
3．（2024高二下·自贡月考）某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（ ）
A．3173 B．6346 C．6827 D．13654
4．（2024高二下·自贡月考）5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.24个单位
B．线性回归方程中
C．由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数
D．可以预测时，该商场5G手机销量约为1.72（千只）
5．（2024高二下·自贡月考）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高二下·自贡月考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
7．（2024高二下·自贡月考） 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二下·自贡月考）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题6分，共18分）
9．（2024高二下·自贡月考）两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数越接近，变量相关性越强
B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化
10．（2024高二下·自贡月考）下列说法正确的是（ ）
A．空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，则一共可以作个不同的四面体
B．甲 乙 丙个人值周，从周一到周六，每人值天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出48种不同的值周表
C．从这个数字中选出个不同的数字组成五位数，其中大于的共有个
D．个不同的小球放入编号为的个盒子中，恰有个空盒的放法共有种
11．（2024高二下·自贡月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．的极大值点为 B．函数的零点个数为3
C．函数的零点个数为7 D．的解集为
三、填空题（每题5分，共15分）
12．（2024高二下·自贡月考）已知随机变量，且，则 ．
13．（2024高二下·自贡月考）已知函数，其中e是自然对数的底数，若，则实数a的取值范围是
14．（2024高二下·自贡月考）甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有 种.
四、解答题（共77分）
15．（2024高二下·自贡月考）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
16．（2024高二下·自贡月考）根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为，求的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率，并根据的值解释该试验方案的合理性.
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）
17．（2024高二下·自贡月考）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码 1 2 3 4 5
6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
（1）请表示2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01），说明其相关性.
（2）请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程；并预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
附：样本相关系数，．
18．（2024高二下·自贡月考）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望；
（2）以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位：小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值.
19．（2024高二下·自贡月考）已知函数.
（1）当时，证明：是增函数.
（2）若恒成立，求的取值范围.
（3）证明：（，）.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据基本函数的导数公式及导数的运算法则逐项求导判断即可.
2．【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项
令，解得，则，
即的展开式中含项的系数为28.
故答案为：B.
【分析】先写出展开式的通项，令，求出k值，代入即可.
3．【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 20000名考生成绩服从正态分布，则，
因为，所以，
则80分以上的人数大约是人.
故答案为：A.
【分析】利用正态分布的概率的对称性以及原则计算即可.
4．【答案】B
【知识点】线性相关；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、因为线性回归方程，所以每增加一个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故A正确；
B、由表可得，，
代入，解得，故B错误；
C、由表总数据看随的增加而增加，变量与正相关，且增量不相等，相关系数，故C正确；
D、将代入中，解得，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据回归方程即可判断AD；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断B；根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化即可判断C.
5．【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】解：设随机抽取两人中男生人数为，且，
，，，
则.
故答案为：C.
【分析】设随机抽取两人中男生人数为，且，再求得概率，代入期望公式求解即可.
6．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
令，解得，
则函数的单调递减区间为，因为函数在上单调递减，所以，解得，
又因为函数在上连续，所以或，即或.
故答案为：C．
【分析】先求函数的导函数，由得到函数的单调递减区间，则是函数单调递减区间的子集，根据子集关系列式即可求出的取值范围．
7．【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意有以下几种可能：①选择金花清感颗粒的概率为：，则感冒被治愈的概率为：②选择莲花清瘟胶囊的概率为：，则感冒被治愈的概率为：③选择清开灵颗粒的概率为：，
则感冒被治愈的概率为：综上所述感冒被治愈的概率为：
故答案为：C.
【分析】根据题意有三种情况感冒被治愈，利用互斥事件的概率公式，求得三种方式治愈感冒的概率，然后再运用古典概率公式进行求解即可，
8．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：构造函数，，
当时，，则，即在上单调递减，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即为上的偶函数，
则在上单调递增，而，故，
故当或时，，当或时，，
由可得或，解得或，
故不等式的解集为.
故答案为：B
【分析】构造函数，求导，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，再结合列不等式组求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】变量相关关系；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对于A中，根据相关系数的定义，可得 相关系数越接近，变量相关性越强 ，所以A正确；
对于B中，回归治安方程的你好效果的强弱是相关系数或相关系数判定，所以B不正确；
对于C中， 相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 ，所以C正确；
对于D中，根据的实际意义可得， 表示女大学生的身高解释了64%的体重变化，所以D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，根据相关系数，结合相关系数的含义，逐项判定，即可求解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【解答】解：A、空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，则有种取法，即可以作个不同的四面体，故A正确；
B、甲排在星期六，有种排法；甲不排在星期六，有种排法，则值班方案种数为种，故B错误；
C、五位数的首位为时，有个不同的五位数，
五位数的首位为时，其千位数字不能为，有个不同的五位数，
则共有个大于五位数，故C正确；
D、将个小球分为组，有种分组方法；再从个盒子中任选个，放入三组小球，有种情况，则恰有个空盒的放法共有种不同的放法，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】直接利用组合数计算即可判断A；对甲的值周按照是否在星期六分类，利用组合结合分步乘法计数原理计算即可判断B；按照首位分类，利用排列数计算即可判断C；利用先分组后排列的方法，结合乘法原理和排列组合计算即可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、因为函数是定义在上的奇函数， 所以，
当时，，则，令，解得，
令，解得，则在单调递减，在上单调递增，
则的极小值点为1，又因为函数是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，
故A正确；
B、当时，，则，
因为是定义在上的奇函数，所以，所以
分别画出和的图象，如图所示：
由图可知，函数的零点个数为3，故B正确；
C、令，得或或，
令，得，或，
分别画出的图象，如图所示：
由图可知：函数的零点个数为7，故C正确；
D、令，则，
，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】利用导函数求出单调区间，根据极值定义和奇偶性即可判断A；数形结合即可判断B、C；赋值即可判断D.
12．【答案】
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量，且，所以，则；
又因为，所以，又因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据正态分布的对称性求得，则，再由二项分布可知，最后根据列式求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且满足，
则函数为奇函数，
又因为，
当且仅当，即时等号成立，
可知，则，
可知在内单调递增，
综上所述：为奇函数，且在内单调递增，
因为，所以，
则，即，解得，则实数a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据题意利用导数分析可知为奇函数，且在内单调递增，再根据单调性和奇偶性解不等式即可.
14．【答案】
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：甲和乙都不参加A活动，有种；
甲或乙参加A活动，有种；
则他们参加活动的不同方案有种.
故答案为：52.
【分析】分甲和乙都不参加A活动、甲或乙参加A活动两种情况讨论，再结合分类计数原理求解即可.
15．【答案】（1）解：函数定义域为，，则，
因为，所以切点，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：令，解得；令，解得，
则、、情况如下：
2
－ 0 +
递减 极小值0 递增
易知；又，所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）求出函数的极值点，极值，再计算端点的函数值并比较大小即可求得最值.
（1）因为，所以，则，
又，则切点，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）令，解得；令，解得
则、、情况如下：
2
－ 0 +
递减 极小值0 递增
易知；又，所以.
16．【答案】解：（1）由题意可知：X的所有可能取值为0，1，2，
，，，
则X的分布列如下：
X 0 1 2
P
；
（2）新药无效的情况有：中人痊愈、中人痊愈，
，
故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意可知：X的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布求其对应的概率，列分布列，求期望即可；
（2）先分析新药无效的情况：中人痊愈、中人痊愈，由此求解无无效的概率，并分析试验方案的合理性即可.
17．【答案】（1）解：由数据可得，，
由题可列下表：
0 1 2
1.3 0.4
则，
可得，
因为很接近于1，所以与之间具有较强的线性相关关系；
（2）解：由（1）可知：可用线性回归模型进行描述，
则，，
所求经验回归方程为．
令，则，
预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为．
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）由表中数据结合题中数据，求出相关数值，代入相关系数求，判断即可；
（2）根据（1）中求出的数据，即可求出，，进而得到回归直线方程；将代入回归直线方程，即可预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比.
（1）由已知可得，，，
由题可列下表：
0 1 2
1.3 0.4
则，
可得，
因为很接近于1，所以与之间具有较强的线性相关关系.
（2）由（1）可知：可用线性回归模型进行描述．
则，，
所求经验回归方程为．
令，则，
预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为．
18．【答案】（1）解：由解得
这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在14，16内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
的分布列为：
0 1 2 3
（2）解：由（1）可知参加公益劳动时间在的概率
所以
依题意，即，
即，解得
因为为非负整数，所以，
即当最大时，
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图列出方程，求的值，再计算每组人数，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由求出的分布列，再计算期望即可；
（2）根据独立重复试验的概率公式得到不等式组，解得的取值范围，即可求解.
（1）由频率分布直方图得：
解得
这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从参加公益劳动时间在14，16内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
的分布列为：
0 1 2 3
则其期望为
（2）由（1）可知参加公益劳动时间在的概率
所以
依题意，即，
即，解得
因为为非负整数，所以，
即当最大时，
19．【答案】（1）证明：当时，，则.
令，则在上恒成立，则在上单调递增，
则，故在上恒成立，是增函数.
（2）解：当时，等价于
令，则，令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以.
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，所以，即，故的取值范围为.
（3）证明：由（2）可知，当时，有，则，
所以，…，，故.
【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的求和
【解析】【分析】（1）导数值的正负即可得到函数的单调性．
（2）不等式等价变形后构造函数，判断新函数的单调性求得利用最值即可证明．
（3）结合第二问的结论，进行放缩结合数列求和相关知识即可证明.
1 / 1四川省自贡市第一中学校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试题
一、单选题（每道题目只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）
1．（2024高二下·自贡月考）下列函数的求导运算中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A正确；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：C.
【分析】根据基本函数的导数公式及导数的运算法则逐项求导判断即可.
2．（2024高二下·自贡月考）的展开式中含项的系数为（ ）
A．24 B．28 C．20 D．32
【答案】B
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项
令，解得，则，
即的展开式中含项的系数为28.
故答案为：B.
【分析】先写出展开式的通项，令，求出k值，代入即可.
3．（2024高二下·自贡月考）某次数学联考成绩的数据分析，20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（ ）
A．3173 B．6346 C．6827 D．13654
【答案】A
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解： 20000名考生成绩服从正态分布，则，
因为，所以，
则80分以上的人数大约是人.
故答案为：A.
【分析】利用正态分布的概率的对称性以及原则计算即可.
4．（2024高二下·自贡月考）5G技术在我国已经进入调整发展的阶段，5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：
时间x 1 2 3 4 5
销售量y（千只） 0.5 0.8 1.0 1.2 1.5
若x与y线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（ ）
A．当解释变量x每增加1个单位时，预报变量y平均增加0.24个单位
B．线性回归方程中
C．由题中数据可知，变量y与x正相关，且相关系数
D．可以预测时，该商场5G手机销量约为1.72（千只）
【答案】B
【知识点】线性相关；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、因为线性回归方程，所以每增加一个单位时，预报变量平均增加0.24个单位，故A正确；
B、由表可得，，
代入，解得，故B错误；
C、由表总数据看随的增加而增加，变量与正相关，且增量不相等，相关系数，故C正确；
D、将代入中，解得，故D正确.
故答案为：B.
【分析】根据回归方程即可判断AD；根据已知数据得到样本中心点，代入回归方程求解即可判断B；根据已知数据，分析总体单调性，结合增量的变化即可判断C.
5．（2024高二下·自贡月考）2024年“与辉同行”直播间开播，董宇辉领衔7位主播从“心”出发，其中男性5人，女性3人，现需排班晚8：00黄金档，随机抽取两人，则男生人数的期望为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；超几何分布
【解析】【解答】解：设随机抽取两人中男生人数为，且，
，，，
则.
故答案为：C.
【分析】设随机抽取两人中男生人数为，且，再求得概率，代入期望公式求解即可.
6．（2024高二下·自贡月考）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．或 B． C．或 D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，求导可得，
令，解得，
则函数的单调递减区间为，因为函数在上单调递减，所以，解得，
又因为函数在上连续，所以或，即或.
故答案为：C．
【分析】先求函数的导函数，由得到函数的单调递减区间，则是函数单调递减区间的子集，根据子集关系列式即可求出的取值范围．
7．（2024高二下·自贡月考） 某位同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒3盒、莲花清瘟胶囊2盒、清开灵颗粒5盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用（用药请遵医嘱），则感冒被治愈的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意有以下几种可能：①选择金花清感颗粒的概率为：，则感冒被治愈的概率为：②选择莲花清瘟胶囊的概率为：，则感冒被治愈的概率为：③选择清开灵颗粒的概率为：，
则感冒被治愈的概率为：综上所述感冒被治愈的概率为：
故答案为：C.
【分析】根据题意有三种情况感冒被治愈，利用互斥事件的概率公式，求得三种方式治愈感冒的概率，然后再运用古典概率公式进行求解即可，
8．（2024高二下·自贡月考）函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；导数的乘法与除法法则；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：构造函数，，
当时，，则，即在上单调递减，
因为函数是定义在上的奇函数，
所以，即为上的偶函数，
则在上单调递增，而，故，
故当或时，，当或时，，
由可得或，解得或，
故不等式的解集为.
故答案为：B
【分析】构造函数，求导，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，再结合列不等式组求解即可.
二、多选题（每道题目至少有两个选项为正确答案，每题6分，共18分）
9．（2024高二下·自贡月考）两个具有线性相关关系的变量的一组数据，下列说法正确的是（ ）
A．相关系数越接近，变量相关性越强
B．落在回归直线方程上的样本点越多，回归直线方程拟合效果越好
C．相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差
D．若表示女大学生的身高，表示体重则表示女大学生的身高解释了的体重变化
【答案】A,C,D
【知识点】变量相关关系；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：对于A中，根据相关系数的定义，可得 相关系数越接近，变量相关性越强 ，所以A正确；
对于B中，回归治安方程的你好效果的强弱是相关系数或相关系数判定，所以B不正确；
对于C中， 相关指数越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果越差 ，所以C正确；
对于D中，根据的实际意义可得， 表示女大学生的身高解释了64%的体重变化，所以D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意，根据相关系数，结合相关系数的含义，逐项判定，即可求解.
10．（2024高二下·自贡月考）下列说法正确的是（ ）
A．空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，则一共可以作个不同的四面体
B．甲 乙 丙个人值周，从周一到周六，每人值天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出48种不同的值周表
C．从这个数字中选出个不同的数字组成五位数，其中大于的共有个
D．个不同的小球放入编号为的个盒子中，恰有个空盒的放法共有种
【答案】A,C,D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列及排列数公式
【解析】【解答】解：A、空间有个点，其中任何点不共面，以每个点为顶点作个四面体，则有种取法，即可以作个不同的四面体，故A正确；
B、甲排在星期六，有种排法；甲不排在星期六，有种排法，则值班方案种数为种，故B错误；
C、五位数的首位为时，有个不同的五位数，
五位数的首位为时，其千位数字不能为，有个不同的五位数，
则共有个大于五位数，故C正确；
D、将个小球分为组，有种分组方法；再从个盒子中任选个，放入三组小球，有种情况，则恰有个空盒的放法共有种不同的放法，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】直接利用组合数计算即可判断A；对甲的值周按照是否在星期六分类，利用组合结合分步乘法计数原理计算即可判断B；按照首位分类，利用排列数计算即可判断C；利用先分组后排列的方法，结合乘法原理和排列组合计算即可判断D.
11．（2024高二下·自贡月考）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A．的极大值点为 B．函数的零点个数为3
C．函数的零点个数为7 D．的解集为
【答案】A,B,C
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：A、因为函数是定义在上的奇函数， 所以，
当时，，则，令，解得，
令，解得，则在单调递减，在上单调递增，
则的极小值点为1，又因为函数是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，
故A正确；
B、当时，，则，
因为是定义在上的奇函数，所以，所以
分别画出和的图象，如图所示：
由图可知，函数的零点个数为3，故B正确；
C、令，得或或，
令，得，或，
分别画出的图象，如图所示：
由图可知：函数的零点个数为7，故C正确；
D、令，则，
，故D错误；
故答案为：ABC.
【分析】利用导函数求出单调区间，根据极值定义和奇偶性即可判断A；数形结合即可判断B、C；赋值即可判断D.
三、填空题（每题5分，共15分）
12．（2024高二下·自贡月考）已知随机变量，且，则 ．
【答案】
【知识点】二项分布；正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为随机变量，且，所以，则；
又因为，所以，又因为，所以，解得.
故答案为：.
【分析】根据正态分布的对称性求得，则，再由二项分布可知，最后根据列式求解即可.
13．（2024高二下·自贡月考）已知函数，其中e是自然对数的底数，若，则实数a的取值范围是
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；其他不等式的解法
【解析】【解答】解：函数的定义域为，定义域关于原点对称，
且满足，
则函数为奇函数，
又因为，
当且仅当，即时等号成立，
可知，则，
可知在内单调递增，
综上所述：为奇函数，且在内单调递增，
因为，所以，
则，即，解得，则实数a的取值范围是.
故答案为：.
【分析】根据题意利用导数分析可知为奇函数，且在内单调递增，再根据单调性和奇偶性解不等式即可.
14．（2024高二下·自贡月考）甲、乙等5人参加A，B，C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若甲，乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有 种.
【答案】
【知识点】分类加法计数原理；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：甲和乙都不参加A活动，有种；
甲或乙参加A活动，有种；
则他们参加活动的不同方案有种.
故答案为：52.
【分析】分甲和乙都不参加A活动、甲或乙参加A活动两种情况讨论，再结合分类计数原理求解即可.
四、解答题（共77分）
15．（2024高二下·自贡月考）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）解：函数定义域为，，则，
因为，所以切点，
则曲线在点处的切线方程为，即；
（2）解：令，解得；令，解得，
则、、情况如下：
2
－ 0 +
递减 极小值0 递增
易知；又，所以.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；
（2）求出函数的极值点，极值，再计算端点的函数值并比较大小即可求得最值.
（1）因为，所以，则，
又，则切点，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）令，解得；令，解得
则、、情况如下：
2
－ 0 +
递减 极小值0 递增
易知；又，所以.
16．（2024高二下·自贡月考）根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效.
（1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为，求的概率分布及数学期望；
（2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率，并根据的值解释该试验方案的合理性.
（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）
【答案】解：（1）由题意可知：X的所有可能取值为0，1，2，
，，，
则X的分布列如下：
X 0 1 2
P
；
（2）新药无效的情况有：中人痊愈、中人痊愈，
，
故可认为新药无效事件是小概率事件，从而认为新药有效，故该试验方案合理.
【知识点】离散型随机变量及其分布列；超几何分布；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意可知：X的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布求其对应的概率，列分布列，求期望即可；
（2）先分析新药无效的情况：中人痊愈、中人痊愈，由此求解无无效的概率，并分析试验方案的合理性即可.
17．（2024高二下·自贡月考）按照《中华人民共和国环境保护法》的规定，每年生态环境部都会会同国家发展改革委等部门共同编制《中国生态环境状况公报》，并向社会公开发布．下表是2017-2021年五年《中国生态环境状况公报》中酸雨区面积约占国土面积的百分比
年份 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年
年份代码 1 2 3 4 5
6.4 5.5 5.0 4.8 3.8
（1）请表示2017—2021年年份代码与的样本相关系数（精确到0.01），说明其相关性.
（2）请用样本相关系数说明该组数据中y与x之间的关系可用一元线性回归模型进行描述，并求出y关于x的经验回归方程；并预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比．
（回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
附：样本相关系数，．
【答案】（1）解：由数据可得，，
由题可列下表：
0 1 2
1.3 0.4
则，
可得，
因为很接近于1，所以与之间具有较强的线性相关关系；
（2）解：由（1）可知：可用线性回归模型进行描述，
则，，
所求经验回归方程为．
令，则，
预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为．
【知识点】线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）由表中数据结合题中数据，求出相关数值，代入相关系数求，判断即可；
（2）根据（1）中求出的数据，即可求出，，进而得到回归直线方程；将代入回归直线方程，即可预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比.
（1）由已知可得，，，
由题可列下表：
0 1 2
1.3 0.4
则，
可得，
因为很接近于1，所以与之间具有较强的线性相关关系.
（2）由（1）可知：可用线性回归模型进行描述．
则，，
所求经验回归方程为．
令，则，
预测2024年的酸雨区面积占国土面积的百分比为．
18．（2024高二下·自贡月考）某学校为了解本学期学生参加公益劳动的情况，从学校内随机抽取了500名高中学生进行在线调查，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）分配情况等数据，并将样本数据分成，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
（1）为进一步了解这500名学生参加公益劳动时间的分配情况，从参加公益劳动时间在三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记参加公益劳动时间在内的学生人数为，求的分布列和期望；
（2）以调查结果的频率估计概率，从该学校所有高中学生中随机抽取20名学生，用“”表示这20名学生中恰有名学生参加公益劳动时间在]（单位：小时）内的概率，其中.当最大时，写出的值.
【答案】（1）解：由解得
这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在14，16内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
的分布列为：
0 1 2 3
（2）解：由（1）可知参加公益劳动时间在的概率
所以
依题意，即，
即，解得
因为为非负整数，所以，
即当最大时，
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；n次独立重复试验中恰好发生k次的概率；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图列出方程，求的值，再计算每组人数，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从参加公益劳动时间在内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由求出的分布列，再计算期望即可；
（2）根据独立重复试验的概率公式得到不等式组，解得的取值范围，即可求解.
（1）由频率分布直方图得：
解得
这500名学生中参加公益劳动时间在三组内的学生人数分别为：人，人，人，
若采用分层抽样的方法抽取了10人，
则从参加公益劳动时间在14，16内的学生中抽取：人，
现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，
的分布列为：
0 1 2 3
则其期望为
（2）由（1）可知参加公益劳动时间在的概率
所以
依题意，即，
即，解得
因为为非负整数，所以，
即当最大时，
19．（2024高二下·自贡月考）已知函数.
（1）当时，证明：是增函数.
（2）若恒成立，求的取值范围.
（3）证明：（，）.
【答案】（1）证明：当时，，则.
令，则在上恒成立，则在上单调递增，
则，故在上恒成立，是增函数.
（2）解：当时，等价于
令，则，令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以.
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
则，所以，即，故的取值范围为.
（3）证明：由（2）可知，当时，有，则，
所以，…，，故.
【知识点】函数恒成立问题；函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的求和
【解析】【分析】（1）导数值的正负即可得到函数的单调性．
（2）不等式等价变形后构造函数，判断新函数的单调性求得利用最值即可证明．
（3）结合第二问的结论，进行放缩结合数列求和相关知识即可证明.
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