2015学年上海市嘉定区高三年级第一次质量调研数学试题

2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷（文）
考生注意：
1．答题前，务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚，并贴好条形码．
2．解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写，超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分．
3．本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟．
一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．____________．
2．设集合，，则__________．
3．若函数（且）的反函数的图像过点，则_________．
4．已知一组数据，，，，的平均数是，则这组数据的方差是_________．
5．在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成的
角的大小为__________________（结果用反三角函数值表示）．
6．若圆锥的底面周长为，侧面积也为，则该圆锥的体积为______________．
7．已知，则____________．
8．某程序框图如图所示，则该程序运行后
输出的值是_____________．
9．过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则实数的值
为___________．
10．从名男同学，名女同学中任选人参加知识竞赛，则选到的名同学中至少有名
男同学的概率是____________．
11．设，，，则_________时，点，，
共线．
12．已知，若，则_______．
13．设数列满足，，记数列前项的积为，则的值为
__________．
14．对于函数，若存在定义域内某个区间，使得在上的
值域也是，则称函数在定义域上封闭．如果函数在
上封闭，那么_____________．
二．选择题（本大题满分20分）本大题共有 ( http: / / www.21cnjy.com )4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．
15．“函数为偶函数”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
16．下列四个命题：
①任意两条直线都可以确定一个平面；
②若两个平面有个不同的公共点，则这两个平面重合；
③直线，，，若与共面，与共面，则与共面；
④若直线上有一点在平面外，则在平面外．
其中错误命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
17．若椭圆的焦距为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
18．已知等比数列中，各项都是正数，且，，成等差数列，则等
于（ ）
A． B． C． D．
三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．
如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为的正方形，高为，内有深的溶液．现将此容器倾斜一定角度（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．
（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角的最大值是多少；
（2）现需要倒出不少于的溶液，当时，能实现要求吗？请说明理由．
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．
已知，设，，记函数．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）设△的角，，所对的边分别为，，，若，，，求△的面积．
21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．
设函数（且）是奇函数．
（1）求常数的值；
（2）设，试判断函数在上的单调性，并解关于的不等式．
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．
已知抛物线，准线方程为，直线过定点（）且与抛物线交于、两点，为坐标原点．
（1）求抛物线的方程；
（2）是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）当时，设，记，求的解析式．
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
设复数，其中，，为虚数单位，，，复数在复平面上对应的点为．
（1）求复数，，的值；
（2）证明：当（）时，∥；
（3）求数列的前项之和．
2015学年嘉定区高三年级第一次质量调研
数学试卷（文）参考答案及评分标准
一．填空题（每题4分，满分56分）
1． 2．（或） 3． 4．
5． 6． 7． 8．
9． 10． 11．或
12． 13． 14．
二．选择题（每题5分，满分20分）
15．B 16．C 17．A 18．D
三．解答题（共5题，满分74分）答案中的分数为分步累积分数
19．本题12分，第1小题6分，第2小题6分．
（1）如图③，当倾斜至上液面经过点时，容器内溶液恰好不会溢出，
此时最大． ………………………………………………………………（2分）
解法一：此时，梯形的面积等于（）， …………（3分）
因为，所以，，
即，解得，． ………………（5分）
所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是． ……………（6分）
解法二：此时，△的面积等于图①中没有液体部分的面积，
即（）， ………………………………………………（3分）
因为，所以，即，
解得，． …………………………………………（5分）
所以，要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，的最大值是． …………（6分）
（2）如图④，当时，设上液面为，因为，
所以点在线段上， …………………………………………（1分）
此时，，
（）， …………………………（3分）
剩余溶液的体积为（）， …………………（4分）
由题意，原来溶液的体积为，
因为，所以倒出的溶液不满． ……（5分）
所以，要倒出不少于的溶液，当时，不能实现要求．…（6分）
20．本题14分，第1小题7分，第2小题7分．
（1）
． ……………………………………（3分）
所以的最小正周期是． ………………………（4分）
由，， ……………………（6分）
得函数的单调递增区间是（）． ……（7分）
（2）由，得， …………………………（1分）
因为，所以，
所以，． ………………………………（3分）
在△中，由余弦定理， …………（4分）
得，即， ………………（5分）
所以△的面积． …………（7分）
21．本题14分，第1小题6分，第2小题8分．
（1）解法一：函数的定义域为，因为是奇函数，所以，．…………………………………………………………（3分）
当时，，，是奇函数．
所以，所求的值为． …………………………………………………………（6分）
解法二：函数的定义域为，
由题意，对任意，， …………………………………（2分）
即，， ………………………（4分）
因为，所以，． ……………………………………………（6分）
（2）由（1），，任取，，且，
则，
因为，，所以，又，所以，
即，所以函数在上是单调递增函数． ………………（4分）
（注：也可以这样解答：，在上是增函数，在上是减函数，则在上是增函数，所以在上是增函数．）
由，得，即， ……（6分）
所以，即，解得． …………（8分）
22．本题16分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分．
（1）由题意，，， ………………………………………………（2分）
故抛物线方程为． …………………………………………………………（4分）
（2）设，，直线，则
…………………………（2分）
于是，， ……（4分）
因为点是定点，所以是定值，所以是定值，此定值为．…（6分）
（3），设，则，
，故， ………………（2分）
因为点在抛物线上，所以，得．……（4分）
又为抛物线的焦点，故
，即（）． ………………………………（6分）
23．本题18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分．
（1），，．…………（4分）
（算错一个扣1分，即算对一个得2分，算对两个得3分）
（2）由已知，得， ………………（1分）
当时，， ………………………（3分）
令，则，
即则存在非零实数（），使得． …………（5分）
所以，当（）时，∥． ……………………（6分）
（3）因为，故，， …………（2分）
所以， …………………………………………………………（3分）
又，，，， …………………………（4分）
， ……………………………………（7分）
所以数列的前项之和为． ……………………………………（8分）
开始
，
输出
结束
是
否
①
②
A
B
C
D
A
B
C
D
③
④
E
F