第 04 讲 指数与指数函数
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：指数及指数运算 ........................................................................................................................................4
知识点 2：指数函数 ....................................................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................6
题型一：指数幂的运算 ...............................................................................................................................................6
题型二：指数函数的图象及应用 ...............................................................................................................................8
题型三：指数函数过定点问题 .................................................................................................................................12
题型四：比较指数式的大小 .....................................................................................................................................14
题型五：解指数方程或不等式 .................................................................................................................................16
题型六：指数函数的最值与值域问题 .....................................................................................................................18
题型七：指数函数中的恒成立问题 .........................................................................................................................20
题型八：指数函数的综合问题 .................................................................................................................................24
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................29
05 课本典例·高考素材 .......................................................................................................................30
06 易错分析·答题模板 .......................................................................................................................33
答题模板 1：指数型复合函数的值域问题 ..............................................................................................................33
答题模板 2：指数型复合函数的单调问题 ..............................................................................................................34
考点要求 考题统计 考情分析
从近五年的高考情况来看，指数运算
2023 年新高考 I 卷第 4 题，5 分 与指数函数是高考的一个重点也是一个基
2023 年乙卷第 4 题，5 分 本点，常与幂函数、二次函数 、对数函
（1）指数幂的运算性质
2022 年甲卷第 12 题，5 分 数、三角函数综合，考查数值大小的比较
（2）指数函数的图像与性质
2020 年新高考 II 卷第 11 题，5 和函数方程问题.在利用指数函数的图像与
分 性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算
素养.
复习目标：
（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识点 1：指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果 xn = a ，那么 x 叫做 a的 n次方根，其中 (n > 1， n N * ) ，记为 n a ， n称为根指数， a
称为根底数．
(2)根式的性质：
当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数.
当 n为偶数时，正数的 n次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算 an (a 0) 中的一个参数， a为底数， n为指数，指数位于底数的右上角，
幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
①正整数指数幂 647
n个48
an a a a L a (n N*)；②零指数幂
0
= × × × × a = 1 (a 0)；
1
③负整数指数幂 a-n = (a 0 ， n N*)；④ 0 的正分数指数幂等于 0 ， 0 的负分数指数幂没有意义．
an
(5)有理数指数幂的性质
① aman = am+n (a > 0，m ， n Q)；② (am )n = am n (a > 0 ，m ， n Q)；
m
③ (ab)m = ambm (a > 0 ，b > 0 ，m Q) ；④ n am = a n (a > 0，m ， n Q)．
【诊断自测】化简下列各式：
2
é 1
-2.5
ù 3
（1） ê 0.0645 ú
3
÷ - 3 3 - π0
=
êè ú 8
a3b2 3 ab2
（2） 1 1
4
1 1- （ a > 0,b > 0 =
a 4b2 ÷ a 3b3
è
1 1
（3 设 -x 2 + x 2 = 3，则 x + x
-1的值为
a
【答案】 0 / ab-1 7
b
2
é 1 -2.5 ù 3
【解析】（1） ê 3 0.0645 ÷ ú - 3 3 - π0
ê è ú 8
3 1 2 14 (-2.5) 5 3 3 3
=
3
÷ - ÷ -1
è10 è 2
2 -1 3
= ÷ - -1
è 5 2
5 3
= - -1 = 0 .
2 2
1 2 1
a3b2 3 ab2 (a3b2a3b3 )2 5 2 4 7- -
= = a 3 3b3 3 -1 a4 1 1 = ab =（2） 1 1 1 1- 2 - b ；3 3
a 4b2 ÷ a 3b3 ab a b
è
1 1
（3）因为 -x 2 + x 2 = 3，
1 1
2
-
\ x + x-1 = x 2 + x 2 ÷ - 2 = 32 - 2 = 7 .
è
a
故答案为：（1）0；（2） ；（3）7
b
知识点 2：指数函数
y = a x
0 < a <1 a >1
图 y y
象 a (1,a)
1 (1,a) 1
a
O 1 x O 1 x
性 ①定义域 R ，值域 (0，+ )
质 ② a0 =1，即时 x = 0 ， y =1，图象都经过 (0，1) 点
③ a x = a ，即 x =1时， y 等于底数 a
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ x < 0时 ， a x >1； x > 0 时 ， x < 0时， 0 < a x <1； x > 0 时， a x >1
0 < a x <1
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【诊断自测】若指数函数 f (x) = a x (a > 0且 a 1)在[-1,1]上的最大值为 2，则a = .
【答案】 2 1或 2
【解析】若 a > 1，则 f (x) 在[-1,1]上为增函数，所以 f (x)max = f (1) = a = 2 ，即 a = 2 .
1
若 0 < a < 1，则 f (x) 在[-1,1] -1上为减函数，所以 f (x)min = f (-1) = a = 2 ，即 a = .2
综上 a = 2或 a
1
= .
2
1
故答案为： 2或 2 .
解题方法总结
1、指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“ a >1”和“ 0 < a <1”两种情形讨论．
(2)当 0 < a <1时， x + ， y y 0 ； a 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快．
当 a >1时 x + ， y 0 ； a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增速度越快．
1
(3) x指数函数 y = a x 与 y = ( ) 的图象关于 y 轴对称．
a
题型一：指数幂的运算
x 1
1-1 = a a 0 a x
2
【典例 】已知 2 （ 且 ），则 4 = ．（结果用 a表示）x + x +1 2 x + x2 +1
a2
【答案】
1- 2a
x 2 1 1
【解析】由 2 = a 且 a 0 x 0
x + x +1 1
知 ，于是 = ，即 x + = -1，
x + x +1 x a x a
x4 + x2 +1 2x2 1 1 x 1 1 1
2 2
从而 = + + = + - = -1 -1 1- 2a + a 1 1- 2a= - = ，
x2 x2 x ÷ ÷è è a a2 a2
1 2 2
由于 a x a，因此 = ．
2 x4 + x2 +1 1- 2a
a2
故答案为： .
1- 2a
4 0.5
2
1-2 1 -2 10 3【典例 】（ ） 0 5 9 ÷
+ 0.1 + 2 ÷ -100π ；
è è 27
1 1
2
（2）已知 x + y =11， xy = 9，求 x + y 2 的值.
x2 + y2
1 2
【解析】（1）原式 49=
2 3
÷ +10
2 64+ ÷ -100
7 16 37
= +100 + -100 = .
è 9 è 27 3 9 9
（2）因为 x + y =11， xy = 9，
1 1
所以 2 2
2
x 2 + y 2 = x + y + 2 xy = 17 ， x + y = x + y - 2xy =103，
1 1
x 2所以 + y
2 17
2 = .x + y2 103
【方法技巧】
（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.
（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
【变式 1-1】（多选题）已知 a + a-1 = 3，下列结论正确的是（ ）
A． a2 + a-2 = 7 B． a3 + a-3 =18
1 1 1
C． -a 2 + a 2 = ± 5 D． a a + = 2 5a a
【答案】ABD
【解析】由 a2 + a-2 = (a + a-1)2 - 2 = 32 - 2 = 7，所以 A 正确；
由 a3 + a-3 = (a + a-1)(a2 -1+ a-2 ) = 3 (7 -1) =18，所以 B 正确；
1 1
由 -(a 2 + a 2 )2 = a + a-1 + 2 = 3 + 2 = 5，
1 1 1 1
因为 - -a 2 > 0 ， a 2 > 0，所以 a 2 + a 2 = 5 ，所以 C 错误；
3 3 1 1
- -
由 a a
1
+ = a 2 + a 2 = (a 2 + a 2 )(a -1+ a-1) = 5 (3 -1) = 2 5 ，所以 D 正确．
a a
故选：ABD．
1
【变式 1-2】已知函数 f x = x x R .4 + 2
(1)求证 f x + f 1- x 为定值；
(2)若数列 an
n
的通项公式为 an = f ÷（m为正整数， n = 1， 2，L，m），求数列 an 的前m项和 Sm ；
è m
1
【解析】（1）证明：由于函数 f x = x x R ，4 + 2
x x
f 1 x 1 4 4 4
x
则 - = 41-x
= = =
+ 2 4x 41-x + 2 4 + 2 × 4x 2 4x + 2 ，
x x
所以 f x + f 1 x
1 4 2 + 4 1
- = x + = =4 + 2 2 4x + 2 2 4x + 2 2 .
1
（2）由（1）可知， f x + f 1- x = ，
2
f k + f 1 k- 1则 ÷ ÷ = ，其中 k 为正整数，1 k m -1，
è m è m 2
f k f m - k 1+ = a = f n 即 ÷ ÷ ，且 n ÷，
è m è m 2 è m
所以 ak + a
1
m-k = ，其中 k 为正整数，1 k m -1，2
且 a = f
m
m ÷ = f 1
1
= ，
è m 6
Sm = a1 + a2 +L+ am-1 + am ，①
变化前m -1项顺序后，可得： Sm = am-1 + am-2 +L+ a1 + am ，②
1 1 1 1
①+ ②得： 2Sm = m -1 + = m - ，2 3 2 6
S 1 m 1 3m -1因此 m = - = .4 12 12
题型二：指数函数的图象及应用
【典例 2-1】已知 a > 0且 a 1，则函数 y = log x +1 y (1 xa 与 = ) +1在同一直角坐标系中的图象大致是a
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】结合 y = loga x +1 与 y = (
1 )x +1可知，两函数单调性一定相反，排除选项 A；
a
因为 y = loga x +1
1 x
恒过定点 0,0 ， y = ( ) +1恒过定点 0,2 ，排除选项 B，D．
a
故选：C．
|x|
【典例 2-2】（2024 1 ·黑龙江·二模）已知函数 y = a ÷ + b的图象经过原点，且无限接近直线 y = 2，但
è 2
又不与该直线相交，则 ab =（ ）
A．-1 B．-2 C．-4 D．-9
【答案】C
y f (x) a(1 x 1【解析】因为函数 = = ) + b2 图象过原点，所以
a( )0 + b = 0
2 ，
得 a + b = 0，又该函数图象无限接近直线 y = 2，且不与该直线相交，
所以b = 2 ，则 a = -2 ，
所以 ab = -4 .
故选：C
【方法技巧】
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等
变换得到，当 a >1时，指数函数 y = a x x的图像呈上升趋势；当0 < a <1时，指数函数 y = a 的图像呈下
降趋势.
【变式 2-1】已知 x1, x
x
2 是方程 2 + x =10，log2x + x =10的两个根，则 x1 + x2 = .
【答案】10
x
【解析】由题可知， x1, x2 也是 y = 2 , y = log2 x与 y = -x +10图象交点的横坐标，
在同一坐标系中，作图如下：
数形结合可知， x1, x2 为 A, B两点对应的横坐标；
x
根据指数函数和对数函数的性质可知， y = 2 , y = log x关于 y = x2 对称；
又 y = -x +10与 y = x 垂直，故 y = -x +10与 y = x 的交点H 为线段 AB 的中点，
ì y = x ìx = 5
联立 í ，可得 í ，即H 5,5 x，故 1 + x2 = 5，解得 x + x =10y x 10 y 5 . = - + = 2 1 2
故答案为：10 .
x+a
【变式 2-2】（2024·高三·山西·期末）已知函数 f (x)
1
= ÷ + b 的图象经过坐标原点，且当 x 趋向于
è 2
正无穷大时， f (x) 的图象无限接近于直线 y = 2，但又不与该直线相交，则a = .
【答案】-1
【解析】当 x 趋向于正无穷大时， f (x) 的图象无限接近于直线 y = 2，
但又不与该直线相交，可知b = -2或b = 2 ，
1
a
又图象经过坐标原点，则b = 2 不满足条件，所以 f (0) = - 2 = 0，
è 2 ÷
所以 a = -1 .
故答案为：-1
【变式 2-3 x+1】直线 y = 3a与函数 y = a -1 (a > 0且 a 1)的图像有两个公共点，则 a的取值范围是 .
1
【答案】 (0, )
3
【解析】 a > 1时，作出函数 y = a x+1 -1 的图象，如图，此时在 x -1时，0 y <1，而3a > 3 >1，因此
y = 3a与函数 y = a x+1 -1 的图象只有一个交点，不合题意；
0 < a < 1 y = a x+1 -1 x -1 0 y <1 y = 3a y = a x+1时，作出函数 的图象，如图，此时在 时， ，因此 与函数 -1
1
的图象有两个交点，则0 < 3a <1，解得0 < a < ．
3
1
综上所述， a (0, )．
3
(0, 1故答案为： )．
3
x
【变式 2-4 1 】设方程 + x - 5 = 0的解为x ，x ，方程 log 1 x + x - 5 = 0 ÷ 1 2 的解为 x ， x2 3 4
，则
è 2
x1 + x2 + x3 + x4 = ．
【答案】10
x x
1 1
【解析】由方程 + x - 5 = 0得 = 5 - x ，由方程 log 1 x + x - 5 = 0 得 log 1 x = 5 - x ÷ ÷ ，
è 2 è 2 2 2
x
在同一坐标系下做出函数 f x = 1 、 g x = log 1 x， y = x 的图象，
è 2 ÷ 2
不妨设 x1 < x3 < x2 < x4 ，如下图，
x
1
因为函数 f x = 与 g x = log x
1
÷ 1 的图象关于 y = x 对称，即点 x1, 与点 x , log x 、点
è 2 2 è 2
x ÷ 1 4 1 4 ÷ è 2
1
x2 , log 1 x2 ÷与点 x3 , 2x3 ÷
都关于 y = x 对称，
è 2 è
ì 5
ìy = x x = 2 5 , 5 x1 + x4 5 , x2 + x 5由 íy 5 x解得 í 5 ，即两直线的交点为 ÷，则
= 3 = ，
= - y = è 2 2 2 2 2 2
2
则 x1 + x2 + x3 + x4 =10 .
故答案为：10 .
题型三：指数函数过定点问题
【典例 3-1】（2024·高三·河北·期末）已知函数 y = a x-2 + 3(a > 0，且 a 1)的图象恒过定点A ，若点A 在
直线mx + ny = 2上，其中m > 0, n > 0
2 1
，则 + 的最小值为 .
m 3n
8 + 4 3
【答案】
3
【解析】对于函数 y = a x-2 + 3(a > 0，且 a 1)，令 x - 2 = 0，则 y = 4 ，
则函数 y = a x-2 + 3(a > 0且 a 1)的图象恒过定点 A 2,4 ，
则 2m + 4n = 2,\m + 2n =1，且m > 0, n > 0 ，
2 1 2 1 2 4n m 8 4 8 + 4 3
故 + = +
m + 2n = 2 + + + + 2 = ，
m 3n è m 3n ÷ 3 m 3n 3 3 3
ì4n m
=
当且仅当 í m 3n
2 3 1
，即m = ,n = 时等号成立，
m + 2n =1
2 3 + 2 2 3 + 2
2 1
+ 8 + 4 3即 的最小值为 ，
m 3n 3
; 8 + 4 3故答案为
3
【典例 3-2】函数 f x = a x+1 + 2（ a > 0且 a 1）的图象恒过定点 m, n ，则m + n等于 .
【答案】2
【解析】由 x +1 = 0，即 x=-1，得 y = 3，所以m = -1,n = 3，
所以m + n = -1+ 3 = 2，
故答案为：2.
【方法技巧】
y = a x+m + n 恒过定点 (-m, n +1) ．
【变式 3-1】已知函数 y = 2a x-2 - 3（ a > 0且 a 1）的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标为 .
【答案】 2,-1
【解析】令 x - 2 = 0，得 x = 2，则 y = 2a0 - 3 = -1 .
所以函数 y = 2a x-2 - 3（ a > 0且 a 1）的图象恒过定点P 2, -1 .
故答案为： 2,-1 .
【变式 3-2】（2024·山东济宁·一模）已知函数 y = a x-1(a > 0 且 a 1)的图象过定点 A，且点 A 在直线
mx + 2ny = 8 m > 0, n > 0 8 3上，则 - 的最小值是 .
mn 2m
9
【答案】
16
【解析】函数 y = a x-1(a > 0 且 a 1)的图象过定点 A 1,1 ，
则m + 2n = 8，所以 2n = 8 - m ，
ìm > 0
由 í ，得0 < m < 82n 8 m 0 ， = - >
8 3 16 3 32 - 3 8 - m 3m + 8
则 - = - = =mn 2m m 8 - m 2m 2m 8 - m -2m2 +16m
令 t = 3m + 8, t 8,32 ，则m t -8= ，
3
8 3 t 9t
- = =
则 mn 2m t -8 2 16 t -8 -2t 2 + 80t - 512-2 ÷ +
è 3 3
9 9 9
= =
80 2t 512- + 80 512
16 ，
t ÷ - 2 2t ×è t
ìm 8=
2t 512
3
当且仅当 = ，即 t =16，即 í 8 时，取等号，t n =
3
8 3 9
所以 - 的最小值是 .
mn 2m 16
9
故答案为： .
16
【变式 3-3】函数 y = a2x-1 - 2(a > 0且a 1)，无论 a取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 .
1
【答案】 ,-1
è 2 ÷
Qa0 1, x 1
1
【解析】 = \ = , y = a0 - 2 =1- 2 = -1,
则定点坐标为 ,-1÷ .2 è 2
1 ,-1 故答案为: 2 ÷
.
è
题型四：比较指数式的大小
1
【典例 4-1】（2024·云南·二模）若a = 2p -2 ,b = 6-1,c = 23 ，则（ ）
A．b > a > c B． c > a > b C． a > b > c D． a > c > b
【答案】D
1
【解析】因为 a = 2p -2 > 21 = 2， c = 23 < 2，
所以 a > c -1
1 1
，因为b = 6 = <1，
6 c = 23 > 2
0 =1，
所以c > b ，所以 a > c > b .
故选：D.
【典例 4-2】（2024·河南·模拟预测）若 a,b R ，则“ a > b ”是“3a - 3b > 2b - 2a ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
x x
【解析】构造函数 f x = 3 + 2 ，则 f x 在R 上单调递增，
所以3a - 3b > 2b - 2a 3a + 2a > 3b + 2b f a > f b a > b ．
故选：C．
【方法技巧】
比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
1 2
-
【变式 4-1】（2024 2·辽宁·一模）设 a = ，b = 2 - e3，c =1- e 3 则（ ）
3
A． a < b < c B． c < b < a
C．b < c < a D． a < c < b
【答案】B
【解析】对于函数 f (x) = ex - x -1， f (x) = ex -1，
令 f (x) < 0 x < 0, f (x) > 0 x > 0，
所以函数 f (x) 在 (- ,0)上单调递减，在 (0, + )上单调递增，
所以 f (x)min = f (0) = 0，则 f (x) 0，即 ex x +1 .
1 2
-
所以 b = 2 - e3
1
2 - ( +1) 2= ， c = 1- e 3 1- (
2 1) 2- + = .
3 3 3 3
1 2 22 1 -e3 1 1 1 2
1
由 e2 < 8，得 ，所以 < 1 ，则 + e 3 = 1+ 2 > 2 2 = 1 > e3e3 < 83 = 2 ，
e3 e3 e3 e3
2 1
所以 -1- e 3 < 2 - e3 ，即 c < b .
所以 c < b < a .
故选：B
【变式 4-2】已知9a = 8，m =10a - 9 ， n = 8a - 7，则（ ）
A．m > 0 > n B．m > n > 0 C． n > m > 0 D． n > 0 > m
【答案】D
【解析】9a = 8，解得 a = log9 8，
令10t - 9 = 0，解得： t = lg9，
令8t - 7 = 0，解得： t = log8 7，
' 1 ln x 1 1+ - ln x
令 f x = log x+1 x x
>1 ，则 é ùf x ln x= ê ú = x x +1 ，
ê ln x +1 2 ú ln x +1
x 1 1 1 1因为 >1，所以 > > 0， ln x +1 > ln x > 0 ，则有 ln x +1 - ln x > 0，
x x +1 x x +1
即 f x > 0恒成立，所以 f x 在 1,+ 上单调递增，
则有 log8 7 < log9 8 < lg9，
所以 n = 8a - 7 = 8log9 8 - 7 > 8log8 7 - 7 = 0，
m =10a - 9 =10log9 8 - 9 <10lg9 - 9 = 0，
所以 n > 0 > m .
故选：D
3
4-3 2024 a = 0.9,b = sin ,c = e-0.19【变式 】（ ·陕西·模拟预测）设 ，则（ ）
4
A． a < b < c B．b < a < c C． c
【答案】D
【解析】先变形 a = 0.81,c = e0.81-1，令 x = 0.81，
下面比较当0 < x < 1时， x 与 ex-1的大小.
①令 f (x) = e2x-2 - x(0 < x <1)，则 f (x) = 2e2x-2 -1，令 f (x) = 0，
3
得 x =1 ln 2 1 ln e 3- < - = ，当 x ,14 ÷时，
f (x) > 0, f (x)单调递增，
2 2 4 è
所以 f (0.81) < f (1) = 0，所以 e-0.38 < 0.81，即 e-0.19 < 0.9，所以 c < a .
c e-0.19 1 1 1
5
1 3 π 2
② = = > 5
e0.19 e0.2
，所以 c > 0.2 ÷ = ，b = sin < sin = ，è e e 4 4 2
5
b5
2 2
< 1 2所以 ÷÷ = ，则 c
5 > > > b5 ，所以c > b .
è 2 8 e 8
综上，b故选：D.
题型五：解指数方程或不等式
【典例 5-1】（多选题）甲、乙两人解关于 x 的方程2x + b ×2- x + c = 0，甲写错了常数 b，得到的根为 x = -2
或 x = log
17
2 ，乙写错了常数 c，得到的根为 x = 0或 x =1，则下列是原方程的根的是（4 ）
A． x=-1 B． x =1 C． x = 0 D． x = 2
【答案】AD
【解析】令 t = 2x ，
b
则方程可化为： t + + c = 0，即 t 2t + ct + b = 0
，
1 17
则甲写错了常数 b，得到的根为 t = 或 t = ，
4 4
17 1 9
由两根之和得： c = - + ÷ = -
è 4 4 2
乙写错了常数 c，得到的根为 t = 20 =1或 t = 2，
由两根之积得：b = 2 ，
2 9
所以方程为 t - t + 2 = 0，
2
1
解得： t = 或 t = 4
2
2x 1即 = 或 2x2 = 4
，
解得： x=-1或 x = 2 .
故选：AD
【典例 5-2】（2024·河北邯郸·一模）不等式10x - 6x - 3x 1的解集为 .
【答案】 1, +
1 x 6 xx x x 3
x
10 - 6 - 3 1 + + 【解析】由 ，可得 ÷ ÷ ÷ 1 .
è10 è10 è10
1 x 6 x 3 xf x = + + 令 10 ÷ 10 ÷ ÷ ，è è è10
x x x
因为 y = 1 , y = 6 , y = 3 ÷ ÷ ÷ 均为R 上单调递减函数
è10 è10 è10
则 f x 在R 上单调递减，且 f 1 =1，
\ f x f 1 ，
\ x 1
故不等式10x - 6x - 3x 1的解集为 1, + .
故答案为： 1, + .
【方法技巧】
利用指数的运算性质解题.对于形如 a f ( x) = b， a f ( x) > b， a f ( x) < b 的形式常用“化同底”转化，再利用
指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如 a2x + Ba x + C = 0或 a2x + Ba x + C…0( 0) 的形式，可借
助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
【变式 5-1】不等式9x - 4 3x+1 + 27 0的解集为 ．
【答案】[1,2]
【解析】不等式9x
2
- 4 3x+1 + 27 0，可化为 3x -12 3x + 27 0，
即 3x - 3 3x - 9 0 ，
解得3 3x 9，
所以1 x 2，
所以不等式9x - 4 3x+1 + 27 0的解集为[1,2]．
故答案为：[1,2]．
1
- +1
x
【变式 5-2】若x 、x 为方程 a x 1 1 2 = ÷ a >1 的两个实数解，则 x1 + x2 = ．
è a
【答案】-1
1
- +1 1
a > 1 x 1 x -1 1【解析】因为 ，且 a = ÷ = a x ，所以， x = -1，即x x
2 + x -1 = 0，
è a
D =1+ 4 = 5 > 0，
由题意可知，x 、x 为方程 x21 2 + x -1 = 0的两根，由韦达定理可得 x1 + x2 = -1 .
故答案为：-1.
9x1 + 9x2
【变式 5-3】已知 x 和 x 是方程9x x+21 2 - 3 + 3 = 0的两根，则 = .x1 + x2
【答案】 75
x 2【解析】方程可化为 3 - 9 ×3x + 3 = 0，由韦达定理得3x1 + 3x2 = 9，3x1 ×3x2 = 3，
所以3x1 +x2 = 3，得 x1 + x2 =1.
2
又9x1 + 9x2 = 3x1 + 3x2 - 2 ×3x1 ×3x2 = 81- 6 = 75，
9x1 + 9x2
所以 = 75 .
x1 + x2
故答案为： 75
题型六：指数函数的最值与值域问题
3
【典例 6-1】（2024 x - x·高三·云南楚雄·期末）已知奇函数 f x = a + b ×a 在 -1,1 上的最大值为 ，则
2
a = ．
1
【答案】2 或 2
【解析】因为 f x 是奇函数，所以 f -x + f x = b +1 a x + a- x = 0，
解得b = -1，即 f x = a x - a- x ．
a > 1 f x = a x - a- x当 时，函数 在 -1,1 上单调递增，则 f 1 3= a - a-1 = ，解得 a = 2．
2
3 1
当 0 < a < 1 x - x -1时，函数 f x = a - a 在 -1,1 上单调递减，则 f -1 = a - a = ，解得 a = ．
2 2
2 1故答案为： 或 2
x - x
【典例 6-2】（2024·高三·江苏镇江·开学考试）设函数 f x = 2 + p -1 ×2 是定义域为 R 的偶函数.
(1)求 p 的值；
(2)若 g x = f 2x - 2k × 2x - 2- x 在 1, + 上最小值为-4，求 k 的值.
【解析】（1）函数 f (x) = 2x + ( p -1) × 2- x是定义域为R 的偶函数，
可得 f (-x) = f (x)，即为 2- x + ( p -1) × 2x = 2x + ( p -1) × 2- x ，
化为 (2x - 2- x )( p - 2) = 0，
由 x R ，可得 p - 2 = 0，即 p = 2 ；
（2） g(x) = f (2x) - 2k × (2x - 2- x ) = 4x + 4- x - 2k(2x - 2- x )，
设 t = 2x - 2- x ，由 x 1， t = 2x - 2- x 递增，可得 t
3
，
2
设 h(t) = t2 - 2kt + 2，对称轴为 t = k ，
3
当 k 时， h(t) 3在[ , + ) 3 9递增，可得 h(t)的最小值为 h( ) = - 3k + 2 = -42 2 4 ，2
k 11 3解得 = >4 2 ，舍去；
k 3当 > 时， h(t)在 t = k 处取得最小值，且为 2 - k 2 = -4 ，
2
解得 k = 6(- 6 舍去），
综上可得， k = 6 ；
【方法技巧】
指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决.
ìa x , x 1, 5
【变式 6-1】已知函数 f x = í a > 0，且 a 1，若函数 f x 在[0，2]上的最大值比最小值大 ，
-x + a, x >1, 2
则 a的值为 .
1 7
【答案】 2 或 2
【解析】①当 0 < a < 1时，函数 f x 在[0，1]上是减函数，在（1，2]上也是减函数.
f 0 = a0∵ =1 > -1- a ，∴函数的最大值为 f 0 =1，而 f 2 = -2 + a < a = f 1 ，∴函数 f x 的最小值为
f 2 = -2 + a，
∴-2 + a
5 1
+ =1，解得 a = 0,1 ，符合题意.
2 2
②当 a > 1时，函数 f x 在[0，1]上是增函数，在（1，2]上是减函数.
∵ f 1 = a > -1+ a，
0
∴函数 f x 的最大值为 f 1 = a ，而 f 2 = -2 + a， f 0 = a =1，
当 a 1,3 5时，-2 + a <1，此时函数 f x 的最小值为 f 2 = -2 + a，因此有-2 + a + = a，无解；
2
当 a 3, + 5 7时，-2 + a >1，此时函数 f x 的最小值为 f 0 =1，因此有1+ = a ，解得 a = 3,+ ，
2 2
符合题意.
1 7
综上所述，实数 a的值为 2 或 .2
1 7
故答案为： 2 或 .2
6-2 f x = ax2【变式 】已知函数 - 2x + b a 0 在 x =1处取得最小值 0 .
(1)求 a，b 的值；
f x é1 ù
(2) g x = x，求函数 y = g 2 -1 ， x ê , 2x 2 ú 的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的
x 值.
【解析】（1）因为 f x = ax2 - 2x + b a 0 在 x =1处取得最小值 0，
1
即 =1， f 1 = a + b - 2 = 0，解得 a =1，b =1；
a
2 1 f x = x -1 2 fg x x 1（ ）由（ ）知 ，则 = = x + - 2，
x x
所以 g 2x -1 1= 2x -1+ - 2，2x -1
é1 ù
令 t = 2x -1，∵ x ê , 2ú ，则 t é 2 -1,3ù 2
，
则 g t 1= t + - 2， t é 2 -1,3ùt ，
由对勾函数的性质可得 g t 在 é 2 -1,1ù 上单调递减，在 1,3 上单调递增，
所以 g t = g 1min = 0，此时 t =1即 2x -1 = 1，解得 x =1；
又 g 2 -1 2 1= -1+ - 2 = 2 2 - 2 ， g 3 = 3 1+ - 2 4= > g 2 -1 ，2 -1 3 3
当 t = 3时，即 2x -1 = 3，解得 x = 2，
x
所以当 x = 2时， g 2 -1 4= ，当 x =1 x时， g 2 -1 = 0
max 3 min
题型七：指数函数中的恒成立问题
【典例 7-1】已知函数 f (x) = -x2 + 3x + 5, g(x) = 2x + a ，若"x1 [0,2],$x2 [2,3]，使得 f x1 < g x2 ，则
实数 a 的取值范围是 .
3
【答案】 a > -
4
2
3 29
【解析】当 x [0, 2]时， f (x) = -x2 + 3x + 5 = - x - ÷ + ，
è 2 4
3 29
∴当 x
3
= 时， f (x) = f
2 max ÷
= ，
è 2 4
当 x [2,3]时， g(x) = 2x + a为增函数，
所以 x = 3时， g(x)取得最大值 g(3) = 8 + a，
∵对"x1 [0,2],$x2 [2,3]，使得 f x1 < g x2 ，
∴ f (x)max < g(x)max ，
29 8 a 3∴ < + ，解得 a > - .
4 4
3
故答案为： a > - .
4
3
【典例 7-2】（2024 x - x·高三·河北衡水·开学考试）已知函数 f x = a - k ×a (a > 0)是奇函数，且 f 1 = .2
(1)求 a, k 的值；
(2)若"x 1,2 ，不等式 f 2x + mf x 0恒成立，求m的取值范围.
【解析】（1）Q f x = a x - k ×a- x 是奇函数 f 0 = 0 k =1，
经检验当 k =1时， f x = a x - a- x , f -x = a- x - a x = - f x , f x 是奇函数符合题意，
又 f 1 3 1= = a - a = 2 1或 a = - （舍），
2 a 2
\ f x = 2x - 2- x ；
（2）Q f 2x + mf x 0 22x - 2-2x + m 2x - 2- x 0，
即m 2x - 2- x 2- x + 2x 2- x - 2x ，
x - x x - x
又 x 1,2 , 2 - 2 > 0，故m - 2 + 2 恒成立，
令 t = 2x ，因为 x 1,2 1，故 t 2,4 ，由对勾函数性质可得 g t = - t + ÷在 t 2,4 上单调递减，
è t
g(x) g 2 5 5\ max = = - ,\m - , m
5
\ éê- ,+
2 2 ÷
.
2
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，再利用数形结合的方法来解决．
x x
【变式 7-1】（2024·高三·山东枣庄·开学考试）已知函数 f x = m ×9 - 3 ，若存在非零实数 x0 ，使得
f -x0 = f x0 成立，则实数m的取值范围是 .
1
【答案】 0, ÷
è 2
【解析】因为存在非零实数 x0 ，使得 f -x0 = f x0 成立，
所以m ×9- x - 3- x = m ×9x - 3x x 0 有解，
- x
化简m 9 - 9x = 3- x - 3x x 0 有解，即m 1= x - x x 0 有解.3 +3
因为3x + 3- x 2 3x ×3- x = 2，当且仅当3x = 3- x ，即 x = 0时取等号，
1 1
因为 x 0，所以3x +3- x > 2 ，0 <
3x + 3- x
< ，
2
1
所以0 < m < .
2
故答案为： 0,
1
è 2 ÷
2
【变式 7-2】（2024·高三·陕西商洛·期中）已知函数 f x = ax - 2ax + b a > 0 在区间 0,3 上有最小值
2 和最大值 10．
(1)求 a，b 的值；
f x
(2) x x设 g x = ，若不等式 g 2 + k ×2 0在 x -1,0 上恒成立，求实数 k 的取值范围．
x
【解析】（1） f x = ax2 - 2ax + b的对称轴为 x =1，因为 a > 0，
所以在区间 0,3 上最小值为 f 1 ，最大值为 f 3 ，
ìa - 2a + b = 2, ìa = 2
故 í 解得 í ．
9a - 6a + b =10, b = 4
g x 2x 42 1 = + - 4 x x x x 4（ ）由（ ）可得 ，所以 g 2 + k ×2 0可化为 k ×2 -2 ×2 - x + 4，x 2
2
k 2 4 1 1
1
化为 - - × x ÷ + 4 × t =x ．令 x 则 k -4t
2 + 4t - 2 ，
è 2 2 2
因为 x -1,0 t 1,2 h t = -4t 2，故 ，记 + 4t - 2，
故 h t = h 1 = -2max ，所以实数 k 的取值范围是 -2, + ．
【变式 7-3】已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足：对任意 x, y R 都有 f (x + y) = f (x) + f (y)，且当 x > 0时，
f (x) > 0 ， f (k ×2x ) + f (4x+1 -8x - 2x ) > 0对任意 x [-1,2]恒成立，则实数 k 的取值范围是 .
【答案】 k >1
【解析】对任意 x, y R 都有 f (x + y) = f (x) + f (y)，令 x = y = 0 ，得 f (0) = f (0) + f (0)，即 f (0) = 0，
"x1, x2 R, x1 < x2 ，则 x2 - x1 > 0，有 f (x2 - x1) > 0，
f (x2 ) = f [(x2 - x1) + x1] = f (x2 - x1) + f (x1) > f (x1) ，因此函数 f (x) 在R 上单调递增，
由 f (k ×2x ) + f (4x+1 -8x - 2x ) > 0，得 f (k ×2x + 4x+1 -8x - 2x ) > f (0)，
于是 k ×2x + 4x+1 -8x - 2x > 0，整理得 k > 22x - 4 × 2x +1，
1
依题意， k > 22x - 4 × 2x +1对任意 x -1,2 恒成立，令2x = t ， t [ , 4]，2
函数 g(t) = t 2 - 4t +1，当 t = 4时， g t = g 4 =16 -16 +1 =1max ，从而 k >1，
所以实数 k 的取值范围是 k >1 .
故答案为： k >1
3
【变式 7-4 x - x】已知函数 f x = a + 1- m a a > 0,且a 1 是奇函数，且过点 1， ÷．
è 2
(1)求实数 m 和 a 的值；
(2)设 g x = log é22xt + 2
-2x - tf x ù t > 0, t 1 ，是否存在正实数 t，使关于 x 的不等式 g x 0对
x 2, log2 5 恒成立，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）因为 f x 是定义域为 R 的奇函数，∴ f 0 = 0，∴m = 2 ，检验符合
.∴ f x = a x - a- x ．
又因为 f x 过点 1, 3 f 1 a a-1 3- = - =2 ÷，∴ ，∴ a = 2è 2
（2）由（1）得 f x = 2x - 2- x ， g x = log é22x + 2-2x - t 2x - 2- xt ù t > 0, t 1
因为 x 2, log2 5 x - x k é
15
，令 k = 2 - 2 ，函数单调递增，∴ ê ,
24ù
ú， 4 5
22x + 2-2x
2
= 2x - 2- x + 2 = k 2 + 2，
记 h k = k 2 - tk + 2，∵函数 g x 0在 2, log2 5 上恒成立，
2 é15 24ù
∴（ⅰ）若0 < t <1时，函数 h k = k - tk + 2在 k ê , ú上为增函数， 4 5
所以 g k = logt h k 为减函数，
则需函数 h k k 2 15= - tk + 2 1 1 é，即 t k + 在 k ê ,
24ù
ú恒成立．k 4 5
1 15 25
设 g k = k + ，设 k1 < k2 ，k 4 4
g k1 - g k2 = k
1
1 + - k
1
2 - = k k
1 1
- - - ，
k 1 2 1 k2 è k k
÷
2 1
= k1 - k2 1
1
- = k
k k -1
- k 1 2 ，
è k1k
÷ 1 2 ÷
2 è k1k2
15 25
由 k1 < k2 可知， k1 - k2 < 0， k1k2 -1 > 0 ， k1k2 > 0，4 4
所以 g k1 - g k2 < 0，则 g k1 < g k2 ，
所以函数 g k é15 24ù在区间 ê , 单调递增， 4 5 ú
g k 15= k 1+ 241所以 的最小值为 g
k 4 ÷
= ，
è 60
241
得 t ，故0 < t <1符合题意；
60
ⅱ t > 1 0 < h k = k 2（ ）若 时，则需 - tk + 2 1，
1 15 24
即 t k + 且 t k
2
< + 在 k
é ù
k k ê
, 恒成立，
4 5 ú
1 é15 , 24ù 2 é15 24k + ù在区间 单调递增，同理 k + 在区间 , 也是单调递增，
k ê 4 5 ú k ê 4 5 ú
k 1 24 5 601所以 + 的最大值为 + = ， k
2 15 8 257
+ 的最小值为 + = 。
k 5 24 120 k 4 15 60
601 257
得 t 且t < ，故舍去
120 60
综上所述：故存在正数 t 0,1 ，使函数 g x 0在 2, log2 5 上恒成立.
题型八：指数函数的综合问题
ì-x2 - 6x - 5, x < 0,
8-1 f x = í 1 x 2【典例 】已知函数 若关于 x 的方程 é f x ù + 2a -1 f x + a2 - a = 0有 5 个不
÷ -1 , x 0,
è 2
同的实数根，则 a的取值范围为 .
【答案】 -1,1
【解析】由题意得 é f x + a -1 ù é f x + a ù = 0 ，即 f x =1- a 或 f x = -a，
f x 的图象如图所示，
2
关于 x 的方程 é f x ù + 2a -1 f x + a2 - a = 0有 5 个不同的实数根，
ì-5 < -a < 0 ì0 -a <1
则 í -1 < a 1
0 1- a 1
或 í1 1 a 4，解得 ，< - <
故答案为： -1,1
2x + b 2
【典例 8-2】若函数 f (x) = x (a,b R)是定义在R 上的奇函数，且 f mx + f (1- mx) > f (0)对任意2 + a
x R 恒成立，则m的取值范围为 ．
【答案】[0, 4)
2x + b
【解析】因为函数 f (x) = x (a,b R)是定义在R 上的奇函数，2 + a
0 x
所以 f (0) 2 + b 0 b = -1 2 -1= 0 = ，解得 ，所以 f (x) =2 + a 2x
，
+ a
f (-x) + f (x) = 0 2
- x -1 2x -1
又因为 ，所以 - x + = 0 ，2 + a 2x + a
即1+ a ×2x = 2x + a 对任意 x R 恒成立，所以 a =1，
x
所以 f (x) 2 -1= x =1
2
- x ,易得到 f (x) 在R 上单调递增，2 +1 2 +1
由 f mx2 + f (1- mx) > f (0)，得 f mx2 + f (1- mx) > 0，
即 f mx2 > - f (1- mx)，
因为 f (x) 是定义在R 上的奇函数，所以 f mx2 > f (mx -1)，
因为 f (x) 在R 上单调递增，所以mx2 > mx -1，
即mx2 - mx +1 > 0对任意 x R 恒成立，
若m = 0，则0 × x2 - 0 × x +1 > 0，此时对任意 x R 恒成立；
ìm > 0
若m 0 ，则 í 0 < m < 4
Δ
，解得 ，
= m2 - 4m < 0
综上：m的取值范围为[0, 4)．
故答案为：[0, 4) .
【方法技巧】
指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指
数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
x - x 1- e2
【变式 8-1】已知函数 f x = e - e ，则不等式 f f x > 的解集为 .
e
5 -1
【答案】 ln ,+ 2 ÷÷è
x - x
【解析】由于 f x = e - e ，显然在定义域上 f x 为增函数，
f f x 1- e
2 1
由 > = - e = f -1 ， f x > -1，
e e
则ex
5 -1
-e- x > -1， e2x + ex -1 > 0且 ex > 0，可得 ex > ，
2
x ln 5 -1
5 -1
所以 > ，故不等式的解集为 ln ,+ ÷÷ .2 è 2
5 -1
故答案为： ln ,+ 2 ÷÷
.
è
【变式 8-2】（2024 x+1 -x·高三·湖北·期中）已知 f x = a - 2a 是定义域为R 的奇函数.
(1) g x = a2x -2x函数 + a - 2 f x ， x 0,2 ，求 g x 的最小值.
(2)是否存在l > 0，使得 f 2x l f x 对 x -2, -1 恒成立，若存在，求l 的取值范围；若不存在，说明
理由.
【解析】（1）由 f x 为R 上的奇函数，知 f 0 = a - 2 = 0，得 a = 2；
f x = 2x+1 -x x -x代入函数得： - 2 × 2 = 2 2 - 2 ，
由于 f -x = 2 2- x - 2x = - f x ，故 a = 2时， f x 为奇函数，满足条件，
2 2
g x = 2 2 x + 2 -2 x - 2 2 x +1 - 2 × 2 - x = 2 x + 2 - x - 4 2 x - 2 - x
x - x 2= 2 - 2 - 4 2 x - 2- x + 2 ，
令 t = 2x - 2- x ，易知 t = 2x - 2- x 在 x 0,2 上单调递增，
故当 x = 0时， t 取得最小值， tmin = 1-1 = 0 ，
当 x = 2时， t t 4
1 15
取得最大值， max = - = .∴ t
é
ê0,
15ù
4 4 ， 4 ú
则上式转化为 h t = t 2 - 4t + 2 = t - 2 2 - 2，
∴ t = 2时， g x = -2min ，此时 x = log2 1+ 2 ；
2 f x = 2 2x - 2- x f 2x = 2 22x - 2-2x（ ） ， ，
2 22x - 2-2x 2l 2x - 2- x代入不等式得 ，
x -x
即得： 2 2 + 2 2x - 2-x 2l 2x - 2-x ，
∵ x -2, -1 时， 2x - 2- x < 0，
∴l 2 x + 2- x ，
又Q2x
1 1
é ùê , 4 2ú
，
\ 2x 1当 = ，即 x=- 1时，
2 2
x + 2- x 取得最小值，
2 x + 2- x而 5= 2 ，min
∴ 0 < l
5
.
2
【变式 8-3】我们知道，函数 y = f x 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y = f x 为
奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 y = f x 的图象关于点 P a,b 成中心对称图形的充要条件是函
数 y = f x + a - b为奇函数．根据这一结论，解决下列问题．
已知函数 f x 2= ．
1+ 21-x
(1)证明：函数 f x 的图象关于点 1,1 对称；
(2)若 f a2 + f 2a -1 > 2，求实数 a的取值范围．
2
【解析】（1）由题意 f x = 1-x ，令 g x = f x
2
+1 -1 = - x -1，1+ 2 1+ 2
显然函数 g x 的定义域为全体实数，它关于原点对称，
g x g x 2 2 2
x+1 2
且 + - =
è1+ 2- x
-1÷ + x -1÷ = x + x - 2 = 0， è1+ 2 2 +1 1+ 2
2
所以函数 g x = - x -1是奇函数，1+ 2
所以函数 f x 的图象关于点 1,1 对称.
（2 2）由题意 f a + f 2a -1 > 2 g a2 -1 = f a2 -1 >1- f 2a -1 = -g 2a - 2 = g 2 - 2a ，
而由复合函数单调性可知 g x 2= - x -1单调递增，1+ 2
2
所以 g a -1 > g 2 - 2a 当且仅当 a2 -1 > 2 - 2a ，即a2 + 2a - 3 > 0，
解得 a < -3或 a > 1，所以实数 a的取值范围为 - , -3 1,+ .
f (x) 1 a -1【变式 8-4】（2024·河南平顶山·模拟预测）已知函数 = - (a > 0且 a 1）为定义在 R 上的奇
a x +1
函数
(1)利用单调性的定义证明：函数 f (x) 在 R 上单调递增；
(2)若关于 x 的不等式 f (mx2 -1) + f (2 - mx) > 0恒成立，求实数 m 的取值范围；
(3)若函数 g(x) = kf (x) - 3x 有且仅有两个零点，求实数 k 的取值范围．
a -1
【解析】（1）证明：由函数 f x 为奇函数，有 f 0 =1- = 0，解得 a = 3，
2
2 x 2 3x +1 - 2
当 a = 3时， f x =1 2- ， f -x =1- 1 =1
2 3 1 2- x = - = -1+ =
3x +1 +1 3 +1 3
x +1 3x +1 - f -x ，符合
3x
函数 f x 为奇函数，可知 a = 3符合题意．
x x f x f x 1 2 2 设 2 > 1 ，有 2 - 1 = - x ÷ - 1-è 3 2 +1 è 3x1 +1÷
2 2 2 3x2 - 3x1
= - =
3x ，1 +1 3x2 +1 3x1 +1 3x2 +1
由 x2 > x ，有3x21 > 3x1 ，有 f x2 > f x1 ，故函数 f x 在R 上单调递增；
（2）由 f mx2 -1 + f 2 - mx > 0 f mx2 -1 > - f 2 - mx
f mx2 -1 > f mx - 2
mx2 -1 > mx - 2 mx2 - mx +1 > 0．
（1）当m = 0时，不等式为1 > 0恒成立，符合题意；
（2）当m > 0时，有Δ = m2 - 4m < 0 ，解得0 < m < 4，
由上知实数m的取值范围为 0,4 ；
g x = k 2 x（3）由 1- x ÷ - 3 ，方程 g x = 0 2x可化为3 + 1- k 3x + k = 0，è 3 +1
2
若函数 g x 有且仅有两个零点，相当于方程 x + 1- k x + k = 0有两个不相等的正根，
ìx1 + x2 = k -1 > 0 k >1
故有 íx
ì
1x2 = k > 0 ，即 ík 2 - 6k +1 > 0 解得 k > 3+ 2 2 ． 2
Δ = 1- k - 4k > 0
故实数 k 的取值范围为 3+ 2 2,+ ．
【变式 8-5】已知函数 y = f (x) 的表达式为 f (x) = 9x - 2a ×3x + 3 .
(1)若 a =1, x [0,1]，求函数 y = f (x) 的值域；
(2)当 x [-1,1]时，求函数 y = f (x) 的最小值 h(a) ；
(3)对于（2）中的函数 h(a) ，是否存在实数m, n，同时满足下列两个条件：（i） n > m > 3；（ii）当 h(a) 的
定义域为[m, n] 2，其值域为 é m ,n
2 ù ；若存在，求出m, n的值；若不存在，请说明理由.
x x x 2【解析】（1）当 a =1时，由 y = 9 - 2 3 + 3，得 y = 3 -1 + 2，
因为 x 0,1 x，所以3 1,3 ， y 2,6 ，
所以函数 y = f (x) 的值域为 2,6 .
（2）令3x x 1,1 t é1 ù= t ，因为 - ，故 ê ,3ú ，函数 f x 可转化为 3
g t = t 2 - 2at + 3 = t - a 2 + 3 - a2 ，
a 1①当 < 时， h a = g 1 28 2a ÷ = - ；3 è 3 9 3
1 2
②当 a 3时， h a = g a = 3 - a ；
3
③当 a > 3时， h a = g 3 =12 - 6a ．
ì28 2a 1
- ,a <
9 3 3
h a = 2 1综上所述， í3 - a , a 3 .
3
12 - 6a,a > 3
（3）假设满足题意的m，n存在，
因为 n > m > 3， h a =12 - 6a ，
所以 y = h a 在上 3, + 是严格减函数，
所以 y = h a 在 m, n 上的值域为 é h n , h m ù ，
ì
2 2 h n = m
2 ì12 - 6n = m2
又 y = h a 在 m, n 上的值域为 é m ,n ù ，所以 íh m = n2 ，即 í 2 ， 12 - 6m = n
两式相减，得6 m - n = m2 - n2 = m + n m - n ，
因为 n > m > 3，所以m + n = 6，
而由 n > m > 3，可得m + n > 6，与m + n = 6矛盾．
所以，不存在满足条件的实数m，n．
2
1．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 f x = e-( x-1) ．记
2 a = f ÷ ,b = f
3 ,c f 6 =2 2 ÷ ÷
，则（ ）
è è è 2
A．b > c > a B．b > a > c C． c > b > a D． c > a > b
【答案】A
【解析】令 g(x) = -(x -1)2，则 g(x)开口向下，对称轴为 x =1，
6 3 1 6 + 3 4因为 - - 2 2
2
1-
2 ÷÷
= - ，而
2 2 ( 6 + 3) - 4 = 9 + 6 2 -16 = 6 2 - 7 > 0，è
6 3 6 + 3 4
所以 -1-
2
1-
2 ÷
6 3
÷ = - > 0，即2 2 -1 >1-è 2 2
6
由二次函数性质知 g( ) 3< g( )，
2 2
6 1 1 2
6 + 2 4
因为 - - -
2 2 ÷÷
= - ，而 ( 6 + 2)2 - 422 2 = 8 + 4 3 -16 = 4 3 -8 = 4( 3 - 2) < 0
，
è
6 1 1 2 6 2即 - < - ，所以 g( ) > g( )，
2 2 2 2
2 6 3
综上， g( ) < g( ) < g( )，
2 2 2
又 y = ex 为增函数，故 a < c < b，即b > c > a .
故选：A.
x
2．（2023 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 f (x) xe= ax 是偶函数，则a = （ ）e -1
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】D
xex x - x x éex - e a-1 xf x = xe -x e
ù
【解析】因为 ax 为偶函数，则e -1 f x - f -x =
，
eax
- = = 0
-1 e-ax -1 eax -1
又因为 x 不恒为 0，可得 ex - e a-1 x = 0，即 ex = e a-1 x ，
则 x = a -1 x，即1 = a -1，解得 a = 2 .
故选：D.
3．（2023 年天津高考数学真题）设a = 1.010.5,b = 1.010.6 ,c = 0.60.5，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c < b < a D． c < a < b
【答案】D
【解析】由 y =1.01x在 R 上递增，则 a =1.010.5 < b =1.010.6，
由 y = x0.5 在[0, + ) 上递增，则 a =1.010.5 > c = 0.60.5 .
所以b > a > c .
故选：D
n
1．（1）当 n= 1，2，3，10，100，1000，10000，100000 …… 1 1+ ， 时，用计算工具计算 ÷ n N * 的值；
è n
n n
（2 ）当 n 越来越大时， 1
1 1+ ÷ 的底数越来越小，而指数越来越大，那么 1+n ÷
是否也会越来越大？有
è è n
没有最大值？
1 1 2 3 31 1+ 【解析】（ ） ÷ = 2; 1
1 9 1 4
+ ÷ = = 2.25;
1 2 4
1+ ÷ = ÷ 2.3704；
è è è 3 è 3
1 10 100 1+ =1.110 25937; 1 1+ =1.01100 2.7048；
è 10 ÷ ÷ è 100
1000
1
1
+ 100÷ =1.001 2.7169；
è 1000
1 10000
1+
÷ =1.0001
10000 2.7181；
è 10000
1 100000
1+
=1.00001100000 2.7183 .
è 100000 ÷
1 n
（2）由（1）知，当 n 越来越大时， 1+ ÷÷ 的值也会越来越大，但没有最大值.
è n
1 1
2．从盛有1L纯酒精的容器中倒出 L ，然后用水填满；再倒出 L ，又用水填满……
3 3
（1）连续进行 5 次，容器中的纯酒精还剩下多少？
（2）连续进行 n 次，容器中的纯酒精还剩下多少？
2 2
【解析】（1）倒出 1 次后还剩 L，加满水后浓度为
3 3
.
2 2 2 2
2 2
倒出 次后还剩 = ÷ (L)
2
，加满水后浓度为 .
3 3 è 3 è 3 ÷
3 2
2
2 2
3 3
2
倒出 次后逐剩 ÷ = (L)，加满水后浓度为 .
è 3 3 è 3 ÷ 3 ÷ è
3 4 4
4 2 2 2 2 倒出 次后还剩 ÷ = ÷ (L)，加满水后浓度为 ÷ .
è 3 3 è 3 è 3
4 5
倒出 5 2 2 2 32次后还剩 ÷ = ÷ = (L) .
è 3 3 è 3 243
n
（2 2 ）由（1）知，连续进行了 n 次，容器中的纯酒精还剩下 ÷ L .
è 3
3m-2n
3．（1）已知10m = 2,10n = 3，求10 2 的值；
a3x2 2x + a
-3x
（ ）已知 a = 3，求
a x - x
的值.
+ a
3m 3 3 2 2
【解析】（1）原式=10 2 10n = 10m 2 3 = 22 3 = ；3
a x + a- x a2x - a xa- x + a-2x2 （ ）原式=
a x + a- x
= a2x -1+ a-2x
= 3 1 1 7- + = .
3 3
|x|
4 f x 1= a ．已知函数 ÷ + b的图象过原点，且无限接近直线 y = 2但又不与该直线相交.
è 2
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
【解析】（1）由题意知， a + b = 0,b = 2 ，\a = -2，
|x|
\ f x = -2 1 ÷ + 2，
è 2
ì x
-2
1
+ 2, x 0
è 2
÷
∴ f x =
í
1 - x
，图象如图：
-2
÷ + 2, x < 0
è 2
1 |x|
（2）∵ f (x) = -2 ÷ + 2，
è 2
- x x
∴ f ( 1 1-x) = -2 + 2 = -2 ÷ ÷ + 2 = f (x) ，
è 2 è 2
\ f (x)为偶函数，
ì x
-2 1 2 ÷
+ 2, x 0
f x = è 又 í - x ，
-2 1 2 ÷
+ 2, x < 0
è
∴ f (x) 在 (- ,0]上为减函数，在[0, + ) 上为增函数．
x
5．已知 f(x)=ax，g(x)= 1 ÷ (a>0，且 a≠1).
è a
（1）讨论函数 f(x)和 g(x)的单调性；
（2）如果 f(x)【解析】（1）当 a>1 时，f (x)=ax 是 R 上的增函数，
x
由于 0< 1a <1，所以 g(x)=
1
÷ 是 R 上的减函数；
è a
当 01 x
由于 a >1 g(x)=
1
，所以 ÷ 是 R 上的增函数；
è a
1 x
（2） f (x) < g(x) a x < a x 2 <1 a x 0 a ÷ <1 = a ，è
当 a>1 时，x<0；当 00.
∴当 a>1 时，x 的取值范围是 (- ,0)；
当 06．按从小到大的顺序，可将 2 3 ,3 2 ,p 5 , 2p 重新排列为 （可用计算工具）.
【答案】 2 3 < 3 2 < 2p < p 5
【解析】利用计算器算出每个指数幂的值，即可进行比较.利用计算器
2 3 = 3.32,3 2 = 4.73,p 5 =12.93,2p = 8.82，
所以 2 3 < 3 2 < 2p < p 5 .
故答案为： 2 3 < 3 2 < 2p < p 5
答题模板 1：指数型复合函数的值域问题
1、模板解决思路
求解复合函数的值域问题，关键要确定函数是由哪些函数复合而成.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数．
第二步：由自变量的范围求内层函数的值域．
第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域．
1
x x- 2
【典例 1 f x = 1+ a ×3 + 9 0, + 】若函数 的值域为 ，则 a 的取值范围是 .
ù
【答案】 - ,
2 3
-
3 úè
1
【解析】若 a 0，则 x x-1+ a ×3 + 9 2 >1，不满足题意；
x 1- 1 1 3a 2 3a2
若 a<0，则1+ a ×3x + 9 2 =1+ a ×3x + 32x = x 3 + ÷ - +1，3 3 è 2 4
3a2
- +1 0 a 2 3当 ，即 - 时， f x 的值域为 0, + ，满足题意.
4 3
2 3 ù
故答案为： - ,- ú .
è 3
y (12 = )x
2 +2x+3
【典例 】函数 的值域是 .
4
【答案】 (0,
1 ]
16
1
【解析】依题意， x2 + 2x + 3 = (x +1)2 + 2 2 x，当且仅当 x=-1时取等号，而函数 y = ( ) 在 R 上单调
4
递减，
1 x2 +2x+3 1 2 1
因此0 < ( ) ( ) = ，
4 4 16
2
y 1= ( )x +2x+3 1所以函数 的值域是 (0, ] .
4 16
故答案为： (0,
1 ]
16
答题模板 2：指数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
【典例 3】函数 f x = 2ax2 -2x-1在区间 1, + 上单调递减，则 a 的取值范围是 ．
【答案】 a 0
2
【解析】函数 f x = 2ax -2x-1 由 y = 2t 和 t x = ax2 - 2x -1复合而成，
2
由于 y = 2t 是单调递增，函数 f x = 2ax -2x-1 在区间 1, + 上单调递减，
2
所以 t x = ax - 2x -1在区间 1, + 上单调递减.
当 a > 0时，不符合题意；
当 a = 0时， t x = -2x -1单调递减，满足题意；
1
当 a<0时， t x = ax2 - 2x -1开口向下，对称轴为 x = ，
a
1
故需要满足 1，显然成立，满足题意，
a
综上： a 0 .
故答案为： a 0 .
2
1 - x +4x+5
【典例 4】函数 f x = ÷ 的单调递减区间为 ．
è 2
【答案】 - , 2
- x21 +4x+5
【解析】函数 f x = 2 ÷
的定义域为R ，
è
又二次函数 t = -x2 + 4x + 5，开口向下，对称轴为 x = 2，
所以 t = -x2 + 4x + 5在 - , 2 上单调递增，在 2, + 上单调递减，
t
y = 1 又 ÷ 在定义域上单调递减，
è 2
- x21 +4x+5
所以 f x = ÷ 的单调递增区间为 - , 2 .
è 2
故答案为： - , 2 第 04 讲 指数与指数函数
目录
01 考情透视·目标导航 .........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航 .........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究 .........................................................................................................................4
知识点 1：指数及指数运算 ........................................................................................................................................4
知识点 2：指数函数 ....................................................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................5
题型一：指数幂的运算 ...............................................................................................................................................6
题型二：指数函数的图象及应用 ...............................................................................................................................6
题型三：指数函数过定点问题 ...................................................................................................................................8
题型四：比较指数式的大小 .......................................................................................................................................8
题型五：解指数方程或不等式 ...................................................................................................................................9
题型六：指数函数的最值与值域问题 .......................................................................................................................9
题型七：指数函数中的恒成立问题 .........................................................................................................................10
题型八：指数函数的综合问题 .................................................................................................................................12
04 真题练习·命题洞见 .......................................................................................................................13
05 课本典例·高考素材 .......................................................................................................................14
06 易错分析·答题模板 .......................................................................................................................15
答题模板 1：指数型复合函数的值域问题 ..............................................................................................................15
答题模板 2：指数型复合函数的单调问题 ..............................................................................................................16
考点要求 考题统计 考情分析
从近五年的高考情况来看，指数运算
2023 年新高考 I 卷第 4 题，5 分 与指数函数是高考的一个重点也是一个基
2023 年乙卷第 4 题，5 分 本点，常与幂函数、二次函数 、对数函
（1）指数幂的运算性质
2022 年甲卷第 12 题，5 分 数、三角函数综合，考查数值大小的比较
（2）指数函数的图像与性质
2020 年新高考 II 卷第 11 题，5 和函数方程问题.在利用指数函数的图像与
分 性质应用上，体现了逻辑推理与数学运算
素养.
复习目标：
（1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.
（2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
（3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．
知识点 1：指数及指数运算
(1)根式的定义：
一般地，如果 xn = a ，那么 x 叫做 a的 n次方根，其中 (n > 1， n N * ) ，记为 n a ， n称为根指数， a
称为根底数．
(2)根式的性质：
当 n为奇数时，正数的 n次方根是一个正数，负数的 n次方根是一个负数.
当 n为偶数时，正数的 n次方根有两个，它们互为相反数.
(3)指数的概念：指数是幂运算 an (a 0) 中的一个参数， a为底数， n为指数，指数位于底数的右上角，
幂运算表示指数个底数相乘.
(4)有理数指数幂的分类
n个
①正整数指数幂 64748 0an = a ×a a L a (n ；②零指数幂 ；× × × N*) a = 1 (a 0)
1
③负整数指数幂 a-n = (a 0 ， n N*)；④ 0 的正分数指数幂等于 0 ， 0 的负分数指数幂没有意义．
an
(5)有理数指数幂的性质
① aman = am+n (a > 0，m ， n Q)；② (am )n = am n (a > 0 ，m ， n Q)；
③ (ab)m = ambm
m
(a > 0 ，b > 0 ，m Q) ；④ n am = a n (a > 0，m ， n Q)．
【诊断自测】化简下列各式：
2
é 1 -2.5
1
ù 3
（ ） ê 0.0645 ÷ ú 3
3
- 3 - π0 =
êè ú 8
a3b2 3 ab2
（2） 1 1
4
1 1- （ a > 0,b > 0 =
a 4b2 ÷ a 3b3
è
1 1
（3 设 -x 2 + x 2 = 3，则 x + x
-1的值为
知识点 2：指数函数
y = a x
0 < a <1 a >1
图 y y
象 a (1,a)
1 (1,a) 1
a
O 1 x O 1 x
性 ①定义域 R ，值域 (0，+ )
质 ② a0 =1，即时 x = 0 ， y =1，图象都经过 (0，1) 点
③ a x = a ，即 x =1时， y 等于底数 a
④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数
⑤ x < 0时 ， a x >1； x > 0 时 ， x < 0时， 0 < a x <1； x > 0 时， a x >1
0 < a x <1
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
【诊断自测】若指数函数 f (x) = a x (a > 0且 a 1)在[-1,1]上的最大值为 2，则a = .
解题方法总结
1、指数函数常用技巧
(1)当底数大小不定时，必须分“ a >1”和“ 0 < a <1”两种情形讨论．
(2)当 0 < a <1时， x + ， y 0 ； a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度越快．
当 a >1时 x + ， y 0 ； a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增速度越快．
(3)指数函数 y = a x 与 y = (
1)x 的图象关于 y 轴对称．
a
题型一：指数幂的运算
x 1 2
【典例 1-1】已知 2 = a （ a 0 a
x
且 ），则 4 2 = ．（结果用 a表示）x + x +1 2 x + x +1
0.5 2
3
【典例 1-2】（1） 5
4 + 0.1 -2 + 2 10 ÷ ÷ -100π0 ；
è 9 è 27
1 1
2 2
（2）已知 x + y =11， xy = 9，求 x + y 的值.
x2 + y2
【方法技巧】
（1）灵活运用指数的运算性质进行指数运算，根式形式需要化为分数指数幂形式去求解.
（2）运算的最终结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有负指数又有分母．
【变式 1-1】（多选题）已知 a + a-1 = 3，下列结论正确的是（ ）
A． a2 + a-2 = 7 B． a3 + a-3 =18
1 1 1
C． -a 2 + a 2 = ± 5 D． a a + = 2 5a a
【变式 1-2】已知函数 f x 1= x x R .4 + 2
(1)求证 f x + f 1- x 为定值；
(2)若数列 an
n
的通项公式为 an = f
÷（m为正整数， n = 1， 2，L，m），求数列 an 的前m项和 Sm m ；è
题型二：指数函数的图象及应用
1
【典例 2-1】已知 a > 0且 a 1 x，则函数 y = loga x +1 与 y = ( ) +1在同一直角坐标系中的图象大致是a
（ ）
A． B．
C． D．
|x|
【典例 2-2 2024 1 】（ ·黑龙江·二模）已知函数 y = a ÷ + b的图象经过原点，且无限接近直线 y = 2，但
è 2
又不与该直线相交，则 ab =（ ）
A．-1 B．-2 C．-4 D．-9
【方法技巧】
对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等
x
变换得到，当 a >1时，指数函数 y = a 的图像呈上升趋势；当0 < a <1时，指数函数 y = a x 的图像呈下
降趋势.
x
【变式 2-1】已知 x1, x2 是方程 2 + x =10，log2x + x =10的两个根，则 x1 + x2 = .
1
x+a
【变式 2-2】（2024·高三·山西·期末）已知函数 f (x) = ÷ + b 的图象经过坐标原点，且当 x 趋向于
è 2
正无穷大时， f (x) 的图象无限接近于直线 y = 2，但又不与该直线相交，则a = .
【变式 2-3】直线 y = 3a y = a x+1与函数 -1 (a > 0且 a 1)的图像有两个公共点，则 a的取值范围是 .
1
x
【变式 2-4】设方程 ÷ + x - 5 = 0的解为x ，x ，方程
log 1 x + x - 5 = 0
1 2 的解为 x2 3
， x4，则
è 2
x1 + x2 + x3 + x4 = ．
题型三：指数函数过定点问题
【典例 3-1】（2024·高三·河北·期末）已知函数 y = a x-2 + 3(a > 0，且 a 1)的图象恒过定点A ，若点A 在
直线mx + ny = 2上，其中m > 0, n > 0
2 1
，则 + 的最小值为 .
m 3n
3-2 f x = a x+1【典例 】函数 + 2（ a > 0且 a 1）的图象恒过定点 m, n ，则m + n等于 .
【方法技巧】
y = a x+m + n 恒过定点 (-m, n +1) ．
【变式 3-1】已知函数 y = 2a x-2 - 3（ a > 0且 a 1）的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标为 .
【变式 3-2】（2024·山东济宁·一模）已知函数 y = a x-1(a > 0 且 a 1)的图象过定点 A，且点 A 在直线
mx + 2ny = 8 m > 0, n > 0 8 3上，则 - 的最小值是 .
mn 2m
【变式 3-3】函数 y = a2x-1 - 2(a > 0且a 1)，无论 a取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 .
题型四：比较指数式的大小
1
【典例 4-1】（2024·云南·二模）若a = 2p -2 ,b = 6-1,c = 23 ，则（ ）
A．b > a > c B． c > a > b C． a > b > c D． a > c > b
【典例 4-2】（2024·河南·模拟预测）若 a,b R ，则“ a > b ”是“3a - 3b > 2b - 2a ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【方法技巧】
比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
1 2
-
【变式 4-1】（2024 2·辽宁·一模）设 a = ，b = 2 - e3，c =1- e 3 则（ ）
3
A． a < b < c B． c < b < a
C．b < c < a D． a < c < b
【变式 4-2】已知9a = 8，m =10a - 9 ， n = 8a - 7，则（ ）
A．m > 0 > n B．m > n > 0 C． n > m > 0 D． n > 0 > m
3
4-3 2024 a = 0.9,b = sin ,c = e-0.19【变式 】（ ·陕西·模拟预测）设 ，则（ ）
4
A． a < b < c B．b < a < c C． c题型五：解指数方程或不等式
【典例 5-1】（多选题）甲、乙两人解关于 x 的方程2x + b ×2- x + c = 0，甲写错了常数 b，得到的根为 x = -2
17
或 x = log2 ，乙写错了常数 c，得到的根为 x = 0或 x =1，则下列是原方程的根的是（4 ）
A． x=-1 B． x =1 C． x = 0 D． x = 2
【典例 5-2】（2024·河北邯郸·一模）不等式10x - 6x - 3x 1的解集为 .
【方法技巧】
利用指数的运算性质解题.对于形如 a f ( x) = b， a f ( x) > b， a f ( x) < b 的形式常用“化同底”转化，再利用
指数函数单调性解决；或用“取对数”的方法求解.形如 a2x + Ba x + C = 0或 a2x + Ba x + C…0( 0) 的形式，可借
助换元法转化二次方程或二次不等式求解.
【变式 5-1】不等式9x - 4 3x+1 + 27 0的解集为 ．
1
- +1
【变式 5-2 x】若x x 1 1、x2为方程 a = a >1 的两个实数解，则 x1 + x2 = ．
è a ÷
9x1 + 9x2
【变式 5-3】已知 x 和 x 是方程9x - 3x+21 2 + 3 = 0的两根，则 = .x1 + x2
题型六：指数函数的最值与值域问题
【典例 6-1】（2024·高三·云南楚雄·期末）已知奇函数 f x = a x + b ×a- x 在 -1,1 3上的最大值为 ，则
2
a = ．
6-2 2024 f x = 2x【典例 】（ ·高三·江苏镇江·开学考试）设函数 + p -1 ×2- x 是定义域为 R 的偶函数.
(1)求 p 的值；
(2)若 g x = f 2x - 2k × 2x - 2- x 在 1, + 上最小值为-4，求 k 的值.
【方法技巧】
指数函数的最值与值域问题通常利用指数函数的单调性解决.
ìa
x , x 1,
f x = a 0 f x 5【变式 6-1】已知函数 í > ，且 a 1，若函数 在[0，2]上的最大值比最小值大 ，
-x + a, x >1, 2
则 a的值为 .
【变式 6-2 2】已知函数 f x = ax - 2x + b a 0 在 x =1处取得最小值 0 .
(1)求 a，b 的值；
1
(2) g fx x = x，求函数 y = g 2 -1 x é ù， ê , 2ú 的最小值与最大值及取得最小值与最大值时对应的 x 值.x 2
题型七：指数函数中的恒成立问题
【典例 7-1】已知函数 f (x) = -x2 + 3x + 5, g(x) = 2x + a ，若"x1 [0,2],$x2 [2,3]，使得 f x1 < g x2 ，则
实数 a 的取值范围是 .
【典例 7-2】（2024 x·高三·河北衡水·开学考试）已知函数 f x = a - k ×a- x (a > 0) 3是奇函数，且 f 1 = .2
(1)求 a, k 的值；
(2)若"x 1,2 ，不等式 f 2x + mf x 0恒成立，求m的取值范围.
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，再利用数形结合的方法来解决．
【变式 7-1 x x】（2024·高三·山东枣庄·开学考试）已知函数 f x = m ×9 - 3 ，若存在非零实数 x0 ，使得
f -x0 = f x0 成立，则实数m的取值范围是 .
【变式 7-2】（2024 2·高三·陕西商洛·期中）已知函数 f x = ax - 2ax + b a > 0 在区间 0,3 上有最小值
2 和最大值 10．
(1)求 a，b 的值；
f x(2)设 g x = x x，若不等式 g 2 + k ×2 0在 x -1,0 上恒成立，求实数 k 的取值范围．
x
【变式 7-3】已知定义在 R 上的函数 f (x) 满足：对任意 x, y R 都有 f (x + y) = f (x) + f (y)，且当 x > 0时，
f (x) > 0 ， f (k ×2x ) + f (4x+1 -8x - 2x ) > 0对任意 x [-1,2]恒成立，则实数 k 的取值范围是 .
7-4 f x = a x + 1- m a- x 3 【变式 】已知函数 a > 0,且a 1 是奇函数，且过点 1， ÷．
è 2
(1)求实数 m 和 a 的值；
(2)设 g x = logt é2
2x + 2-2x - tf x ù t > 0, t 1 ，是否存在正实数 t，使关于 x 的不等式 g x 0对
x 2, log2 5 恒成立，若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由．
题型八：指数函数的综合问题
ì-x2 - 6x - 5, x < 0,
2
【典例 8-1 x】已知函数 f x = í 1 若关于 x 的方程 é f x ù + 2a -1 f x + a2 - a = 0有 5 个不
÷ -1 , x 0,
è 2
同的实数根，则 a的取值范围为 .
x
【典例 8-2】若函数 f (x) 2 + b= (a,b R)是定义在R 上的奇函数，且 f mx2 + f (1- mx) > f (0)x 对任意2 + a
x R 恒成立，则m的取值范围为 ．
【方法技巧】
指数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是指数函数还是内层是指
数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
x - x 1- e2
【变式 8-1】已知函数 f x = e - e ，则不等式 f f x > 的解集为 .
e
【变式 8-2】（2024 x+1 -x·高三·湖北·期中）已知 f x = a - 2a 是定义域为R 的奇函数.
(1)函数 g x = a2x + a-2x - 2 f x ， x 0,2 ，求 g x 的最小值.
(2)是否存在l > 0，使得 f 2x l f x 对 x -2, -1 恒成立，若存在，求l 的取值范围；若不存在，说明
理由.
【变式 8-3】我们知道，函数 y = f x 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y = f x 为
奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 y = f x 的图象关于点 P a,b 成中心对称图形的充要条件是函
数 y = f x + a - b为奇函数．根据这一结论，解决下列问题．
已知函数 f x 2=
1+ 21-x
．
(1)证明：函数 f x 的图象关于点 1,1 对称；
(2) f a2若 + f 2a -1 > 2，求实数 a的取值范围．
【变式 8-4】（2024·河南平顶山·模拟预测）已知函数 f (x)
a -1
=1- x (a > 0且 a 1）为定义在 R 上的奇a +1
函数
(1)利用单调性的定义证明：函数 f (x) 在 R 上单调递增；
(2)若关于 x 的不等式 f (mx2 -1) + f (2 - mx) > 0恒成立，求实数 m 的取值范围；
(3)若函数 g(x) = kf (x) - 3x 有且仅有两个零点，求实数 k 的取值范围．
【变式 8-5】已知函数 y = f (x) 的表达式为 f (x) = 9x - 2a ×3x + 3 .
(1)若 a =1, x [0,1]，求函数 y = f (x) 的值域；
(2)当 x [-1,1]时，求函数 y = f (x) 的最小值 h(a) ；
(3)对于（2）中的函数 h(a) ，是否存在实数m, n，同时满足下列两个条件：（i） n > m > 3；（ii）当 h(a) 的
定义域为[m, n] 2，其值域为 é m ,n
2 ù ；若存在，求出m, n的值；若不存在，请说明理由.
2
1．（2023 年高考全国甲卷数学（文）真题）已知函数 f x = e-( x-1) ．记
2 a = f ÷ ,b = f
3
÷ ,c = f
6
÷，则（ ）
è 2 è 2 2
è
A．b > c > a B．b > a > c C． c > b > a D． c > a > b
2 2023 f (x) xe
x
．（ 年高考全国乙卷数学（理）真题）已知 = ax 是偶函数，则a = （ ）e -1
A．-2 B．-1 C．1 D．2
3．（2023 年天津高考数学真题）设a = 1.010.5,b = 1.010.6 ,c = 0.60.5，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B．b < a < c
C． c < b < a D． c < a < b
n
1．（1）当 n= 1，2，3，10，100，1000，10000，100000，…… 1 时，用计算工具计算 * 1+ ÷ n N 的值；
è n
n n
2 n 1 1+ 1 （ ）当 越来越大时， ÷ 的底数越来越小，而指数越来越大，那么 1+ ÷ 是否也会越来越大？有
è n è n
没有最大值？
1 1
2．从盛有1L纯酒精的容器中倒出 L ，然后用水填满；再倒出 L ，又用水填满……
3 3
（1）连续进行 5 次，容器中的纯酒精还剩下多少？
（2）连续进行 n 次，容器中的纯酒精还剩下多少？
3m-2n
3．（1）已知10m = 2,10n = 3，求10 2 的值；
a3x + a-3x
（2）已知 a2x = 3，求
a x + a- x
的值.
|x|
4．已知函数 f x a 1= ÷ + b的图象过原点，且无限接近直线 y = 2但又不与该直线相交.
è 2
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
x
5．已知 f(x)=ax，g(x)= 1 ÷ (a>0，且 a≠1).
è a
（1）讨论函数 f(x)和 g(x)的单调性；
（2）如果 f(x)6．按从小到大的顺序，可将 2 3 ,3 2 ,p 5 , 2p 重新排列为 （可用计算工具）.
答题模板 1：指数型复合函数的值域问题
1、模板解决思路
求解复合函数的值域问题，关键要确定函数是由哪些函数复合而成.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域，然后将复合函数分解成两个函数．
第二步：由自变量的范围求内层函数的值域．
第三步：由内层函数的值域求外层函数的值域．
x 1-
f x = 1+ a ×3x + 9 2 0, +
【典例 1】若函数 的值域为 ，则 a 的取值范围是 .
1 2
2 y = ( )x +2x+3【典例 】函数 的值域是 .
4
答题模板 2：指数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
2
【典例 3】函数 f x = 2ax -2x-1在区间 1, + 上单调递减，则 a 的取值范围是 ．
- x2 +4x+5
【典例 4】函数 f x 1= ÷ 的单调递减区间为 ．
è 2