第 05 讲 对数与对数函数
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：对数式的运算 ............................................................................................................................................4
知识点 2：对数函数的定义及图像 ............................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................5
题型一：对数式的运算 ...............................................................................................................................................6
题型二：对数函数的图象及应用 ...............................................................................................................................6
题型三：对数函数过定点问题 ...................................................................................................................................7
题型四：比较对数式的大小 .......................................................................................................................................8
题型五：解对数方程或不等式 ...................................................................................................................................9
题型六：对数函数的最值与值域问题 .......................................................................................................................9
题型七：对数函数中的恒成立问题 .........................................................................................................................10
题型八：对数函数的综合问题 .................................................................................................................................11
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................13
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................13
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................15
易错点：无视对数函数中底数和真数的范围 .........................................................................................................15
答题模板：对数型复合函数的单调问题 .................................................................................................................15
考点要求 考题统计 考情分析
2024年 II卷第 8题，5分
2024年北京卷第 7题，4分 从近五年的高考情况来看，对数运算与对
2024年天津卷第 5题，5分 数函数是高考的一个重点也是一个难点，
（1）对数的概念及运算性质
2023年北京卷第 11题，5分 常与二次函数、幂函数、指数函数、三角
（2）对数函数的图象
2023年 I卷第 10题，5分 函数综合，考查数值大小的比较和函数方
（3）对数函数的性质
2022年天津卷第 6题，5分 程问题.在利用对数函数的图像与性质应用
2022年浙江卷第 7题，5分 上，体现了逻辑推理与数学运算素养.
2022年 I卷 I卷第 7题，5分
复习目标：
（1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
（2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
（3）了解指数函数 y = a x与对数函数 y = loga x ( a > 0，且 a 1)互为反函数．
知识点 1：对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果 a x = N (a > 0且 a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
x = loga N ，读作以 a 为底 N 的对数，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以 a(a > 0且 a 1) 为底，记为 logNa ，读作以 a 为底 N 的对数；
②常用对数：以10为底，记为 lg N ；
③自然对数：以 e为底，记为 ln N ；
(3) 对数的性质和运算法则：
① log1a = 0； log
a
a =1；其中 a > 0且 a 1；
② alog
N
a = N (其中 a > 0且 a 1， N > 0 )；
log
③ c
b
对数换底公式： loga b = log a ；c
④ loga (MN ) = loga M + loga N ；
⑤ log
M
a = loga M - logN a
N ；
⑥ log bn
n
m = loga b(m， n R)a ； m
⑦ aloga b = b和 log aba = b；
1
⑧ loga b = log a ；b
【诊断自测】（2024·青海·模拟预测）若 a = log3 5，5b = 6，则 ab - log3 2 =（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
知识点 2：对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 y = loga x (a > 0且 a 1) 叫做对数函数．
(12)对数函数的图象与性质
a >1 0 < a <1
y x=1 y x=1
log x
图象 a (1,0)
O (1,0) x O xlogax
定义域： (0，+ )
值域： R
过定点 (1，0) ，即 x =1时， y = 0
性质
在 (0，+ ) 上增函数 在 (0，+ ) 上是减函数
当 0 < x <1时， y < 0， 当 0 < x <1时， y > 0，
当 x 1时， y 0 当 x 1时， y 0
1
【诊断自测】（2024·广东深圳·二模）已知 a > 0，且 a 1，则函数 y = loga x + ÷ 的图象一定经过（a ）è
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
解题方法总结
1、对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当 a >1时，随 a 的增大，对数函数的图象愈靠近 x 轴；当 0 < a <1时，对数函数的
图象随 a 的增大而远离 x 轴．(见下图)
y
logax1
x a增大
1 loga2
x
O 1
logax3 a增大
log xa4
题型一：对数式的运算
【典例 1-1】已知 log2 3 = a， 2b = 5则 log12 45 = .（用含 a,b的式子表示）
【典例 1-2】（2024·重庆·三模）若正实数 a，b 满足 lga 2 + lgb 2 = lg50 ， lga × lgb = lg 2 ，则
ab lg ab = .
【方法技巧】
对数的有关运算问题要注意公式的正用、逆用及变形等应用．
【变式 1-1】化简下列各式：
(1) 4lg2 + 3lg5 lg
1
- ；
5
(2) 2log 2 log
32
3 - 3 + log38 - 5
log5 3 .
9
【变式 1-2】已知 7a = 3， log7 2 = b，则 log49 48 = .（用 a,b表示）
x y z 1 3 1【变式 1-3】（2024·全国·模拟预测）已知2 = 3 = 4 = 6，则 + + =x y z ．
题型二：对数函数的图象及应用
【典例 2-1】已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx 的大致图象如图所示，则下列
不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
【典例 2-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程 2x + x + 3 = 0 和方程 log2x + x + 3 = 0的根分别为 p, q，设函
数 f x = x + p x + q ，则（ ）
A． f 2 = f 0 < f 3 B． f 0 = f 3 > f 2
C． f 3 < f 2 = f 0 D． f 0 < f 3 < f 2
【方法技巧】
对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等
变换得到，当 a >1时，对数函数的图像呈上升趋势；当0 < a <1时，对数函数的图像呈下降趋势.
【变式 2-1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数 f x = loga x +1 0 < a <1 的大致图象不可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【变式 2-2】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数 y = ex 和 y = lnx的图象与直线 y = 2 - x交点的横坐
标分别为 a，b ，则（ ）
A． a > b B． a + b < 2 C． ab >1 D．a2 + b2 > 2
ì1- log3x,0
【变式 2-3】（2024·高三·上海·期末）已知定义在 0, + 上的函数 f (x)= ílog3x- 1,3
4- x ,x>9
互不相同的实数，满足 f a = f b = f c ，则 abc的取值范围为 .
【变式 2-4】（2024·高三·北京·开学考试）已知函数 f (x) =| ln | x -1|| -kx + 2，给出下列四个结论：
① $k <1，使得 f x 有两个零点；
②若 k =1，则 f x 有两个零点；
③ $k >1，使得 f x 有两个零点：
④ $k >1，使得 f x 有三个零点；
以上正确结论的序号是 .
【变式 2-5】已知函数 f x = lg x ，若0 < a < b且 f a = f b ，则a + 2b的取值范围为 .
题型三：对数函数过定点问题
【典例 3-1】函数 y = loga x +1 ( a > 0且 a 1)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．( 0, 1) B． (1, 2) C． 1,1 D． 1,0
【典例 3-2】函数 y = loga x + a
x-1 + 2 （ a > 0且 a 1）的图象恒过定点 k,b ，若m + n = b - k 且m > 0，
9n + m
n > 0，则 的最小值为（ ）
mn
5
A．9 B 8 C
9
． ． D．
2 2
【方法技巧】
loga (x - m) + n恒过定点 (m +1, n) ．
【变式 3-1】函数 y = loga x + 2 -1 a > 0,a 1 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx + ny +1 = 0上，其中
m > 0, n > 0 1 2，则 + 的最小值为（ ）
m n
A．3+ 2 2 B．3 C．7 D．4
【变式 3-2】已知直线 y = mx + 2n经过函数 f x = loga x -1 + 2 图象过的定点（其中m, n均大于 0），则
1 1
+ 的最小值为（ ）
m n
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式 3-3】（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数 f x = log2 ax + b a > 0,b > 0 恒过定点 2,0 ，则
b 1
+ 的最小值为（ ）．
a b
A． 2 2 +1 B． 2 2 C．3 D． 2 + 2
题型四：比较对数式的大小
3
【典例 4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设 a = log 3，b = 0.30.22 ， c = ，则（ ）2
A． a < c < b B． a < b < c C．b【典例 4-2】已知 a = log4 2，b = log53， c = log4 2 log53 ，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
A． c > a > b B． c > b > a C． a > b > c D．b > a > c
【方法技巧】
比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
【变式 4-1】（2024·天津·二模）设 a = log23,b =1.3
0.9 ,0.9c =1.3，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B．bC． c < b < a D． c【变式 4-2】（2024·宁夏银川·三模）已知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，则（ ）
A． a < b < c B． c < a < b
C．b < c < a D．b < a < c
5
【变式 4-3】（2024·青海西宁·模拟预测）已知 a = ln3，b = ， c = e0.3，则（ ）4
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D． c < a < b
a
【变式 4-4】（2024·江西·模拟预测）若 ae = b ln b a > 0 ，则（ ）
A． a < b B． a = b C． a > b D．无法确定
题型五：解对数方程或不等式
【典例 5-1】方程 lg(2 - x) + lg(3 - x) = lg12的解是 .
5-2 27x【典例 】不等式 + 7 log5 36x +1 < 23的解集为 ．
【方法技巧】
2
（1）对于形如 loga f (x) = b
b
的形式，利用b = loga a 转化；对于形如 loga x + B × loga x + C = 0
的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.
（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个
不等式即可．
x
【变式 5-1】不等式3 + log3 x > 3的解集是 ．
【变式 5-2】方程： 2x +1 = log 1- 2 ×3x3 的解是 .
【变式 5-3】不等式 log
1
1 + 2 -1÷÷ > 0的解集是 .
2 è x
2 ex5-4 + e
- x 7-
【变式 】不等式 ln 2 < 0 的解集是 .
ex + e- x -1
x
【变式 5-5】由函数的观点，不等式 log3x < 3- 3 的解集是 .
题型六：对数函数的最值与值域问题
2 1
【典例 6-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数 f x = loga x - ax +1 在区间 , 2÷上有最大值或最小值，
è 4
则实数 a的取值范围为（ ）
1
A． , 2
1
÷ B． ,1
÷ U 1,2
1
C． ,1
1,4 1 D． ,1 U 1,2
è 4 è 2 è 4 ÷ 4 ÷ è
【典例 6-2】已知函数 f x = log3 -x2 + 4x + a -1 的最大值为 2，则a = ．
【方法技巧】
对数函数的最值与值域问题通常利用对数函数的单调性解决.
【变式 6-1】若函数 f x = loga -x2 - 2x + 3 （ a > 0且 a 1）的最小值为－4，则实数 a 的值为 .
【变式 6-2】已知函数 f x = log x2a - ax + 4 ( a > 0且 a 1).
(1)当 x 0,2 时，函数 f x 恒有意义，求实数 a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f x 在区间 1,2 上为减函数，且最大值为1？如果存在，试求出 a的
值；如果不存在，请说明理由．
2
6-3 f x x + lnx m g x 1+ x
3lnx
【变式 】已知函数 = 3 2 的最大值为 ，则函数 = 的最小值为 （结果用mx + x 1+ x
表示）
a2x + t
【变式 6-4】已知函数 f x = x (a > 0 且 a 1)是奇函数．a
(1)求 t的值；
(2)若 0 < a < 1，对任意 x [0,1]有 f (2x2 - kx - k) < f 1 恒成立，求实数 k 的取值范围；
(3)设 g x = log 2x -2x x 1m[a + a - m(a - x )](m > 0, m 1) f 1
3
，若 = 2 ，问是否存在实数
m 使函数 g x 在[0,1]
a
上的最大值为 0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
题型七：对数函数中的恒成立问题
【典例 7-1 2x x】已知函数 f x = ln e + e + a - 2 ，若对任意 x2 > x1 > 0 都有 f (x1) - f (x2 ) < x1 - x2 ，则实数 a
的取值范围是（ ）
A． 0, + B． 0, + C． 0,3 D． 0,3
7-2 x2
1
【典例 】若不等式 - loga (x +1) < 2x -1在 x
，1
÷上恒成立，则实数 a 的取值范围为（2 ）è
é16 1 16 A． ê ，÷ B． ，1 81 è 81 ÷
1 81ù 3 81ùC． ， D．16 ú
，
è è 2 16 ú
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，再利用数形结合的方法来解决．
【变式 7-1】已知函数 f (x) = -x2 - 4x + 6， g(x) = loga x(a > 0且 a 1)，若对任意的 x2 3,5 ，存在
x 31
é- ,1ùê 2 ú
，使得 f (x1) < g(x2 )成立，则实数 a的取值范围是 .
1
【变式 7-2 x】已知 a > 0且 a 1，当 0 < x 时，-log2x > a ，则 a的取值范围为 .4
x
【变式 7-3】已知函数 f x 2 +1= x 为奇函数．2 + a
(1)求实数 a 的值；
(2)判断函数 f x 的单调性（不用证明）；
x x
(3)设函数 g(x) = log2 × log2 + m，若对任意的 x1 [2,8]，总存在 x2 4 2
(0,1]，使得 g x1 = f x2 成立，求实
数 m 的取值范围．
题型八：对数函数的综合问题
8-1 2024· · f x = xlnx -1 x g x = ex【典例 】（ 四川南充 模拟预测）函数 的零点为 1，函数 x -1 - e的零点为
x2，则下列结论正确的是（ ）
x 1A． e 2 × lnx1 = e
2 B x2 -1． e + > 2x1
1
C． lnx1 - x2 =1 D． x2 + 21+ lnx1
ìlg 3- x 2 + , -3 < x < 0
【典例 8-2】（2024·云南·二模）已知函数 f x 3+ x x - 3的定义域为 -3,3 ，且 f x = í 3 x 2 若 lg + - ,0 x < 3
3- x x + 3
3 f [x(x - 2)] + 2 > 0 ，则 x 的取值范围为（ ）
A． (-3,2) B． (-3,0) (0,1) (1,2)
C． (-1,3) D． (-1,0) (0,2) (2,3)
【方法技巧】
对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对
数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
ì3x , x 0
【变式 8-1】已知函数 f (x) = í ， g(x) =| x(x - 4) |，则 f (g(2)) = ．若方程
log8 x, x > 0
f (g(x)) + g(x) - m = 0的所有实根之和为 4，则实数 m 的取值范围是 ．
lg(x -1) , x >1 2
【变式 8-2】设定义域为 R 的函数 f (x) = { ，若关于 x 的方程 2 é f x ù + 2bf x +1 = 0有 8 个
-x2 +1, x 1
不同的实根，到实数 b 的取值范围是 .
2x x 2
【变式 8-3】已知函数 f x = 2 - 3 × 2 , g x = loga x -1 - loga x .
(1)求 g x 的定义域；
é ù
(2)若"x1 0,1 , x
5
2 ê , 2 ú , f x1 > g x2 ，求 a的取值范围.
2
【变式 8-4】（2024·广东佛山·模拟预测）已知x ，x 分别是关于 x 的方程 x ln x = 2023， xex1 2 = 2023的根，
则下面为定值 2023 的是（ ）
x
A 1． x1 + x2 B． x1 - x2 C． x1x2 D． x E．均不是2
f x a 1 1 【变式 8-5】给出函数 =
è x ×2x
+ ÷ - ln 4x + 2，- x 2x
(1)若 a = 0，求不等式 f x > 2 - ln2的解集；
(2)若 a > 0，且 f 3t -1 > f t - 2 ，求 t的取值范围；
(3)若 a = 0
1 1
，非零实数m ，n满足 f m + 2 2
n2
= f n - 2 ，求证：m m - n > 2 .
1．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 f (x) = (x + a) ln(x + b)，若 f (x) 0，则 a2 + b2 的最小值为
（ ）
1 1
A B C 1． ． ． 2 D．18 4
d S -12．（2024 年北京高考数学真题）生物丰富度指数 = 是河流水质的一个评价指标，其中 S , N 分别表
ln N
示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数 d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种
类数S没有变化，生物个体总数由 N1变为 N2 ，生物丰富度指数由 2.1提高到3.15，则（ ）
A．3N2 = 2N1 B． 2N2 = 3N1
C N 2． 2 = N
3 D N 31 ． 2 = N
2
1
3．（2022 年新高考天津数学高考真题）化简 2log4 3 + log8 3 log3 2 + log9 2 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
1 0.74．（2022 年新高考天津数学高考真题）已知 a = 20.7 b =
1
， ÷ ， c = log2 ，则（ ）
è 3 3
A． a > c > b B．b > c > a C． a > b > c D． c > a > b
1．我们可以把 (1+1%)365 看作每天的"进步”率都是 1%，一年后是1.01365 ；而把 (1-1%)365看作每天的“落后”
率都是 1%，一年后是0.99365 .利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的 10 倍、100 倍、1000 倍？
2．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含
量达到 20 - 79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车，假设某驾驶员喝了一定量的酒后，
其血液中的酒精含量上升到了1mg / mL .如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减
少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据 lg7 0.845， lg 2 0.301）
1 a 1
3．已知 loga <1
1
， ÷ <1，2 è 2 a
2 < 1求实数 a 的取值范围.
4．比较下列各题中三个值的大小:
(1) log0.2 6, log0.3 6, log0.4 6 ;
(2) log2 3, log3 4, log4 5 .
5．假设有一套住房的房价从 2002 年的 20 万元上涨到 2012 年的 40 万元,下表给出了两种价格增长方式,其
中P1是按直线上升的房价, P2 是按指数增长的房价,t 是 2002 年以来经过的年数.
t 0 5 10 15 20
P1 /万元 20 30 40 50 60
P2 /万元 20 20 2 40 40 2 80
(1)求函数P1 = f (t) 的解析式;
(2)求函数P2 = g t 的解析式;
(3)完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格增长方式的差异.
易错点：无视对数函数中底数和真数的范围
易错分析： 忽略“对数的真数大于 0”这一个条件导致出错，面对这类题一定要注意真数和底数的范围.
1 (x-4) (x-2)【易错题 】解不等式 2log2 < log2 .
é
2 êax
2 +(a-1)x 1+ aù
【易错题 】 y log 4 ú= 的定义域为 R ，求实数 a的取值范围.2
答题模板：对数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
【典例 1】若函数 f x = ln é a -1 x +1ù 在 2,3 上单调递减，则实数 a的取值范围是（ ）
- ,1 é2 é1 2 A． B．
ê
,1 C．
3 ÷ ê
,1÷ D． ,1÷
2 è 3
【典例 2】已知函数 f (x) = log2 (x
2 - ax + 6) 在 1,2 上单调递减，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． 4,5 B． 4,5 C． - , 4 D． - , 4 U 5, +
2
【典例 3】（2024·重庆·模拟预测）若函数 f x = ln x - 2ax + 3a 在 1, + 上单调递增，则实数 a的取值范
围是（ ）
A． (- ,1］ B． -1,1 C． -1, + D． 1, + 第 05 讲 对数与对数函数
目录
01 考情透视·目标导航..........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航..........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究..........................................................................................................................4
知识点 1：对数式的运算 ............................................................................................................................................4
知识点 2：对数函数的定义及图像 ............................................................................................................................5
解题方法总结 ...............................................................................................................................................................6
题型一：对数式的运算 ...............................................................................................................................................6
题型二：对数函数的图象及应用 ...............................................................................................................................8
题型三：对数函数过定点问题 .................................................................................................................................14
题型四：比较对数式的大小 .....................................................................................................................................16
题型五：解对数方程或不等式 .................................................................................................................................18
题型六：对数函数的最值与值域问题 .....................................................................................................................21
题型七：对数函数中的恒成立问题 .........................................................................................................................25
题型八：对数函数的综合问题 .................................................................................................................................29
04 真题练习·命题洞见........................................................................................................................36
05 课本典例·高考素材........................................................................................................................38
06 易错分析·答题模板........................................................................................................................40
易错点：无视对数函数中底数和真数的范围 .........................................................................................................40
答题模板：对数型复合函数的单调问题 .................................................................................................................41
考点要求 考题统计 考情分析
2024年 II卷第 8题，5分
2024年北京卷第 7题，4分 从近五年的高考情况来看，对数运算与对
2024年天津卷第 5题，5分 数函数是高考的一个重点也是一个难点，
（1）对数的概念及运算性质
2023年北京卷第 11题，5分 常与二次函数、幂函数、指数函数、三角
（2）对数函数的图象
2023年 I卷第 10题，5分 函数综合，考查数值大小的比较和函数方
（3）对数函数的性质
2022年天津卷第 6题，5分 程问题.在利用对数函数的图像与性质应用
2022年浙江卷第 7题，5分 上，体现了逻辑推理与数学运算素养.
2022年 I卷 I卷第 7题，5分
复习目标：
（1）理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.
（2）通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.
（3）了解指数函数 y = a x与对数函数 y = loga x ( a > 0，且 a 1)互为反函数．
知识点 1：对数式的运算
(1)对数的定义：一般地，如果 a x = N (a > 0且 a 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作
x = loga N ，读作以 a 为底 N 的对数，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．
(2)常见对数：
①一般对数：以 a(a > 0且 a 1) 为底，记为 logNa ，读作以 a 为底 N 的对数；
②常用对数：以10为底，记为 lg N ；
③自然对数：以 e为底，记为 ln N ；
(3) 对数的性质和运算法则：
① log1a = 0； log
a
a =1；其中 a > 0且 a 1；
② alog
N
a = N (其中 a > 0且 a 1， N > 0 )；
log b
③ c对数换底公式： loga b = log ；c a
④ loga (MN ) = loga M + loga N ；
⑤ log
M
a = loga M - logN a
N ；
⑥ log bn
n
m = loga b(m， n R)a ； m
⑦ aloga b = b和 log aba = b；
1
⑧ loga b = logb a
；
【诊断自测】（2024·青海·模拟预测）若 a = log3 5，5b = 6，则 ab - log3 2 =（ ）
A．1 B．－1 C．2 D．－2
【答案】A
【解析】由5b = 6 b = log5 6，
log 6
所以 ab - log3 2 = log3 5 × log5 6 - log3 2 = log3 5 ×
3 - log3 2 = log3 6 - log 2log 5 3 = log
6
3 = log3 3 =1
3 2
故选：A
知识点 2：对数函数的定义及图像
(1)对数函数的定义：函数 y = loga x (a > 0且 a 1) 叫做对数函数．
(12)对数函数的图象与性质
a >1 0 < a <1
y x=1 y x=1
log x
图象 a (1,0)
O (1,0) x O xlogax
定义域： (0，+ )
值域： R
过定点 (1，0) ，即 x =1时， y = 0
性质
在 (0，+ ) 上增函数 在 (0，+ ) 上是减函数
当 0 < x <1时， y < 0， 当 0 < x <1时， y > 0，
当 x 1时， y 0 当 x 1时， y 0
1
【诊断自测】（2024·广东深圳·二模）已知 a > 0，且 a 1，则函数 y = log a x + ÷ 的图象一定经过（a ）è
A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限
【答案】D
1
【解析】当 x = 0时， y = loga = -1，a
则当 0 < a < 1时，函数图象过二、三、四象限；
则当 a >1时，函数图象过一、三、四象限；
y = log 所以函数 a x
1
+ ÷的图象一定经过三、四象限.
è a
故选：D
解题方法总结
1、对数函数常用技巧
在同一坐标系内，当 a >1时，随 a 的增大，对数函数的图象愈靠近 x 轴；当 0 < a <1时，对数函数的
图象随 a 的增大而远离 x 轴．(见下图)
y
logax1
a增大
1 loga
x
2
x
O 1
logax3 a增大
log xa4
题型一：对数式的运算
【典例 1-1】已知 log 3 = a， 2b2 = 5则 log12 45 = .（用含 a,b的式子表示）
2a + b
【答案】
a + 2
【解析】因为 2b = 5，所以 log2 5 = b，又 log2 3 = a，
log 5 9
所以 log12 45
log2 45 2 log2 5 + log 9= = = 2
log2 12 log2 3 4 log2 3+ log2 4
log2 5 + 2log2 3 2a + b= =
log2 3 + 2log 2 a + 2
.
2
2a + b
故答案为：
a + 2
【典例 1-2】（2024·重庆· 2 2三模）若正实数 a，b 满足 lga + lgb = lg50 ， lga × lgb = lg 2 ，则
ab lg ab = .
【答案】100
【解析】由于 lga × lgb = lg 2 ，整理得 2lga × lgb = lg2，①，
2
又 lga + lgb 2 = lg50 ，②，
所以①+②得： lga 2 + 2lga × lgb + lgb 2 = lg2 + lg50 = 2；
即 lga + lgb 2 = 2
ab lg ab 对于 取常用对数可得， lg ab lg ab = lg ab × lg ab = lga + lgb 2 = 2，
ab lg ab 故 =100 .
故答案为：100.
【方法技巧】
对数的有关运算问题要注意公式的正用、逆用及变形等应用．
【变式 1-1】化简下列各式：
(1) 4lg2 + 3lg5 - lg
1
；
5
(2) 2log 2 log
32
3 - 3 + log38 - 5
log5 3 .
9
4 3
= lg 2 5 4 4 4
【解析】（1）原式 1 = lg 2 5 = lg 2 5 = 4 .
5
（2）原式= 2log3 2 - 5log3 2 - 2 + 3log3 2 - 3
= 2log3 2 - 5log3 2 + 2 + 3log3 2 - 3 = -1.
【变式 1-2】已知 7a = 3， log7 2 = b，则 log49 48 = .（用 a,b表示）
a + 4b
【答案】
2
【解析】因为 7a = 3，所以 log7 3 = a ，
又 log7 2 = b，所以 log49 48 = log 2 3 24 1= log7 3 247 2
1
= log7 3 + log 42 7 2
1
= log7 3 + 4log2 7 2
1
= a + 4b .
2
a + 4b
故答案为：
2
1 3 1
【变式 1-3】（2024·全国·模拟预测）已知2x = 3y = 4z = 6，则 + + =x y z ．
【答案】3
【解析】依题意， x = log26, y = log36, z = log46，
1 3 1 1 3 1
则 + + = + + = log6 2 + 3log63 + log6 4 = log6 216 = 3x y z log ．26 log36 log46
故答案为：3
题型二：对数函数的图象及应用
【典例 2-1】已知函数① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx 的大致图象如图所示，则下列
不等关系正确的是（ ）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
【答案】A
【解析】解析：由已知可得 b＞a＞1＞d＞c，则 a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故 A 正确，D 错误；又 a＋d
与 b＋c 的大小不确定，故 B，C 错误．故选 A.
【典例 2-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）设方程 2x + x + 3 = 0 和方程 log2x + x + 3 = 0的根分别为 p, q，设函
数 f x = x + p x + q ，则（ ）
A． f 2 = f 0 < f 3 B． f 0 = f 3 > f 2
C． f 3 < f 2 = f 0 D． f 0 < f 3 < f 2
【答案】B
【解析】由 2x + x + 3 = 0 得 2x = -x - 3，由 log2x + x + 3 = 0得 log2 x = -x - 3，
x
所以令 y = 2 , y = log2 x, y = -x - 3，这 3 个函数图象情况如下图所示：
设 y = 2x , y = -x - 3交于点 B ， y = log2 x, y = -x - 3交于点C ，
y = 2x由于 , y = log2 x的图象关于直线 y = x 对称，
而 y = -x - 3, y = x的交点为 A
3 3
- , -
p + q 3
÷，所以 = - ，
è 2 2 2 2
注意到函数 f x = x + p x + q = x2 + p + q x + pq p + q 3的对称轴为直线 x = - ，即 x = ，
2 2
且二次函数 f x 的图象是开口向上的抛物线方程，
从而 f 0 = f 3 > f 2 .
故选：B.
【方法技巧】
对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等
变换得到，当 a >1时，对数函数的图像呈上升趋势；当0 < a <1时，对数函数的图像呈下降趋势.
【变式 2-1】（多选题）（2024·河南信阳·模拟预测）函数 f x = loga x +1 0 < a <1 的大致图象不可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】函数 f x = loga x +1 0 < a <1 的定义域为 x x 0 ，
因为 f -x = loga x +1 = f x ，所以函数 f x 为偶函数，
当 x 0, + 时， f x = loga x +1 0 < a <1 为减函数，且过定点 1,1 ，
故函数 f x = loga x +1 0 < a <1 的大致图象不可能为 BCD 选项.
故选：BCD.
【变式 2-2】（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知函数 y = ex 和 y = lnx的图象与直线 y = 2 - x交点的横坐
标分别为 a，b ，则（ ）
A． a > b B． a + b < 2 C． ab >1 D．a2 + b2 > 2
【答案】D
【解析】作出函数 y = ex 和 y = lnx的图象以及直线 y = 2 - x的图象，如图，
由函数 y = ex 和 y = lnx的图象与直线 y = 2 - x交点的横坐标分别为 a，b ，
结合图象可知0 < a < b，A 错误；
由题意知 A(a, ea ), B(b, ln b)，也即 A(a, 2 - a), B(b, 2 - b)，
由于函数 y = ex 和 y = lnx互为反函数，
二者图象关于直线 y = x 对称，而 A, B为 y = ex 和 y = lnx的图象与直线 y = 2 - x的交点，
故 A, B关于 y = x 对称，故 a = 2 - b,\a + b = 2，B 错误；
由0 < a < b,a + b = 2 ab (
a + b 2
，故 < ) =1，C 错误；
2
因为0 < a < b，故 a2 + b2 > 2ab,\2(a2 + b2 ) > (a + b)2 ，
结合 a + b = 2 ，即得a2 + b2 > 2，D 正确，
故选：D
ì1- log3x,0【变式 2-3】（2024·高三·上海·期末）已知定义在 0, + 上的函数 f (x)= ílog3x- 1,3
4- x ,x>9
互不相同的实数，满足 f a = f b = f c ，则 abc的取值范围为 .
【答案】 81,144
【解析】作出 f x 的图像如图：
当 x > 9时，由 f x = 4 - x = 0 ，得 x=16，
若 a,b,c 互不相等，不妨设 a < b < c，
因为 f a = f b = f c ，
所以由图像可知0 < a < 3 < b < 9,9 < c <16 ，
由 f a = f b ，得1- log3 a = log3 b -1，
即 log3a + log3b = 2，即 log3(ab) = 2，
则 ab = 9 ，所以 abc = 9c ，
因为9 < c <16，
所以81< 9c <144，
即81< abc <144，
所以 abc的取值范围是 81,144 ．
故答案为： 81,144 ．
【变式 2-4】（2024·高三·北京·开学考试）已知函数 f (x) =| ln | x -1|| -kx + 2，给出下列四个结论：
① $k <1，使得 f x 有两个零点；
②若 k =1，则 f x 有两个零点；
③ $k >1，使得 f x 有两个零点：
④ $k >1，使得 f x 有三个零点；
以上正确结论的序号是 .
【答案】③④
【解析】
首先我们分别作出 h(x) =| ln | x -1||和当 k =1时，即 y = x - 2的图像，将直线 y = x - 2图像绕定点 0, -2 按
要求旋转分析，我们发现不存在 k <1，使得 f x 有两零点，故①不正确；
由上图可得我们可得当 k =1时，此时 f x 的零点为 2，且仅有一个，故②不正确；
若 k >1，则当函数 h(x) =| ln | x -1||与直线 y = kx - 2的图象相切时，设切点横坐标为 x0 ，此时
ì 1 = k
h(x) = - ln(1- x) ，则 h (x)
1
= ，得到方程组 í1- x0 化简得 ln k = k - 3，易得 k 4,5 ，则1- x
- ln 1- x0 = kx0 - 2
此时有两个零点，图像见下图，故③正确；
当 k >1时，只需将上图相切时的直线向左偏一点，图像如下图所示，则两函数会出现三个交点，此时 f (x)
有三个零点，如下图所示，故④正确.
故答案为：③④.
【变式 2-5】已知函数 f x = lg x ，若0 < a < b且 f a = f b ，则a + 2b的取值范围为 .
【答案】 3, +
【解析】画出 f x = lg x 的图象如图：
∵ 0 < a < b，且 f a = f b ，
∴ lg a = lgb 且 0 < a < 1，b >1，
∴ - lg a = lgb
2
，即 ab =1，∴ y = a + 2b = a + ， a 0,1 ，
a
2
由图象得 y = a + 在 0,1 上为减函数，
a
∴ y >1+ 2 = 3，
∴ a + 2b的取值范围是 3, + .
故答案为： 3, + .
题型三：对数函数过定点问题
【典例 3-1】函数 y = loga x +1 ( a > 0且 a 1)的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．( 0, 1) B． (1, 2) C． 1,1 D． 1,0
【答案】C
【解析】因为对数函数 y =loga x( a > 0且 a 1)恒过定点 (1,0)，
所以函数 y = loga x +1 ( a > 0且 a 1)的图象必过定点 (1,1) .
故选：C.
3-2 y = log x + a x-1【典例 】函数 a + 2 （ a > 0且 a 1）的图象恒过定点 k,b ，若m + n = b - k 且m > 0，
9n + m
n > 0，则 的最小值为（ ）
mn
A 9 B 8 C 9
5
． ． ． D．
2 2
【答案】B
【解析】当 x =1时， y = loga 1+ a
1-1 + 2 = 3，
所以，函数 y = log x + a x-1a + 2 过定点 1,3 ，得 k =1,b = 3，
所以，m + n = 3 -1 = 2，
因为m > 0， n > 0，
9n + m 9 1 1 9 1 m n 1 10 9n m= + = + + = + + 1所以， ÷ 10 + 2 9 = 8，mn m n 2 è m n 2 m n ÷ è 2
ì9n m
= 3 1
当且仅当 í m n ，即m = , n = 时，等号成立，
m + n = 2
2 2
9n + m
所以， 的最小值为 8.
mn
故选：B
【方法技巧】
loga (x - m) + n恒过定点 (m +1, n) ．
【变式 3-1】函数 y = loga x + 2 -1 a > 0,a 1 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx + ny +1 = 0上，其中
m > 0, n > 0 1 2，则 + 的最小值为（
m n ）
A．3+ 2 2 B．3 C．7 D．4
【答案】A
【解析】对于函数 y = loga x + 2 -1 a > 0,a 1 ，
当 x=- 1时， y = -1，所以 A -1, -1 ，
则-m - n +1 = 0,m + n =1，
1 2
+ =
1 2
所以 + m + n 3 n 2m n 2m= + + 3+ 2 × = 3 + 2 2 ，
m n è m n ÷ m n m n
n 2m
当且仅当 = ,n = 2m = 2 - 2 时等号成立.
m n
故选：A
【变式 3-2】已知直线 y = mx + 2n经过函数 f x = loga x -1 + 2 图象过的定点（其中m, n均大于 0），则
1 1
+ 的最小值为（ ）
m n
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为 f 2 = loga 2 -1 + 2 = loga 1+ 2 = 0 + 2 = 2，所以函数 f x = loga x -1 + 2 图象过的定点为
2,2 ，
将其代入直线方程 y = mx + 2n得 2 = 2m + 2n ，即m + n =1，
又m,n > 0，
1 1
所以 + = m n 1 1 m n m n+ +
÷ = 2 + + 2 + 2 × = 4，m n è m n n m n m
m n m n 1 1 1当且仅当 = 即 = = 时，等号成立，故 + 有最小值 4.
n m 2 m n
故选：C.
【变式 3-3】（2024·安徽安庆·模拟预测）已知函数 f x = log2 ax + b a > 0,b > 0 恒过定点 2,0 ，则
b 1
+ 的最小值为（ ）．
a b
A． 2 2 +1 B． 2 2 C．3 D． 2 + 2
【答案】A
【解析】由题意可知 2a + b =1，
b 1 b 2a + b b 2a b 2a
则 + = + = + +1 2 × +1 = 2 2 +1，
a b a b a b a b
2 - 2
当且仅当 a = ，b = 2 -1时，
2
b 1
+ 的最小值为
a b 2 2 +1
，
故选:A．
题型四：比较对数式的大小
【典例 4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）设 a = log
3
2 3，b = 0.30.2 ， c = ，则（2 ）
A． a < c < b B． a < b < c C．b【答案】C
3 3
【解析】∵ c = = log2 22 = log2 2 2 < log2 3 = a ，2
b = 0.30.2 < 0.30 =1，
则b故选：C.
【典例 4-2】已知 a = log4 2，b = log53， c = log4 2 log53 ，则 a，b ， c的大小关系为（ ）
A． c > a > b B． c > b > a C． a > b > c D．b > a > c
【答案】D
1
a log 2 log 42 1【解析】因为 = 4 = 4 = ，b = log53 > log5 5
1
= ，∴ a < b ，
2 2
因为0 < log53 <1，∴ c = log4 2 log53 < log4 2 = a，
∴ b > a > c．
故选：D．
【方法技巧】
比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法．
【变式 4-1】（2024·天津·二模）设 a = log23,b =1.3
0.9 ,0.9c =1.3，则 a,b,c的大小关系为（ ）
A． a < b < c B．bC． c < b < a D． c【答案】C
3
【解析】Q log2 3 > log2 8 = log2 22
3
= , a 3\ > ，
2 2
Q0 3 3<1.30.9 <1.3 < ,\0 < b < ，
2 2
Q0.9c =1.3,\c = log0.9 1.3 < log0.9 1 = 0，
\c < 0，\c < b < a .
故选：C.
【变式 4-2】（2024·宁夏银川·三模）已知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，则（ ）
A． a < b < c B． c < a < b
C．b < c < a D．b < a < c
【答案】D
【解析】由题知 a = 0.20.5 ，b = cos2 ， c = lg15，因为 f x = lg x在定义域内单调递增，
所以 f 15 > f 10 ，即 c = lg15 > lg10 =1，
g x = 0.2x g 1 因为 在定义域内单调递减，所以 ÷ < g 0 ，即0 < a = 0.20.5 < 0.20 ，
è 2
=1
因为 h x = cos x π π在 0, π 上单调递减，所以 h 2 < h 2 ÷，即b = cos2 < cos = 0，è 2
综上：b < 0 < a <1< c .
故选：D
5
【变式 4-3】（2024·青海西宁·模拟预测）已知 a = ln3，b = ， c = e0.3，则（ ）4
A． a < b < c B． a < c < b C．b < a < c D． c < a < b
【答案】A
x
【解析】令 f x = e - x -1，则 f x = ex -1.
当 x - ,0 时， f x < 0， f x 单调递减，
当 x 0, + 时， f x > 0， f x 单调递增，
则 f x f 0 = 0 c = e0.3，故 >1+ 0.3 5=1.3 > .
4
令 g x x= lnx - ，则 g x 1 1 e - x= - = .
e x e ex
当 x e, + 时， g x < 0， g x 单调递减，
则 g 3 < g e = 0，即 ln3 3 3 5< < = .
e 2.4 4
故 a < b < c .
故选：A.
【变式 4-4】（2024· a江西·模拟预测）若 ae = b ln b a > 0 ，则（ ）
A． a < b B． a = b C． a > b D．无法确定
【答案】A
【解析】因为 a > 0，
所以aea > a > 0，
因为aea = b lnb，
所以b ln b > 0，可得b >1，
令aea = b lnb = k ， k > 0，
ea k k所以 = , ln b = ，
a b
设 f (x) = ex ， g(x) = ln x， h(x)
k
= ，
x
作出它们的图象如图：
由图可知 a < b .故选项 A 正确.
故选：A.
题型五：解对数方程或不等式
【典例 5-1】方程 lg(2 - x) + lg(3 - x) = lg12的解是 .
【答案】 x=- 1
【解析】由方程 lg(2 - x) + lg(3 - x) = lg12，可得 lg (2 - x)(3 - x) = lg12，
ì2 - x > 0
\ í3 - x > 0 ，解得 x=- 1 .
2 - x 3 - x =12
故答案为： x=- 1
【典例 5-2 27x】不等式 + 7 log5 36x +1 < 23的解集为 ．
1 2
【答案】 - ,
è 36 3 ÷
【解析】设函数 f x = 27x + 7 log5 36x +1 ，
1
则应有36x
1
+1 > 0，解得 x > - ，所以， f x 定义域为 - , +
÷ .36 è 36
2 2
又 f ÷ = 273 + 7 log
2
3 5
36 +1÷ = 9 + 7 2 = 23，
è è 3
所以，由 f x < 23，可得 f x < f 2 ÷ .
è 3
因为 y = 27x 以及 y = 7 log5 36x
1
+1 均在 - , +
÷上单调递增，
è 36
所以， f x = 27x + 7 log5 36x 1
1+ - , + 在 ÷上单调递增，
è 36
所以， x
2
< .
3
1 2
综上所述，- < x < .
36 3
1 2- , 所以，不等式的解集为 36 3 ÷
.
è
1 , 2 故答案为： - .
è 36 3 ÷
【方法技巧】
2
1 b（ ）对于形如 loga f (x) = b 的形式，利用b = loga a 转化；对于形如 loga x + B × loga x + C = 0
的形式，可借助换元法转化为二次方程求解.
（2）解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个
不等式即可．
【变式 5-1 x】不等式3 + log3 x > 3的解集是 ．
【答案】 1, +
【解析】设 f x = 3x + log3 x ，其定义域为 0, + ，
Q y = 3x 和 y = log3 x在 0, + 均为增函数，
则 f x = 3x + log3 x 在 0, + 为增函数，且 f 1 = 3，
Q 3x + log3 x > 3，即 f x > f 1 ，\ x <1，
\ x不等式3 + log3 x > 3的解集是 1, + .
故答案为： 1, + .
x
【变式 5-2】方程： 2x +1 = log3 1- 2 ×3 的解是 .
【答案】 -1
x
【解析】因为 2x +1 = log 1- 2 ×3 ，即32x+1 =1- 2 ×3x ，所以3 ×32x3 + 2 ×3x -1 = 0，
3 ×3x -1 3x即 +1 = 0，解得3 ×3x -1 = 0，则 x=- 1，或3x +1 = 0无实根.
故答案为： -1
1
【变式 5-3】不等式 log 1 + 2 -1÷÷ > 0的解集是 .
2 è x
【答案】{x | x < -1 x
1
或 > }
2
1 1
【解析】原不等式可化为0 < + 2 -1 <1，即1< + 2 < 2，
x x
1 1 2 4 1 1∴ < + < ，于是- < < 2
1
，亦即-1 < < 0或0
1
< < 2 ，
x x x x
1
∴ x < -1或 x > ，故解集为{x | x < -1
1
或 x > }
2 2
1
故答案为：{x | x < -1或 x > }
2
【变式 5-4 2】不等式 e
x + e- x 7-
ln 2 < 0 的解集是 .
ex + e- x -1
【答案】 x∣- ln2 < x < ln2
2 ex e- x 7 2 ex e- x 7+ - + -【解析】由 ln 2 < 0 可得x - x 0 < 2 ，e + e -1 ex + e- x <1-1
x - x x - x
7 x - x 7 7 1
又 e + e -1 2 ex ×e- x -1 =1 > 0恒成立， 2 e + e - 2 2 e ×e - = 4 - = > 0恒成立，2 2 2 2
2 ex e- x 7 x - x所以不等式等价于 + - < e + e -1 x，即 e + e- x 5 2- < 0，也即 2 ex - 5ex + 2 < 0；2 2
可得 2ex -1 ex - 2 < 0 1，所以 < ex < 2，解得 ln 1 < x < ln 2 .
2 2
所以原不等式的解集为 x∣- ln2 < x < ln2 .
故答案为： x∣- ln2 < x < ln2
5-5 log x < 3- 3x【变式 】由函数的观点，不等式 3 的解集是 .
【答案】 0,1
【解析】由不等式 log3x < 3- 3
x x
，可得3 + log3x - 3 < 0，
令 f x = 3x + log3x - 3，可知 f x 的定义域为 0, + ，
x
因为 y = 3 ,y = log3x在定义域 0, + 上单调递增，
可知 f x 在定义域 0, + 上单调递增，且 f 1 = 0，
对于不等式即为 f x < f 1 ，解得0 < x <1，
所以不等式 log3x < 3- 3
x
的解集是 0,1 .
故答案为： 0,1 .
题型六：对数函数的最值与值域问题
1
【典例 6-1】（2024· 2全国·模拟预测）已知函数 f x = loga x - ax +1 在区间 , 2÷上有最大值或最小值，
è 4
则实数 a的取值范围为（ ）
1 1
A ． , 2÷ B． ,1 U 1,2
1
C ,1
1,4 1 D ,1 U 1,2
è 4 è 2 ÷
． ÷ ．
è 4 è 4 ÷
【答案】B
1
【解析】要使函数 f x 在区间 , 2 上有最大值或最小值，
è 4 ÷
由于 y = x2 - ax +1开口向上，
故需函数 y = x2
1
- ax +1在区间 , 2÷上有最小值，且 y > 0．
è 4
ìa > 0
a 1
1 a
该函数图像的对称轴为直线 x
a
= ，所以 í < < 2 ，2 4 2
a 2
÷ - a
a
× +1 > 0
è 2 2
ìa > 0
a 1
1
解得 í < a < 4 ，
2
-2 < a < 2
1 1
所以 < a < 2 ，且 a 1，即实数 a的取值范围为 ,1÷ U 1,2 2 ．2 è
故选：B．
【典例 6-2 2】已知函数 f x = log3 -x + 4x + a -1 的最大值为 2，则a = ．
【答案】6
2
【解析】因为函数 f x = log3 -x + 4x + a -1 由 y = log3t, t > 0与 t = -x2 + 4x + a -1复合而成，
而 y = log3t 在定义域上单调递增，所以当 t = -x2 + 4x + a -1取最大值时，函数 y = log3t 取得最大值，
由二次函数的性质易知当 x = 2时， tmax = a + 3，此时 f (x)max = log3 a + 3 ，所以 log3 a + 3 = 2，解得
a = 6．
故答案为：6
【方法技巧】
对数函数的最值与值域问题通常利用对数函数的单调性解决.
【变式 6-1】若函数 f x = loga -x2 - 2x + 3 （ a > 0且 a 1）的最小值为－4，则实数 a 的值为 .
2 1
【答案】 / 2
2 2
【解析】由题意知，-x2 - 2x + 3 > 0 ，解得-3 < x <1，
f x = log -x2 - 2x + 3 = log é- x +1 2因为 a a + 4ù ，
2
因为 x -3,1 ，则0 < - x +1 + 4 4，又因为 f x 的最小值为－4，
则 0 < a < 1，所以 log éa - x +1
2 + 4ù loga 4，
即 f x = loga 4 = -4，得 a-4min = 4，因为 0 < a < 1
2
，所以 a = .
2
2
故答案为： .
2
2
【变式 6-2】已知函数 f x = loga x - ax + 4 ( a > 0且 a 1).
(1)当 x 0,2 时，函数 f x 恒有意义，求实数 a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数 a，使得函数 f x 在区间 1,2 上为减函数，且最大值为1？如果存在，试求出 a的
值；如果不存在，请说明理由．
【解析】（1）当 x 0,2 时，函数 f x 恒有意义，
所以 x2 - ax + 4 > 0在 0,2 上恒成立，
即 a < x
4
+ 在 0,2 上恒成立．
x
令 g x = x 4+ ， x 0,2 ，
x
g x 1 4 x
2 - 4 x + 2 x - 2
则 = - 2 = 2 = 2 < 0，x x x
所以 g x = x 4+ 在 0,2 上单调递减，
x
所以 g x > g 2 = 4，所以 a 4 .
又 a > 0且 a 1，所以 a 0,1 1,4 .
（2）函数 f x 在区间 1,2 上有意义，
则 x2 - ax + 4 > 0在 1,2 上恒成立．
由（1）同理可知， a 0,1 1,4 ，
又函数 f x 在区间 1,2 上为减函数，并且最大值为1.
当 a 0,1 时， y =loga x为减函数，
则 y = x2 - ax + 4 > 0 且在 1,2 上单调递增，
ìa
1
ìa 2
所以 í 2
，即 í 5 ，故不存在这样的实数 a；
log 5 - a =1
a =
a 2
当 a 1,4 时， y =loga x为增函数，
则 y = x2 - ax + 4 > 0 且在 1,2 上单调递减，
ìa 2 ìa 4 2 所以 í ，即 í 5 ，故不存在这样的实数 a .
a = loga 5 - a =1 2
综上，不存在这样的实数 a，使得函数 f x 在区间 1,2 上为减函数，且最大值为1.
2
6-3 f x x + lnx 1+ x
3lnx
【变式 】已知函数 = 3 2 的最大值为m ，则函数 g x = 的最小值为 （结果用mx + x 1+ x
表示）
【答案】1- m
1 1 1
2
f x x + lnx f
1 2 + ln 2 - ln x x - x3 ln x
【解析】因为 = ，所以 ÷ =
x x = x =
3 ，x + x2 è x 1 + 1 1 + 1 1+ x
x3 x2 x3 x2
3
1 f 1 x lnx - x +1+ x则 - ÷ = = g x ，
è x 1+ x
当 x
1
的取值范围为 0, + 时， 的取值范围为 0, + ，
x
1
所以 f ÷的最大值与 f x 的最大值相等，均为m ，
è x
3
g x 1+ x lnx所以 = 的最小值为1- m ．
1+ x
故答案为：1- m .
2x
【变式 6-4】已知函数 f x a + t= (a > 0 且 a 1)x 是奇函数．a
(1)求 t的值；
(2)若 0 < a < 1，对任意 x [0,1]有 f (2x2 - kx - k) < f 1 恒成立，求实数 k 的取值范围；
(3)设 g x = log [a2x + a-2x 1m - m(a x - x )](m > 0, m 1)，若 f 1
3
= ，问是否存在实数m 使函数 g x 在[0,1]
a 2
上的最大值为 0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由．
a2x + t
【解析】（1）由函数 f x = (a > 0 且 a 1)是奇函数，
a x
0
f 0 a + t可得 = = 0，即1+ t = 00 ，可得 t = -1，a
2x -2x 2x
经验证：当 t = -1时， f x a -1 f x a -1 1- a= x ，满足 - = = = - f x ，a a- x a x
此时函数 f x 为奇函数，符合题意.
2x
（2）由 0 < a < 1，可得 f x a -1= = a x 1-
a x a x
为单调递减函数，
因为对任意 x [0,1]有 f (2x2 - kx - k) < f 1 恒成立，
即对任意 x [0,1]有 2x2 - kx - k >1恒成立，
设 h x = 2x2 - kx - k -1，则函数 h x 开口向上的抛物线，且对称轴为 x k= ，
4
当 k
k
0时，即 0 时，此时函数 h x 在区间[0,1]上单调递增，
4
则 h 0 = -k -1 > 0，解得 k < -1；
当0 < k < 4 时，即0
k
< <1时，此时函数 h x k在对称轴 x = 处取得最小值，
4 4
2
则 h(k ) k= - - k -1 > 0，解得-4- 2 2 < k < -4+ 2 2 ，因为0 < k < 4 ，此时无解；
4 8
k
当 k 4时，即 1时，此时函数 h x 在区间[0,1]上单调递减，
4
则 h 1 =1- 2k > 0 k 1，解得 < ，因为 k 4，此时无解；
2
综上可得，实数 k 的取值为 (- , -1) .
（3）由 f 1 3= ，可得 a
1 3 1 1
- = ，解得 a = 2或 a = -2 （舍去），所以 f x = 2
x - ，
a 2 2 2x
2x -2x x 1
则 g x = logm[2 + 2 - m(2 - )]，2x
设 s = 2x
1
- ，则 22x + 2-2xx = s2 + 2，2
当 x [0,1]
3 2x -2x x 1
时，可得 s [0, ]，此时 g x = logm[2 + 2 -m(2 - x )] = log 2m(s -ms + 2)，2 2
又由 g x = log (s2m - ms + 2) 0 = logm 1，
则当0 < m <1时， y = s2
3
- ms + 2在 s [0, ]上的最小值为1；
2
3
当m > 1时， y = s2 - ms + 2在 s [0, ]上的最大值为1；
2
设u x = x2 - mx + 2, x [0, 3]，
2
m
当0 < m <1时，函数u x 在 x = 处取得最小值，
2
2
此时u(m) m= - + 2 =1，解得m = ±2（舍去）；
2 4
m 3
当1 < m
3
2 时，函数
u x 的对称轴为 x = ，
2 4
3 3 9 3 13
函数u x 在 x = 处取得最大值，此时u( ) = - m + 2 =1，解得m = （舍去）；
2 2 4 2 6
3
当m > 时，函数u x 的对称轴为 x m 3= > ，
2 2 4
函数u x 在 x = 0处取得最大值，此时u(0) = 2 1，
综上可得，不存在这样的实数m ，使得其成立.
题型七：对数函数中的恒成立问题
【典例 7-1 2x x】已知函数 f x = ln e + e + a - 2 ，若对任意 x2 > x1 > 0 都有 f (x1) - f (x2 ) < x1 - x2 ，则实数 a
的取值范围是（ ）
A． 0, + B． 0, + C． 0,3 D． 0,3
【答案】D
【解析】因为若对任意 x2 > x1 > 0，都有 f x1 - f x2 < x1 - x2，
所以对任意 x2 > x1 > 0 ，都有 f x1 - x1 < f x2 - x2，
令 g x = f x - x = ln e2x + ex a a - 2+ - 2 - ln ex = ln ex + x +1 ÷ ，则 g x 在 0, + 上单调递增．è e
首先 e2x + ex + a - 2 > 0 2 - a < e2x + ex 2 - a 2 a 0 .
因为 g x 在 0, + 上递增，所以 h x a - 2= ex + x +1在 0, + 上递增．e
当 a 0,2 时，显然符合题意；
当 a 2, + 时，令 t = ex >1，
y t a - 2则 = + +1在 t 1, + 上递增，所以 a - 2 1，则 2 < a 3 .
t
综上所述， a 0,3 ，故 D 正确．
故选：D．
1
【典例 7-2 2】若不等式 x - loga (x +1) < 2x -1在 x
，1
÷上恒成立，则实数 a 的取值范围为（2 ）è
é16 1 16 A． ê ， B． ，1 81 ÷ ÷ è 81
1 81ù 3 81ùC． ， ú D．16
，
è è 2 16 ú
【答案】C
2 2 1
【解析】 x - loga (x +1) < 2x -1变形为： x - 2x +1 < loga (x +1)，即 x -1
2 < loga (x +1) x
,1 在 ÷上恒成
è 2
立，
若 0 < a < 1，此时 f x = log 1 1a (x +1) 在 x ,1÷上单调递减， f x = loga (x +1) < logè 2 a
( +1) < 0 ，而当
2
x 1 ,1
2
÷时， g x = x -1 > 0 ，显然不合题意；
è 2
当 a >1时，画出两个函数的图像，
2
要想满足 x -1 2 1< log (x +1) x ,1 f 1 g 1 1 1 a 在 2 ÷上恒成立，只需 2 ÷ ÷ ，即2 loga ( +1) -1 ，è è è 2 ÷è 2
4 4
3 3 ù
解得： a ，综上：实数 a 的取值范围是 1, ú .
è 2 ÷
÷
è è 2 ú
故选：C
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：
（1）函数法：讨论参数范围，通常借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的
图象，再利用数形结合的方法来解决．
【变式 7-1】已知函数 f (x) = -x2 - 4x + 6， g(x) = loga x(a > 0且 a 1)，若对任意的 x2 3,5 ，存在
x é 3 - ,1ù1 ê ú ，使得 f (x1) < g(x2 )成立，则实数 a的取值范围是 . 2
【答案】 1,3
【解析】根据题意知， f (x)min < g(x)min
因为 f (x) = -x2 - 4x + 6，
其图象开口向下，对称轴为 x = -2，
3
所以当 x
é ù
ê- ,1 时， 2 ú
其最小值 f (x)min = f 1 = 1，
当 a >1时， g(x) = loga x ，在 3,5 上的最小值为 loga 3，
则由1< loga 3得1 < a < 3，
当 0 < a < 1时， g(x) = loga x ，在 3,5 上的最小值为 loga 5，
则1 < loga 5时，无解，
故实数 a的取值范围为 1,3 ，
故答案为： 1,3 .
a 0 a 1 0 x 1【变式 7-2】已知 > 且 ，当 < 时，-log2x > a
x
，则 a的取值范围为 .4
【答案】 (0,1) (1,16)
1 1
【解析】当 0 < x 4 时，
-log2x -log2 = 2 .4
当 0 < a < 1时，-log2x > a
x
成立.
当 a >1 x时，若-log2x > a 成立， y = - log2 x
1
是减函数， y = a x 是增函数，则 2 > a 4 ，解得 a <16 ，所以
1 < a <16 .
综上， a的取值范围为 0,1 1,16 .
故答案为： 0,1 1,16 ．
2x +1
【变式 7-3】已知函数 f x =
2x
为奇函数．
+ a
(1)求实数 a 的值；
(2)判断函数 f x 的单调性（不用证明）；
(3)设函数 g(x) log
x log x= 2 × 2 + m，若对任意的 x1 [2,8]，总存在 x2 (0,1]，使得 g x1 = f x2 成立，求实2 4
数 m 的取值范围．
【解析】（1）由已知函数需满足 2x + a 0，当 a 0时，函数的定义域为R ，
x
f x 2 +1函数 = x 为奇函数，所以 f -x = - f x ，2 + a
2- x +1 2x +1
即 = - 在R 上恒成立，即 a +1 2x +1 = 0- x x ， a = -1（舍），2 + a 2 + a
当 a<0时， x log2 -a ，函数的定义域为 - , log2 -a log2 -a ,+ ，
x
又函数 f x 2 +1= x 为奇函数，所以 log2 -a = 0,a = -1，2 + a
x
此时 f x 2 +1= ，函数定义域为 - ,0 0, + ，
2x -1
f x 2
- x +1 2x +1
- = - x = x = - f x ，函数为奇函数，满足，2 -1 -2 +1
综上所述： a = -1；
（2） f x 在 - ,0 和 0, + 上单调递减，证明如下：
f x 2
x +1
= =1 2+ - ,0 x x ，定义域为 0, + ，2 -1 2 -1
设"x1, x2 0, + ，且 x1 < x2，
2 2 2 2x2 - 2x1
则 f x1 - f
x2 = 1+ x - 1+ =è 2 1 -1÷ è 2x2 -1÷ 2x1 -1 2x2 -1
因为 x1, x2 0, + ，且 x1 < x2，所以 2x1 -1 > 0,2x2 -1 > 0,2x2 - 2x1 > 0，
所以 f x1 > f x2 ，所以 f x 在 0, + 上单调递减，
同理可证，所以 f x 在 - ,0 上单调递减；
所以 f x 在 0, + ， - ,0 上单调递减.
（3）函数 f x 在 - ,0 和 0, + 上单调递减，
且当 x - ,0 时， f x < 0 ，当 x 0, + 时， f x > 0，
x2 0,1 时， f x f 1 = 3，所以当 x 0,1 时 f x 的值域 A = 3, + ，
又 g x log x x= 2 × log2 + m = log2x -1 log2x - 2 + m, x 2,8 ，2 4
设 t = log2x, t 1,3 ，则 y = t -1 t - 2 + m = t 2 - 3t + 2 + m，
3 1
当 t = 时，取最小值为- + m，当 x = 3时，取最大值为 2 + m，
2 4
g x x 2,8 B = é 1- + m, 2 + mù即 在 上的值域 ê 4 ú，
又对任意的 x1 2,8 ，总存在 x2 0,1 ，使得 g x1 = f x2 成立，
13
即B A
1 13 é
，所以- + m 3，解得m ，即m ,+ .
4 4 ê ÷ 4
题型八：对数函数的综合问题
【典例 8-1】（2024· x四川南充·模拟预测）函数 f x = xlnx -1的零点为x1，函数 g x = e x -1 - e的零点为
x2，则下列结论正确的是（ ）
x 2 ex -1 1A． e 2 × lnx 21 = e B． + > 2x1
1
C． lnx1 - x2 =1 D． x2 + 21+ lnx1
【答案】B
1
【解析】由题意知， f (x1) = x1 ln x1 -1 = 0 ln x1 = x ，1
g(x2 ) = e
x2 (x2 -1) - e = 0 e
x2 (x 12 -1) = e e
x2 -1 =
x2 -1
，
令 t = x2 -1 t
1
，则 e = ，
t
又因为 y = ln x 与 y = ex 互为反函数，
y = ln x x y 1所以 、 y = e 分别与 = x 的的交点关于
y = x 对称，
所以 x1t =1，即： x1(x2 -1) =1，
又因为 f (1) = -1 < 0 ， f (2) = 2ln 2 -1 = ln 4 - ln e > 0，
所以由零点存在性定理可知， x1 (1,2) ，
1
又因为 x1(x2 -1) =1，即 x2 = +1x ，1
3
所以 x2 ( , 2)2 ，
x x e 12 2
对于 A 项，因为 e (x2 -1) - e = 0 e = ， ln x1 = ， x1(x2 -1) =1x2 -1 x1
x e 1 e2
所以 e × ln x1 = × = = ex2 -1 x x (x -1)
，故 A 项错误；
1 1 2
1
对于 B 项，因为 x1(x2 -1) =1，所以 = xx 2
-1，
1
ex -1 12又因为 = x ( 3 , 2)x2 -1
， 2 2 ，
所以 ex
1 1 1
2 -1 + = ( ) + (x2 -1) > 2 ( ) × (x2 -1) = 2，故 B 项正确；x1 x2 -1 x2 -1
对于 C 项，因为 ln x
1 1
1 = ， = x2 -1，所以 ln x
1
1 - x2 = - x2 = (x2 -1) - x2 = -1x x x ，故 C 项错误；1 1 1
对于 D 项，因为 ln x
1 1
1 = xx ， 2
= +1 x
x ， 1
(1,2) ，
1 1
x 1 ( 1 1) 1 2 ( 12 + = + + > +1)
1
× = 2
所以 1+ ln x 1 11 x1 1+ x1 1+ ，故 D 项错误.
x1 x1
故选：B.
ìlg 3- x 2 + , -3 < x < 0
8-2 2024· · 3+ x x - 3【典例 】（ 云南 二模）已知函数 f x 的定义域为 -3,3 ，且 f x = í 3 x 2 若 lg + - ,0 x < 3
3- x x + 3
3 f [x(x - 2)] + 2 > 0 ，则 x 的取值范围为（ ）
A． (-3,2) B． (-3,0) (0,1) (1,2)
C． (-1,3) D． (-1,0) (0,2) (2,3)
【答案】D
6 2
【解析】当-3 < x < 0 时， f x = lg -1÷ + ，
è x + 3 x - 3
由复合函数的单调性可知 f x 在 -3,0 上单调递减，
2
所以 f x > f 0 = - ；
3
0 x
6 2
当 < 3时， f x = lg -1÷ - ，
è 3- x x + 3
t 6因为 = 在 0,3 上单调递增， y = lg t -1 为增函数，
3 - x
所以 y = lg
6
-1
÷在 0,3 上单调递增，
è 3- x
又 y
2
= - 在 0,3 上为增函数，所以 f x = lg 6 -1
2
÷ - 在 0,3 单调递增，x + 3 è 3 - x x + 3
2
所以 f x f 0 = - .
3
综上， f x 2 - 在 -3,3 上恒成立，当且仅当 x = 0时取等号.
3
2 ì-3 < x x - 2 < 3
所以不等式3 f [x(x - 2)]+ 2 > 0 f [x(x - 2)] > -
3 í x x - 2 0
，
解得-1 < x < 3且 x 0且 x 2，即原不等式的解集为 -1,0 0,2 2,3 .
故选：D
【方法技巧】
对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对
数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解．
ì3x , x 0
【变式 8-1】已知函数 f (x) = í ， g(x) =| x(x - 4) |，则 f (g(2)) = ．若方程
log8 x, x > 0
f (g(x)) + g(x) - m = 0的所有实根之和为 4，则实数 m 的取值范围是 ．
14
【答案】
2 m >3 3
ì3x , x 0
【解析】函数 f (x) = í ， g(x) =| x(x - 4) |，则 g(2) = 4 ，所以 f (g(2)) = log 4 = log 22
2
= ；
log8 x, x > 0
8 23 3
显然函数 g(x) =| (x - 2)2 - 4 |的图象关于直线 x = 2对称，如图，
函数 g(x)在 (- ,0]上单调递减，函数值集合为[0, + ) ，在[0,2]上单调递增，函数值集合为[0, 4]，
在[2,4]上单调递减，函数值集合为[0, 4]，在[4,+ )上单调递增，函数值集合为[0, + ) ，
当 g(x) = 0 ，即 x = 0或 x = 4时， f (g(x)) = 1，点 (0,1), (4,1)关于直线 x = 2对称，
当 x R, x 0 且 x 4时，函数 f (g(x)) = log8 | x(x - 4) |的图象关于直线 x = 2对称，
因此函数 y = f (g(x)) + g(x)（ x R ）的图象关于直线 x = 2对称，
由于函数 y = log8 x 在 (0, + )上单调递增，因此函数 y = f (g(x))在 (- ,0)上单调递减，函数值集合为 R，
在 (0, 2]
2 2
上单调递增，函数值集合为 (- , ]，在[2,4)上单调递减，函数值集合为 (- , ]，
3 3
在 (4,+ ) 上单调递增，函数值集合为 R，
于是函数 y = f (g(x)) + g(x)在 (- ,0)上单调递减，函数值集合为 R，在 (0, 2]上单调递增，函数值集合为
( ,14- ]，
3
在[2,4) ( ,
14
上单调递减，函数值集合为 - ]，在 (4,+ ) 上单调递增，函数值集合为 R，
3
在同一坐标系内作出直线 y = m与函数 y = f (g(x)) + g(x)的图象，如图，
m 14当 = 时，直线 y = m与函数 y = f (g(x)) + g(x)的图象有 3 个交点，方程 f (g(x)) + g(x) - m = 0的所有实
3
根和为 6；
m 14当 < 且m 1时，直线 y = m与函数 y = f (g(x)) + g(x)的图象有 4 个交点，方程 f (g(x)) + g(x) - m = 0的
3
所有实根和为 8；
当m =1时，直线 y = m与函数 y = f (g(x)) + g(x)的图象有 6 个交点，方程 f (g(x)) + g(x) - m = 0的所有实根
和为 12；
m 14当 > 时，直线 y = m与函数 y = f (g(x)) + g(x)的图象有 2 个交点，方程 f (g(x)) + g(x) - m = 0的所有实
3
根和为 4，
m 14所以实数 m 的取值范围是 > .
3
2
故答案为： ；m
14
>
3 3
lg(x -1) , x >1
【变式 8-2】设定义域为 R 的函数 f (x) = {
2
2 ，若关于 x 的方程 2 é f x ù + 2bf x +1 = 0有 8 个-x +1, x 1
不同的实根，到实数 b 的取值范围是 .
3
【答案】 - , - 2 ÷
è 2
【解析】由题设， f (x) 的图象如下图示：
t = f (x) 2令 ，则 2 é f x ù + 2bf x +1 = 0化为 2t 2 + 2bt +1 = 0 ，
∴要使原方程有 8 个不同实根，则 2t 2 + 2bt +1 = 0 有 2 个不同的实根且两根m 、 n (0,1) ，
Δ = 4b2 -8 > 0 b < - 2
∴{m + n = -b {m
1
+ = -b y 1= m + (1 , 2，可得 2m ，又 在 )上递减，在 (
2 ,1)上递增，且
1 2m 2 2 2mn = 1
2 < m <12
y | = y | 3 y | = 2 3
x 1 x=1
=
= 2 ， x
2
= ，即-b [ 2, ) ，
2 2 2
3
综上，b (- ,- 2) .
2
3
故答案为： - , - 2 ÷ .
è 2
【变式 8-3 2x x 2】已知函数 f x = 2 - 3 × 2 , g x = loga x -1 - loga x .
(1)求 g x 的定义域；
é ù
(2)若"x1 0,1 , x
5
2 ê , 2 ú , f x1 > g x2 ，求 a的取值范围.
2
ìx22 -1 > 0
【解析】（1）要使函数 g x = loga x -1 - loga x 有意义，则 í ，解得 x >1，
x > 0
所以 g x 的定义域为 1, + ；
é ù
（2）因为"x1 0,1 , x
5
2 ê , 2 ú , f x1 > g x2 ，所以 f x > g x2 min max ，
2
f x = 22x - 3 × 2x = 2x 3 9 -
÷ -
x
，因为 x 0,1 ，所以 2 1,2 ，
è 2 4
x 3
所以当 2 - 时， f x 9= - ，
2 min 4
g x log x2 1 log x 1 é 5 ù对于函数 = a - - a = log a x - ÷， x ê , 2 ，
è x 2
ú
1 é 5 ù
若 0 < a < 1，则函数 y = loga x 在定义域上单调递减，而函数 y = x - 在x ê
, 2
2 ú
上单调递增，
1 é 5 ù
所以函数 g x = loga x - ÷在 ê , 2ú 上单调递减，
è x 2
5 5 2 5
所以 g x g 5 5 9= ÷÷ = loga - ÷÷ = logmax 2 a ，则 log < - ，è è 2 5 è 10
÷÷ a ÷÷
è 10 4
5
因为 0 < a < 1，所以 loga 10 ÷÷
> 0，无解；
è
é ù
若 a >1，则函数 y = log
1 5
a x 在定义域上单调递增，而函数 y = x - 在 ê , 2ú 上单调递增，x 2
é ù
所以函数 g x = log a x
1 5 , 2 g x g 2 log 2 2 log 2- ÷在 ê ú 上单调递增，所以 = =x max a - ÷ = a ÷，è ÷ ÷ 2 è 2 è 2
2 log 9 1则 a 2 ÷÷
< - ，又 a >1，所解得 ；
è 4 1< a < 4
9
1
综上， a的取值范围为 1,49 ÷ .
è
【变式 8-4】（2024·广东佛山·模拟预测）已知x1，x2分别是关于 x 的方程 x ln x = 2023， xex = 2023的根，
则下面为定值 2023 的是（ ）
x
A． x1 + x2 B． x1 - x2 C． x x D
1
1 2 ． x E．均不是2
【答案】C
ln x 2023= ex 2023【解析】由已知条件可知， ， = ，
x x
令 y = ln x x
2023
1 ， y2 = e ， y3 = ，x
如图所示，
曲线 y1 与曲线 y2 关于直线 y = x 对称，曲线 y3 关于直线 y = x 对称，
A(x , 2023) B(x , 2023设曲线 y3 分别与曲线 y2 ， y1 交于点 1 )x ， 2 ，1 x2
则点A ， B 关于直线 y = x 对称，
而点 A(x ,
2023
1 )关于直线 y = x (
2023 , x ) 2023
x 对称的点为 x 1 ，即为点
B(x2 , )
1 1 x
，
2
x 2023则 2 = x ，即
x1x2 = 2023 .
1
故选：C.
1 1
【变式 8-5】给出函数 f x = a x + ÷ - ln 4x + 2，è x ×2 - x 2x
(1)若 a = 0，求不等式 f x > 2 - ln2的解集；
(2)若 a > 0，且 f 3t -1 > f t - 2 ，求 t的取值范围；
(3)若 a = 0
1 1
，非零实数m ，n满足 f m + 2 2
n2
= f n - 2 ，求证：m m - n > 2 .
【解析】（1）若 a = 0，则不等式 f x > 2 - ln2为-ln 4x + 2 > 2 - ln2，
即 ln 4x < ln2 ，所以0 < 4x < 2
1
，解得- < x < 0或0
1
< x < ，
2 2
1 1
所以不等式的解集为 - ,0÷ U 0,2 ÷
.
è è 2
2 g x 1 1 1 2
x +1
（ ）设 = + = × ，可得其定义域是 - ,0 U 0, + ，
x ×2x - x 2x 2x 2x -1
x
g x 1 2 +1则 - = × = g x ，所以 g x 是偶函数，
-2x 1- 2x
设0 < x1 < x2 ，则1< 2x1 < 2x2 ，0 < 2x1 -1< 2x2 -1，
1 1 1 1 1 1
故
2x
> > 0，所以 + > + > 0，
1 -1 2x2 -1 2x1 -1 2 2x2 -1 2
1 1
> > 0 1 1 1 1 1 1因为 + > +
x x ，所以 x 2x 1 2 ÷ x 2x 1 2 ÷ ，即
g x1 > g x ，è 11 2 1 - 22 è - 2
故 g x 在 0, + 上是严格减函数，
又因为 a > 0，所以 f x 是偶函数，且在 0, + 上是严格减函数，
所以，不等式 f 3t -1 > f t - 2 等价于 f 3t -1 > f t - 2 ，
由单调性可得0 3t 1
1 1 1 3
< - < t - 2 t ，解得 的取值范围是 - ,2 3 ÷
, ÷ .
è è 3 4
（3）若 a = 0，则 f x = -ln 4x + 2，
f m 1 1 1 1由 + 2 = f n - 2 得-ln 4m + = -ln 4n - ，n m n2 m2
2 2
所以 ln m - ln n m + n= 2 2 > 0，所以 m > n .m n
m 2 2 2 4
设 t = n ，则
t > 1， lnt t +1= ，解得m2 t +12 = ， n
2 t +1= ，则m2 - n2 t -1=
m lnt t 2lnt t 2
.
lnt
t 4 -1 2 1
要证m2 - n2 > 2，即证 2 > 2 .因为 lnt > 0 ，所以只需证 t - 2 > 2lnt ，t lnt t
t 2 1即证： - - 2lnt > 0 .
t 2
1 2 t 22 + t-2 -1
设 h t = t - 2 - 2lnt, t >1，则t h t = 2t + 2t
-3 2- = > 0 ，
t t
所以 h t 在 1, + 上是严格增函数，故 h t > h 1 = 0 ，于是m2 - n2 > 2 .
1．（2024 年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数 f (x) = (x + a) ln(x + b)，若 f (x) 0，则 a2 + b2 的最小值为
（ ）
1 1
A． B． C 1． 2 D．18 4
【答案】C
【解析】解法一：由题意可知： f (x) 的定义域为 -b, + ，
令 x + a = 0解得 x = -a；令 ln(x + b) = 0 解得 x =1- b；
若-a -b ，当 x -b,1- b 时，可知 x + a > 0, ln x + b < 0 ，
此时 f (x) < 0，不合题意；
若-b < -a <1- b，当 x -a,1- b 时，可知 x + a > 0, ln x + b < 0 ，
此时 f (x) < 0，不合题意；
若-a =1- b，当 x -b,1- b 时，可知 x + a < 0, ln x + b < 0，此时 f (x) > 0 ；
当 x 1- b,+ 时，可知 x + a 0, ln x + b 0，此时 f (x) 0；
可知若-a =1- b，符合题意；
若-a >1- b，当 x 1- b,-a 时，可知 x + a 0, ln x + b 0，
此时 f (x) < 0，不合题意；
综上所述：-a =1- b，即b = a +1，
2
2 2 2 2 1 1 1 a 1 1则 a + b = a + a +1 = 2 a + ÷ + ，当且仅当 = - ,b = 时，等号成立，
è 2 2 2 2 2
1
所以 a2 + b2 的最小值为 2 ；
解法二：由题意可知： f (x) 的定义域为 -b, + ，
令 x + a = 0解得 x = -a；令 ln(x + b) = 0 解得 x =1- b；
则当 x -b,1- b 时， ln x + b < 0，故 x + a 0 ，所以1- b + a 0；
x 1- b,+ 时， ln x + b > 0，故 x + a 0 ，所以1- b + a 0；
2
故1- b + a = 0 1 1 1，则 a2 + b2 = a2 + a +1 2 = 2 a +
÷ + ，
è 2 2 2
当且仅当 a
1 1
= - ,b = 时，等号成立，
2 2
2 2 1所以 a + b 的最小值为 2 .
故选：C.
S -1
2．（2024 年北京高考数学真题）生物丰富度指数 d = 是河流水质的一个评价指标，其中 S , N 分别表
ln N
示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数 d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种
类数S没有变化，生物个体总数由 N1变为 N2 ，生物丰富度指数由 2.1提高到3.15，则（ ）
A．3N2 = 2N1 B． 2N2 = 3N1
C N 2 = N 3． 2 1 D N
3 2
． 2 = N1
【答案】D
S -1 2.1, S -1【解析】由题意得 = = 3.15，则 2.1ln N1 = 3.15ln N2 ，即 2ln N1 = 3ln N
3 2
ln N ln N 2 ，所以 N2 = N1 .1 2
故选：D.
3．（2022 年新高考天津数学高考真题）化简 2log4 3 + log8 3 log3 2 + log9 2 的值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】B
1 1 1
【解析】原式= (2 log2 3 + log2 3)(log 2 + log 2)2 3 3 2 3
4
= log2 3
3
log3 2 = 2，3 2
故选：B
0.7 1
4．（2022 1 年新高考天津数学高考真题）已知 a = 20.7，b = ÷ ， c = log2 ，则（3 ）è 3
A． a > c > b B．b > c > a C． a > b > c D． c > a > b
【答案】C
0.7
【解析】因为 20.7 1> ÷ > 0 = log 1
1
2 > log2 ，故 a > b > c .
è 3 3
故答案为：C.
1．我们可以把 (1+1%)365 看作每天的"进步”率都是 1%，一年后是1.01365 ；而把 (1-1%)365看作每天的“落后”
率都是 1%，一年后是0.99365 .利用计算工具计算并回答下列问题：
（1）一年后“进步”的是“落后”的多少倍？
（2）大约经过多少天后“进步”的分别是“落后”的 10 倍、100 倍、1000 倍？
1.01365 1.01 3651 = 【解析】（ ） 365 ÷ 1480.7 .0.99 è 0.99
∴一年后“进步”的大约是“落后”的1480.7 倍
x x
（2 1.01 =10 1.01 ）由 得
0.99x ÷
=10
è 0.99
\ x = log lg10 1100 10 =
lg 1.01
= 115
0.9 lg 1.01
0.99 0.99
∴大约经过115天“进步”的是“落后”的10倍.
x
1.01x 1.01 2
由 x =100得
=100, x = 230
0.99 è 0.99
÷
lg 1.01
.
0.99
∴大约经过 230 天“进步”的是“落后”的100倍.
3
1.01x x
=1000 1.01
x = 1.01 345由 得
0.99x ÷
=1000解得
è 0.99 lg 0.99
∴大约经过345天“进步”的是“落后”的1000倍.
2．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含
量达到 20 - 79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车，假设某驾驶员喝了一定量的酒后，
其血液中的酒精含量上升到了1mg / mL .如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减
少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（参考数据 lg7 0.845， lg 2 0.301）
【解析】设经过 x 个小时才能驾驶，则100 (1- 30%)x < 20，
即0.7x < 0.2 ，
由于 y = 0.7x 在定义域上单调递减，
x log 0.2 lg 0.2\ > 0.7 = 5lg 0.7 ，
∴他至少经过 5 小时才能驾驶.
a
1
3．已知 log
1 1
a <1， ÷ <1，a 2 < 1求实数 a 的取值范围.2 è 2
Q log 1 1 log 1【解析】解: a < 2 a
< log
2 a
a ,
1
当 a >1时 loga < loga a成立；2
1
②当 0 < a < 1时，解得0 < a < ．
2
1
a a 0
又 ÷ <1
1 1< ÷ ÷ a > 0 ,
è 2 è 2 è 2
1
a 2 <1 a <1 0 a <1
1
∴a 的取值范围是 0, 2 ÷
．
è
4．比较下列各题中三个值的大小:
(1) log0.2 6, log0.3 6, log0.4 6 ;
(2) log2 3, log3 4, log4 5 .
log 6 lg 6 , log 6 lg 6 lg 6【解析】解:(1) 因为 0.2 = = , log 6 = lg 6 > 0lg 0.2 0.3 lg 0.3 0.4 lg 0.4 ,
且 lg 0.2 < lg 0.3 < lg 0.4 < 0 ,故 log0.2 6 > log0.3 6 > log0.4 6
Q log 3 log 4 lg3 lg 4 (lg3)
2 - lg 2 lg 4
(2) 2 - 3 = - =lg 2 lg3 lg 2lg3
2
(lg3)2 lg 2 + lg 4 (lg3)2 lg8
2 2
- - 2
lg9
2 ÷ ÷
(lg3) -
2 2 ÷> è ,= è > è = 0
lg 2lg3 lg 2lg3 lg 2lg3
\log2 3 > log3 4同理可证 log3 4 > log5 5,\log2 3 > log3 4 > log4 5 .
5．假设有一套住房的房价从 2002 年的 20 万元上涨到 2012 年的 40 万元,下表给出了两种价格增长方式,其
中P1是按直线上升的房价, P2 是按指数增长的房价,t 是 2002 年以来经过的年数.
t 0 5 10 15 20
P1 /万元 20 30 40 50 60
P2 /万元 20 20 2 40 40 2 80
(1)求函数P1 = f (t) 的解析式;
(2)求函数P2 = g t 的解析式;
(3)完成上表空格中的数据,并在同一直角坐标系中画出两个函数的图象,然后比较两种价格增长方式的差异.
ìb = 20, ìb = 20
【解析】解:(1)设 f (t) = kt + b(k 0) ,则 í ,
10k + b = 40
í
k = 2
\P1 = f (t) = 2t + 20 .
ì m = 20, ì m = 20
(2)设 g(t) = mat ( a > 0 ,且 a 1),则 í .
ma
10 = 40 í a = 10 2
t
\P2 = g(t) = 20 (
10 2)t = 20 210 .
(3)图象如图.
由图象可以看出,在前 10 年,按P1增长的价格始终高于按 P2 增长的价格,但 10 年后, P2 的价格增长速度很快,远
远超出P1的价格并且时间越长,差别越大.
易错点：无视对数函数中底数和真数的范围
易错分析： 忽略“对数的真数大于 0”这一个条件导致出错，面对这类题一定要注意真数和底数的范围.
【易错题 1】解不等式 2log(x-4)2 < log
(x-2)
2 .
【解析】因为函数 y = log2 x 在定义域内是单调增函数,解不等式 2log2 (x - 4) < log2 (x - 2) ,即
ìx - 4 > 0 x > 4
ì
log2 (x - 4)
2 < log2 (x - 2)
所以需要满足 íx - 2 > 0 ,解得 íx > 2 即 4 < x < 6 ,所以不等式
x - 4 2 < x - 2
3 < x < 6
2log2 (x - 4) < log2 (x - 2)的解集为 x 4,6 .
éax2 1+(a-1)x+ aù
【易错题 2】 y ê ú= log 4 的定义域为 R ，求实数 a的取值范围.2
【解析】由题意中函数 y = log2[ax
2 + (a -1)x 1+ a]的定义域为 R ,
4
2
即需要满足 ax + (a -1)x
1
+ a > 0 恒成立,
4
ìa > 0 ìa > 0
1
故有 í 2 1 ,解得 ,即 a > , a -1 - 4a × a 0
í
< a 1> 2
4 2
1
所以函数 y = log2[ax
2 + (a -1)x 1+ a] 的定义域为 R 的取值范围为 a ,+
4 2 ֏
答题模板：对数型复合函数的单调问题
1、模板解决思路
判断复合函数单调性的原则是“同增异减”.
2、模板解决步骤
第一步：求函数的定义域．
第二步：将函数分解成内层函数和外层函数．
第三步：判断内层函数和外层函数的单调性．
第四步：根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性．
【典例 1】若函数 f x = ln é a -1 x +1 ù 在 2,3 上单调递减，则实数 a的取值范围是（ ）
A． - ,1 é2 é1 2 B．
ê
,1 C．
3 ÷ ê
,1÷ D．2
,1÷
è 3
【答案】B
【解析】易知函数 y = ln x 在 (0, + )上单调递增，又函数 f (x) 在 (2,3) 上单调递减，
2
所以 a -1 < 0且 a -1 3+1 0，解得 a <1．
3
2
即实数 a 的取值范围为[ ,1)
3
故选：B
【典例 2】已知函数 f (x) = log2 (x
2 - ax + 6) 在 1,2 上单调递减，则实数 a 的取值范围为（ ）
A． 4,5 B． 4,5 C． - , 4 D． - , 4 U 5, +
【答案】A
【解析】令 t = x2 - ax + 6，则 f (x) = log2 (x
2 - ax + 6) ，即由 y = log2 t 和 t = x2 - ax + 6复合而成，
而 y = log2 t 在 (0,+ )上单调递增，
故要使得函数 f (x) = log2 (x
2 - ax + 6) 在 1,2 上单调递减，
需满足 t = x2 - ax + 6 > 0在 1,2 上恒成立，且 t = x2 - ax + 6在 1,2 上单调递减，
ìa
2
即得 í 2 ，解得 4 a 5，即 a 4,5 ，
4 - 2a + 6 0
故选：A
【典例 3】（2024·重庆· 2模拟预测）若函数 f x = ln x - 2ax + 3a 在 1, + 上单调递增，则实数 a的取值范
围是（ ）
A． (- ,1］ B． -1,1 C． -1, + D． 1, +
【答案】B
【解析】因为函数 f x = ln x2 - 2ax + 3a 在 1, + 上单调递增，
ì -2a
- 1
所以 í 2 ，解得-1 < a 1.
1- 2a + 3a > 0
故选：B.