江苏省常州市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2024·常州）﹣2024的绝对值是（ ）
A． B． C．﹣2024 D．2024
2．（2024·常州）若式子有意义，则实数x的值可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．（2024·常州）计算2a2﹣a2的结果是（ ）
A．2 B．a2 C．3a2 D．2a4
4．（2024·常州）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024·常州）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（ ）
A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等
6．（2024·常州）2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为（ ）
A．50×108光年 B．5×108光年 C．5×109光年 D．5×1010光年
7．（2024·常州）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
8．（2024·常州）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．第1km所用的时间最长
B．第5km的平均速度最大
C．第2km和第3km的平均速度相同
D．前2km的平均速度大于最后2km的平均速度
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2024·常州）16的算术平方根是
10．（2024·常州）分解因式：x2﹣4xy+4y2＝ ．
11．（2024·常州）计算： ．
12．（2024·常州）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
13．（2024·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 ．
14．（2024·常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝ °．
15．（2024·常州）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F．若AD＝8，BE＝10，则tan∠ABD＝ ．
16．（2024·常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝ ．
17．（2024·常州）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是m2．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
18．（2024·常州）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（km/h）的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（2024·常州）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
20．（2024·常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x1．
21．（2024·常州）某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
完全充放电次数t 300≤t＜400 400≤t＜500 500≤t＜600 t≥600
充电宝数量/个 2 3 10 5
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是 （写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t＜600；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足300≤t＜400．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
22．（2024·常州）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 ；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
23．（2024·常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△GEC是等腰三角形；
（2）连接AD，则AD与l的位置关系是 ．
24．（2024·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1）．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积．
25．（2024·常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
26．（2024·常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE＝4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是 ，d＝ （写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．
27．（2024·常州）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．
（1）如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 ；
（2）如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当AE＞EC，FB＞BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
28．（2024·常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝ ；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解： ﹣2024的绝对值是 2024.
故答案为：D.
【分析】正数和0的绝对值是这个数本身，负数的绝对值是它的相反数.
2．【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 式子有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2.
∵-1<0<1<2，即选项ABC的数字都小于2，D满足条件.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数.
3．【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解： 2a2﹣a2 =a2 ，
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，字母及字母指数都不变，只把系数相加.
4．【答案】B
【知识点】由展开图判断几何体
【解析】【解答】解：A、是四棱柱的展开图，故不符合题意；
B、是四棱锥的展开图，故符合题意；
C、是圆锥的展开图，故不符合题意；
D、是正方体的展开图，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据常见几何体的展开图判断即可，也可将各个选项的展开图进行折叠，据此即可判断正确选项.
5．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，连接OP，如图：
∵点P在∠AOB的角平分线上，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴PM=PN.
图中直尺都是矩形，对边平行，
根据平行线之间的距离处处相等，可得d1=PN，d2=PM，
∴d1=d2
故答案为：A.
【分析】过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，先根据角平分线的性质得到PM=PN；再根据“平行线之间的距离处处相等”得d1=PN，d2=PM，即可得到d1=d2.
6．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：50亿=50×108=5×101×108=5×109.
故答案为：C.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字的整数位数－1.1亿=108.
7．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：F1的力臂OA大于F2的力臂OB. 这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短判断即可.
8．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据配速的定义，每千米内所用的时间越长，速度越低；配速越大，所用时间越长；配速越小，平均速度越大；由图可以看出：
A、第1km的配速最高，故第1km所用的时间最长说法正确，故选项A正确，不符合题意；
B、第5km的配速最低，故第5km的平均速度最大说法正确，故选项B正确，不符合题意；
C、第2km和第3km的配速相同，第2km和第3km的平均速度相同说法正确，故选项C正确，不符合；
D、前两千米配速的平均值大于后两千米配速的平均值，故前2km的平均速度大于最后2km的平均速度说法错误，故选项D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据配速的定义，每千米内所用的时间越长，速度越低；即配速越大，所用时间越长；配速越小，平均速度越大；再结合图象分析每个选项即可.
9．【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵4 =16，
∴=4．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
10．【答案】（x﹣2y）2
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：x2﹣4xy+4y2＝(x－2y)2.
故答案为：(x－2y)2.
【分析】可利用完全平方公式进行进行因式分解.
11．【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：1.
【分析】根据同分母分式的加法运算法则运算即可.
12．【答案】y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）
【知识点】函数解析式；等腰三角形的概念
13．【答案】（﹣2，﹣1）
【知识点】正方形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形是中心对称图形， 且正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O ，
故点A和点C关于原点O对称.
又∵点A的坐标是（2，1）
∴点C的坐标是（﹣2，﹣1）
故答案为：（﹣2，﹣1）.
【分析】根据正方形的性质以及对角线AC、BD相交于原点O可得点A和点C关于原点对称.关于原点对称的点纵坐标和横坐标都互为相反数.
14．【答案】70
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BAD=∠BCD=20°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°－∠BAD=70°
故答案为：70.
【分析】根据圆周角定理得∠BAD=∠BCD=20°，再求出∠ADB=90°，即可得到∠ABD.
15．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：连接DE，如图：
∵EF垂直平分BD，
∴ED=EB=10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴.
∴AB=AE+BE=16.
∴.
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得ED=EB，利用勾股定理求得AE长，从而可得AB长，再利用正切的概念求tan∠ABD 即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处， ∠ACB＝90°，
∴△CED≌△FED，
∴CD=FD，CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°.
∵AC=6，点D是边AC的中点，
∴CD=AD=3=DF.
∵CD=3，BC=4，∠BCD=90°，
∴BD=5，
∴BF=BD－DF=5－3=2.
在Rt△EFB中，EF2+BF2=BE2.
∴CE2+22=(4－CE)2.
解得：.
故答案为：.
【分析】根据翻折可得△CED≌△FED，于是有CD=FD，CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°.求出CD和DF长，从而可利用勾股定理求出BD长，再利用线段加减求出BF长.再在Rt△BEF中利用勾股定理，即可得到CE长.
17．【答案】＞
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为前9次的平均成绩是20m，第10次的成绩也是20m，设次成绩的平均数为，
则.
∵
则，
故 .
故答案为：>.
【分析】平均数是所有数据的总和除以数据的个数，而方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。据此计算出前9次和10次时的平均数和方差，即可判断两次方差的大小.
18．【答案】54≤v≤72
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意：，
可得：
解得：54≤v≤72
∴车速v的取值范围是：54≤v≤72
故答案为：54≤v≤72.
【分析】利用路程= 速度×时间，结合小亮爸爸以不低于40km/ h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口(在红、绿灯切换瞬间也可通过) ， 可列出关于v的一元一次不等式组，解之即可得出车速v(km/h)的取值范围.
19．【答案】（1）解：，
①+②，得：4x＝4，
∴x＝1，
将x＝1代入①得：y＝1，
∴该方程组的解为：；
（2）解：，
解不等式3x﹣6＜0，得：x＜2，
解不等式，得：x＞﹣1，
∴该不等式组的解集为：﹣1＜x＜2．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）可以利用加减消元法解这个二元一次方程组；
（2）分别解两个不等式，得到不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”确定不等式组的解集即可.
20．【答案】解：原式＝x2+2x+1﹣x2﹣x
＝x+1；
当x1时，
原式1+1．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用整式的加减混合运算法则进行运算化简，最后在代入x的值求值即可.
21．【答案】（1）解：因为全面调查一般花费多、耗时长，而且具有破坏性，所以本次检测采用的是抽样调查；
（2）①②
（3）解：2000500（个），
答：估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量为500个．
【知识点】全面调查与抽样调查；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）①从表格看，20个充电宝的最低完全充放电次数为300，故都不低于300次；故①正确；
②表格数据已经按照从小到大排列，第10和第11个充电宝的完全充放电次数都在 500≤t＜600 次，故中位数满足 500≤t＜600说法正确；②正确；
③ 这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足，故③错误；
故答案为：①②；
【分析】（1）根据一次实验为1个充电宝完全充电放电的次数，用完之后充电宝就不能再用，可知实验具有破坏性，且容量比较大，据此回答即可.
（2）分别根据频数分布表，中位数和加权平均数进行计算并判断即可；
( 3 )用总数乘以样本中完全充放电次数在600次及以上的个数所占的百分比即可.
22．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子）
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：（石头，剪子），（剪子，布），（布，石头），共3种，
∴甲取胜的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，利用概率公式可得答案.
（2）列表得出所有等可能的结果数以及甲取胜的结果数，再利用概率公式可得出答案.
23．【答案】（1）证明：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
即∠GCE＝∠GEC，
∴GE＝GC，
∴△GEC为等腰三角形；
（2）AD∥l
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（2）连接AD，如图：
由（1）得，△GEC为等腰三角形；
∴GE=GC，
∵AC=DE，
∴DE－GE=AC－GC，即AG=DG，
∴∠GAD=∠GDA，
又∵∠AGD=∠EGC，∠ACB＝∠DEF，
∴，
∴AD//l.
【分析】（1）利用SSS证明△ABC≌△DFE，可得∠ACB＝∠DEF，再根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得GE=GC，再结合等式的性质可得AG=DG，于是有∠GAD=∠GDA，于是可结合三角形的内角和定理证明∠GAD=∠ACB，再根据平行线的判定定理即可得到结论.
24．【答案】（1）解：∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1），
∴m＝﹣n＝2，
∴m＝2，n＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y，
一次函数y＝kx+b的图象过A（﹣1，﹣2）、B（2，1），
，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣1．
（2）解：如图，设直线与x轴的交点为点C，
在函数y＝x﹣1中，当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），
即OC＝1，
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先把点A和B的坐标代入反比例函数解析式求出m和n的值，再代入一次函数解析式得到关于k和b的二元一次方程组，求解即可；
（2）求出一次函数与x轴的交点C的坐标，得OC长，再利用S△AOB＝S△BOC+S△AOC即可求解.
25．【答案】解：由题意得，AB＝（1.2+c+d）m，AD＝（0.8+a+b）m，
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝（1.2+c+d）m＝（1.2+4a）m，AD＝（0.8+a+b）m＝（0.8+2a），
∵AB与AD的比是16：10，
∴（1.2+4a）：（0.8+2a）＝16：10，
∴a＝0.1，
∴b＝0.1，c＝d＝0.2，
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意分别表示出装裱后的长方形的长AB和宽AD，根据a＝b，c＝d，c＝2a 用含a的代数式表示出AB和CD，再根据AB：CD=16：10得到关于a的比例方程，求解即可.
26．【答案】（1）BD；1
（2）解：作图如图所示，
理由：∵AB＝A'B＝BC'＝A'C'，△ABC是等边三角形，
∴△BA'C'为等边三角形，
∴△ABC≌△BA'C'（SAS），
∵平移距离为2，
∴△BA'C'是△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2．
（3）解：∵点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），
∴OD＝OE＝1，OG＝4，
∴DE＝2，，
对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，且DE＝2＜3，
∴DF≥3，EF≥3，
当DE在圆外时，
∵DF≥DG﹣GF，EF≥EG﹣GF总成立，
∴，
∴，
即；
当DE在圆内时，
有DF≥GF﹣DG，EF≥GF﹣EG总成立，
则，
∴GF3，
∴r3；
综上：或r3；
【知识点】平移的性质；尺规作图-作三角形；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵B、C、D是线段AE的四等分点，AE＝4，
∴，
∴AC=AB+BC=BC+CD=BD=2.
∵AC向右平移1个单位可以和BD重合，根据平移关联图形的定义，可知线段AC的“平移关联图形”是BD，d=1.
故答案为：BD；1.
【分析】（1）B、C、D是线段AE的四等分点可得AB=BC=CD=DE=1，且AC=BD=2，根据平移关联图形的定义，AC向右平移1个单位可以和BD重合，据此可得到结论.
（2）①在AB延长线上截取BA'＝BA，②再分别以B和A'为圆心，BA'长为半径画弧交于点C'，③连接BC和A'C'，得到△BA'C'，可以证明三角形△BA'C'≌△BA'C'，且AB向右平移2个单位可得BA'，故△BA'C'是△ABC的一个“平移关联图形”，且d=2；
（3）根据点D，E。G的坐标可得OD=OE=1，OG=4，DE=2，.根据题意，连接DE、EF、FD所形成的图形的“平移关联图形”都满足d≥3，由于DE＝2＜3，可知DF≥3，EF≥3总成立.于是可分两种情况进行讨论：①当DE在圆外时，DF≥DG﹣GF，EF≥EG﹣GF，即，据此可得r的取值范围；②当DE在圆外时，有，也可据此得到r的取值范围，最后综述即可.
27．【答案】（1）菱形
（2）解：∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠DEF＝∠C＝60°，AC＝BC＝6cm，
∵EF∥BC，
∴∠CHE＝∠DEF＝60°，
∴∠ABC＝∠CHE，
∴BG∥EH，
∴四边形BHEG是平行四边形，
∵∠C＝∠CHE＝60°，
∴△EHC是等边三角形，
过点E作ET⊥HC，
∴设EH＝CH＝2x cm，则BH＝（6﹣2x）cm， cm，
∴ cm，
∴，
∵，
∴当时，S重叠有最大值，最大值为；
（3）解：AE＝BF，理由如下：
如图所示，过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，
∵△ABC，△DEF都是边长为6cm的等边三角形，
∴cm，EF＝AB＝6cm，BE＝BE，
∴由勾股定理可得，，
∴EN＝BM，
又∵BE＝BE，
∴Rt△NBE≌Rt△MEB（HL），
∴NB＝ME，
∴FN+BN＝AM+ME，即AE＝BF．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；菱形的判定；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：（1）连接BE，DC，如图：
∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠ EDF=∠FED=60°.
∴B、D、C、E四点共圆.
∵点E是AC的中点，
∴∠BEC=90°，.
∴BC为过B、D、C、E四点的圆的直径，
又∵DE=BC=6cm，
∴DE也是过B、D、C、E四点的圆的直径，
∵BC，DE相交于点H，
∴点H为圆心，
∴EH= BH.
∴∠HBE=∠HEB=30°，
∴，
∴BGIIEH，BHIIEG，
∴四边形BHEG是平行四边形，
又∵EH=BH，
∴四边形BHEG是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形，
故答案为：菱形.
【分析】（1）连接BE，DC，根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=∠ EDF=∠FED=60°，得B、D、C、E四点共圆.证明BC，DE为圆的直径，可得HE为圆心，于是有BH=EH，再证∠HBE=∠HEB=30°，
，可得BGIIEH，BHIIEG，根据平行四边形的判定定理可得平行四边形BHEG，再结合菱形的定义即可得结论.
（2）利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形BHEG是平行四边形，△EHC是等边三角形，过点E作ET⊥HC，设EH＝CH＝2x ，表示出ET和BH，则重叠部分面积为BH·ET，代入得到关于x的二次函数，根据二次函数的性质求最值即可.
（3）过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，根据等边三角形的性质得EF＝AB＝6cm，cm，利用勾股定理求出NE和BM的长，可得NE=BM，证明Rt△NBE≌Rt△MEB，可得BN=ME，故FN+BN＝AM+ME，即可得到结论.
28．【答案】（1）3
（2）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3，则b＝2，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为：（1，4），点B（3，0）；
①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线在x＝1时，取得最大值，即s＝4，
当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3，
则4﹣（﹣m2+2m+3）＝2，
解得：m＝（不合题意的值已舍去）；
②设点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，0），
由点A、C的坐标得直线AC的表达式为：y＝3x+3，
当点P在x轴上方时，如下图，
∵∠DPQ＝∠ACO，
∴AC//PQ，
则直线PQ的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，
则点Q（0，﹣m2﹣m+3），
由点P、C、D、Q的坐标得，DQ2＝m2+（﹣m2﹣m+3）2，PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
∵DQ＝PC，即m2+（﹣m2﹣m+3）2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或1或1.5；
当点P在x轴下方时，如图：
取点H(1，0)，则易证∠ACO=∠HCO，
∵∠DPQ＝∠ACO，
∴CH//PQ，
由（1，0）和（0，3）可得CH所在直线的解析式为y=-3x+3.
则直线PQ的表达式为：y＝－3（x﹣m）﹣m2+2m+3，
可得：点Q（0，﹣m2+5m+3），
则DQ2＝m2+（﹣m2+5m+3）2＝PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或（舍去）或；
综上所述，点P的横坐标为：1或1.5或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（1）令x=0，y=3，
故点C坐标为（0，3），即OC=3
故答案为：3.
【分析】（1）令x=0，求出y的值，即可得到OC长.
（2）先将点A坐标代入求出b，可得到抛物线的解析式，从而可确定对称轴，顶点坐标以及与x轴的另一交点B.
① 当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线在x=1时有最大值即s=4，在x=m时有最小值即t=﹣m2+2m+3，代入s﹣t＝2得关于m的方程求解即可.
②设点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，0），表示出AC所在直线的解析式，当点P在x轴上方时，根据∠DPQ＝∠ACO得AC//PQ，可得PQ所在直线的表达式y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，据此求出点Q的坐标，根据直角坐标系内两点间距离公式求出DQ2和PC2，由DQ=PC得关于m的方程求解即可；当点P在x轴下方时，取点H(1，0)，则易证∠ACO=∠HCO，根据∠DPQ＝∠ACO得CH//PQ，可得PQ所在直线的表达式y＝－3（x﹣m）﹣m2+2m+3，据此求出点Q的坐标，后面步骤同上可得，最后综述即可.
1 / 1江苏省常州市2024年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的）
1．（2024·常州）﹣2024的绝对值是（ ）
A． B． C．﹣2024 D．2024
【答案】D
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解： ﹣2024的绝对值是 2024.
故答案为：D.
【分析】正数和0的绝对值是这个数本身，负数的绝对值是它的相反数.
2．（2024·常州）若式子有意义，则实数x的值可能是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】D
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵ 式子有意义，
∴x-2≥0，
∴x≥2.
∵-1<0<1<2，即选项ABC的数字都小于2，D满足条件.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数.
3．（2024·常州）计算2a2﹣a2的结果是（ ）
A．2 B．a2 C．3a2 D．2a4
【答案】B
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解： 2a2﹣a2 =a2 ，
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项法则，字母及字母指数都不变，只把系数相加.
4．（2024·常州）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】由展开图判断几何体
【解析】【解答】解：A、是四棱柱的展开图，故不符合题意；
B、是四棱锥的展开图，故符合题意；
C、是圆锥的展开图，故不符合题意；
D、是正方体的展开图，故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据常见几何体的展开图判断即可，也可将各个选项的展开图进行折叠，据此即可判断正确选项.
5．（2024·常州）如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则（ ）
A．d1与d2一定相等 B．d1与d2一定不相等
C．l1与l2一定相等 D．l1与l2一定不相等
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，连接OP，如图：
∵点P在∠AOB的角平分线上，PM⊥OA，PN⊥OB，
∴PM=PN.
图中直尺都是矩形，对边平行，
根据平行线之间的距离处处相等，可得d1=PN，d2=PM，
∴d1=d2
故答案为：A.
【分析】过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，先根据角平分线的性质得到PM=PN；再根据“平行线之间的距离处处相等”得d1=PN，d2=PM，即可得到d1=d2.
6．（2024·常州）2024年5月10日，记者从中国科学院国家天文台获悉，“中国天眼”FAST近期发现了6个距离地球约50亿光年的中性氢星系，这是人类迄今直接探测到的最远的一批中性氢星系.50亿光年用科学记数法表示为（ ）
A．50×108光年 B．5×108光年 C．5×109光年 D．5×1010光年
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：50亿=50×108=5×101×108=5×109.
故答案为：C.
【分析】大于10的数用科学记数法表示为a×10n，1≤a<10，n为原数字的整数位数－1.1亿=108.
7．（2024·常州）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力F1、F2，则F1的力臂OA大于F2的力臂OB．这一判断过程体现的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：F1的力臂OA大于F2的力臂OB. 这一判断过程体现的数学依据是垂线段最短.
故答案为：A.
【分析】根据垂线段最短判断即可.
8．（2024·常州）在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进1km所用的时间，即“配速”（单位：min/km）．小华参加5km的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是（ ）
A．第1km所用的时间最长
B．第5km的平均速度最大
C．第2km和第3km的平均速度相同
D．前2km的平均速度大于最后2km的平均速度
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据配速的定义，每千米内所用的时间越长，速度越低；配速越大，所用时间越长；配速越小，平均速度越大；由图可以看出：
A、第1km的配速最高，故第1km所用的时间最长说法正确，故选项A正确，不符合题意；
B、第5km的配速最低，故第5km的平均速度最大说法正确，故选项B正确，不符合题意；
C、第2km和第3km的配速相同，第2km和第3km的平均速度相同说法正确，故选项C正确，不符合；
D、前两千米配速的平均值大于后两千米配速的平均值，故前2km的平均速度大于最后2km的平均速度说法错误，故选项D错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据配速的定义，每千米内所用的时间越长，速度越低；即配速越大，所用时间越长；配速越小，平均速度越大；再结合图象分析每个选项即可.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请将答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2024·常州）16的算术平方根是
【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵4 =16，
∴=4．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
10．（2024·常州）分解因式：x2﹣4xy+4y2＝ ．
【答案】（x﹣2y）2
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：x2﹣4xy+4y2＝(x－2y)2.
故答案为：(x－2y)2.
【分析】可利用完全平方公式进行进行因式分解.
11．（2024·常州）计算： ．
【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
故答案为：1.
【分析】根据同分母分式的加法运算法则运算即可.
12．（2024·常州）若等腰三角形的周长是10，则底边长y与腰长x的函数表达式为 ．
【答案】y＝10﹣2x（2.5＜x＜5）
【知识点】函数解析式；等腰三角形的概念
13．（2024·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 ．
【答案】（﹣2，﹣1）
【知识点】正方形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形是中心对称图形， 且正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O ，
故点A和点C关于原点O对称.
又∵点A的坐标是（2，1）
∴点C的坐标是（﹣2，﹣1）
故答案为：（﹣2，﹣1）.
【分析】根据正方形的性质以及对角线AC、BD相交于原点O可得点A和点C关于原点对称.关于原点对称的点纵坐标和横坐标都互为相反数.
14．（2024·常州）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝ °．
【答案】70
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BAD=∠BCD=20°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°－∠BAD=70°
故答案为：70.
【分析】根据圆周角定理得∠BAD=∠BCD=20°，再求出∠ADB=90°，即可得到∠ABD.
15．（2024·常州）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F．若AD＝8，BE＝10，则tan∠ABD＝ ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：连接DE，如图：
∵EF垂直平分BD，
∴ED=EB=10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴.
∴AB=AE+BE=16.
∴.
故答案为：.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得ED=EB，利用勾股定理求得AE长，从而可得AB长，再利用正切的概念求tan∠ABD 即可.
16．（2024·常州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4，D是边AC的中点，E是边BC上一点，连接BD、DE．将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处，则CE＝ ．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵ 将△CDE沿DE翻折，点C落在BD上的点F处， ∠ACB＝90°，
∴△CED≌△FED，
∴CD=FD，CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°.
∵AC=6，点D是边AC的中点，
∴CD=AD=3=DF.
∵CD=3，BC=4，∠BCD=90°，
∴BD=5，
∴BF=BD－DF=5－3=2.
在Rt△EFB中，EF2+BF2=BE2.
∴CE2+22=(4－CE)2.
解得：.
故答案为：.
【分析】根据翻折可得△CED≌△FED，于是有CD=FD，CE=EF，∠ECD=∠EFD=90°.求出CD和DF长，从而可利用勾股定理求出BD长，再利用线段加减求出BF长.再在Rt△BEF中利用勾股定理，即可得到CE长.
17．（2024·常州）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是20m，方差是m2．若第10次投掷标枪的落点恰好在20m线上，且投掷结束后这组成绩的方差是m2，则 （填“＞”、“＝”或“＜”）．
【答案】＞
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为前9次的平均成绩是20m，第10次的成绩也是20m，设次成绩的平均数为，
则.
∵
则，
故 .
故答案为：>.
【分析】平均数是所有数据的总和除以数据的个数，而方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。据此计算出前9次和10次时的平均数和方差，即可判断两次方差的大小.
18．（2024·常州）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速80km/h的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于40km/h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（km/h）的取值范围是 ．
【答案】54≤v≤72
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：由题意：，
可得：
解得：54≤v≤72
∴车速v的取值范围是：54≤v≤72
故答案为：54≤v≤72.
【分析】利用路程= 速度×时间，结合小亮爸爸以不低于40km/ h的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口(在红、绿灯切换瞬间也可通过) ， 可列出关于v的一元一次不等式组，解之即可得出车速v(km/h)的取值范围.
三、解答题（本大题共10小题，共84分．请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（2024·常州）解方程组和不等式组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
①+②，得：4x＝4，
∴x＝1，
将x＝1代入①得：y＝1，
∴该方程组的解为：；
（2）解：，
解不等式3x﹣6＜0，得：x＜2，
解不等式，得：x＞﹣1，
∴该不等式组的解集为：﹣1＜x＜2．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）可以利用加减消元法解这个二元一次方程组；
（2）分别解两个不等式，得到不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了”确定不等式组的解集即可.
20．（2024·常州）先化简，再求值：（x+1）2﹣x（x+1），其中x1．
【答案】解：原式＝x2+2x+1﹣x2﹣x
＝x+1；
当x1时，
原式1+1．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用整式的加减混合运算法则进行运算化简，最后在代入x的值求值即可.
21．（2024·常州）某企业生产了2000个充电宝，为了解这批充电宝的使用寿命（完全充放电次数），从中随机抽取了20个进行检测，数据整理如下：
完全充放电次数t 300≤t＜400 400≤t＜500 500≤t＜600 t≥600
充电宝数量/个 2 3 10 5
（1）本次检测采用的是抽样调查，试说明没有采用普查的理由；
（2）根据上述信息，下列说法中正确的是 （写出所有正确说法的序号）；
①这20个充电宝的完全充放电次数都不低于300次；
②这20个充电宝的完全充放电次数t的中位数满足500≤t＜600；
③这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足300≤t＜400．
（3）估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量．
【答案】（1）解：因为全面调查一般花费多、耗时长，而且具有破坏性，所以本次检测采用的是抽样调查；
（2）①②
（3）解：2000500（个），
答：估计这批充电宝中完全充放电次数在600次及以上的数量为500个．
【知识点】全面调查与抽样调查；加权平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（2）①从表格看，20个充电宝的最低完全充放电次数为300，故都不低于300次；故①正确；
②表格数据已经按照从小到大排列，第10和第11个充电宝的完全充放电次数都在 500≤t＜600 次，故中位数满足 500≤t＜600说法正确；②正确；
③ 这20个充电宝的完全充放电次数t的平均数满足，故③错误；
故答案为：①②；
【分析】（1）根据一次实验为1个充电宝完全充电放电的次数，用完之后充电宝就不能再用，可知实验具有破坏性，且容量比较大，据此回答即可.
（2）分别根据频数分布表，中位数和加权平均数进行计算并判断即可；
( 3 )用总数乘以样本中完全充放电次数在600次及以上的个数所占的百分比即可.
22．（2024·常州）在3张相同的小纸条上分别写有“石头”、“剪子”、“布”．将这3张小纸条做成3支签，放在不透明的盒子中搅匀．
（1）从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是 ；
（2）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先从盒子中任意抽出1支签（不放回），乙再从余下的2支签中任意抽出1支签，求甲取胜的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
石头 剪子 布
石头 （石头，剪子） （石头，布）
剪子 （剪子，石头） （剪子，布）
布 （布，石头） （布，剪子）
共有6种等可能的结果，其中甲取胜的结果有：（石头，剪子），（剪子，布），（布，石头），共3种，
∴甲取胜的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；等可能事件的概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，
∴从盒子中任意抽出1支签，抽到“石头”的概率是.
故答案为：.
【分析】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中抽到“石头”的结果有1种，利用概率公式可得答案.
（2）列表得出所有等可能的结果数以及甲取胜的结果数，再利用概率公式可得出答案.
23．（2024·常州）如图，B、E、C、F是直线l上的四点，AC、DE相交于点G，AB＝DF，AC＝DE，BC＝EF．
（1）求证：△GEC是等腰三角形；
（2）连接AD，则AD与l的位置关系是 ．
【答案】（1）证明：在△ABC和△DFE中，
，
∴△ABC≌△DFE（SSS），
∴∠ACB＝∠DEF，
即∠GCE＝∠GEC，
∴GE＝GC，
∴△GEC为等腰三角形；
（2）AD∥l
【知识点】等腰三角形的性质；等腰三角形的判定；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：（2）连接AD，如图：
由（1）得，△GEC为等腰三角形；
∴GE=GC，
∵AC=DE，
∴DE－GE=AC－GC，即AG=DG，
∴∠GAD=∠GDA，
又∵∠AGD=∠EGC，∠ACB＝∠DEF，
∴，
∴AD//l.
【分析】（1）利用SSS证明△ABC≌△DFE，可得∠ACB＝∠DEF，再根据等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即可得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得GE=GC，再结合等式的性质可得AG=DG，于是有∠GAD=∠GDA，于是可结合三角形的内角和定理证明∠GAD=∠ACB，再根据平行线的判定定理即可得到结论.
24．（2024·常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1）．
（1）求一次函数、反比例函数的表达式；
（2）连接OA、OB，求△OAB的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y的图象相交于点A（﹣1，n）、B（2，1），
∴m＝﹣n＝2，
∴m＝2，n＝﹣2，
∴反比例函数解析式为y，
一次函数y＝kx+b的图象过A（﹣1，﹣2）、B（2，1），
，
解得，
∴一次函数解析式为y＝x﹣1．
（2）解：如图，设直线与x轴的交点为点C，
在函数y＝x﹣1中，当y＝0时，x＝1，
∴C（1，0），
即OC＝1，
∴S△AOB＝S△BOC+S△AOC．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）先把点A和B的坐标代入反比例函数解析式求出m和n的值，再代入一次函数解析式得到关于k和b的二元一次方程组，求解即可；
（2）求出一次函数与x轴的交点C的坐标，得OC长，再利用S△AOB＝S△BOC+S△AOC即可求解.
25．（2024·常州）书画装裱，是指为书画配上衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前的大小是1.2m×0.8m．装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是am、bm、cm、dm．若装裱后AB与AD的比是16：10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周边衬的宽度．
【答案】解：由题意得，AB＝（1.2+c+d）m，AD＝（0.8+a+b）m，
∵a＝b，c＝d，c＝2a，
∴AB＝（1.2+c+d）m＝（1.2+4a）m，AD＝（0.8+a+b）m＝（0.8+2a），
∵AB与AD的比是16：10，
∴（1.2+4a）：（0.8+2a）＝16：10，
∴a＝0.1，
∴b＝0.1，c＝d＝0.2，
答：上、下、左、右边衬的宽度分别是0.1m、0.1m、0.2m、0.2m．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】根据题意分别表示出装裱后的长方形的长AB和宽AD，根据a＝b，c＝d，c＝2a 用含a的代数式表示出AB和CD，再根据AB：CD=16：10得到关于a的比例方程，求解即可.
26．（2024·常州）对于平面内有公共点的两个图形，若将其中一个图形沿着某个方向移动一定的距离d后与另一个图形重合，则称这两个图形存在“平移关联”，其中一个图形叫做另一个图形的“平移关联图形”．
（1）如图1，B、C、D是线段AE的四等分点．若AE＝4，则在图中，线段AC的“平移关联图形”是 ，d＝ （写出符合条件的一种情况即可）；
（2）如图2，等边三角形ABC的边长是2．用直尺和圆规作出△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2（保留作图痕迹，不要求写作法）；
（3）如图3，在平面直角坐标系xOy中，点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），以点G为圆心，r为半径画圆．若对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，直接写出r的取值范围．
【答案】（1）BD；1
（2）解：作图如图所示，
理由：∵AB＝A'B＝BC'＝A'C'，△ABC是等边三角形，
∴△BA'C'为等边三角形，
∴△ABC≌△BA'C'（SAS），
∵平移距离为2，
∴△BA'C'是△ABC的一个“平移关联图形”，且满足d＝2．
（3）解：∵点D、E、G的坐标分别是（﹣1，0）、（1，0）、（0，4），
∴OD＝OE＝1，OG＝4，
∴DE＝2，，
对⊙G上的任意点F，连接DE、EF、FD所形成的图形都存在“平移关联图形”，且满足d≥3，且DE＝2＜3，
∴DF≥3，EF≥3，
当DE在圆外时，
∵DF≥DG﹣GF，EF≥EG﹣GF总成立，
∴，
∴，
即；
当DE在圆内时，
有DF≥GF﹣DG，EF≥GF﹣EG总成立，
则，
∴GF3，
∴r3；
综上：或r3；
【知识点】平移的性质；尺规作图-作三角形；圆-动点问题
【解析】【解答】解：（1）∵B、C、D是线段AE的四等分点，AE＝4，
∴，
∴AC=AB+BC=BC+CD=BD=2.
∵AC向右平移1个单位可以和BD重合，根据平移关联图形的定义，可知线段AC的“平移关联图形”是BD，d=1.
故答案为：BD；1.
【分析】（1）B、C、D是线段AE的四等分点可得AB=BC=CD=DE=1，且AC=BD=2，根据平移关联图形的定义，AC向右平移1个单位可以和BD重合，据此可得到结论.
（2）①在AB延长线上截取BA'＝BA，②再分别以B和A'为圆心，BA'长为半径画弧交于点C'，③连接BC和A'C'，得到△BA'C'，可以证明三角形△BA'C'≌△BA'C'，且AB向右平移2个单位可得BA'，故△BA'C'是△ABC的一个“平移关联图形”，且d=2；
（3）根据点D，E。G的坐标可得OD=OE=1，OG=4，DE=2，.根据题意，连接DE、EF、FD所形成的图形的“平移关联图形”都满足d≥3，由于DE＝2＜3，可知DF≥3，EF≥3总成立.于是可分两种情况进行讨论：①当DE在圆外时，DF≥DG﹣GF，EF≥EG﹣GF，即，据此可得r的取值范围；②当DE在圆外时，有，也可据此得到r的取值范围，最后综述即可.
27．（2024·常州）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．
（1）如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是 ；
（2）如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
（3）如图3，当AE＞EC，FB＞BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
【答案】（1）菱形
（2）解：∵△ABC，△DEF都是等边三角形，
∴∠ABC＝∠DEF＝∠C＝60°，AC＝BC＝6cm，
∵EF∥BC，
∴∠CHE＝∠DEF＝60°，
∴∠ABC＝∠CHE，
∴BG∥EH，
∴四边形BHEG是平行四边形，
∵∠C＝∠CHE＝60°，
∴△EHC是等边三角形，
过点E作ET⊥HC，
∴设EH＝CH＝2x cm，则BH＝（6﹣2x）cm， cm，
∴ cm，
∴，
∵，
∴当时，S重叠有最大值，最大值为；
（3）解：AE＝BF，理由如下：
如图所示，过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，
∵△ABC，△DEF都是边长为6cm的等边三角形，
∴cm，EF＝AB＝6cm，BE＝BE，
∴由勾股定理可得，，
∴EN＝BM，
又∵BE＝BE，
∴Rt△NBE≌Rt△MEB（HL），
∴NB＝ME，
∴FN+BN＝AM+ME，即AE＝BF．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；菱形的判定；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：（1）连接BE，DC，如图：
∵△ABC和△DEF都是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠ EDF=∠FED=60°.
∴B、D、C、E四点共圆.
∵点E是AC的中点，
∴∠BEC=90°，.
∴BC为过B、D、C、E四点的圆的直径，
又∵DE=BC=6cm，
∴DE也是过B、D、C、E四点的圆的直径，
∵BC，DE相交于点H，
∴点H为圆心，
∴EH= BH.
∴∠HBE=∠HEB=30°，
∴，
∴BGIIEH，BHIIEG，
∴四边形BHEG是平行四边形，
又∵EH=BH，
∴四边形BHEG是菱形，即两张纸片重叠部分的形状是菱形，
故答案为：菱形.
【分析】（1）连接BE，DC，根据等边三角形的性质得∠ABC=∠ACB=∠ EDF=∠FED=60°，得B、D、C、E四点共圆.证明BC，DE为圆的直径，可得HE为圆心，于是有BH=EH，再证∠HBE=∠HEB=30°，
，可得BGIIEH，BHIIEG，根据平行四边形的判定定理可得平行四边形BHEG，再结合菱形的定义即可得结论.
（2）利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”证明四边形BHEG是平行四边形，△EHC是等边三角形，过点E作ET⊥HC，设EH＝CH＝2x ，表示出ET和BH，则重叠部分面积为BH·ET，代入得到关于x的二次函数，根据二次函数的性质求最值即可.
（3）过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，根据等边三角形的性质得EF＝AB＝6cm，cm，利用勾股定理求出NE和BM的长，可得NE=BM，证明Rt△NBE≌Rt△MEB，可得BN=ME，故FN+BN＝AM+ME，即可得到结论.
28．（2024·常州）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）OC＝ ；
（2）如图，已知点A的坐标是（﹣1，0）．
①当1≤x≤m，且m＞1时，y的最大值和最小值分别是s、t，s﹣t＝2，求m的值；
②连接AC，P是该二次函数的图象上位于y轴右侧的一点（点B除外），过点P作PD⊥x轴，垂足为D，作∠DPQ＝∠ACO，射线PQ交y轴于点Q，连接DQ、PC．若DQ＝PC，求点P的横坐标．
【答案】（1）3
（2）解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣1﹣b+3，则b＝2，
即抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，
则抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点为：（1，4），点B（3，0）；
①当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线在x＝1时，取得最大值，即s＝4，
当x＝m时，y取得最小值为t＝﹣m2+2m+3，
则4﹣（﹣m2+2m+3）＝2，
解得：m＝（不合题意的值已舍去）；
②设点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，0），
由点A、C的坐标得直线AC的表达式为：y＝3x+3，
当点P在x轴上方时，如下图，
∵∠DPQ＝∠ACO，
∴AC//PQ，
则直线PQ的表达式为：y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，
则点Q（0，﹣m2﹣m+3），
由点P、C、D、Q的坐标得，DQ2＝m2+（﹣m2﹣m+3）2，PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
∵DQ＝PC，即m2+（﹣m2﹣m+3）2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或1或1.5；
当点P在x轴下方时，如图：
取点H(1，0)，则易证∠ACO=∠HCO，
∵∠DPQ＝∠ACO，
∴CH//PQ，
由（1，0）和（0，3）可得CH所在直线的解析式为y=-3x+3.
则直线PQ的表达式为：y＝－3（x﹣m）﹣m2+2m+3，
可得：点Q（0，﹣m2+5m+3），
则DQ2＝m2+（﹣m2+5m+3）2＝PC2＝m2+（﹣m2+2m）2，
解得：m＝﹣1（舍去）或（舍去）或；
综上所述，点P的横坐标为：1或1.5或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】解：（1）令x=0，y=3，
故点C坐标为（0，3），即OC=3
故答案为：3.
【分析】（1）令x=0，求出y的值，即可得到OC长.
（2）先将点A坐标代入求出b，可得到抛物线的解析式，从而可确定对称轴，顶点坐标以及与x轴的另一交点B.
① 当1≤x≤m，且m＞1时，抛物线在x=1时有最大值即s=4，在x=m时有最小值即t=﹣m2+2m+3，代入s﹣t＝2得关于m的方程求解即可.
②设点P（m，﹣m2+2m+3），则点D（m，0），表示出AC所在直线的解析式，当点P在x轴上方时，根据∠DPQ＝∠ACO得AC//PQ，可得PQ所在直线的表达式y＝3（x﹣m）﹣m2+2m+3，据此求出点Q的坐标，根据直角坐标系内两点间距离公式求出DQ2和PC2，由DQ=PC得关于m的方程求解即可；当点P在x轴下方时，取点H(1，0)，则易证∠ACO=∠HCO，根据∠DPQ＝∠ACO得CH//PQ，可得PQ所在直线的表达式y＝－3（x﹣m）﹣m2+2m+3，据此求出点Q的坐标，后面步骤同上可得，最后综述即可.
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