选择必修 第二章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 课件（23页ppt）

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选择必修
第二章 直线和圆的方程
2.1直线的倾斜角与斜率
2.1.2 两条直线平行和垂直的判定
教学目标
学习目标 数学素养
1.借助图形探究两条平行和垂直直线的斜率关系. 1.数学抽象素养和数形结合素养.
2.能利用斜率判定两条直线平行和垂直． 2.数形结合素养和数学运算素养.
温故知新
1.直线的倾斜角
2.直线的斜率
当直线l 与 x 轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l 向上的方向 之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤ α < 180°.
把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率(slope).
斜率常用小写字母k表示，即
如果直线经过两点 P1 (x1，y1)，P2 (x2，y2) (x1 ≠ x2)，那么可得如下斜率公式：
.
新知探究
为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上的点的关系引入直线斜率，从数的角度刻画了直线相对于x轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题.下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系.
我们知道，平面中的两条直线有两种位置关系：相交、平行，当两条直线l1与l2平行时，它们的斜率k1与k2满足什么关系？
若没有特别说明，说“两条直线l1，l2”时，指两条不重合的直线.
知新探究
如图，若l1∥l2，则l1与l2的倾斜角α1与α2相等，
由α1=α2，可得，即k1=k2 .
因此若l1∥l2，则k1=k2.
反之，当k1=k2时，，
由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知α1=α2 ，
于是，对于斜率分别为k1，k2两条直线l1，l2，有
因此，l1∥l2.
l1∥l2 k1=k2.
知新探究
当两条直线l1与l2的斜率不存在时，两直线平行吗？
显然，当时，直线l1，l2的斜率不存在，此时l1∥l2．
kAB=kBC
值得注意的是，若直线l1，l2重合，此时仍然有k1=k2．
用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论．
kAB=kAC
A，B，C三点共线
kAC=kBC
知新探究
下列说法是否正确？为什么？
④若两条直线的斜率都不存在，则这两条直线平行.
①若两条直线斜率相等，则这两条直线平行．
②若l1∥l2，则k1=k2．
③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交.
知新探究
【例1】已知A(2，3)，B(–4，0)，P(–3，1)，Q(–1，2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论．
解：
如图，由已知可得，
直线BA的斜率kBA=，
直线PQ的斜率kPQ=，
因为kBA= kPQ，所以直线AB∥PQ.
知新探究
变式：已知A(1,2), B(-1,0), C(3,4)三点，请判断A、B、C三点的位置并证明．
解：
如图，由已知可得，
直线AB的斜率kAB=，
直线BC的斜率kBC=，
因为kAB= kBC，且AB与BC有公共点B，
所以A,B,C三点在一条直线上.
知新探究
如图，由已知得
【例2】已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A(0，0)，B(2，-1)，C(4，2)，
D(2，3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.
解：
AB边所在直线的斜率，
CD边所在直线的斜率，
BC边所在直线的斜率，
DA边所在直线的斜率.
因为kAB=kCD,kBC=kDA,
所以AB∥CD，BC∥DA.
因此四边形ABCD是平行四边形.
初试身手
由题意知，两直线斜率是存在的.设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
,.
∵l1// l2，
∴k1=k2，即，
解得a=1或a=6,
经检验，a=1或a=6时，l1// l2.
1.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2)，直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1// l2，求a的值.
解：
知新探究
平面中两条直线不平行时肯定相交，在斜率存在的前提下，当两条直线的斜率不相等时，两条直线相交，反之，两条直线相交，这两条直线的斜率不相等.在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形，当直线l1与l2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？
设两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则直线l1，l2的方向向量分别是 ，于是

l1⊥l2
1×1+k1k2=0
k1k2=–1.
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，
也就是说，l1⊥l2 k1k2=–1.
知新探究
我们知道了互相垂直的直线斜率之间的关系. 可是有的直线斜率不存在，应该怎么处理呢？
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1;反之，如果两条直线的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即
当直线l1或l2的倾斜角为90°时，若l1⊥l2 ，则另一条直线的倾斜角为0°.所以，如果一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0，也可以证明两直线垂直.
l1⊥l2 k1k2=–1.
知新探究
【例3】已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q (6.－6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.
解：
直线AB的斜率kAB=，
直线PQ的斜率kPQ=，
因为kBAkPQ= =－1，
所以直线AB⊥PQ.
初试身手
当k2=0时，a=0,
此时k1=，不符合题意.
2.已知直线l1经过点A(3,a),B(a-1,2)，直线l2经过点C(1,2),D(-2,a+2).若l1⊥ l2，求a的值.
解：
设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2.
,.
若l1⊥ l2，
当k1≠0，k2≠0时，
当k1=0时，a=2,
此时k2=，不符合题意.
由k1·k2 =－1，得,
解得a=3或a=-4,
∴当l1⊥ l2时，a=3或a=-4.
新知探究
【例4】已知A( 5，－1)，B (1，1)，C(2，3 )三点，试判断△ABC的形状.
解：
边AB所在直线的斜率：;
边BC所在直线的斜率：;
由kABkBC= –1，得AB⊥BC， 即∠ABC=90o．
所以△ABC是直角三角形.
分析：如图，猜想AB⊥BC，△ABC是直角三角形．
初试身手
3.已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.
若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，
解：
若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1，
即解得；
即解得；
综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2.
若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1，
即解得；
初试身手
4.在直角梯形ABCD中，已知A(-5,-10), B(15,0), C(5,10)，AD是腰且垂直于两底，求点D的坐标.
依题意得CD∥AB,AD⊥AB，
解：
∵,
设点D(x,y)，则
D
,即,
解得x=-11,y=2,
∴点D的坐标为(-11,2).
课堂小结
1.两条直线平行
2.两条直线垂直
两条直线平行的判定：如果两直线斜率存在，对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l 2，有l1∥l 2 k1=k2.
两条直线垂直的判定：如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1;反之，如果两条直线的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直，即l1⊥l 2 k1k2=－1.
3.利用代数方法研究几何问题是解析几何的基本方法.
几何问题
代数问题
几何解释
坐标系
代数运算
转化
作业布置
作业：
P58 习题2.1 第4，5，6,9题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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