第 02 讲 合并同类项 整式(续)（十一大题型）
学习目标
1、学会合并同类；
2、掌握整式的项、项数、次数等概念；
3、理解整式的升幂排列与降幂排列。
一、合并同类项
如图所示,正方形 A、正方形 B 的边长分别是 a,3a,那么这两个正方形的周长一共是多少 面积一共是多
少
正方形 A 的周长是 4a,正方形 B 的周长是 12a,正方形 A、正方形 B 的周长一共是
4a+12a=(4+12)a=16u; ①
正方形 A、正方形 B 的面积一共是
a +9a =(1+9)a=10m . ②
由 4a+12a=16a 与 a +9a =10a 可以看到，4a,12a 都是只含有相同字母 a 的一次单项式，a ,9m 都是只含
有相同字母 a 的二次单项式。
像①式这样的是我们六年级学过合并一次式的同类项；像①、②式这样的，把整式的同类项合并成一
项的过程叫作合并同类项。
合并同类项的法则：
把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.
二、整式的项、项数与次数
合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不
含字母的项叫作常数项.各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数.合并同类项后，整式有几项，就
称为几项式.
【方法规律】每一项的次数是几，就称为几次项。这句话的理解：例如 3t2-t-4，对于这个整式，3t2 是
这个整式的一个单项式，它的次数是 2，所以它是（这个整式的）二次项；同理-t 是（这个整式的）一
次项；-4 是（这个整式的）常数项。
三、升幂排列与降幂排列：合并同类项后，把一个整式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做
把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把整式按这个字母
升幂排列．
1
如:整式 2x3y2-xy3+ x2y42 -5x
4-6 是六次五项式,按 x 的降幂排列为
-5x4+2x3y2+ 1 x2y4-xy3-6,在这里只考虑 x 的指数,而不考虑其它字母;
2
按 y 的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+ 1 x2y4．
2
【规律方法】
①重新排列的依据是加法的交换律；
②重新排列整式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；
③含有两个或两个以上字母的整式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．
【即学即练 1】化简：
(1) 5a2b - 7ab2 - 4ab2 + 3a2b
(2) 3m2 + 2m
1
+ - 2m2 - 3m 7-
2 2
【答案】(1)8a2b -11ab2；
(2) m2 - m - 3
【分析】本题考查了整式的加减法，熟练掌握合并同类项法则是解答本题的关键．
（1）根据合并同类项法则进行计算，得到答案．
（2）根据合并同类项法则进行计算，得到答案．
【解析】（1）解：5a2b - 7ab2 - 4ab2 + 3a2b
= 5a2b + 3a2b - 7ab2 - 4ab2
= 8a2b -11ab2 ；
1 7
（2 2 2）3m + 2m + - 2m - 3m -
2 2
= 3m2 - 2m2 + 2m 1 7- 3m + -
2 2
= m2 - m - 3．
【即学即练 2】整式 x3 y - 2xy2 + 3x2 y3 - 210 是 次 项式，按 x 的升幂排列为 ．
【答案】 五 四 -210 - 2xy2 + 3x2 y3 + x3 y
【分析】本题主要考查了整式的定义及其次数的定义，解题的关键在于能够熟知相关定义：几个单项式的
和的形式叫做整式，每个单项式叫做整式的项，不含字母的项叫做常数项，整式里，次数最高项的次数叫
做整式的次数．
【解析】解：整式 x3 y - 2xy2 + 3x2 y3 - 210 是五次四项式，按 x 的升幂排列为-210 - 2xy2 + 3x2 y3 + x3 y ，
故答案为：五；四；-210 - 2xy2 + 3x2 y3 + x3 y
【即学即练 3】整式 4a3b3 -8ab + 7a2b -15的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项
是 ，次数最高项的系数是 ．
【答案】 -8 7 -15 4
【分析】本题考查整式的项，解答本题需要我们掌握整式中次数、项数的定义．
【解析】解：整式 4a3b3 -8ab + 7a2b -15的二次项系数是-8，三次项系数是 7，常数项是-15，次数最高项
的系数是 4．
故答案为：-8，7，-15，4．
4 4x
3 - x2 y2 - 5 + 3xy
【即学即练 】整式 是 次 项式，常数项是 ．
4
5
【答案】 四 四 -
4
【分析】本题考查了整式的定义，解题的关键是掌握整式的相关定义．
根据几个单项式的和叫做整式，每个单项式叫做整式的项，其中不含字母的项叫做常数项．整式中次数最
高的项的次数叫做整式的次数进行分析即可．
4x3 - x2 y2 - 5 + 3xy x2 y2 5 3 5
【解析】解：整式 = x3 - - + xy 的次数为四次四项式，常数项为- ，
4 4 4 4 4
5
故答案为：四、四、- ．
4
【即学即练 5】整式 xm + (m + n)x2 - 3x + 5是关于 x 的三次四项式，且二次项系数是-2，求 nm = ．
【答案】-125
ìm = 3
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的定义，根据题意，则 ím ，求出
n，m ，
+ n = -2
即可．
m
【解析】∵ x + m + n x2 - 3x + 5是关于 x 的三次四项式，二次项系数是-2，
ìm = 3
∴ í ，
m + n = -2
ìm = 3
∴ í
n 5
，
= -
∴ nm = -5 3 = -125．
故答案为：-125．
题型 1：合并同类项
【典例 1】．合并同类项：
(1) 2a2b - 3a2b
1
+ a2b ；
2
(2) -2x2 + 3x - 4 + x2 - 5x +1．
1
【答案】(1) - a2b
2
(2) -x2 - 2x - 3
【分析】（1）根据合并同类项的方法求解即可；
（2）根据合并同类项的方法求解即可．
2
【解析】（1）解： 2a b - 3a2b
1
+ a2b
2
= 2 - 3
1
+ 2÷ a b
è 2
1
= - a2b；
2
（2）解：-2x2 + 3x - 4 + x2 - 5x +1
= -2 +1 x2 + 3 - 5 x + -4 +1
= -x2 - 2x - 3．
【点睛】本题考查合并同类项，掌握合并同类项的方法是解题的关键．
【典例 2】．化简
2
(1) a2b - a2b
7
(2) 3x - 4y + 7x + y
(3) ab - -ba 1+ ab
2
(4) 5 - x + 2x2 - x2 - 2x + 3
5 2
【答案】(1) a b
7
(2)10x - 3y
5
(3) ab
2
(4) x2 + x + 2
【分析】本题考查了整式的加减，掌握整式的加减运算法则是解题的关键．
（1）直接合并同类项，即可求解；
（2）直接合并同类项，即可求解；
（3）先去括号，然后合并同类项，即可求解;
（4）先去括号，然后合并同类项，即可求解．
2 5
【解析】（1）解：原式= 1-
2 2
7 ÷
a b = a b；
è 7
（2）解：原式= 3x - 4y + 7x + y
= 3x + 7x + y - 4y =10x - 3；
（3）解：原式= ab - -ba 1+ ab
2
= 1 1
1
+ + ÷ ab
5
= ab；
è 2 2
2
（4）解：原式= 5 - x + 2x - x2 - 2x + 3
= 5 - x + 2x2 - x2 + 2x - 3
= 2x2 - x2 + 2x - x + 5 - 3
= x2 + x + 2．
【典例 3】．合并下列同类项：
(1) 0.12x2 y + 0.15x2 y2 - 0.1y2 x
1
+ yx2
2 ；
(2) 3xn+1 y2 - 4xn yn - 2y2 xn+1 - y2 xn+1；
(3) 0.8a2b - 6ab - 3.2a2b + 5ab + a2b ．
【答案】(1) 0.62x2 y + 0.15x2 y2 - 0.1y2 x
(2) -4xn yn
(3) -1.4a2b - ab
【分析】（1）根据合并同类项法则直接合并同类项即可；
（2）根据合并同类项法则直接合并同类项即可；
（3）根据合并同类项法则直接合并同类项即可．
1 0.12x2 y + 0.15x2 y2 - 0.1y2
1
【解析】（ ）解： x + yx22
0.12x2 y 1= + yx2 ÷ + 0.15x
2 y2 - 0.1y2 x
è 2
= 0.62x2 y + 0.15x2 y2 - 0.1xy2 ；
（2）3xn+1 y2 - 4xn yn - 2y2 xn+1 - y2 xn+1
= 3xn+1 y2 - 2xn+1 y2 - xn+1 y2 - 4xn yn
= -4xn yn ；
（3） 0.8a2b - 6ab - 3.2a2b + 5ab + a2b
= 0.8a2b - 3.2a2b + a2b + (-6ab + 5ab)
= -1.4a2b - ab．
【点睛】本题主要考查的是合并同类项，若是同类项只需将相应的系数相加减即可．
【典例 4】．下列选项中合并同类项正确的是（ ）
A．3a2 + b2 = 3ab B． 4a2b - 2ab2 = 2ab C． 4a2b2 + 2a2b2 = 6a2b2 D．7a - 7b = 7
【答案】C
【分析】根据合并同类项的法则逐项判断即得答案．
【解析】解：A、3a2 与b2 不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、4a2b与-2ab2 不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
C、 4a2b2 + 2a2b2 = 6a2b2 ，故本选项计算正确；
D、7a与-7b不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项，熟知合并同类项的法则是解题的关键，注意合并同类项只是系数相加减，
字母和字母的指数不变．
题型 2：合并同类项并求值
【典例 5】．（1）合并同类项：-3x2 y + 2x2 y + 3xy2 - 2xy2 ；
（2）求整式 2x2 - 5x + x2 + 4x - 3x2 - 2的值，其中 x=-1．
【答案】（1） xy2 - x2 y；
（2）-x - 2； -1
【分析】本题考查了代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键；
（1）利用合并同类项法则计算即可；
（2）首先将原式合并同类项，化到最简，然后代入数值求解即可．
【解析】（1）-3x2 y + 2x2 y + 3xy2 - 2xy2
= -3x2 y + 2x2 y + 3xy2 - 2xy2
= xy2 - x2 y ；
（2） 2x2 - 5x + x2 + 4x - 3x2 - 2
= 2x2 + x2 - 3x2 - 5x - 4x - 2
= - x - 2 ；
当 x=-1时，原式= - -1 - 2 = -1，
\原整式的值为 -1．
【典例 6】．已知T = 3a + ab - 7c2 + 3a + 7c2 ，
(1)化简T ；
(2)当 a = 3,b = -2,c
1
= - 时，求T 的值．
6
【答案】(1) 6a + ab
(2)12
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握合并同类项是解题关键．
（1）利用合并同类项即可求解；
a 3,b 2,c 1（2）将 = = - = - 代入整式T 即可求解．
6
【解析】（1）解：T = 3a + ab - 7c2 + 3a + 7c2
= 3a + 3a + ab + 7c2 - 7c2
= 6a + ab
（2）将 a = 3,b = -2,c
1
= - 代入6a + ab可得：
6
6a + ab = 6 3 + 3 -2 =18 - 6 =12
故T = 12 ．
题型 3：合并同类项的代数应用
【典例 7】．有甲、乙两个运算：甲： 2a + 3b = 5ab；乙：5y3 - 4y3 =1，其中正确的运算是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【答案】D
【分析】根据合并同类项运算法则进行计算即可．
【解析】解：甲： 2a + 3b不是同类项，不能合并，故甲计算不正确；
乙：5y3 - 4y3 = y3 ，故乙计算不正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了合并同类项，解题的关键是掌握同类项的定义以及合并同类项法则．
【典例 8】．已知 m，n 为正整数，若整式 2a2b - a3b2 + 3am-1bn 合并同类项后只有两项，则m + n的值
为 ．
【答案】6 或 4
【分析】本题考查了合并同类项，同类项的定义，解题的关键是掌握字母和字母指数相同的单项式是同类
项．根据题意得出3am-1bn 和-a3b2 是同类项或3am-1bn 和 2a2b是同类项，然后进行分类讨论即可．
【解析】解：∵整式 2a2b - a3b2 + 3am-1bn 合并同类项后只有两项，
∴ 3am-1bn 和-a3b2 是同类项或3am-1bn 和 2a2b是同类项，
①当3am-1bn 和-a3b2 是同类项时，m -1 = 3,n = 2 ，
∴ m = 4, n = 2，
∴ m + n = 4 + 2 = 6；
②当3am-1bn 和 2a2b是同类项时，m -1 = 2, n =1，
∴ m = 3,n =1，
∴ m + n = 3 +1 = 4，
故答案为：6 或 4．
【典例 9】．已知 A = 2x2 - xy + y2 ，B = x2 + 3xy - y2．
(1)求 A - B；
(2)若 A + B + C = 0，求 C．
【答案】(1) x2 - 4xy + 2y2
(2) -3x2 - 2xy
【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则，注意括号
前面为负号时，将负号和括号去掉后，括号里每一项的符号要发生改变．
（1）根据整式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据 A + B + C = 0得出C = - A - B ，然后代入，根据整式加减运算法则进行计算即可．
【解析】（1）解：∵ A = 2x2 - xy + y2 ，B = x2 + 3xy - y2，
∴ A - B
= 2x2 - xy + y2 - x2 + 3xy - y2
= 2x2 - xy + y2 - x2 - 3xy + y2
= x2 - 4xy + 2y2；
（2）解：∵ A + B + C = 0，
∴ C = - A - B
= - 2x2 - xy + y2 - x2 + 3xy - y2
= -2x2 + xy - y2 - x2 - 3xy + y2
= -3x2 - 2xy ．
题型 4：合并同类项的实际应用
【典例 10】．鸡公山风景区的成人门票单价是80元，儿童门票单价是 40元．某旅行团有 a名成人和 a名儿
童，则旅行团的门票费用总和为 元．
【答案】120a
【分析】本题考查了列代数式及合并同类项，根据数量关系，运用字母表示数或数量关系即可求解，掌握
代数式的运用是解题的关键．
【解析】解：根据题意，80a + 40a =120a，
故答案为：120a ．
【典例 11】．一个旅游团成人有 a 人，儿童人数是成人人数的 2 倍，这个旅游团有 人．
【答案】3a
【分析】本题考查了列代数式，先表示出儿童人数，再根据这个旅游团总人数=成人人数+儿童人数即可列
式求解．
【解析】解：∵一个旅游团成人有 a 人，儿童人数是成人人数的 2 倍，
∴儿童人数是 2a 人，
∴这个旅游团有 a + 2a = 3a（人）．
故答案为：3a．
【典例 12】．甲、乙两车分别从A 、 B 两地同时出发，相向而行，2 小时后相遇．甲车每小时 akm，乙车
每小时比甲车多行驶10km，则A 、 B 两地间的距离为 km．
【答案】 4a + 20
【分析】本题考查列代数式、合并同类项，根据两车的路程和等于两地间的距离求解即可．
【解析】解：由题意，乙车每小时 a +10 km ，
∴ A 、 B 两地间的距离为 2a + 2 a +10 = 4a + 20 km ，
故答案为： 4a + 20 ．
1 1
【典例 13】．一根电缆全长 a 米，第一次用去全长的 ，第二次用去了余下的 2 ，则剩余部分的长度为 7
米．
3 3a
【答案】 a /
7 7
【分析】此题考查列代数式，理解题意，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
用全长减去两次用去的就是剩余部分的长度，由此列式即可．
a 1- a - 1 1【解析】解： a - a7 ÷
è 7 2
6 3
= a - a
7 7
3
= a 米．
7
3
故答案为： a
7
题型 5：整式的项、项数、次数
【典例 14 2】．对于整式- x3﹣2x2y+33 π，下列说法正确的是（ ）
A．2 次 3 项式，常数项是 3π B．3 次 3 项式，没有常数项
C．2 次 3 项式，没有常数项 D．3 次 3 项式，常数项是 3π
【答案】D
【分析】直接利用整式的项数及次数确定方法分析得出答案．
2
【解析】解：整式- x3﹣2x2y+3π 是 3 次 3 项式，常数项是 3π，观察选项，只有选项 D 符合题意．
3
故选：D．
【点睛】此题主要考查了整式，正确把握整式的次数与系数确定方法是解题关键．
【典例 15】．下列关于整式5ab2 - 2a2bc -1的说法中，正确的是（ ）
A．它是三次三项式 B．它是二次四项式
C．它的最高次项是-2a2bc D．它的常数项是 1
【答案】C
【分析】根据整式的次数及项数定义解答．
【解析】解：整式5ab2 - 2a2bc -1共三项，分别为5ab2 ,-2a2bc, -1，各项次数依次为：3、4、0，
故选：C．
【点睛】此题考查了整式次数及项数定义，熟记定义并正确解决问题是解题的关键．
5
【典例 16】．整式- a2b
4
- ab -1的常数项是_________，次数是_________．（ ）
4 3
A．1，3 B．1，2 C．－1，3 D．－1，2
【答案】C
【分析】根据整式的项和次数的概念进行判断即可．
5 2 4
【解析】解：- a b - ab -1的常数项是－1，次数是 3，
4 3
故选：C．
【点睛】本题考查整式的项和次数的概念，熟知整式的项和次数的概念是解答本题的关键．其中，整式的
次数指次数最高的项的次数；常数项指不含字母的项．
【典例 17】．下列说法正确的是（ ）
x y
A．3x2 - 2x + 5的项是3x2， 2x，5 B． - 与 2x2 - 2xy - 5都是整式3 3
C．整式-2x2 + 4xy的次数是 3 D．一个整式的次数是 6，则这个整式中只有一项的次数是 6
【答案】B
【分析】根据整式的项数、次数和整式定义，即几个单项式的和叫做整式判断即可；
【解析】解：A．3x2 - 2x + 5的项是3x2 ,-2x ，5，故错误；
x y
B． - 与 2x2 - 2xy - 5都是整式，故正确；
3 3
C．整式-2x2 + 4xy的次数是 2，故错误；
D．一个整式的次数是 6，则这个整式中不一定只有一项的次数是 6，如 2a6 + a3b3 -1，故错误．
故选 B．
【点睛】本题主要考查了整式的定义、项数、次数，准确分析判断是解题的关键．
题型 6：根据整式的项数、次数求参数
【典例 18】．如果整式 xn-2 + 5x - 2是三次三项式，那么 n等于（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】解：∵整式 xn-2 + 5x - 2是关于 x 的三次三项式，
∴n-2=3，
解得 n=5，故 C 正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了根据整式的次数求参数的值，理解三次三项式的含义是解决本题的关键．
1
【典例 19 m】．整式 x + (m - 4)x + 7是关于 x 的四次三项式，则m 的值是（ ）2
A．4 B．-2 C．-4 D．4 或-4
【答案】C
【分析】根据四次三项式的定义可知，该整式的最高次数为 4，项数是 3，所以可确定 m 的值．
【解析】解：∵整式是关于 x 的四次三项式，
∴|m|=4，m-4≠0，
∴m=-4，故 C 正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了与整式有关的概念，解题的关键理解四次三项式的概念，整式中每个单项式叫做整式
的项，有几项叫几项式，这些单项式中的最高次数，就是这个整式的次数．
【典例 20 m】．若3xy + n +1 x 是关于 x 、 y 的三次二项式，则m 、 n的值是（ ）
A．m 2， n -1 B．m = 2 ， n -1 C．m 2， n = -1 D．m = 2 ，n 1
【答案】B
【分析】此题考查了整式的概念，根据整式的项数：“整式中单项式的个数”，次数：“最高项的次数”，进行
求值即可．
【解析】解：由题意，得：m +1 = 3,n +1 0，
∴ m = 2 ， n -1；
故选 B．
【典例 21】．整式 x4 + ym - 25 的次数是四次，那么 m 不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】直接利用整式的次数得出答案．
【解析】解： 整式 x4 + ym - 25 的次数是四次，
∴m 是小于或等于 4 的非负整数，
故选：D
【点睛】此题主要考查了整式，正确理解整式的次数是解题关键．
【典例 22】．已知关于 x 的整式 m - 4 x3 - xn + x - mn 为二次三项式，则当 x=-1时，这个二次三项式的值
是（ ）
A．-10 B．-12 C．8 D．14
【答案】A
【分析】根据二次三项式的定义得出 m-4=0，n=2，求出 m=4，n=2，代入二次三项式，最后把 x=-1 代入求
出即可．
【解析】解：∵关于 x 的整式（m-4）x3-xn+x-mn 为二次三项式，
∴m-4=0，n=2，
∴m=4，n=2，
即整式为-x2+x-8，
当 x=-1 时，-x2+x-8=-（-1）2-1-8=-10．
故选：A．
【点睛】本题考查了代数式求值的应用，关键是求出二次三项式．
题型 7：写出满足某些特征条件的整式
【典例 23】．写出一个关于 x 的二次三项式，使得它的一次项系数为-5．这个二次三项式为 ．
【答案】 x2 - 5x + 2（答案不唯一）
【分析】本题考查了整式的项、次数．熟练掌握整式的项、次数的定义是解题的关键．根据整式的项、次
数求解作答即可．
【解析】解：由题意知，这个二次三项式为 x2 - 5x + 2，
故答案为： x2 - 5x + 2．
题型 8：将整式按某个字母的升幂（降幂）排列
【典例 24】．将整式 y3 - 6xy + 2x2 y2 - x3按 x 的降幂排列是 ．
【答案】-x3 + 2x2 y2 - 6xy + y3
【分析】先写出这个整式的各项中 x 的次数，再按 x 的降幂排列即可得．
【解析】解： y3中 x 的次数为 0，
-6xy 中 x 的次数为 1，
2x2 y2中 x 的次数为 2，
-x3中 x 的次数为 3，
则将整式 y3 - 6xy + 2x2 y2 - x3按 x 的降幂排列是-x3 + 2x2 y2 - 6xy + y3，
故答案为：-x3 + 2x2 y2 - 6xy + y3．
【点睛】本题考查了将整式按某个字母降幂排列，正确求出各项中 x 的次数是解题关键．
【典例 25】．把整式 x3﹣7x2y＋y3﹣4xy2＋1 按 x 的升幂排列为
【答案】y3＋1﹣4xy2﹣7x2y＋x3；或 1＋y3﹣4xy2﹣7x2y＋x3
【分析】根据升幂排列的定义解答．升幂排列应按此字母的指数从小到大依次排列．
【解析】解：按 x 的升幂排列为：x3 7x2y＋y3 4xy2＋1＝y3＋1 4xy2 7x2y＋x3，
或 x3 7x2y＋y3 4xy2＋1＝1＋y3 4xy2 7x2y＋x3，
故答案为：y3＋1 4xy2 7x2y＋x3；或 1＋y3 4xy2 7x2y＋x3．
【点睛】此题主要考查了整式的有关定义．解题的关键是掌握整式的有关定义，注意把一个整式按某一个
字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，常数项应放在最前面．
xy3
【典例 26】． x2 y - - 0.01x3 y - 0.1x4 y2 是 次 项式，把它按字母 x 的降幂排列成 ，常数项
3
是 ．
3
【答案】 六 四 -0.1x4 y2 xy- 0.01x3 y + x2 y - 0
3
【分析】根据多形式的概念解答即可．
xy3
【解析】解： x2 y - - 0.01x3 y - 0.1x4 y2 是六次四项式，把它按字母 x 的降幂排列成
3
3
-0.1x4 y2 - 0.01x3 y + x2 y xy- ，常数项是 0．
3
3
故答案为：六，四，-0.1x4 y2 - 0.01x3 y + x2 y xy- ，0．
3
【点睛】本题考查了整式的概念，几个单项式的和叫做整式，整式中的每个单项式都叫做整式的项，其中
不含字母的项叫做常数项，整式的每一项都包括前面的符号，整式中次数最高的项的次数叫做整式的次
数．也考查了整式的重新排列．
【典例 27】．整式3a2b2 + 4a4b - 8b4 + 7a - 3a3b3按字母 a 的升幂排列为 ，按字母 b 的降幂
排列为 ．
【答案】 -8b4 + 7a + 3a2b2 - 3a3b3 + 4a4b -8b4 - 3a3b3 + 3a2b2 + 4a4b + 7a
【分析】先分清整式的各项，然后按整式升幂和降幂排列的定义排列即可．
【解析】整式3a2b2 + 4a4b - 8b4 + 7a - 3a3b3按字母 a 的升幂排列为-8b4 + 7a + 3a2b2 - 3a3b3 + 4a4b，
按字母 b 的降幂排列为-8b4 - 3a3b3 + 3a2b2 + 4a4b + 7a．
故答案为：-8b4 + 7a + 3a2b2 - 3a3b3 + 4a4b，-8b4 - 3a3b3 + 3a2b2 + 4a4b + 7a
【点睛】考查了按字母升幂或降幂排列，把一个整式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺
序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列整式各项时，要保持其原有的符号．
题型 9：整式综合
【典例 28】．下列说法正确的有（ ）
x y
① 6x2 - 3x - 2 的项是6x2 ，3x，2；② - 为整式；③整式-2x + 4xy的次数是 2；④一个整式的次数是
2 3
3，则这个整式中只有一项的次数是 3；⑤单项式-3p x2 的系数是-3；⑥0 不是整式．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【答案】A
【分析】根据单项式和整式及整式的有关知识分析判断即可求解．
【解析】解析：6x2 - 3x - 2 的项是6x2 , -3x, -2，所以①错误：
x y
- 是整式，所以②正确：
2 3
整式-2x + 4xy的次数是 2．所以③正确；
一个整式的次数是 3，则这个整式中不一定只有一项次数是 3，如 2a3 + 3ab2 -1，所以④错误；
单项式-3p x2 的系数是-3p ，所以⑤错误；
0 是整式，所以⑥错误，
所以正确的是②③，共 2 个
故选：A．
【点睛】本题考查单项式和整式及整式的有关知识，解题的关键是正确理解单项式和整式及整式的有关知
识．
【典例 29】．已知整式-5x2 ym + xy2 - 3x3 - 6是六次四项式，且单项式3x2 y5-n的次数和该整式的次数相同，
求 m，n 的值．
【答案】m = 4 ， n =1
【分析】根据整式的次数和项数以及单项式的次数的定义求得 m，n 的值．
【解析】因为整式-5x2 ym + xy2 - 3x3 - 6是六次四项式，
所以m = 4
因为单项式3x2 y5-m 的次数和该整式的次数相同，m = 4 ，
所以单项式3x2 y5-n的次数是 6，
则 2 + 5 - n = 6，
解得 n =1．
【点睛】本题考查了整式的次数和项数，掌握整式的次数和项数是解题的关键．
【典例 30】．已知整式 a10 - 3a9b + 5a8b2 - 7a7b3 +L+ mb10 ．
(1)根据这个整式的排列规律，你能确定这个整式是几次几项式吗 ×
(2)最后一项的系数m 的值为多少 ×
(3)这个整式的第七项和第八项分别是什么 ×
【答案】(1)十次十一项式；
(2) 21；
(3)13a4b6、-15a3b7 ；
【分析】（1）该整式按照 a的降幂排列，每一项的次数是10，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号
即可解答；
（2）观察已知整式每一项的系数即可得到最后一项的系数m 的值；
（3）结合（1）即可得到整式的第七项和第八项．
【解析】（1）解：∵整式 a10 - 3a9b + 5a8b2 - 7a7b3 +L+ mb10 是按照 a的降幂排列，
∴该整式有11项，并且每一项的次数是10，
∴该整式是十次十一项式；
（2）解：∵整式 a10 - 3a9b + 5a8b2 - 7a7b3 +L+ mb10 有11项，
∴每一项的系数是1、- 3、5、 ，且偶数项为负数，奇数项为正数，
∴ n+1第 n项的系数为 -1 2n -1 ，
∴第11项的系数为 21，
∴ m = 21 ,
∴最后一项的系数m 的值为 21．
n+1
（3）解：∵整式 a10 - 3a9b + 5a8b2 - 7a7b3 +L+ mb10 第 n项的系数为 -1 2n -1 ，
∴第七项的系数是 -1 n+1 2n -1 =13，第八项的系数是 -1 n+1 2n -1 = -15，
∵整式 a10 - 3a9b + 5a8b2 - 7a7b3 +L+ mb10 按照 a的降幂排列，且每一项的次数是10，
∴第七项是13a4b6 , 第八项-15a3b7 ,
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化列，整式的的有关概念，理解整式的项，项数，次数是解题的关
键．
题型 10：数字、图形类规律题
5 8 11
【典例 31】．一组按规律排列的式子：-2， ，- ， ，LL．第 n个式子是______（ n为正整数）
2 3 4
（ ）
n+1 3n -1 n 3n -1 n 2n +1A． (-1) B． (-1) C． (-1) D． (-1)n
3n -1
n n +1 n n
【答案】D
【分析】观察各式子可以得到分子满足3n -1，分母是连续整数 n，符号为奇数位负，偶数为正，即为
-1 n+1，按要求写出公式即可．
2 5 8 11
【解析】解：-2 = - ， ，- ， ，……的分子相差3，故分子满足3n -1，分母是连续整数 n，符号为奇
1 2 3 4
-1 n数位负，偶数为正，即为 ，
n n 3n -1∴第 个式子是 -1 ，
n
故选 D．
【点睛】本题考查数字规律问题，通过观察得到规律是解题的关键．
【典例 32】．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有 6 个小圆
圈，第②个图形中一共有 9 个小圆圈，第③个图形中一共有 12 个小圆圈，……，按此规律排列，则第 n个
图形中小圆圈的个数为（ ）
A．3n + 3 B．3n + 2 C．3n +1 D．3n
【答案】A
【分析】由图形可知：第 1 个图形有3+ 3 1 = 6个圆圈，第 2 个图形有3+ 3 2 = 9个圆圈，第 3 个图形有
3 + 3 3 =12个圆圈，…由此得出第 n 个图形的圆圈个数．
【解析】解：∵第 1 个图形有3+ 3 1 = 6个圆圈，
第 2 个图形有3+ 3 2 = 9个圆圈，
第 3 个图形有3+ 3 3 =12个圆圈，
…
∴第 n 个图形有 3+ 3n 个圆圈．
故选：A．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是仔细观察图形并找到图形变化的规律，再归纳出一
般规律．
【典例 33】．若 a
1 1
是不为1的有理数，则我们把 称为 a的差倒数，如 2的差倒数为 = -11 2 ， -1的差倒1- a -
1 1
数为 =1- -1 2 ，已知： a1 = 3， a2是 a1差倒数，a3是 a2的差倒数， a4是a3的差倒数，
，依次类推， a2023
的值是（ ）
1 1
A．3
2
B．- C． D．-
2 3 3
【答案】A
1 2 2
【分析】根据差倒数定义计算得出 a1 = 3， a2 = - ， a3 = ， a4 = 3，依次推导3个数据为一组， a2 3 2022
= ，
3
a2023 = 3．
【解析】解：根据差倒数的定义知 a1 = 3 a
1 a 2 1 2， 2 = - ， 3 = ， a4 = 3，以3、- 、 3 这3个数为一组，2 3 2
∵ 2022 3 = 674，
∴第 2022个数为第674 组数的第3个数据，
则 a
2
2022 = ，那么 a3 2023
= 3．
故选：A．
【点睛】本题考查了有理数运算，解决本题的关键是得出数据的规律．
一、单选题
1．整式3m3 + 4m2n2 -1的次数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
【答案】C
【分析】根据整式的项的定义，整式的次数的定义即可确定其次数．
【解析】解：由于组成该整式的单项式（项）共有三个 3m3，4m2n2，﹣1，
其中最高次数为 2+2＝4，
所以整式3m3 + 4m2n2 -1的次数分别是 4．
故选：C．
【点睛】本题考查了对整式的项和次数的掌握情况，难度不大．解题的关键是明确整式的次数是整式中最
高次项的次数．
2．整式-4a2b + 3ab - 5的项为( )
A．-4a2b,3ab，5 B．-4a2b + 3ab - 5
C．-4a2b,3ab，-5 D． 4a2b,3ab，5
【答案】C
【分析】本题考查整式的概念，根据整式的概念结合题目即可得到答案. 注意：整式的每一项都包括系数的
符号．
【解析】整式-4a2b + 3ab - 5的项为-4a2b,3ab，-5，故选择 C 项.
【点睛】本题考查整式，解题的关键是熟悉整式的概念，注意整式的每一项都包括系数的符号．
3．整式 x2y2-2xy4-5 的次数和常数项分别为（ ）
A．4，5 B．5，－5 C．8，5 D．9，－5
【答案】B
【分析】根据整式次数以及常数项的定义求解．
【解析】解：整式 x2y2-2xy4-5，是三项式，其中-2xy4 的次数最高，是 5 次，常数项是-5 .
故选 B．
【点睛】此题考查的是整式的定义，整式中每个单项式叫做整式的项，这些单项式中的最高次数，就是这
个整式的次数．这些单项式中的最高次数的项叫做整式的最高项．
4．下列式子中正确的是（ ）
A． 2m2 - m2 = 2 B．-4x - 4x = 0
C．5a + b = 5ab D．-3a - 2a = -5a
【答案】D
【分析】本题考查合并同类项法则，根据合并同类项法则：“系数相加减，字母及字母的指数不变，”进行求
解即可．
【解析】解：A. 2m2 - m2 = m2 ，故 A 错误；
B. -4x - 4x = -8x ，故 B 错误；
C. 5a + b不能合并，故 C 错误；
D. -3a - 2a = -5a，正确．
故选 D．
5．下列关于整式 2a2b+ab-1 的说法中，正确的是（ ）
A．次数是 5 B．二次项系数是 0 C．最高次项是 2a2b D．常数项是 1
【答案】C
【分析】根据整式的概念逐项分析即可．
【解析】A． 整式 2a2b+ab-1 的 次数是 3，故不正确；
B． 整式 2a2b+ab-1 的二次项系数是 1，故不正确；
C． 整式 2a2b+ab-1 的最高次项是 2a2b ，故正确；
D． 整式 2a2b+ab-1 的常数项是-1，故不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的概念，几个单项式的和叫做整式，整式中的每个单项式都叫做整式的项，其中
不含字母的项叫做常数项，整式的每一项都包括前面的符号，整式中次数最高的项的次数叫做整式的次
数．
6．下列合并同类项正确的是（ ）
① 3a + 2b = 5ab ；② 3a + b = 3ab ；③ 3a - a = 3 ；④ 3a2 + 2a3 = 5a5；⑤ 3ab - 3ab = 0； ⑥
3a2b3 - 2a2b3 = a2b3 ；⑦ -2 - 3 = -5
A．①②③④ B．④⑤⑥ C．⑥⑦ D．⑤⑥⑦
【答案】D
【分析】本题考查了合并同类项，掌握合并同类项的法则是解题的关键．根据合并同类项得法则计算即
可．
【解析】解：① 3a 与 2b不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；
② 3a 与b 不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；
③ 3a - a = 2a ，故本选项计算错误；
④ 3a2 与 2a3 不是同类项，不能合并，故本选项计算错误；
⑤ 3ab - 3ab = 0，故本选项计算正确；
⑥ 3a2b3 - 2a2b3 = a2b3，故本选项计算正确；
⑦ -2 - 3 = -5，故本选项计算正确；
本题正确的有：⑤⑥⑦．
故选：D
1
7 - am-1b3 + 4ab3n-3
7
= am-1b3n-3．若 ，则m + n = （ ）2 2
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】此题考查了合并同类项，牢记同类项的概念是解题的关键．
1 m-1 3
首先根据题意得到- a b 和 4ab3n-3是同类项，然后得到m -1 =1，3n - 3 = 3，求出 m 和 n 的值，然后代2
入m + n求解即可．
1 m-1 3 3n-3 7 m-1 3n-3
【解析】∵ - a b + 4ab = a b
2 2
1
∴ - am-1b3 和 4ab3n-3是同类项2
∴ m -1 =1，3n - 3 = 3
∴ m = 2 ， n = 2
∴ m + n = 2 + 2 = 4．
故选：B．
8．如果整式 xn﹣2﹣5x+2 是关于 x 的三次三项式，则 3n﹣n2等于（ ）
A．0 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣10
【答案】D
【分析】直接利用整式的次数确定方法得出 n 的值，进而得出答案．
【解析】解：∵整式 xn﹣2﹣5x+2 是关于 x 的三次三项式，
∴n﹣2＝3，
解得：n＝5，
故 3n﹣n2＝3×5﹣25＝﹣10．
故选 D．
【点睛】此题主要考查了整式，正确把握整式的次数确定方法是解题关键．
9．若整式 4x2y|m|﹣(m﹣1)y2+1 是关于 x，y 的三次三项式，则常数 m 等于( )
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
【答案】A
【分析】直接利用整式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【解析】∵整式 4x2y|m|﹣(m﹣1)y2+1 是关于 x，y 的三次三项式，
∴2+|m|=3，m﹣1≠0，
解得：m=﹣1，
故选 A．
【点睛】本题考查了整式，正确把握整式的次数与项数确定方法是解题关键．
10．一列整式按以下规律排列：1+ y ，3x + 2y ，5x2 + 3y ，7x3 + 4y ，9x4 + 5y ，11x5 + 6y，L，则第 n个
整式是（ ）
A． (2n -1)xn + ny B． (2n +1)xn + ny
C． (2n -1)xn-1 + ny D． (2n +1)xn-1 + ny
【答案】C
【分析】本题考查了整式项式的变化规律，正确理解整式中各项的系数与次数的规律是解题的关键．根据
题目所给整式，总结出第 n 个整式中各项的系数与次数，即可解答．
【解析】观察、分析这列二项式的排列规律可知：
第 1 个二项式为 (2 1-1)x1-1 +1× y，
第 2 个二项式为 (2 2 -1)x2-1 + 2y ，
第 3 个二项式为 (2 3 -1)x3-1 + 3y ，
L，
第 n 个二项式为 (2n -1)xn-1 + ny ．
故选 B．
二、填空题
a a
11．计算： + = ．
2 3
5a 5
【答案】 / a
6 6
【分析】本题考查的是合并同类项，直接把同类项的系数相加减即可．
a a 3a 2a 5a
【解析】解： + = + = ，
2 3 6 6 6
5a
故答案为：
6
12． 2a - 4b + 3a - = 2b
【答案】-a - 6b
【分析】本题考查整式的知识，解题的关键是掌握整式的加减运算，即可．
【解析】 2a - 4b + 3a - 2b = -a - 6b ．
故答案为：-a - 6b．
4 2
13．单项式 p R3 xy的次数 ，系数 ；整式- + 4xy - x2 y2 + y - 3是 次 项式．
3 3
4
【答案】 3 p 四 五
3
【分析】根据单项式的次数和系数的定义；整式的次数和项数的定义，即可求解．
4 p R3 4【解析】解：单项式 的次数 3，系数 p ；
3 3
xy2
整式- + 4xy - x2 y2 + y - 3是四次五项式．
3
4
故答案为：3； p ；四；五．
3
【点睛】本题主要考查了单项式的次数和系数的定义；整式的次数和项数的定义，熟练掌握单项式的次数
和系数的定义；整式的次数和项数的定义是解题的关键．
14．将下列代数式的序号填入相应的横线上．
2
2 2 3 a + b xy x y 2xy① a b + ab + b ；② ；③ - ；④0；⑤ - + ；⑥ ；⑦ 3x2
2
+ 2 x
y ；⑧ ；⑨ ．2 3 3 a x 2
（1）单项式： ；
（2）整式： ；
（3）二项式： ．
【答案】 ③④⑨ ①②③④⑤⑨ ②⑤
【分析】根据单项式，整式，整式，二项式的定义即可求解．
xy2 x
【解析】（1）单项式有：③ - ，④0，⑨ ；
3 2
a + b xy2 y x
（2）整式有：① a2b + ab2 + b3 ，② ，③ - ，④0，⑤ -x + ，⑨ ；2 3 3 2
a + b y
（3）二项式有：② ，⑤ -x + ；
2 3
故答案为：（1）③④⑨；（2）①②③④⑤⑨；（3）②⑤
【点睛】本题考查了整式，关键是熟练掌握单项式，整式，整式，二项式的定义．
15．一个关于 x 的二次三项式，一次项的系数是 1 1，二次项的系数和常数项都是－ 2 ，则这个二次三项式
为 ．
1 2 1
【答案】 - x + x -2 2
1
【解析】根据题意，要求写一个关于字母 x 的二次三项式，其中二次项是 x2，一次项是- x，常数项是 1，
2
1
- x2 1所以再相加可得此二次三项式为 + x - ．
2 2
16．鸡公山风景区的成人门票单价是80元，儿童门票单价是 40元．某旅行团有 a名成人和 a名儿童，则旅
行团的门票费用总和为 元．
【答案】120a
【分析】本题考查了列代数式及合并同类项，根据数量关系，运用字母表示数或数量关系即可求解，掌握
代数式的运用是解题的关键．
【解析】解：根据题意，80a + 40a =120a，
故答案为：120a ．
17．若关于 x 的整式-4x3 - 2mx2 + 2x2 - 6合并同类项后是一个三次二项式，则m = ．
【答案】1
【分析】此题考查了合并同类项和整式的相关定义，先将原式进行合并同类项，根据整式是三次二项式可
知二次项的系数为 0，据此求解即可．
3 2 2 3
【解析】解：-4x - 2mx + 2x - 6 = -4x + 2 - 2m x2 - 6，
∵ -4x3 - 2mx2 + 2x2 - 6合并同类项后是一个三次二项式，
∴ 2 - 2m = 0，解得m =1，
故答案为：1．
18．已知整式 7a2b2-ab3+5a4b-4b5+a3,请回答下列问题:
(1)它是 次 项式,字母 a 的最高次数是 ,字母 b 的最高次数的项是 ;
(2)把整式按 a 的降幂排列为 ;
(3)把整式按 b 的升幂排列为 .
【答案】 五 五 4 -4b5 5a4b+a3+7a2b2-ab3-4b5 a3+5a4b+7a2b2-ab3-4b5
【分析】整式的次数是最高次项的次数，项数是单项式的个数；降幂排列就是按照每项的幂从大到小排列
起来；同理升幂排列就是按照每项的幂从小到大排列起来.
【解析】解：(1). 该整式共有 5 个项，每个项的次数依次是：4，4，5，5，3.故该整式是五次五项式；
依次填空为：五、五、4、-4b5
(2). 按 a 的降幂排列为：5a4b+a3+7a2b2-ab3-4b5
(3). 按 b 的升幂排列为：a3+5a4b+7a2b2-ab3-4b5.
【点睛】本题考查了整式：几个单项式的和叫做整式，每个单项式叫做整式的项，其中不含字母的项叫做
常数项．整式中次数最高的项的次数叫做整式的次数；降幂排列就是按照每项的幂从大到小排列起来，同
理升幂排列就是按照每项的幂从小到大排列起来.
三、解答题
19．合并下列各式的同类项：
(1) x + 5x - 3y - x - 2y
1 1
(2) - p2 + 3pq - q
2
÷ - - p
2 + 4 pq 3- q2
2 ÷è è 2 2
【答案】(1) 5x - y
1
(2) - p2 - pq + q2
2
【分析】本题主要考查了去括号、合并同类项，
（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可．
解题的关键是熟练掌握合并同类项法则，注意括号前面为负号时，将括号和负号去掉后，括号内每一项的
符号要发生改变．
【解析】（1）解： x + 5x - 3y - x - 2y
= x + 5x - 3y - x + 2y
= 1+ 5 -1 x - -3+ 2 y
= 5x - y；
1 1
（2 2）解： - p + 3pq - q
2
÷ - - p
2 + 4 pq 3- q2 ÷
è 2 è 2 2
p2 3pq 1 q2 1 p2 4 pq 3= - + - + - + q2
2 2 2
= -1
1
+ p2÷ + 3- 4 pq
1 3+ - + q2 ÷
è 2 è 2 2
1
= - p2 - pq + q2．
2
20．化简：
(1) 5xy - 2y2 - 3xy - 4y2
(2) 2a - 3b - 2b - 3a
【答案】(1) 2xy - 6y2
(2) 5a - 5b
【分析】本题主要考查了整式的加减计算：
（1）根据合并同类项的计算法则求解即可；
（2）先去括号，然后合并同类项即可．
【解析】（1）解：5xy - 2y2 - 3xy - 4y2
= 5 - 3 xy - 2 + 4 y2
= 2xy - 6y2；
（2）解： 2a - 3b - 2b - 3a
= 2a - 3b - 2b + 3a
= 5a - 5b．
21．合并同类项
(1) 4x + 3y - 7x - 2y
(2)先化简，再求值 4a2 -8a + 2 + a2
1
+ 7a - 2a2 ， a = - 3
【答案】(1) -3x + y
8
(2) 3a2 - a + 2，
3
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，合并同类项：
（1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此计算求解即可；
（2）先合并同类项化简，再代值计算即可．
【解析】（1）解： 4x + 3y - 7x - 2y
= 4 - 7 x + 3 - 2 y
= -3x + y ；
（2）解： 4a2 -8a + 2 + a2 + 7a - 2a2
= 4 + 1 - 2 a2 + 7 - 8 a + 2
= 3a2 - a + 2 ，
2
a 1= - 3 1 1 2 1 1 2 8当 时，原式= - ÷ - - ÷ + = + + = ．3 è 3 è 3 3 3 3
22．已知整式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1 是五次四项式，且单项式 πxny4m﹣3与整式的次数相同，求 m，n 的
值．
【答案】m＝1，n＝4．
【分析】根据整式的次数是整式中次数最高的单项式的次数，可得 m 的值，根据单项式的次数是单项式中
所有字母指数和，可得 n 的值．
【解析】∵整式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1 是五次四项式，且单项式 πxny4m﹣3与整式的次数相同，
∴2+2m+1＝5，n+4m﹣3＝5，
解得 m＝1，n＝4．
【点睛】本题考查了整式，利用整式的次数是整式中次数最高的单项式的次数，单项式的次数是单项式中
所有字母指数和得出 m、n 的值是解题关键．
23 3．已知整式 a -1 x - 2x - a + 3 ．
（1）若它是关于 x 的一次式，求 a的值并写出常数项；
（2）若它是关于 x 的三次二项式，求 a的值并写出最高次项．
【答案】（1） a =1，常数项为-4；（2） a = -3，最高次项为-4x3
【分析】（1）已知整式是一次式，则 x 的最高次数是 1，由此可得 a-1=0，据此可得 a 的值，求出常数项- a + 3
的值即可；
（2 3）根据整式是三次二项式，结合整式的概念可得到 a-1≠0 且 a+3=0，求解的 a 的值，再求出 a -1 x 即可
解答此题．
【解析】解：（1）若它是关于 x 的一次式，
则 a -1 = 0，
∴ a =1，常数项为- a + 3 = -4；
（2）若它是关于 x 的三次二项式，
则 a -1 0，a 1，a + 3 = 0，
∴ a = -3，所以最高次项为-4x3．
【点睛】本题考查整式的知识，需要根据整式次数和项数的定义来解答．
24．已知关于 x，y 的整式 x4＋（m＋2）xny﹣xy2＋3．
（1）当 m，n 为何值时，它是五次四项式？
（2）当 m，n 为何值时，它是四次三项式？
【答案】（1）n＝4，m≠﹣2；（2）m＝﹣2，n 为任意实数
【分析】（1）根据整式是五次四项式可知 n＋1＝5，m＋2≠0，从而可求得 m、n 的取值；
（2）根据整式是四次三项式可知：m＋2＝0，n 为任意实数．
【解析】解：（1）∵整式是五次四项式，
∴n＋1＝5，m＋2≠0，
∴n＝4，m≠﹣2；
（2）∵整式是四次三项式，
∴m＋2＝0，n 为任意实数，
∴m＝﹣2，n 为任意实数．
【点睛】本题主要考查的是整式的定义，掌握整式的定义是解题的关键．
25 2x2
2 3
．已知整式 + x + x - 5x4
1
-
5 3
（1）把这个整式按 x 的降冥重新排列；
（2）请指出该整式的次数，并写出它的二次项和常规项．
4 2 3 2 1 1
【答案】（1）-5x + x + 2x + x - ；（2）该整式的次数为 4，二次项是 2x2 ，常数项是- ．5 3 3
【分析】（1）按照 x 的指数从大到小的顺序把各项重新排列即可；
（2）根据整式的次数的定义找出次数最高的项即是该整式的次数，再找出次数是 2 的项和不含字母的项即
可得二次项和常数项．
1 -5x 4
2
+ x3 2 1【解析】（ ）按的降幂排列为原式 + 2x + x - ．
5 3
2x2 22 ∵ + x3 + x - 5x4
1
（ ） - 中次数最高的项是-5x4，
5 3
1
∴该整式的次数为 4，它的二次项是 2x2 ，常数项是- ．
3
【点睛】本题考查整式的定义，正确掌握整式次数及各项的判定方法及整式升幂、降幂排列方法是解题关
键．
26．已知关于 x 的整式 k - 3 x3 + k - 3 x2 - k ．
（1）若此整式是单项式，求 k 的值；
（2）若此整式是二次式，求 k 的值；
（3）若此整式是二项式，求 k 的值．
【答案】（1） k = 3；（2） k = -3；（3） k = 0或-3.
【分析】（1）利用单项式的定义，得到 k - 3 = 0,且 k - 3 = 0, 求 k；（2）利用整式次数的定义，得到 k - 3 = 0,
且 k-3≠0 时，是二次式，求 k；（3）利用整式的定义，讨论：当 k - 3 = 0,且 k-3≠0 时，整式为二项式，所
以 k=-3；当 k=0 时，整式为二项式.
【解析】解：由题意可知：
（1） k - 3 = 0,且 k - 3 = 0时，原式为单项式，解得 k=3；
（2） k - 3 = 0,且 k-3≠0 时，原式是二次式，解得 k=-3；
（3）当 k - 3 = 0,且 k-3≠0 时，原式为二项式，解得 k=-3；
当 k=0 时，原式为二项式；
∴ k = 0或-3.
27．-5x2 ym+1 + xy2 - 3x3 - 6是六次四项式，且3x2n y5-m 的次数跟它相同
1 求m ， n的值
2 求整式的常数项以及各项的系数和．
【答案】（1）m = 3， n = 2；（2）系数和为：-5 +1- 3 - 6 = -13
【分析】根据整式的概念即可求出 n 与 m 的值，然后根据整式即可判断常数项与各项系数．
【解析】解： 1 由题意可知：该整式时六次整式，
∴ 2 + m +1 = 6，
∴ m = 3，
∵ 3x2n y5-m 的次数也是六次，
∴ 2n + 5 - m = 6，
∴ n = 2
∴ m = 3， n = 2 2 该整式为：-5x2 y4 + xy2 - 3x3 - 6
常数项-6，各项系数为：-5，1，-3，-6，
故系数和为：-5 +1- 3 - 6 = -13
【点睛】本题考查了整式与单项式，解题的关键是熟练的掌握整式与单项式的定义.
28．有三组整式：① 2x2
1 1
+ 3x， 2x2 + 2 2，3x - 2 ；② x + 2x - 5 x2， + 2x - 7 2 ③ x2
7
， ； - x +1，
3 3 2
x2 3- x - 3，-2x + 4这三组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的等式组称为“和谐等式组”．
2
2
(1) 2若某个“和谐等式组”中的第一个整式为 x + 3x - 2 ,第二个整式为mx2 + 2(m 0)．
5
①直接写出 m 的值：__________；
②求出这个“和谐等式组”的第三个整式；
(2)若 a(x - 5)2 + b(a 0)， 2x2 -8x + 8 + c， (-2m - 2)x + 2(m - 5)2 -8（m 为常数）是一个“和谐等式组”，求b - c
的值．
2
【答案】(1)① ，② 3x - 4
5
(2) b - c = -50
【分析】本题考查了整式的加减：
（1）观察得到式子的规律，根据规律可得到结果；和谐等式组的最后一个式子是由第一个式子减去第二个
式子得到的；
（2）根据和谐等式组的特点得到结果；
得到规律并能准确计算是解题的关键．
【解析】（1）解：①通过观察可以得到“和谐等式组”第一个式子与第二个式子的二次项的系数一样，可得
m 2到 = ，
5
2
故答案为： ；
5
②通过观察可以得到“和谐等式组”第三个式子是由第一个式子减去第二个式子得到的，
2
即 x
2 + 3x - 2 2- x2÷ + 2
÷ = 3x - 4；
è 5 è 5
（2）解：∵ a(x - 5)2 + b(a 0) = ax2 -10ax + 25a + b, 2x2 -8x + 8 + c， (-2m - 2)x + 2(m - 5)2 -8（m 为常数）
是一个“和谐等式组”，
∴ ax2 -10ax + 25a + b - 2x2 -8x + 8 + c = (-2m - 2)x + 2(m - 5)2 -8
整理得： (a - 2)x2 + (8 -10a)x + (25a + b - c -8) = (-2m - 2)x + 2(m - 5)2 -8
∴ a - 2 = 0,8 -10a = -2m - 2,25a + b - c -8 = 2(m - 5)2 -8
解得 a = 2, m = 5
∴ 50 + b - c -8 = -8
整理得：b - c = -50．第 02 讲 合并同类项 整式(续)（十一大题型）
学习目标
1、学会合并同类；
2、掌握整式的项、项数、次数等概念；
3、理解整式的升幂排列与降幂排列。
一、合并同类项
如图所示,正方形 A、正方形 B 的边长分别是 a,3a,那么这两个正方形的周长一共是多少 面积一共是多
少
正方形 A 的周长是 4a,正方形 B 的周长是 12a,正方形 A、正方形 B 的周长一共是
4a+12a=(4+12)a=16u; ①
正方形 A、正方形 B 的面积一共是
a +9a =(1+9)a=10m . ②
由 4a+12a=16a 与 a +9a =10a 可以看到，4a,12a 都是只含有相同字母 a 的一次单项式，a ,9m 都是只含
有相同字母 a 的二次单项式。
像①式这样的是我们六年级学过合并一次式的同类项；像①、②式这样的，把整式的同类项合并成一
项的过程叫作合并同类项。
合并同类项的法则：
把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变.
二、整式的项、项数与次数
合并同类项后，整式中的每一个单项式叫作整式的项，每一项的次数是几，就称为几次项，不
含字母的项叫作常数项.各项中次数最高项的次数叫作这个整式的次数.合并同类项后，整式有几项，就
称为几项式.
【方法规律】每一项的次数是几，就称为几次项。这句话的理解：例如 3t2-t-4，对于这个整式，3t2 是
这个整式的一个单项式，它的次数是 2，所以它是（这个整式的）二次项；同理-t 是（这个整式的）一
次项；-4 是（这个整式的）常数项。
三、升幂排列与降幂排列：合并同类项后，把一个整式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做
把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把整式按这个字母
升幂排列．
1
如:整式 2x3y2-xy3+ 22 x y
4-5x4-6 是六次五项式,按 x 的降幂排列为
-5x4+2x3y2+ 1 x2y4-xy3-6,在这里只考虑 x 的指数,而不考虑其它字母;
2
按 y 的升幂排列为-6-5x4+2x3y2-xy3+ 1 x2y4．
2
【规律方法】
①重新排列的依据是加法的交换律；
②重新排列整式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动；
③含有两个或两个以上字母的整式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列．
【即学即练 1】化简：
(1)5a2b - 7ab2 - 4ab2 + 3a2b
1
(2)3m2 + 2m + - 2m2 - 3m
7
-
2 2
【即学即练 2】整式 x3 y - 2xy2 + 3x2 y3 - 210 是 次 项式，按 x 的升幂排列为 ．
【即学即练 3】整式 4a3b3 -8ab + 7a2b -15的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项
是 ，次数最高项的系数是 ．
4 4x
3 - x2 y2 - 5 + 3xy
【即学即练 】整式 是 次 项式，常数项是 ．
4
【即学即练 5】整式 xm + (m + n)x2 - 3x + 5是关于 x 的三次四项式，且二次项系数是-2，求 nm = ．
题型 1：合并同类项
【典例 1】．合并同类项：
(1) 2a2b - 3a2b
1
+ a2b ；
2
(2) -2x2 + 3x - 4 + x2 - 5x +1．
【典例 2】．化简
(1) a2b
2
- a2b
7
(2)3x - 4y + 7x + y
(3) ab - -ba 1+ ab
2
(4) 5 - x + 2x2 - x2 - 2x + 3
【典例 3】．合并下列同类项：
(1) 0.12x2 y + 0.15x2 y2 - 0.1y2 x
1
+ yx2
2 ；
(2) 3xn+1 y2 - 4xn yn - 2y2 xn+1 - y2 xn+1；
(3) 0.8a2b - 6ab - 3.2a2b + 5ab + a2b ．
【典例 4】．下列选项中合并同类项正确的是（ ）
A．3a2 + b2 = 3ab B． 4a2b - 2ab2 = 2ab C． 4a2b2 + 2a2b2 = 6a2b2 D．7a - 7b = 7
题型 2：合并同类项并求值
【典例 5】．（1）合并同类项：-3x2 y + 2x2 y + 3xy2 - 2xy2 ；
（2）求整式 2x2 - 5x + x2 + 4x - 3x2 - 2的值，其中 x=-1．
【典例 6】．已知T = 3a + ab - 7c2 + 3a + 7c2 ，
(1)化简T ；
1
(2)当 a = 3,b = -2,c = - 时，求T 的值．
6
题型 3：合并同类项的代数应用
【典例 7】．有甲、乙两个运算：甲： 2a + 3b = 5ab；乙：5y3 - 4y3 =1，其中正确的运算是（ ）
A．甲对 B．乙对 C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【典例 8】．已知 m，n 为正整数，若整式 2a2b - a3b2 + 3am-1bn 合并同类项后只有两项，则m + n的值
为 ．
【典例 9】．已知 A = 2x2 - xy + y2 ，B = x2 + 3xy - y2．
(1)求 A - B；
(2)若 A + B + C = 0，求 C．
题型 4：合并同类项的实际应用
【典例 10】．鸡公山风景区的成人门票单价是80元，儿童门票单价是 40元．某旅行团有 a名成人和 a名儿
童，则旅行团的门票费用总和为 元．
【典例 11】．一个旅游团成人有 a 人，儿童人数是成人人数的 2 倍，这个旅游团有 人．
【典例 12】．甲、乙两车分别从A 、 B 两地同时出发，相向而行，2 小时后相遇．甲车每小时 akm，乙车每
小时比甲车多行驶10km，则A 、 B 两地间的距离为 km．
1
【典例 13 1】．一根电缆全长 a 米，第一次用去全长的 ，第二次用去了余下的 2 ，则剩余部分的长度为 7
米．
题型 5：整式的项、项数、次数
14 - 2【典例 】．对于整式 x33 ﹣2x
2y+3π，下列说法正确的是（ ）
A．2 次 3 项式，常数项是 3π B．3 次 3 项式，没有常数项
C．2 次 3 项式，没有常数项 D．3 次 3 项式，常数项是 3π
【典例 15】．下列关于整式5ab2 - 2a2bc -1的说法中，正确的是（ ）
A．它是三次三项式 B．它是二次四项式
C．它的最高次项是-2a2bc D．它的常数项是 1
5
16 - a2b
4
【典例 】．整式 - ab -1的常数项是_________，次数是_________．（ ）
4 3
A．1，3 B．1，2 C．－1，3 D．－1，2
【典例 17】．下列说法正确的是（ ）
x y
A．3x2 - 2x + 5的项是3x2， 2x，5 B． - 与 2x2 - 2xy - 5都是整式3 3
C．整式-2x2 + 4xy的次数是 3 D．一个整式的次数是 6，则这个整式中只有一项的次数是 6
题型 6：根据整式的项数、次数求参数
【典例 18】．如果整式 xn-2 + 5x - 2是三次三项式，那么 n等于（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
1
19 x m【典例 】．整式 + (m - 4)x + 7是关于 x 的四次三项式，则m 的值是（
2 ）
A．4 B．-2 C．-4 D．4 或-4
m
【典例 20】．若3xy + n +1 x 是关于 x 、 y 的三次二项式，则m 、 n的值是（ ）
A．m 2， n -1 B．m = 2 ， n -1 C．m 2， n = -1 D．m = 2 ，n 1
【典例 21】．整式 x4 + ym - 25 的次数是四次，那么 m 不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例 22】．已知关于 x 的整式 m - 4 x3 - xn + x - mn 为二次三项式，则当 x=-1时，这个二次三项式的值
是（ ）
A．-10 B．-12 C．8 D．14
题型 7：写出满足某些特征条件的整式
【典例 23】．写出一个关于 x 的二次三项式，使得它的一次项系数为-5．这个二次三项式为 ．
题型 8：将整式按某个字母的升幂（降幂）排列
【典例 24】．将整式 y3 - 6xy + 2x2 y2 - x3按 x 的降幂排列是 ．
【典例 25】．把整式 x3﹣7x2y＋y3﹣4xy2＋1 按 x 的升幂排列为
xy3
【典例 26】． x2 y - - 0.01x3 y - 0.1x4 y2 是 次 项式，把它按字母 x 的降幂排列成 ，常数项
3
是 ．
【典例 27】．整式3a2b2 + 4a4b - 8b4 + 7a - 3a3b3按字母 a 的升幂排列为 ，按字母 b 的降幂排
列为 ．
题型 9：整式综合
【典例 28】．下列说法正确的有（ ）
x y
① 6x2 - 3x - 2 的项是6x2 ，3x，2；② - 为整式；③整式-2x + 4xy的次数是 2；④一个整式的次数是
2 3
3，则这个整式中只有一项的次数是 3；⑤单项式-3p x2 的系数是-3；⑥0 不是整式．
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【典例 29】．已知整式 -5x2 ym + xy2 - 3x3 - 6是六次四项式，且单项式3x2 y5-n的次数和该整式的次数相同，
求 m，n 的值．
【典例 30】．已知整式 a10 - 3a9b + 5a8b2 - 7a7b3 +L+ mb10 ．
(1)根据这个整式的排列规律，你能确定这个整式是几次几项式吗 ×
(2)最后一项的系数m 的值为多少 ×
(3)这个整式的第七项和第八项分别是什么 ×
题型 10：数字、图形类规律题
5 8 11
【典例 31】．一组按规律排列的式子：-2， ，- ， ，LL．第 n个式子是______（ n为正整数）
2 3 4
（ ）
( 1)n+1 3n -1 ( 1)n 3n -1A． - B． - C． (-1)n
2n +1 n 3n -1D． (-1)
n n +1 n n
【典例 32】．下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有 6 个小圆
圈，第②个图形中一共有 9 个小圆圈，第③个图形中一共有 12 个小圆圈，……，按此规律排列，则第 n个
图形中小圆圈的个数为（ ）
A．3n + 3 B．3n + 2 C．3n +1 D．3n
1 1
【典例 33】．若 a是不为1的有理数，则我们把 称为 a的差倒数，如 2的差倒数为 = -1， -1的差倒
1- a 1- 2
1 1
数为 = a 1 1 2 ，已知： a1 = 3， a2是 1差倒数，a3是 a2的差倒数， a- - 4是a3的差倒数， ，依次类推， a2023
的值是（ ）
1
A 3 B - C 2
1
． ． ． D．-
2 3 3
一、单选题
1．整式3m3 + 4m2n2 -1的次数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．7
2．整式-4a2b + 3ab - 5的项为( )
A．-4a2b,3ab，5 B．-4a2b + 3ab - 5
C．-4a2b,3ab，-5 D． 4a2b,3ab，5
3．整式 x2y2-2xy4-5 的次数和常数项分别为（ ）
A．4，5 B．5，－5 C．8，5 D．9，－5
4．下列式子中正确的是（ ）
A． 2m2 - m2 = 2 B．-4x - 4x = 0
C．5a + b = 5ab D．-3a - 2a = -5a
5．下列关于整式 2a2b+ab-1 的说法中，正确的是（ ）
A．次数是 5 B．二次项系数是 0 C．最高次项是 2a2b D．常数项是 1
6．下列合并同类项正确的是（ ）
① 3a + 2b = 5ab ；② 3a + b = 3ab ；③ 3a - a = 3 ；④ 3a2 + 2a3 = 5a5；⑤ 3ab - 3ab = 0； ⑥
3a2b3 - 2a2b3 = a2b3 ；⑦ -2 - 3 = -5
A．①②③④ B．④⑤⑥ C．⑥⑦ D．⑤⑥⑦
1
7 m-1 3．若- a b + 4ab3n-3
7
= am-1b3n-3 ，则m + n = （
2 2 ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．如果整式 xn﹣2﹣5x+2 是关于 x 的三次三项式，则 3n﹣n2等于（ ）
A．0 B．﹣9 C．﹣12 D．﹣10
9．若整式 4x2y|m|﹣(m﹣1)y2+1 是关于 x，y 的三次三项式，则常数 m 等于( )
A．﹣1 B．1 C．±1 D．0
10．一列整式按以下规律排列：1+ y ，3x + 2y ，5x2 + 3y ，7x3 + 4y ，9x4 + 5y ，11x5 + 6y，L，则第 n个
整式是（ ）
A． (2n -1)xn + ny B． (2n +1)xn + ny
C． (2n -1)xn-1 + ny D． (2n +1)xn-1 + ny
二、填空题
a a
11．计算： + = ．
2 3
12． 2a - 4b + 3a - = 2b
4 2
13 p R3．单项式 的次数 ，系数 xy；整式- + 4xy - x2 y2 + y - 3是 次 项式．
3 3
14．将下列代数式的序号填入相应的横线上．
2 a + b xy
2 y 2xy 2 2 x
① a b + ab2 + b3 ；② ；③ - ；④0；⑤ -x + ⑥ ⑦ 3x2； ； + ；⑧ ；⑨ ．2 3 3 a y x 2
（1）单项式： ；
（2）整式： ；
（3）二项式： ．
15 1．一个关于 x 的二次三项式，一次项的系数是 1，二次项的系数和常数项都是－ 2 ，则这个二次三项式
为 ．
16．鸡公山风景区的成人门票单价是80元，儿童门票单价是 40元．某旅行团有 a名成人和 a名儿童，则旅
行团的门票费用总和为 元．
17．若关于 x 的整式-4x3 - 2mx2 + 2x2 - 6合并同类项后是一个三次二项式，则m = ．
18．已知整式 7a2b2-ab3+5a4b-4b5+a3,请回答下列问题:
(1)它是 次 项式,字母 a 的最高次数是 ,字母 b 的最高次数的项是 ;
(2)把整式按 a 的降幂排列为 ;
(3)把整式按 b 的升幂排列为 .
三、解答题
19．合并下列各式的同类项：
(1) x + 5x - 3y - x - 2y
1 1
(2) - p
2 + 3pq - q2 ÷ - - p
2 4 pq 3+ - q2
2 2 2 ÷è è
20．化简：
(1)5xy - 2y2 - 3xy - 4y2
(2) 2a - 3b - 2b - 3a
21．合并同类项
(1) 4x + 3y - 7x - 2y
1
(2)先化简，再求值 4a2 -8a + 2 + a2 + 7a - 2a2 ， a = - 3
22．已知整式﹣x2y2m+1+xy﹣6x3﹣1 是五次四项式，且单项式 πxny4m﹣3与整式的次数相同，求 m，n 的
值．
23 3．已知整式 a -1 x - 2x - a + 3 ．
（1）若它是关于 x 的一次式，求 a的值并写出常数项；
（2）若它是关于 x 的三次二项式，求 a的值并写出最高次项．
24．已知关于 x，y 的整式 x4＋（m＋2）xny﹣xy2＋3．
（1）当 m，n 为何值时，它是五次四项式？
（2）当 m，n 为何值时，它是四次三项式？
2 2 125．已知整式2x + x3 + x - 5x4 -
5 3
（1）把这个整式按 x 的降冥重新排列；
（2）请指出该整式的次数，并写出它的二次项和常规项．
26．已知关于 x 的整式 k - 3 x3 + k - 3 x2 - k ．
（1）若此整式是单项式，求 k 的值；
（2）若此整式是二次式，求 k 的值；
（3）若此整式是二项式，求 k 的值．
27．-5x2 ym+1 + xy2 - 3x3 - 6是六次四项式，且3x2n y5-m 的次数跟它相同
1 求m ， n的值
2 求整式的常数项以及各项的系数和．
1 1 7 3
28．有三组整式：① 2x2 + 3x， 2x2 + 2 ，3x - 2 2；② x + 2x - 5 x2， + 2x - 7 2 2，2；③ x - x +1， x - x - 3，3 3 2 2
-2x + 4这三组整式都具有一些共同特征，我们把具有这种特征的等式组称为“和谐等式组”．
2
(1)若某个“ 2和谐等式组”中的第一个整式为 x + 3x - 2 ,第二个整式为mx2 + 2(m 0)．
5
①直接写出 m 的值：__________；
②求出这个“和谐等式组”的第三个整式；
(2)若 a(x - 5)2 + b(a 0)， 2x2 -8x + 8 + c， (-2m - 2)x + 2(m - 5)2 -8（m 为常数）是一个“和谐等式组”，求b - c
的值．
