第 03 讲 整式的加减（十大题型）
学习目标
1、知道去括号、添括号法则；
2、掌握整式的加减运算；
3、会解整式的加减运算的应用题。
一、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【方法规律】
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1 与括号内的各项相
乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1 与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定
要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
二、添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
【方法规律】
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新添的，
不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号的关系如下：
如： a + b - c
添 括 号 添括号 a + (b - c)， a - b + c a - (b - c)
去括号 去括号
三、整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
【方法规律】
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②不能出现带分数，
带分数要化成假分数．
【即学即练 1】下列各式去括号正确的是（ ）
A． a - (b + c) = a - b + c B． a - 2 b - c = a - 2b + c
C． a - (b - c) = a - b + c D．- a - b + c = -a + b - c
【答案】C
【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，若括号前是“ + ”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；若
括号前是“ - ”，去括号后，括号里的各项都改变符号．根据去括号法则逐个判断即可．
【解析】解：A、 a - ( b + c) = a - b - c，故 A 选项不符合题意；
B、 a - 2(b - c) = a - 2b + 2c，故 B 选项不符合题意；
C、 a - (b - c) = a - b + c ，故 C 选项符合题意；
D、-a - b + c = -a + b + c，故 D 选项不符合题意．
故选：D．
【即学即练 2】化简：
(1) 5a2 - 3ab + 7 - 7 5ab - 4a2 + 7
(2) 6 2ab + 3a - 7 4a - ab
(3)3 2x2 - xy - 2 3x2 + xy - 5
3x2 é5x 1 x 3 2x2 ù(4) - ê - -2 ÷
+ ú
è
【答案】(1)33a2 - 38ab - 42；
(2)19ab -10a；
(3) -5xy +10；
9
(4) x2 - x - 3
2
【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
（1）先去括号，再合并同类项，即可得出结论；
（2）先去括号，再合并同类项，即可得出结论；
（3）先去括号，再合并同类项，即可得出结论；
（4）先去括号，再合并同类项，即可得出结论．
2 2
【解析】（1）解： 5a - 3ab + 7 - 7 5ab - 4a + 7
= 5a2 - 3ab +7 - 35ab - 28a2 + 49
= 5a2 - 3ab + 7 - 35ab + 28a2 - 49
= 5a2 + 28a2 - 3ab - 35ab +7 - 49
= 33a2 - 38ab - 42；
（2）6 2ab + 3a - 7 4a - ab
= 12ab +18a - 28a - 7ab
=12ab +18a - 28a + 7ab
=12ab +7ab +18a - 28a
=19ab -10a ；
（3 2）3 2x - xy - 2 3x2 + xy - 5
= 6x2 - 3xy - 6x2 + 2xy -10
= 6x2 - 3xy - 6x2 - 2xy +10
= -5xy +10；
（4）3x2
é 1 ù
- ê5x -
x - 3
÷ + 2x
2
è 2
ú
= 3x2 - 5x 1- x + 3 + 2x2 2 ֏
= 3x2 - 5x 1+ x - 3- 2x2
2
x2 9= - x - 3．
2
【即学即练 3】求值：
(1)求2 a2b + ab2 - 2 a2b -1 - ab2 - 2 1的值，其中 a = -2,b = ；
2
(2)已知 xy = -2, x + y = 3，求整式 3xy +10y + é5x - 2xy + 2y - 3x ù的值．
1
【答案】(1) ab2，- 2
(2)22
【分析】本题主要考查了整式加减混合运算和化简求值，绝对值的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关
键．
（1）先去括号，再合并同类项，然后代入即可求解；
（2）先去括号，再合并同类项，然后代入即可求解；
2 2
【解析】（1）解： 2 a b + ab - 2 a2b -1 - ab2 - 2
= 2a2b + 2ab2 - 2a2b + 2 - ab2 - 2
= ab2 ，
1
当 a = -2,b = 时，
2
2
= -2 1 1原式 ÷ = - ；
è 2 2
（2）解： 3xy +10y + é 5x - 2xy + 2y - 3x ù
= 3xy +10y + 5x - 2xy - 2y + 3x
= 3xy +10y + 5x - 2xy - 2y + 3x
= xy + 8x + 8y
= xy + 8 x + y
当 xy = -2, x + y = 3时，
原式= -2 + 8 3 = 22 ．
【即学即练 4】下面是小芳做的－道多项式的加减运算题，但她不小心把－滴墨水滴在了上
2
面． -x + 3xy
1
- y2 - 1- x2 + 4xy 3- y2 1÷ ÷ = - x
2 + y2 ，阴影部分即为被墨迹弄污的部
è 2 è 2 2 2
分．那么被墨汁遮住的一项应是（ ）
A． -7xy B．-xy C．+7xy D． +xy
【答案】B
【分析】本题考查了整式的加减运算，正确计算是解题的关键．
2 1 2 1 2 3 2
【解析】 -x + 3xy - y ÷ - - x + 4xy - y2 2 2 ÷è è
x2 3xy 1 1= - + - y2 + x2 - 4xy 3+ y2
2 2 2
1
= - x2 - xy + y2 ，
2
故选：B．
【即学即练 5】已知 ABCD是长方形，以DC 为直径的圆弧与 AB 只有一个交点，且 AD = a．
(1)用含 a 的代数式表示阴影部分面积；
(2)当a = 10cm时，求阴影部分面积（p 取 3）．
【答案】(1) s
1
= p a2
4
(2) 75cm2
【分析】本题考查了不规则图形的面积的求法，列代数式，整式的加减运算，代入求值．
（1）阴影部分面积等于三角形 ABD的面积减去左上角空白部分的面积，列式表示并化简即可解答；
（2）把 a 的值代入（1）中计算即可得出答案．
【解析】（1）解：由图可知CD = 2AD = 2a
∴阴影部分的面积为：
S 1 a 2a 1 2a2 1 p a2 a2 a2 1 p a2 1= × - - = - + = p a2 ；
2 2 2 ֏ 4 4
（2）解：当a = 10cm时，
S 1 1= p a2 3 102 = 75 cm2阴影部分面积 ，4 4
答：阴影部分面积为75cm2 ．
题型 1：去括号
【典例 1】．下列各式去括号正确的是（ ）
A．- a - 3b = -a - 3b B． a + 5a - 3b = a + 5a - 3b
C．-2 x - y = -2x - 2y D．-y + 3 y - 2x = -y + 3y - 2x
【答案】B
【分析】根据去括号的法则对每一项进行分析，即可得出答案．
【解析】解：A、- a - 3b = -a + 3b ，故 A 不符合题意；
B、 a + 5a - 3b = a + 5a - 3b，故 B 符合题意；
C、-2 x - y = -2x + 2y，故 C 不符合题意；
D、-y + 3 y - 2x = -y + 3y - 6x ，故 D 不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，
再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“ ”，去括号后，括号里的各项都改
变符号．
【典例 2】．下列去括号的结果中，正确的是（ ）
A．-2 3x -1 = -6x -1 B．-2 3x -1 = -6x + 2
C．-2 3x -1 = -6x - 2 D．-2 3x -1 = 6x + 2
【答案】B
【分析】根据去括号法则，括号外面是负号，括号里面每一项都要变号．
【解析】解：-2 3x -1 = -6x + 2，故选项 B 符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查去括号．熟练掌握去括号法则，是解题的关键．
【典例 3】．去括号，合并同类项：
(1)（2x﹣3y）﹣2（x+2y）；
(2)3x2﹣[2x﹣（x﹣5）﹣x2]；
(3)（2x2y+3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）；
(4)4m2n﹣2（2mn﹣m2n）+mn．
【答案】(1) -7y
(2) 4x2 - x - 5
(3) x2 y + 6xy2
(4) 6m2n - 3mn
【分析】先去括号，然后合并同类项即可．
【解析】（1）解：原式= 2x - 3y - 2x - 4y
= -7y
（2）解：原式= 3x2 - 2x + x - 5 + x2
= 4x2 - x - 5
（3）解：原式= 2x2 y + 3xy2 - x2 y + 3xy2
= x2 y + 6xy2
（4）解：原式= 4m2n - 4mn + 2m2n + mn
= 6m2n - 3mn
【点睛】本题考查了去括号，合并同类项．解题的关键与难点在于正确的去括号．
题型 2：添括号
【典例 4】．对多项式 2x - m + n添括号，正确的是（ ）
A． 2x - m + n = 2x - (m - n) B． 2x - m + n = 2x - (m + n)
C． 2x - m + n = 2x + (-m - n) D． 2x - m + n = 2x + (m - n)
【答案】A
【分析】根据添括号法则：括号前面是正号，括号里面每一项的符号不变，括号前面为负号，括号里面的
每一项都要变号，进行判断即可．
【解析】解：多项式 2x - m + n添括号，可得： 2x - m + n = 2x - (m - n)；
故选 A．
【点睛】本题考查添括号．熟练掌握添括号法则，是解题的关键．
【典例 5】．下列添括号正确的是（ ）
A．a﹣2b+3c＝a﹣（2b+3c） B．a﹣b﹣c＝a﹣（b﹣c）
C．﹣a+b﹣c＝﹣（a﹣b+c） D．c+2a﹣b＝c+2（a﹣b）
【答案】C
【分析】根据添括号法则求解判断即可．
【解析】解：A、a - 2b + 3c = a - 2b - 3c ，错误，不符合题意；
B、 a - b - c = a - b + c ，错误，不符合题意；
C、-a + b - c = - a - b + c ，正确，符合题意；
c 2a b c 2 a 1+ - = + - b D、 ÷，错误，不符合题意；
è 2
故选 C．
【点睛】本题主要考查了添括号，熟知添括号法则以及添括号要变号的情形是解题的关键．
【典例 6】．下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A．2a－（3b－c）＝2a－3b－c B．3a＋2（2b－1）＝3a＋4b－1
C．a＋2b－3c＝a＋（2b－3c） D．m－n＋a－b＝m－（n＋a－b）
【答案】C
【分析】由去括号和添括号的法则可直接判断各个选项的正误，进而得到答案．
【解析】解： 2a - 3b - c = 2a - 3b + c ，故选项 A 错误，不符合题意；
3a + 2 2b -1 = 3a + 4b - 2，故选项 B 错误，不符合题意；
a + 2b - 3c = a + 2b - 3c ，故选项 C 正确，符合题意；
m - n + a - b = m - n - a + b ，故选项 D 错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查去括号和添括号，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2 2
【典例7】．下列去括号或添括号：① a - 5a - ab + 3 = a - éab - 3- 5a ù ；② a - 2 b - 3c +1 = a2 - 2b + 3c -1；
③ a2 - 5a - ab + 3 = a2 - ab - 5a + 3 ；④3ab - é5ab2 - 2a2b - 2 - a2b2 ù = 3ab - 5ab2 + 2a2b - 2 + a2b2，其中
正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据添括号和去括号法则分别对每一项进行分析，即可得出答案．
2 2
【解析】解：① a - 5a - ab + 3 = a - éab - 3- 5a ù ，故本选项正确；
② a - 2 b - 3c +1 = a - 2b + 6c - 2，故本选项错误；
③ a2 - 5a - ab + 3 = a2 - ab - 5a - 3 ，故本选项错误；
④3ab - 2 é5ab - 2a2b - 2 - a2b2 ù = 3ab - 5ab2 + 2a2b - 2 + a2b2，故本选项正确；
其中正确的有①④；
故选：B．
【点睛】本题考查的是去括号和添括号，添括号时，若括号前是“+”，添括号后，括号内的各项都不改变符
号，若括号前是“—”，添括号后，括号内的各项都改变符号；去括号时，若括号前是“+”，去括号后，括号
内的各项都不改变符号，若括号前是“—”，去括号后，括号内的各项都改变符号．
题型 3：整式的加减运算
【典例 8】．化简：
(1) 4ab - b2 - 2 a2 + 2ab - b2 ．
1
(2) - 4x2 - 2x 1- 2 + -3+ 6x2 ．2 3
【答案】(1) -2a2 + b2
(2) x
【分析】(1)首先去括号，再合并同类项，即可求得结果；
(2)首先去括号，再合并同类项，即可求得结果．
1 4ab - b2 2 2【解析】（ ）解： - 2 a + 2ab - b
= 4ab - b2 - 2a2 - 4ab + 2b2
= -2a2 + b2
1 2 1 2
（2）解：- 4x - 2x - 2 + -3+ 6x2 3
= -2x2 + x +1-1+ 2x2
= x
【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握和运用整式混合运算的方法是解决本题的关键．
【典例 9】．已知一个多项式与3x2 + 9x的和等于3x2 + 4x -1，则这个多项式是（ ）
A．-5x -1 B．5x +1 C．-13x -1 D．13x +1
【答案】A
【分析】根据整式的加减运算互逆的关系即可得．
【解析】解：由题意得：这个多项式是：
3x2 + 4x -1 - 3x2 + 9x
= 3x2 + 4x -1- 3x2 - 9x
= -5x -1，
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．
【典例 10】．计算：
3 1
(1)5xy - x3 y2 - 4xy + y2x3
1
- xy - 3x3 y2
2 2 2
(2) 2 3a2b - ab2 - 3 2a2b +1 - 3ab2 + 3
1 3 2
【答案】(1) xy - 4x y
2
(2) -5ab2
【分析】（1）根据合并同类项法则把系数相加减，字母与字母的次数不变，即可求解；
（2）先去掉括号，再合并同类项；
1 3 1
【解析】（1）解：原式= 5 - 4 - ÷ xy + - + - 3÷ x
3 y2
è 2 è 2 2
1
= xy - 4x3 y2；
2
（2）解：原式= 6a2b - 2ab2 - 6a2b - 3 - 3ab2 + 3
= -5ab2．
【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型 4：根据整式的加减运算求值
【典例 11】．先化简，再求值： 2 3ab2 - a2b + ab - 3 2ab2 - 4a2b + ab ，其中 a = -1，b = 2 ．
【答案】10a2b - ab ，22
【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将 a = -1，b = 2 代入计算即可得．
【解析】解：原式= 6ab2 - 2a2b + 2ab - 6ab2 +12a2b - 3ab
=10a2b - ab，
将 a = -1，b = 2 代入得：原式=10 -1 2 2 - -1 2 = 22．
【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．
【典例 12】．（1）化简：5 3a2b - ab2 - 4 -ab2 + 3a2b ；
2 -2 mn - 3m2 2（ ）化简： - é m - 5 mn - m2 + 2mnù ；
é1 ù 1
（3 2 2 2 2）先化简，再求值： 2xy - ê 5xy -16x y - 2 xy - 4x y ú ，其中 x = - ， y = 4 ． 2 2
【答案】（1）3a2b - ab2（2）mn
3
（3） xy ，-3
2
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可；
（3）按去括号、合并同类项的顺序化简原式，再将 x、y 的值代入求值即可．
【解析】解：（1）原式=15a2b - 5ab2 + 4ab2 -12a2b
= 3a2b - ab2 ；
（2）原式 = -2mn + 6m2 - m2 + 5mn - 5m2 - 2mn
= mn；
5
（3）原式= 2xy -
2
xy -8x y
2 - 2xy + 8x2 y2
2 ֏
= 2xy 1- xy
2
3
= xy
2
1 3 1
当 x = - ， y = 4 时，原式=
- ÷ 4 = -3．2 2 è 2
【点睛】本题主要考查了整式的化简及整式化简求值的知识，熟练掌握去括号和合并同类项的方法是解题
关键．
题型 5：整式的加减运算的代数应用
【典例 13】．若 A = x2 - 2xy，B
1
= xy + y2，则 A - 2B 为（
2 ）
A．3x2 - 2y2 - 5xy B． x2 - 2y2 - 3xy
C．-5xy - 2y2 D．3x2 + 2y2
【答案】B
【分析】根据整式的加减计算法则求解即可．
1 2
【解析】解：∵ A = x2 - 2xy，B = xy + y ，
2
∴ A - 2B = x2
1
- 2xy - 2 xy + y
2
÷ = x
2 - 2xy - xy - 2 y2 = x2 - 2 y2 - 3xy，
è 2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【典例 14】．若 A、B 均为四次多项式，且 A+B 为多项式，则 A+B 的次数为（ ）
A．8 次 B．4 次 C．不高于 4 次 D．不低于 4 次
【答案】C
【分析】根据整式加减时合并同类项法则即可得出结论．
【解析】解：根据整式加减时合并同类项法则，得到 A+B，若四次项是同类项，且系数互为相反数，则次
数低于四次；
故次数一定是不高于四次的整式．
故选：C．
【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
1
【典例 15 2】．若当 x＝2 时， ax3 + bx + 3 = 5，则当 x＝－2 时，求多项式 ax - bx - 3的值为（ ）2
A．－5 B．－2 C．2 D．5
【答案】B
1
【分析】将 x＝2 代入 ax3 + bx + 3 = 5，得8a + 2b = 2，进而得 4a + b =1 2，将 x＝－2 代入 ax - bx - 3，得代2
数式 4a + b - 3，利用整体思想代入即可求解．
【解析】解：将 x＝2 代入 ax3 + bx + 3 = 5，得8a + 2b = 2
∴ 4a + b =1
2 1
将 x＝－2 代入 ax - bx - 3，得 4a + b - 3 =1-3=-2
2
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式中的整体思想，根据已知条件找出含字母部分的倍分关系是解题的关键．
【典例16】．若 a、b 、 c、d 是正整数，且 a + b = 20 ， a + c = 24， a + d = 22，设 a + b + c + d 的最大值为M ，
最小值为 N ，则M - N = （ ）
A．28 B．12 C．48 D．36
【答案】D
【分析】根据题意可得b = 20 - a， c = 24 - a ， d = 22 - a ，再将其代入 a + b + c + d 中进行化简即可得出答
案．
【解析】解：Qa + b = 20， a + c = 24， a + d = 22，
\b = 20 - a ， c = 24 - a ， d = 22 - a ，
\a + b + c + d = a + 20 - a + 24 - a + 22 - a = 66 - 2a ，
Q a 、b 、 c、d 是正整数，且 a + b = 20 ，
\0 < a < 20，
Q a ，b 为正整数，
\a 的最小值为 1， a的最大值为 19，
\当 a =1时， a + b + c + d 的最大值为M = 66 - 2 = 64，
当 a =19时， a + b + c + d 的最小值为 N = 66 - 2 19 = 28 ，
\M - N = 64 - 28 = 36，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了整式的加减，解题的关键是会用含一个字母的式子表示另一个字母．
题型 6：“看错，误解”问题
1
【典例 17 2 】．小明做完一道填空题后，不小心把墨水洒在作业本中的题目上了； 2 x - x +1÷ +
è 2
= 2x2 + x
(1)如果小明的计算结果正确，请求出被墨水污染的代数式；
(2)若 x = -2，求被墨水盖住的代数式的值
【答案】(1) 2x - 2
(2) -6
2 1
【分析】（1）用 2x2 + x 减去 2 x - x +1 ，即可求解；
è 2 ÷
（2）将 x = -2代入（1）的结果进行计算即可求解．
2 2 1
【解析】（1）解：被墨水污染的代数式为 2x + x - 2 x - x +12 ÷è
= 2x2 + x - 2x2 + x - 2
= 2x - 2；
（2）当 x = -2时， 2x - 2 = 2 -2 - 2 = -4 - 2 = -6．
【点睛】本题考查了整式的加减，化简求值，正确的计算是解题的关键．
【典例 18】．某同学计算一个多项式加上 xy - 3yz - 2xz 时，误认为减去此式，计算出的结果为
xy - 2yz + 3xz ，则正确结果是（ ）
A． 2xy - 5yz + xz B．3xy -8yz - xz C． yz + 5xz D．3xy -8yz + xz
【答案】B
【分析】先用 xy - 2yz + 3xz 加 xy - 3yz - 2xz 求出原多项式，再准确计算即可．
【解析】解：根据题意可知，一个多项式减去 xy - 3yz - 2xz 时，计算出的结果为 xy - 2yz + 3xz ，
这个多项式为： xy - 3yz - 2xz + xy - 2yz + 3xz = 2xy - 5yz + xz ，
那么， 2xy - 5yz + xz + xy - 3yz - 2xz = 3xy -8yz - xz ，
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，解题关键是准确理解题意，利用加减法的逆运算求解．
【典例 19】．已知 A = 3a2b - 2ab2 + abc，小明错将“ 2A - B ”看成“ 2A + B ”,算得结果C = 4a2b - 3ab2 + 4abc .
(1)计算 B 的表达式；
(2)求正确的结果的表达式；
1
(3)小强说（2）中的结果的大小与 c 的取值无关，对吗？若 a = ，b
1
= 求（2）中代数式的值
8 5
【答案】(1) -2a2b + ab2 + 2abc
(2)8a2b - 5ab2
(3)对，与 c无关；0
【分析】（1）根据整式的加减混合运算法则，即可求解；
（2）根据整式的加减混合运算法则，即可求解；
（3）根据（2）中的结果，即可得到结论，进而代入求值即可 ．
【解析】（1）解：Q2A + B = C ，
\B = C - 2A
= 4a2b - 3ab2 + 4abc - 2 3a2b - 2ab2 + abc
= 4a2b - 3ab2 + 4abc - 6a2b + 4ab2 - 2abc
= -2a2b + ab2 + 2abc
（2）解： 2A - B
= 2 3a2b - 2ab2 + abc - -2a2b + ab2 + 2abc
= 6a2b - 4ab2 + 2abc + 2a2b - ab2 - 2abc
= 8a2b - 5ab2
1 1
（3）解：将 a = ，b = 代入，得：
8 5
原式=8a2b - 5ab2
= 8 (1)2 1 - 5 1 (1)2
8 5 8 5
1 1
= -
40 40
= 0
【点睛】本题主要考查整式的加减混合运算法则，化简求值，掌握去括号法则与合并同类项法则，是解题
的关键．
题型 7：整式的加减运算的实际、图形应用
【典例 20】．某商店在甲批发市场以每包 m 元的价格进了 40 包茶叶，又在乙批发市场以每包 n 元
（m > n
m + n
）的价格进了同样的 60 包茶叶．如果以每包 元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店
2
（ ）
A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
【答案】A
【分析】先根据题意列出进货的成本与销售额，再作差比较即可．
m + n
【解析】解：由题意得，进货成本 = 40m + 60n ，销售额= 40 + 60 = 50 m + n ，
2
故50 m + n - 40m + 60n
= 50m + 50n - 40m - 60n
= 10 m - n
∵m > n ，
∴10 m - n > 0，
∴这家商店盈利．
故选：A．
【点睛】本题考查的是整式的加减，熟知整式的加减实质上就是合并同类项是解答此题的关键．
【典例 21】．如图，把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图 1）不重叠地放在一个底面为长方
形（长为 m，宽为 n）的盒子底部（如图 2），盒子底面未被覆盖的部分用阴影表示，则图 2 中两块阴影部
分的周长和是（ ）
A． 4m B． 4 m - n C． 2 m + n D． 4n
【答案】D
【分析】设图①小长方形的长为 a，宽为b ，由图②表示出上面与下面两个长方形的周长，求出之和，根据
题意得到 a + 2b = m ，代入计算即可得到结果．
【解析】解： 设小长方形的长为 a，宽为b ，
上面的长方形周长： 2(m - a + n - a) ，
下面的长方形周长： 2(m - 2b + n - 2b)，
两式联立， 总周长为：
2(m - a + n - a) + 2(m - 2b + n - 2b) = 4m + 4n - 4(a + 2b)，
根据图②可知， a + 2b = m ，
\阴影部分总周长为：
4m + 4n - 4(a + 2b) = 4m + 4n - 4m = 4n ，故 D 正确．
故选：D．
【点睛】此题考查了列代数式，整式的加减的应用，熟练掌握运算法则，准确计算是解本题的关键．
【典例 22】．如图，两个大小正方形的边长分别是 4cm 和 xcm（0＜x＜4）．用含 x 的式子表示图中阴影
部分的面积为（ ）cm2．
1 x2 1A． B． x2
4 2
1 4 + x 2 1C． D． 4 + x 2
4 2
【答案】B
【分析】利用两个正方形的面积减去 3 个空白三角形的面积即可．
1 1 1
【解析】解：阴影部分的面积为 42+x2- （4+x）×4- x2- ×4（4-x）
2 2 2
1
=16+x2-8-2x- x2-8+2x
2
1
= x2（cm2）．
2
故选：B．
【点睛】此题考查列代数式，整式的加减，掌握组合图形的面积一般都是将它转化到已知的规则图形中进
行计算是解决问题的关键．
题型 8：不含某项、与某字母无关
【典例 23】．已知：A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x+2（a 为常数）
(1)当 a 1＝ 2 时，化简：B﹣2A；
(2)在（1）的条件下，若 B﹣2A﹣2C＝0，求 C；
(3)若 A 与 B 的和中不含 x2项，求 a 的值．
【答案】(1)原式=2x2+4
(2)C=x2+2
(3)a=﹣3
【分析】（1）将 A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x+2 当作一个整体代入，再根据整式的加减运算化简求值即可；
（2）根据整式的加减运算顺序即可求解；
（3）根据和中不含 x2项即是此项的系数为 0 即可求解．
【解析】（1）解：（1）B﹣2A＝3x2﹣2x+2﹣2（ax2﹣x﹣1）
＝（3﹣2a）x2+4
a 1当 ＝ 2 时，原式＝2x
2+4．
（2）（2）∵B﹣2A﹣2C＝0，B﹣2A＝2x2+4，
∴2x2+4﹣2C＝0，
∴C＝x2+2．
（3）（3）∵A+B＝ax2﹣x﹣1+3x2﹣2x+2
＝（a+3）x2﹣3x+1
∵不含 x2项，
∴a+3＝0，
∴a＝﹣3．
【点睛】本题考查了整式的加减，解决本题的关键是掌握整式的加减运算顺序．注意代入 A 和 B 时，要将 A
＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x+2 当作一个整体代入，括号不能忘记．
【典例 24】．如果代数式 (2x2 + ax - y + 6) - (2bx2 - 3x + 5y -1) 的值与字母 x 所取的值无关，试求代数式
1 a3 - 2b2 - 1 a
3 - 3b2 ÷的值．3 è 4
5
【答案】-
4
【分析】去括号后合并得出 (2 - 2b)x2 + (a + 3)x - 6y + 7 ，根据已知得出 2-2b=0，a+3=0，求出 b=1，a=-3，
把求值的代数式整理后代入求出即可．
【解析】解： (2x2 + ax - y + 6) - (2bx2 - 3x + 5y -1)
= 2x2 + ax - y + 6 - 2bx2 + 3x - 5y +1
= (2 - 2b)x2 + (a + 3)x - 6y + 7 ，
∵代数式 (2x2 + ax - y + 6) - (2bx2 - 3x + 5y -1) 的值与字母 x 所取的值无关，
∴2-2b=0，a+3=0，
b=1，a=-3，
1 a3 2b2 1∴ - - ( a3 - 3b2 )
3 4
1
= a3
1
- 2b2 - a3 + 3b2
3 4
1
= a3 + b2
12
1
= (-3)3 +12
12
9
= - +1
4
5
= - ．
4
【点睛】本题考查了整式的加减---无关型问题，解答本题的关键是理解题目中代数式的取值与哪一项无关
的意思，与哪一项无关，就是合并同类项后令其系数等于 0，由此建立方程求解．
25 x y 2x2 + ax - y + 6 - 2bx2【典例 】．如果关于 、 的代数式 - 3x + 5y -1 的值与字母 x 所取的值无关，试
3 2
化简代数式 a - 2b - 2
1 3 2
a - 3b ÷，再求值．
è 4
1 a3 4b2 19【答案】 + ，- ．
2 2
【分析】对关于 x 、 y 的代数式去括号，合并同类项，化简后根据其值与字母 x 所取的值无关列式求出 a，b
的值，然后对所求代数式去括号，合并同类项，化简后把 a、b 的值代入计算即可．
【解析】解： 2x2 + ax - y + 6 - 2bx2 - 3x + 5y -1
= 2x2 + ax - y + 6 - 2bx2 + 3x - 5y +1
= 2 - 2b x2 + a + 3 x - 6y + 7 ，
∵代数式 2x2 + ax - y + 6 - 2bx2 - 3x + 5y -1 的值与字母 x 所取的值无关，
∴2 2b＝0，a＋3＝0，
解得：b＝1，a＝ 3，
a3 - 2b2 1- 2 a3 - 3b
2
è 4 ÷
= a3 1- 2b2 - a3 + 6b2
2
1
= a3 + 4b2 ；
2
1 3 3 4 12 27 4 19当 b＝1，a＝ 3 时，原式= - + = - + = - ．
2 2 2
【点睛】此题主要考查了整式的加减 化简求值，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键．
【典例 26】．已知多项式 A = 2x2 + bx - y + 6，B = 2ax2 -10x + 5y -1．
(1)求 A－B；
(2)若多项式 A－B 的值与字母 x 的取值无关，求 a，b 的值；
1
(3) 2 a + b2 + 2a + b2 1在（ ）的条件下，求： ÷ + 3a + b2 ÷ +L+ 100a 1+ b2 ．
è 1 2 ÷ è 2 3 è 99 100
2
【答案】(1) 2 - 2a x + b +10 x - 6y + 7
(2) a =1 ，b = -10
(3)5249
【分析】（1）先列式，再根据整式减法法则计算即可；
（2）与字母 x 的取值无关，则含 x 项的系数为 0，即可求值；
（3）找到规律计算即可．
2
【解析】（1） A - B = 2x + bx - y + 6 - 2ax2 -10x + 5y -1
= 2x2 + bx - y + 6 - 2ax2 +10x - 5y +1
= 2x2 - 2ax2 + bx +10x + -y - 5y + 7
= 2 - 2a x2 + b +10 x - 6y + 7；
（2 2）由（1）结论可知， A - B = 2 - 2a x + b +10 x - 6y + 7
多项式 A - B的值与字母 x 的取值无关；
∴ 2 - 2a = 0,b +10 = 0
∴ a =1,b = -10
2 1 2
（3）= a + b + 2a + b + ×××+100a
1
+ b2
1 2 99 100
= a + 2a + ×××+100a + 1
1 1
+ + ×××+ b2
è 1 2 99 100 ÷
当 a =1,b = -10 时
原式 = 1+ 2 1 1 1 1 1+ ×××+100 + 1+1- + - + ×××+ -
÷ -10
2
è 2 2 3 99 100
= 5050 + 1 1 1 + -
÷ 100
è 100
= 5249．
【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
题型 9：新定义题
【典例 27．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：
a - b + c - -d - e ，其中称 a 为“数 1”，b 为“数 2”，+c 为“数 3”，-d 为“数 4”，-e为“数 5”，若将任意两
个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数 1”和“数 5”进行“换位运算”，得到：
-e - b + c - -d + a ，则下列说法中正确的个数是（ ）
①代数式 a - b + c - d - e 进行 1 次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变
②代数式 a - b + c - d - e进行 1 次“换位运算”，化简后只能得到 a - b + c - d - e
③代数式 a + éb - c - d - e ù 进行 1 次“换位运算”，化简后可能得到 7 种结果
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题考查了整式的加减，理解新定义及整式的运算是解题的关键．根据括号外面是“+”，去括号不
改变括号里面式子的符号；括号外面是“ - ”，去括号改变括号里面式子的符号；依此即可求解．
【解析】解：①代数式 a - b + c - d - e 进行一次“换位运算”，当 b、c 进行“换位运算“，时，与原结果相等，
故①符合题意；
②在代数式 a - b + c - d - e中，将任意两个数交换位置，均不会改变每个数的符号，故化简后只能得到一
种结果，均为 a - b + c - d - e，故②符合题意；
③代数式 a + éb - c - d - e ù 中，有三种情况：
（1）a 与 b 进行换位思考以及 c，- d，- e 三个数中任意两个进行换位思考，化简后只有 1 种结果，均为：
a + b - c + d + e；
（2）a 与 c，- d，- e 分别进行换位思考，化简后得到 3 种结果，分别为：
-a + b + c + d + e，- a + b - c - d + e，- a + b - c + d - e ；
（3）b 与 c，- d，- e 分别进行换位思考，化简后得到 3 种结果，分别为：
a - b + c + d + e，a - b - c - d + e，a - b - c + d - e，
故该代数式共得到 7 种结果，故③符合题意；
故选：D．
【典例 28】．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c,d ，如果a + b = c + d ，那么我
们把这个四位正整数叫做“对头数”．例如四位正整数 2947，因为 2 + 9 = 4 + 7 ，所以 2947叫做“对头数”．判
断3456是否是“对头数” （填是或否）；已知m 是一个“对头数”，个位上的数字是5，百位上的数字是
3，且m 能被 7 整除，则m = ．
【答案】 否 8365
【分析】本题考查了整式的加减，代数式求值；新定义的运算法则，利用“对头数”的定义进行验证，即可得
到答案；由题意可设这个四位数的十位数为 a，千位数为 b．然后根据 7 的倍数关系，以及“对头数”的定义，
利用分类讨论思想进行分析，即可得到答案．
【解析】解：在3456中，因为3+ 4 5 + 6，
∴3456不是“对头数”．
由题可得，设这个四位数的十位数为 a，千位数为b ，且0 a 9，1 b 9 ，
Q四位正整数是“对头数”，
\b + 3 = a + 5，则b = a + 2 ，
\1 a + 2 9，即0 a 7 ，
\这个四位数为：
1000b +100 3 +10a + 5 =1000 a + 2 + 300 +10a + 5 =1010a + 2305，
Q1010 = 7 144...2， 2305 = 7 329...2 ，
\1010a + 2305 = 7 144 + 2 a + 7 329 + 2 = 7 144a + 329 + 2a + 2，
∵这个“对头数”能被 7 整除，即这个四位数是 7 的倍数，
\2a + 2 必须是 7 的倍数；
Q0 a 7的正整数，
当 2a + 2 = 0时， a = -1，不符合题意；
当 2a + 2 = 7时， a = 2.5，不符合题意；
当 2a + 2 = 7 2时， a = 6，符合题意；
当 2a + 2 = 7 3时， a = 9.5，不符合题意；
综上所述，这个“对头数”为：8365．
故答案为：否；8365．
题型 10：数字、图形规律题
【典例 29】．一串数字如下：1，-3，5， -7 ，9，-11…如此下去，则第 2023个数字与第 2024个数字的
和等于（ ）
A． 4047 B．-2 C．2 D．-4047
【答案】B
【分析】本题考查了数字的规律探究．根据题意推导一般性规律是解题的关键．
由题意可推导一般性规律为，第 n个数为 -1 n+1 2n -1 2023 -1 2024，则第 个数字为 2 2023 -1 = 4045，
第 2024个数字为 -1 2025 2 2024 -1 = -4047，然后求和作答即可．
【解析】解：∵1，-3，5， -7 ，9，-11…，
∴可推导一般性规律为，第 n个数为 -1 n+1 2n -1 ，
2023 -1 2024∴第 个数字为 2 2023 -1 = 4045，第 2024 -1 2025个数字为 2 2024 -1 = -4047，
∴第 2023个数字与第 2024个数字的和等于 4045 - 4047 = -2，
故选：B．
【典例 30】．四个电子宠物排座位，一开始小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在 1、2、3、4 号座位上（如
图所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次换位后，再左右两列位置，
第三次上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直下去，则第 2024 次变换位置后，小兔坐在
（ ）号位上．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了图形的变换类，解题的关键是根据变换的规则，找出小兔的座号分别为：1、2、4、3，
并且 4 次一循环．根据变换的规则可知，小兔的座号分别为：1、2、4、3，4 次一循环，再看 2024 除以 4
余数为几，即可得出结论．
【解析】解：第 1 次交换后小兔所在的座号是 1，第 2 次交换后小兔所在的座号是 2，第 3 次交换后小兔所
在的座号是 4，第 4 次交换后小兔所在的座号是 3，后面重复循环．
∵ 2024 4 = 506 ，
∴第 2024 次交换后小兔所在的座号是 3．
故选：C．
A．1 B．2 C．3 D．4
一、单选题
1．下列去括号正确的是( )
A．- a + b + c = -a + b - c B．- -a - b - c = -a + b + c
C．- a - b - c = -a + b - c D．-2 a + b - 3c = -2a - 2b + 6c
【答案】D
【分析】本题主要考查了去括号，根据去括号法则：“括号前面为正号时，直接将括号和正号去掉，括号内
各项的符号不变；括号前面为负号时，直接将括号和负号去掉，括号内各项的符号改变；”逐项进行判断即
可．
【解析】解：A．- a + b + c = -a - b - c ，故 A 错误；
B．- -a - b - c = a + b + c ，故 B 错误；
C．- a - b - c = -a + b + c ，故 C 错误；
D．-2 a + b - 3c = -2a - 2b + 6c，故 D 正确．
故选：D．
2．下列去括号、添括号的结果中，正确的是（ ）
A． a + b - c + d = a - -b - c + d B．5m2 - 5m + 3- 5m = 5m2 + -5m - 5m + 3
n n n n n n 1 C． -3a - a - -7a = -3a + a + 7a D． 3a - 2b - 2 a - b÷ = 3a - 2b - a + b
è 2
【答案】B
【分析】根据添括号、去括号法则处理，注意括号前为负号时，添括号或去括号时各项变号．
【解析】解：A. a + b - c + d = a - -b + c - d ，原变形错误，本选项不合题意；
B. 5m2 - 5m + 3- 5m = 5m2 + -5m - 5m + 3，正确，本选项符合题意；
C. -3an - an - -7an = -3an - an + 7an ，原变形错误，本选项不合题意；
1
D. 3a - 2b - 2 a - b÷ = 3a - 2b - a + 2b，原变形错误，本选项不合题意；
è 2
故选：B
【点睛】本题考查添括号、去括号法则，注意括号前为负号时的变号问题．
3．下列整式的加减，结果是单项式的是（ ）
A． 3k 2 + 4k -1 - 3k 2 - 4k +1 B． 2 p3 + p2 -1 - 2 p3 + p -1
1 2 3 3
C．- 1+ 3m2n + 3m3 - 1- m2n - m3 ÷ D a2 2． - 5a + 6a - 2 3a2 + 3a3 3 è 2 2
【答案】C
【分析】根据整数的加减计算法则先化简，然后根据单项式的定义：由数或字母的乘积组成的代数式，进
行判断即可得到答案．
【解析】解：A．原式= 3k 2 + 4k -1- 3k 2 + 4k -1 = 8k - 2，不符合题意；
B．原式= 2 p3 + 2 p2 - 2 - 2 p3 - 2 p + 2 = 2 p2 - 2 p，不符合题意；
1 m2n m3 2C．原式= - - - - + m2n + m3 = -1，符合题意；
3 3
D．原式= -a2 - 5a2 - 6a - 6a2 - 6a = -10a2 -12a ，不符合题意，
故选 D．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，单项式的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求
解．
4．多项式6a2 - 5a + 3与5a2 + 2a -1的差是（ ）
A． a2 - 3a + 4 B． a2 - 3a + 2 C． a2 - 7a + 2 D． a2 - 7a + 4
【答案】D
【分析】根据整式的加减法法则即可得．
2
【解析】6a - 5a + 3- 5a2 + 2a -1 ，
= 6a2 - 5a + 3- 5a2 - 2a +1，
= a2 - 7a + 4，
故选：D．
【点睛】本题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键．
5．小文在做多项式减法运算时，将减去 2a2 + 3a - 5误认为是加上 2a2 + 3a - 5，求得的答案是 a2 + a - 4（其
他运算无误），那么正确的结果是（ ）
A．-a2 - 2a +1 B．-3a2 + a - 4
C． a2 + a - 4 D．-3a2 - 5a + 6
【答案】D
2
【分析】根据加减互逆运算关系得出这个多项式为： a + a - 4 - 2a2 + 3a - 5 ，去括号，合并同类项可得
该多项式为：-a2 - 2a +1 2 2，再根据题意列出 -a - 2a +1 - 2a + 3a - 5 进一步求解即可
【解析】根据题意，这个多项式为：
a2 + a - 4 - 2a2 + 3a - 5 ，
= a2 + a - 4 - 2a2 - 3a + 5
，
= -a2 - 2a +1
则正确的结果为：
-a2 - 2a +1 - 2a2 + 3a - 5 ，
= -a2 - 2a +1- 2a2 - 3a + 5 ，
= -3a2 - 5a + 6 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查多项式的运算，解题关键是掌握整式的加减运算顺序和运算法则及加减互逆的运算
关系．
6．若 A 与 B 都是二次多项式，则关于 A﹣B 的结论，下列选项中正确的有（ ）
A．一定是二次式 B．可能是四次式
C．可能是一次式 D．不可能是零
【答案】C
【分析】根据题中描述，只知道 A 与 B 都是二次多项式，每个式子的项数，以及是否含有同类项都不知道，
所以可以知道的是 A﹣B 得到的多项式，最高次项次数不可能超过 2 次，可以是 2 次，也可以次数较低，也
有可能是 0，即可得出答案.
【解析】解：A. 若 A 与 B 两个多项式中的二次项是同类型且系数相同，则结果就不一定是二次式了，所以
A 错误；
B. 因为 A 与 B 两个多项式次数最高都是 2，所以结果不可能是四次式，所以 B 错误；
C. 当 A 与 B 两个多项式的二次项是同类项且二次项系数相同，并且两个式子中含有一次项且系数不同时，
结果为一次式，所以 C 正确；
D. 当 A 与 B 两个多项式一样时，结果可为 0，所以 D 错误；
故答案选：C.
【点睛】本题考查整式的加减，要根据题中给出的有限条件考虑各种条件，在判断选项是否正确时，可通
过举反例的方法进行验证.
7．如果 A, B两个整式进行加法运算的结果为-7x3 +2x-4，则 A, B这两个整式不可能是（ ）
A．2x3 +5x -1和-9x3 -3x -3
B．5x3 + x +8和-12x3 + x -12
C．-3x3 + x +5和-4x3 + x -1
D．-7x3 +3x-2和-x - 2
【答案】C
【分析】由整式的加法运算，把每个选项进行计算，再进行判断，即可得到答案．
【解析】解：A 选项、2x3 + 5x -1- 9x3 - 3x - 3 = -7x3 + 2x - 4，不符合题意；
B 选项、5x3 + x + 8 -12x3 + x -12 = -7x3 + 2x - 4 ，不符合题意；
C 选项、-3x3 + x + 5 - 4x3 + x -1 = -7x3 + 2x + 4 ，符合题意；
D 选项、-7x3 + 3x - 2 - x - 2 = -7x3 + 2x - 4，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的加法运算，解题的关键是熟练掌握整式加法的运算法则进行解题．
8．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为 m 厘米，宽
为 n 厘米）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖，部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的
周长和是（ ）厘米．
A． 4m B． 4n C． 2(m + n) D． 4(m - n)
【答案】B
【分析】先设小长方形卡片的长为 a，宽为 b，再结合图形得出上面的阴影周长和下面的阴影周长，再把它
们加起来即可求出答案．
【解析】解：设小长方形卡片的长为 a，宽为 b，
∴L 上面的阴影=2（n-a+m-a），
L 下面的阴影=2（m-2b+n-2b），
∴L 总的阴影=L 上面的阴影+L 下面的阴影=2（n-a+m-a）+2（m-2b+n-2b）=4m+4n-4（a+2b），
又∵a+2b=m，
∴4m+4n-4（a+2b），
=4n．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键．
9．已知关于 x 的多项式 -2x3 + 6x2 + 9x +1- 3ax2 - 5x + 3 的取值不含 x2项，那么 a 的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
【答案】D
【分析】先去括号、合并同类项化简，然后根据题意令 x2的系数为 0 即可求出 a 的值．
3
【解析】解： -2x + 6x2 + 9x +1- 3ax2 - 5x + 3
= -2x3 + 6x2 + 9x +1- 3ax2 + 5x - 3
= -2x3 + 6 - 3a x2 +14x - 2
x -2x3 + 6x2 + 9x +1- 3ax2∵关于 的多项式 - 5x + 3 的取值不含 x2项，
∴6 - 3a = 0
解得： a = 2
故选 D．
【点睛】此题考查的是整式的加减：不含某项的问题，掌握去括号法则、合并同类项法则和不含某项即化
简后，令其系数为 0 是解决此题的关键．
10．多项式 xyz2 + 4yx -1 + -3xy + z2 yx -3 - 2xyz2 + xy 的值（ ）
A．与 x, y, z的大小都无关
B．与 x, y的大小有关，与 z 的大小无关
C．与 x 的大小有关，与 y, z 的大小无关
D．与 x, y, z的大小都有关
【答案】A
【分析】根据去括号、合并同类项进行化简，再进行判断即可．
【解析】解：原式= xyz2 + 4 yx -1- 3xy + z2 yx - 3 - 2xyz2 - xy = -4，
所以与 x, y, z的大小都无关．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则进行解
题．
二、填空题
11 5x3． + 2x2 - 3x + 6 - ( ) = 2x3 - x +1．
【答案】3x3 + 2x2 - 2x + 5
【分析】根据减数＝被减数﹣差，列出算式计算即可求解．
3 2
【解析】解： 5x + 2x - 3x + 6 - ( 2x3 - x +1 )
＝5x3 + 2x2 - 3x + 6 - 2x3 + x -1
＝3x3 + 2x2 - 2x + 5．
故答案为：3x3 + 2x2 - 2x + 5．
【点睛】本题考查了整式的加减，关键是熟悉减数＝被减数﹣差的知识点．
12．已知 x - 2y = -2，则整式 (x - 2y)2 - x + 2y -1的值为 ．
【答案】5
【分析】根据题意化简代数式，再代入数值求解即可.
2 2
【解析】因为 x - 2y = -2，所以原式= x - 2y - x - 2y -1 = -2 - -2 -1 = 4 + 2 -1 = 5．
故答案为 5
【点睛】本题考查了代数式求值，解题的关键是熟练的掌握代数式的运算．
13．已如 A - B = 3x2 - 2x +1, B - C = 4 - 2x2 ，则C - A = ．
【答案】-x2 + 2x - 5
【分析】先把两式相加求解 A - C, 再求解 A - C 的相反数即可得到答案.
【解析】解：Q A - B = 3x2 - 2x +1, B - C = 4 - 2x2
\ 两式相加可得：
A - C = 3x2 - 2x +1+ 4 - 2x2
= x2 - 2x + 5
\C - A = - A - C = - x2 - 2x + 5 = -x2 + 2x - 5
故答案为：-x2 + 2x - 5
【点睛】本题考查的是整式的加减运算，相反数的含义，掌握去括号的法则与合并同类项的法则是解题的
关键.
14．一个三位数的十位为m，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，则这个三位数可表示为 ．
【答案】313m - 98
【分析】根据题意先表示个位数为：3m + 2,再表示百位数为：3m -1,从而可得答案.
【解析】解：Q 一个三位数的十位为 m，个位数比十位数的 3 倍多 2，百位数比个位数少 3，
\ 个位数为：3m + 2, 百位数为：3m + 2 - 3 = 3m -1,
所以这个三位数为：100 3m -1 +10m + 3m + 2 = 313m - 98.
故答案为：313m - 98
【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算，一个三位数的百位，十位，个位为分别为 a,b,c, 则这
个三位数表示为：100a +10b + c, 掌握列式的方法是解题的关键.
15．求值：
（1）3a2 - 2 2a2 + a + 2 a2 - 3a = ，其中 a = -2 ；
2
（2） 9a -12ab + 5b2 - 7a2 +12ab + 7b2 = 1 1 ，其中 a = ，b = - ；
2 2
（3） 2 a2b + ab2 - 2 a2b -1 - 2ab2 - 2 = ，其中 a = -2 ，b = 2 .
【答案】 20 6 0
【分析】先根据去括号、合并同类项法则进行化简，然后再代入求值即可.
【解析】（1）原式= 3a2 - 4a2 - 2a + 2a2 - 6a = a2 -8a ，
当 a = -2 时，原式= -2 2 -8 -2 = 4 +16 = 20；
（2）原式=9a2 -12ab + 5b2 - 7a2 -12ab - 7b2 = 2a2 - 24ab - 2b2，
2 2
当 a
1
= ，b
1
= - 时，原式= 2 1 1 1 1 1 1 ÷ - 24
-
÷ - 2
-
= + 6 - = 6；
2 2 è 2 2 ÷ è 2 è 2 2 2
（3）原式= 2a2b + 2ab2 - 2a2b + 2 - 2ab2 - 2 = 0 .
【点睛】本题考查整式的化简求值，掌握去括号、合并同类项法则是解题的关键.
16．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如
- 2x2 - 2x +1 = -x2 + 5x - 3，则所捂住的多项式是 ．
【答案】 x2 + 3x - 2
【分析】根据加减法互为逆运算移项,然后去括号、合并同类项即可．
2 2
【解析】解: 捂住的多项式是: -x + 5x - 3 + 2x - 2x +1
= -x2 + 5x - 3 + 2x2 - 2x +1
= x2 + 3x - 2
故答案为: x2 + 3x - 2．
【点睛】此题考查的是整式的加减法,掌握去括号法则和合并同类项法则是解决此题的关键．
17 3xn+1 n-1
1 n+1 3 n-1 n n
． - 4x + x + x + 5x - 2x = .
2 2
7 xn+1 n 5 n-1【答案】 + 3x - x
2 2
【分析】根据整式的加减即可求解.
1
= 3xn+1 + xn+1 n n n-1 3 n-1 【解析】原式 ÷ + 5x - 2x + -4x + x
è 2 è 2 ÷
= 3
1
+ xn+1÷ + 5 - 2 xn +
-4
3
+ n-1
2 2 ÷
x
è è
7
= xn+1 + 3xn 5- xn-1 .
2 2
7 xn+1 + 3xn 5- xn-1答案：
2 2
【点睛】此题主要考查合并同类项，解题的关键是熟知整式的加减运算法则.
18．已知 3 个多项式分别为： A = x2 + 2x，B = -3x2 + 5，C = x - 5．
①若 C = 3，则 x = 2或 8；
②若mA + B + C 的结果为单项式，则m = 3；
③若关于 x 的式子 A - nB - 2C
1
的结果恒为常数，则 n = - ；
3
④代数式 3A + B + -3A - B + C 化简后共有 3 种不同表达式．
其中正确的是 ．
【答案】①③④
【分析】将A 、 B 、C 按要求代入各选项计算即可．本题主要考查了去绝对值，整式的加减运算，熟练掌握
相关知识点是解决本题的关键．
【解析】解：①Q| C |= 3，
\C = ±3，
当C = 3时， x - 5 = 3，
解得： x = 8，
当C = -3时， x - 5 = -3，
解得： x = 2，故①正确；
②mA + B + C
= m(x2 + 2x) + (-3x2 + 5) + x - 5
= mx2 + 2mx - 3x2 + 5 + x - 5
= (m - 3)x2 + (2m +1)x ，
若mA + B + C 为单项式，则m - 3 = 0或 2m +1 = 0，
1
解得：m = 3或m = - ，故②错误；
2
③ A - nB - 2C
= x2 + 2x - n(-3x2 + 5) - 2(x - 5)
= x2 + 2x + 3nx2 - 5n - 2x +10
= (1+ 3n)x2 - 5n +10，
若 A - nB - 2C 为常数项，则1+ 3n = 0，
1
解得 n = - ，故③正确；
3
④ | 3A + B | + | -3A - B + C |
=| 3(x2 + 2x) + (-3x2 + 5) | + | -3(x2 + 2x) - (-3x2 + 5) + (x - 5) |
=| 3x2 + 6x - 3x2 + 5 | + | -3x2 - 6x + 3x2 - 5 + x - 5 |
=| 6x + 5 | + | -5x -10 |
=| 6x + 5 | + | 5x +10 |，
当 x<- 2时，
原式 = -6x - 5 - 5x -10 = -11x -15；
当-2 x
5
< - 时，
6
原式 = -6x - 5 + 5x +10 = -x + 5 ；
当 x
5
时，
6
原式 = 6x + 5 + 5x +10 = 11x +15．
\代数式 | 3A + B | + | -3A - B + C |化简后共有 3 种不同表达式，故④正确．
故答案为：①③④．
三、解答题
19．计算：
（1） (2a - b) - (2b - 3a) - 2(a - 2b)；
（2） 4x2 - 5xy - 1 2 2 1 2 1 2 y + 2x ÷ + 2 3xy - y - y ÷．
è 3 è 4 12
【答案】（1）3a + b；（2）2x2 - y2 + xy ．
【分析】（1）先去括号，再合并同类项即可．
（2）先去括号，再合并同类项即可．
【解析】（1） (2a - b) - (2b - 3a) - 2(a - 2b)
= 2a - b - 2b + 3a - 2a + 4b
= 3a + b
2 4x2（ ） - 5xy - 1 y2 + 2x2 2 3xy 1 y2 1 2 ÷ +3 - - y ÷è è 4 12
1 1 1
= 4x2 - 5xy - y2 - 2x2 + 6xy - y2 - y2
3 2 6
= 2x2 - y2 + xy
【点睛】本题考查整式的加减混合运算．掌握整式的加减混合运算法则是解答本题的关键．
20．计算：
1 4a3b -10b3 + -3a2b2 +10b3 2 4x2 y - 5xy2 - 3x2 y - 4xy2（ ） ； （ ） ；
3 2 2（ ）5a - éa + 5a2 - 2a - 2 a2 - 3a ù ； （4）15 + 3(1- a) - 1- a - a2 + 1- a + a2 - a3 ；
2
（5） 4a b - 3ab + -5a2b + 2ab ； （6 2 2） 6m - 4m - 3 + 2m - 4m +1 ；
7 5a2 + 2a -1 - 4 3-8a + 2a2 8 3x2 é 1 （ ） ； （ ） - ê5x - x - 3÷ + 2x2 ùú．
è 2
【答案】（1） 4a3b - 3a2b2 ；（2） x2 y - xy2 ；（3） a2 - 4a；（4）18 - 3a + 2a2 - a3；
9
（5）-a2b - ab；（6）8m2 -8m - 2；（7） -3a2 + 34a -13；（8） x2 - x - 3．2
【分析】去括号法则：括号前面是“+”号，把括号与括号前面的“+”号去掉，括号内各项不改变符号，括号前
面是“-”号，把括号与括号前面的“-”号去掉，括号内各项改变符号，去括号时，先去小括号，再去中括号，
最后去大括号；合并同类项的法则：把同类项的系数相加减，字母与字母的指数不变，根据去括号的法则
把（1）至（8）小题先去括号，再合并同类项即可.
3 3 2 2 3
【解析】解：（1） 4a b -10b + -3a b +10b
= 4a3b -10b3 - 3a2b2 +10b3
=4a3b - 3a2b2
（2） 4x2 y - 5xy2 - 3x2 y - 4xy2
=4x2 y - 5xy2 - 3x2 y + 4xy2
=x2 y - xy2
3 5a2 - éa2 + 5a2（ ） - 2a - 2 a2 - 3a ù
=5a2 - a2 + 5a2 - 2a - 2a2 + 6a
= 5a2 - 4a2 + 4a
= 5a2 - 4a2 - 4a = a2 - 4a
4 15 + 3(1- a) - 1- a - a2（ ） + 1- a + a2 - a3
=15+3- 3a -1+ a + a2 +1- a + a2 - a3
= - a3 + 2a2 - 3a +18
（5） 4a2b - 3ab + -5a2b + 2ab
=4a2b - 3ab - 5a2b + 2ab
= - a2b - ab
（6） 6m2 - 4m - 3 + 2m2 - 4m +1
= 6m2 - 4m - 3 + 2m2 - 4m +1
= 8m2 -8m - 2
2
（7） 5a + 2a -1 - 4 3-8a + 2a2
=5a2 + 2a -1-12 + 32a -8a2
= - 3a2 + 34a -13
é
（8）3x2 - ê5x
1- x - 3
÷ + 2x
2 ù
è 2
ú
1
= 3x2 - 5x - x + 3 + 2x
2
÷
è 2
= 3x2 - 2x
2 9+ x + 3 ÷
è 2
= 3x2 - 2x2 9- x - 3
2
= x2 9- x - 3
2
【点睛】本题考查的是去括号，合并同类项，掌握去括号的法则，合并同类项的法则是解题的关键.
1
21．（1）求多项式 2x2 - 5x + x2 + 4x - 3x2 - 2的值，其中 x = ；
2
（2）求多项式3a
1
+ abc - c2 - 3a 1 1+ c2 的值，其中a = - ,b = 2,c = -3．
3 3 6
5
【答案】（1）-x - 2，- ；（2） abc，1
2
【分析】（1）将同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变，合并完同类项再
1
代入 x = 求值；
2
1
（2）先合并同类项再代入a = - ,b = 2,c = -3求值即可．
6
【解析】解：（1） 2x2 - 5x + x2 + 4x - 3x2 - 2
= (2 +1- 3)x2 + (-5 + 4)x - 2
= - x - 2 ．
当 x
1 1 5
= 时，原式= - - 2 = - ．
2 2 2
（2）3a
1 1
+ abc - c2 - 3a + c2
3 3
= (3 - 3)a + abc + 1 1- + c2 3 3 ֏
= abc ．
1 1
当a = - ,b = 2,c = -3时，原式= -
÷ 2 (-3) = 1．6 è 6
【点睛】本题考查的是合并同类项，掌握其法则及公式是解决此题的关键．
22 3 2．已知关于 x 的多项式a x - x + 3x + b 2x2 + x + x3 - 7的二次项系数为 0，且当 x = 2时，它的值是
-19，求当 x = -2时，该多项式的值．
【答案】5
【分析】根据题意先将多项式化简，再根据多项式的二次项系数为 0，进一步化简代数式，根据 x = 2时的值
为 -19求得8 a +1 + 2 3a + b = -12，再将其代入 x = -2时的代数式中求解即可．
【解析】Q a x3 - x2 + 3x + b 2x2 + x + x3 - 7
= ax3 - ax2 + 3ax + 2bx2 + bx + x3 - 7
= a +1 x3 + 2b - a x2 + 3a + b x - 7
Q多项式的二次项系数为 0，
即 2b - a = 0，
\ 3原式= a +1 x + 3a + b x - 7，
当 x = 2时，8 a +1 + 2 3a + b - 7 = -19，
即8 a +1 + 2 3a + b = -12，
\当 x = -2时，原式= -8 a +1 - 2 3a + b - 7 =12 - 7 = 5．
【点睛】本题考查了整数的加减，多项式的系数，代数式求值，整体代入是解题的关键．
23．某位同学做一道题：已知两个多项式A 、 B ，若 B = x2 - x -1，求 A - B的值．他误将 A - B看成 A + B ，
求得结果为3x2 - 3x + 5．
(1)求多项式A 的表达式；
(2)求 A - B的正确答案．
【答案】(1) 2x2 - 2x + 6
(2) x2 - x + 7
【分析】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确整式加减的计算方法．
（1）根据题意，可以计算出A 的值；
（2）根据（1）中A 的值和题意，可以计算出 A - B的正确答案．
【解析】（1）解：由题意可得，
A + B = 3x2 - 3x + 5，B = x2 - x -1，
\ A = (3x2 - 3x + 5) - B
= (3x2 - 3x + 5) - (x2 - x -1)
= 3x2 - 3x + 5 - x2 + x +1
= 2x2 - 2x + 6；
（2）Q A = 2x2 - 2x + 6，B = x2 - x -1，
\ A - B
= (2x2 - 2x + 6) - (x2 - x -1)
= 2x2 - 2x + 6 - x2 + x +1
= x2 - x + 7．
24．已知 A = -x2 + 2xy - 3y2， B = 5x2 - xy + 2y2 ．
(1)求 4A - 6B ；
(2)若 2A + B + C = 0 ，求 C．
【答案】(1) -34x2 +14xy - 24y2
(2) -3x2 - 3xy + 4y2
【分析】本题考查了整式的加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）把 A = -x2 + 2xy - 3y2， B = 5x2 - xy + 2y2 代入 4A - 6B ，再去括号，合并同类项，即可作答．
（2）先得出 2A + B = 3x2 + 3xy - 4y2 ，再结合 2A + B + C = 0 ，代入计算化简，即可作答．
【解析】（1） 4A - 6B
= 4 -x2 + 2xy - 3y2 - 6 5x2 - xy + 2y2
= -4x2 + 8xy -12y2 - 30x2 + 6xy -12y2
= -34x2 +14xy - 24y2；
（2） 2A + B
= 2 -x2 + 2xy - 3y2 + 5x2 - xy + 2y2
= -2x2 + 4xy - 6y2 + 5x2 - xy + 2y2
= 3x2 + 3xy - 4y2
∵ 2A + B + C = 0
∴C = 0 - 2A + B
= - 3x2 + 3xy - 4y2
= -3x2 - 3xy + 4y2 ．
25．已知关于 x ， y 的多项式mx4 + 4nxy3 + 3x4 - xy3 + xy不含四次项，求m + 4n 的值．
【答案】-2
【分析】根据合并同类项，可化简整式，根据多项式不含四次项，可得四次项的系数为零，可得 m、n 的值，
根据代数求值，可得答案．
4 3
【解析】解：mx + 4nxy + 3x4 - xy3 + xy = m + 3 x4 + 4n -1 xy3 + xy，
因为此多项式不含四次项．所以m + 3 = 0,4n -1 = 0，即m = -3,4n =1，
所以m + 4n = -3+1 = -2．
【点睛】本题考查了多项式，先化简整式，在确定项的系数，最后代数式求值．
26．已知含字母 m，n 的整式3 ém
2 + 2 n2 + mn - 3 ù - 3 m2 + 2n2 - (mn - m -1) ．
（1）化简这个整式；
（2）小明取 m，n 互为倒数的一对数值代入化简后的整式中，恰好计算得整式的值等于 0．那么小明所取
的字母 n 的值等于多少？
1
【答案】（1）5mn + m -17；（2） n =
12
【分析】（1）利用整式的加减计算法则进行化简即可得到答案；
（2）根据倒数的定义可得mn =1，然后代入（1）中化简的结果求解即可．
1 = 3 m2 2【解析】解：（ ）原式 + 2n + 2mn - 6 - 3m2 - 6n2 - mn + m +1
=3m2 + 6n2 + 6nm -18 - 3m2 - 6n2 - mn + m +1 = 5mn + m -17 ;
（2）由题意得：mn =1，
∴原式= 5 + m -17 = 0．
解得m =12，
∴ n
1
= ．
12
【点睛】本题主要考查了整式的加减混合运算，倒数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行
求解．
27．对于有理数 a，b，定义 a *b = 3a - 4b．
（1）计算：① (-5) *3；
②3*[(-2) *1]；
（2）化简式子 (x - y) *(x + y)；
1 1
（3 é ù）求 (x + 3y) * ê (5y - x)ú *(- y) 的值，共中 x = - , y = 2． 2 3
【答案】（1）①-27；②49；（2）-x - 7 y ；（3）15x + y ，-3
【分析】（1）①根据题中所给有理数定义，确定-5为 a，3 为 b，进行解答即可得；②先算口号里的，确
定-2为 a，1为 b，进行运算得3* -10 ，再确定3为 a，-10为 b，进行解答即可得；
（2）确定 x - y为 a， x + y 为 b，进行解答即可得；
（3）确定 x + 3y
1
为 a， (5y - x) 为 b，进行运算得 (5x - y)* (-y)，再确定5x - y 为 a， -y为 b,进行解答即可
2
得．
【解析】解：（1）①原式=3 (-5) - 4 3
= -15 -12
= -27；
②原式=3* é3 -2 - 4 1ù
=3* -10
=3 3- 4 -10
=9 + 40
= 49；
（2）原式=3(x - y) - 4(x + y)
=3x - 3y - 4x - 4y
= -x - 7 y ；
é3(x 3y) 4(5 1+ - y - x)ù（3）原式= ê ú * (-y) 2 2
= (3x + 9y -10y + 2x)* (-y)
= (5x - y)* (-y)
=3(5x - y) - 4 (-y)
=15x - 3y + 4y
=15x + y ；
1 1
把 x = - , y = 2代入15x + y 得：15 (- ) + 2 = -5 + 2 = -3．
3 3
【点睛】本题考查了有理数的混合运算和整式的加减，解题的关键是掌握有理数混合运算的运算法则和运
算顺序，整式加减的运算法则．
28．阅读材料：
我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则
4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项
式的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把(a b)2看成一个整体，合并 3(a b)2 6(a b)2+2(a b)2的结果是___．
（2）已知 x2 - 2y =4，求3x2 - 6y 21 的值；
（3）已知 a 2b=3，2b c= 5，c d=10，求(a c)+(2b d) (2b c)的值．
2
【答案】（1）- a - b ；（2）-9；（3）8
【分析】（1）把(a b)2看成一个整体，然后合并 3(a b)2 6(a b)2+2(a b)2即可得到答案；
（2）根据3x2 - 6y - 21 = 3 x2 - 2y - 21，利用 x2 - 2y = 4 即可求解；
（3）先根据 a 2b=3，2b c= 5，c d=10，得到 a - 2b + 2b - c + c - d = 3 + -5 +10 = 8，即可得到
a - d = 8，再把(a c)+(2b d) (2b c)去括哈合并同类项即可求解.
2
【解析】解：（1）3 a - b - 6 a - b 2 + 2 a - b 2
= 3 - 6 + 2 a - b 2
= - a - b 2；
（2）∵ x2 - 2y = 4 ，
∴3x2 - 6y - 21 = 3 x2 - 2y - 21 = 3 4 - 21 = -9 ；
（3）(a c)+(2b d) (2b c)
= a - c + 2b - d - 2b + c
= a - d ，
∵a 2b=3，2b c= 5，c d=10，
∴ a - 2b + 2b - c + c - d = 3 + -5 +10 = 8，
∴a - 2b + 2b - c + c - d = 8，
∴a - d = 8
∴(a c)+(2b d) (2b c)=8.
【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，解题的关键在于能够熟练运用整体的思想进行求解.
29．我市某小区居民使用自来水 2023 年标准缴费如下（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过12m3 的部分 a元 /m3
超过12m3 但不超过 20m3的部分 1.5a 元 /m3
超过 20m3的部分 2a 元 /m3
(1)当 a = 2时，
①某户 1 月份用了3m3的水，求该户 1 月份应缴纳的水费__________元．
②某户 4 月份用了13m3的水，求该户 4 月份应缴纳的水费__________元．
③某户 8 月份用了23m3的水，求该户 8 月份应缴纳的水费__________元．
(2)设某户月用水量为 nm3 ，当 n > 20时，该户应缴纳的水费为__________元（用含 a， n的式子表示）．
(3)当 a = 2时，甲、乙两户一个月共用水 40m3，已知甲户缴纳的水费超过了 24 元，设甲户这个月用水 xm3 ，
试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含 x 的式子表示）
【答案】(1)①6；②27；③60
(2) 2an -16a
(3)当12 < x 20时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为 -x +116 元；当 20 < x < 28时，甲、乙两用户一
个月共缴纳的水费为 x + 76 元；当 28 x 40时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为 2x + 48 元
【分析】（1）根据所给的收费标准进行分段计算，可以分别计算出该用户 1 月份，4 月份，8 月份应缴纳
的水费；
（2）根据所给的收费标准进行分段计算，可以计算出当 n > 20时，该用户应缴纳的水费；
（3）分当12 < x 20时，当 20 < x < 28时，当 28 x 40时，三种情况根据所给的收费标准讨论求解即
可．
【解析】（1）解：由题意可知：
①某用户 1 月份用了3m3水，则该用户这个月应缴纳的水费为：3 2 = 6（元）；
故答案为：6；
②某用户 4 月份用了13m3水，则该用户这个月应缴纳的水费为：12 2 + 13 -12 1.5 2 = 27（元）；
故答案为：27；
③某用户 8 月份用了23m3水，则该用户这个月应缴纳的水费为：12 2 + 20 -12 1.5 2 + 23 - 20 2 2 = 60
（元）；
故答案为：60；
（2）由题意可得：12a + 20 -12 1.5a + n - 20 2a
= 12a +12a + 2an - 40a
= 2an -16a （元），
∴当 n > 20时，该户应缴纳的水费为 2an -16a 元，
故答案为： 2an -16a ；
（3）∵12 2 = 24，
∴ x > 12，
当12 < x 20时，甲用水量超过12m3 但不超过 20m3，乙用水量超过 20m3，
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： é 12 2 + x -12 1.5 2 ù + é12 2 + 20 -12 1.5 2 + 40 - x - 20 2 2ù
= 24 + 3x - 36 + 24 + 8 3 +160 - 4x - 80
= -x +116；
当 20 < x < 28时，甲的用水量超过 20m3，乙的用水量超过12m3 但不超过 20m3，
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： é12 2 + 20 -12 1.5 2 + x - 20 2 2 ù + é12 2 + 40 - x -12 1.5 2 ù
= x + 76 ；
当 28 x 40时，甲的用水量超过 20m3，乙的用水量不超过12m3 ，
∴甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为： é12 2 + 20 -12 1.5 2 + x - 20 2 2 ù + 40 - x 2
= 2x + 48；
综上所述，当12 < x 20时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为 -x +116 元；当 20 < x < 28时，甲、乙两
用户一个月共缴纳的水费为 x + 76 元；当 28 x 40时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为 2x + 48
元．
【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算的实际应用，整式加减计算的实际应用，正确理解题意利
用分类讨论的思想求解是解题的关键．第 03 讲 整式的加减（十大题型）
学习目标
1、知道去括号、添括号法则；
2、掌握整式的加减运算；
3、会解整式的加减运算的应用题。
一、去括号法则
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
【方法规律】
(1)去括号法则实际上是根据乘法分配律得到的结论：当括号前为“+”号时，可以看作+1 与括号内的各
项相乘；当括号前为“-”号时，可以看作-1 与括号内的各项相乘．
（2）去括号时，首先要弄清括号前面是“+”号，还是“-”号，然后再根据法则去掉括号及前面的符
号．
(3)对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定
要注意括号前的符号．
（4）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形．
二、添括号法则
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号．
【方法规律】
(1)添括号是添上括号和括号前面的符号，也就是说，添括号时，括号前面的“+”号或“-”号也是新
添的，不是原多项式某一项的符号“移”出来得到的．
(2)去括号和添括号的关系如下：
如： a + b - c
添 括 号 添括号 a + (b - c)， a - b + c a - (b - c)
去括号 去括号
三、整式的加减运算法则
一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项．
【方法规律】
（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项．
（2）两个整式相减时，减数一定先要用括号括起来．
(3)整式加减的最后结果的要求：①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止；②不能出现带分数，
带分数要化成假分数．
【即学即练 1】化简：
(1)5a2b - 7ab2 - 4ab2 + 3a2b
3m2 2m 1 2m2 3m 7(2) + + - - -
2 2
【即学即练 2】整式 x3 y - 2xy2 + 3x2 y3 - 210 是 次 项式，按 x 的升幂排列为 ．
【即学即练 3】整式 4a3b3 -8ab + 7a2b -15的二次项系数是 ，三次项系数是 ，常数项
是 ，次数最高项的系数是 ．
4 4x
3 - x2 y2 - 5 + 3xy
【即学即练 】整式 是 次 项式，常数项是 ．
4
【即学即练 5】整式 xm + (m + n)x2 - 3x + 5是关于 x 的三次四项式，且二次项系数是-2，求 nm = ．
题型 1：去括号
【典例 1】．下列各式去括号正确的是（ ）
A．- a - 3b = -a - 3b B． a + 5a - 3b = a + 5a - 3b
C．-2 x - y = -2x - 2y D．-y + 3 y - 2x = -y + 3y - 2x
【典例 2】．下列去括号的结果中，正确的是（ ）
A．-2 3x -1 = -6x -1 B．-2 3x -1 = -6x + 2
C．-2 3x -1 = -6x - 2 D．-2 3x -1 = 6x + 2
【典例 3】．去括号，合并同类项：
(1)（2x﹣3y）﹣2（x+2y）；
(2)3x2﹣[2x﹣（x﹣5）﹣x2]；
(3)（2x2y+3xy2）﹣（x2y﹣3xy2）；
(4)4m2n﹣2（2mn﹣m2n）+mn．
题型 2：添括号
【典例 4】．对多项式 2x - m + n添括号，正确的是（ ）
A． 2x - m + n = 2x - (m - n) B． 2x - m + n = 2x - (m + n)
C． 2x - m + n = 2x + (-m - n) D． 2x - m + n = 2x + (m - n)
【典例 5】．下列添括号正确的是（ ）
A．a﹣2b+3c＝a﹣（2b+3c） B．a﹣b﹣c＝a﹣（b﹣c）
C．﹣a+b﹣c＝﹣（a﹣b+c） D．c+2a﹣b＝c+2（a﹣b）
【典例 6】．下列去括号或添括号的变形中，正确的是（ ）
A．2a－（3b－c）＝2a－3b－c B．3a＋2（2b－1）＝3a＋4b－1
C．a＋2b－3c＝a＋（2b－3c） D．m－n＋a－b＝m－（n＋a－b）
2 2 2
【典例7】．下列去括号或添括号：① a - 5a - ab + 3 = a - éab - 3- 5a ù ；② a - 2 b - 3c +1 = a - 2b + 3c -1；
③ a2 - 5a - ab + 3 = a2 - ab - 5a + 3 ；④ 3ab - é 2 2 5ab - 2a b - 2 - a2b2 ù = 3ab - 5ab2 + 2a2b - 2 + a2b2，其
中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
题型 3：整式的加减运算
【典例 8】．化简：
(1) 4ab - b2 - 2 a2 + 2ab - b2 ．
1
(2) -
2 4x
2 - 2x 1- 2 + -3+ 6x2 ．3
【典例 9】．已知一个多项式与3x2 + 9x的和等于3x2 + 4x -1，则这个多项式是（ ）
A．-5x -1 B．5x +1 C．-13x -1 D．13x +1
【典例 10】．计算：
5xy 3(1) - x3 y2 - 4xy
1
+ y2x3 1- xy - 3x3 y2
2 2 2
(2) 2 3a2b - ab2 - 3 2a2b +1 - 3ab2 + 3
题型 4：根据整式的加减运算求值
2 2 2 2
【典例 11】．先化简，再求值： 2 3ab - a b + ab - 3 2ab - 4a b + ab ，其中 a = -1，b = 2 ．
2 2 2 2
【典例 12】．（1）化简：5 3a b - ab - 4 -ab + 3a b ；
（2）化简：-2 mn - 3m2 - ém2 - 5 mn - m2 + 2mn ù；
2xy - é13 5xy -16x2 y2 - 2 xy - 4x2 2 ù 1（ ）先化简，再求值： ê y ú ，其中 x = - ， y = 4 ． 2 2
题型 5：整式的加减运算的代数应用
1 2
【典例 13】．若 A = x2 - 2xy，B = xy + y ，则 A - 2B 为（
2 ）
A．3x2 - 2y2 - 5xy B． x2 - 2y2 - 3xy
C．-5xy - 2y2 D．3x2 + 2y2
【典例 14】．若 A、B 均为四次多项式，且 A+B 为多项式，则 A+B 的次数为（ ）
A．8 次 B．4 次 C．不高于 4 次 D．不低于 4 次
1
【典例 15 2】．若当 x＝2 时， ax3 + bx + 3 = 5，则当 x＝－2 时，求多项式 ax - bx - 3的值为（ ）2
A．－5 B．－2 C．2 D．5
【典例 16】．若 a、b 、 c、d 是正整数，且 a + b = 20 ， a + c = 24， a + d = 22，设 a + b + c + d 的最大值为
M ，最小值为 N ，则M - N = （ ）
A．28 B．12 C．48 D．36
题型 6：“看错，误解”问题
2 1
【典例 17】．小明做完一道填空题后，不小心把墨水洒在作业本中的题目上了； 2 x - x +12 ÷
+
è
= 2x2 + x
(1)如果小明的计算结果正确，请求出被墨水污染的代数式；
(2)若 x = -2，求被墨水盖住的代数式的值
【典例 18】．某同学计算一个多项式加上 xy - 3yz - 2xz 时，误认为减去此式，计算出的结果为
xy - 2yz + 3xz ，则正确结果是（ ）
A． 2xy - 5yz + xz B．3xy -8yz - xz C． yz + 5xz D．3xy -8yz + xz
【典例 19】．已知 A = 3a2b - 2ab2 + abc，小明错将“ 2A - B ”看成“ 2A + B ”,算得结果C = 4a2b - 3ab2 + 4abc .
(1)计算 B 的表达式；
(2)求正确的结果的表达式；
a 1 1(3)小强说（2）中的结果的大小与 c 的取值无关，对吗？若 = ，b = 求（2）中代数式的值
8 5
题型 7：整式的加减运算的实际、图形应用
【典例 20】．某商店在甲批发市场以每包 m 元的价格进了 40 包茶叶，又在乙批发市场以每包 n 元（m > n ）
m + n
的价格进了同样的 60 包茶叶．如果以每包 元的价格全部卖出这种茶叶，那么这家商店（ ）
2
A．盈利了 B．亏损了 C．不盈不亏 D．盈亏不能确定
【典例 21】．如图，把四张形状、大小完全相同的小长方形卡片（如图 1）不重叠地放在一个底面为长方形
（长为 m，宽为 n）的盒子底部（如图 2），盒子底面未被覆盖的部分用阴影表示，则图 2 中两块阴影部分
的周长和是（ ）
A． 4m B． 4 m - n C． 2 m + n D． 4n
【典例 22】．如图，两个大小正方形的边长分别是 4cm 和 xcm（0＜x＜4）．用含 x 的式子表示图中阴影部
分的面积为（ ）cm2．
1 1
A x2 B x2． ．
4 2
1 2 1 2
C． 4 + x D． 4 + x
4 2
题型 8：不含某项、与某字母无关
【典例 23】．已知：A＝ax2﹣x﹣1，B＝3x2﹣2x+2（a 为常数）
(1)当 a 1＝ 2 时，化简：B﹣2A；
(2)在（1）的条件下，若 B﹣2A﹣2C＝0，求 C；
(3)若 A 与 B 的和中不含 x2项，求 a 的值．
【典例 24】．如果代数式 (2x2 + ax - y + 6) - (2bx2 - 3x + 5y -1) 的值与字母 x 所取的值无关，试求代数式
1 a3 - 2b2 - 1 a
3 - 3b2 ÷的值．3 è 4
【典例 25】．如果关于 x 、 y 的代数式 2x2 + ax - y + 6 - 2bx2 - 3x + 5y -1 的值与字母 x 所取的值无关，试
3
化简代数式 a - 2b2 2
1- a
3 - 3b2 ÷，再求值．
è 4
【典例 26】．已知多项式 A = 2x2 + bx - y + 6，B = 2ax2 -10x + 5y -1．
(1)求 A－B；
(2)若多项式 A－B 的值与字母 x 的取值无关，求 a，b 的值；
(3) 2 2
1 2 1 2 1 2
在（ ）的条件下，求： a + b + 2a + b ÷ + 3a + b ÷ +L+ 100a + b ．
è 1 2 è 2 3 è 99 100 ÷
题型 9：新定义题
【典例 27】．对任意代数式，每个字母及其左边的符号（不包括括号外的符号）称为一个数，如：
a - b + c - -d - e ，其中称 a 为“数 1”，b 为“数 2”，+c 为“数 3”，-d 为“数 4”，-e为“数 5”，若将任意两
个数交换位置，则称这个过程为“换位运算”，例如：对上述代数式的“数 1”和“数 5”进行“换位运算”，得到：
-e - b + c - -d + a ，则下列说法中正确的个数是（ ）
①代数式 a - b + c - d - e 进行 1 次“换位运算”后，化简后结果可能不发生改变
②代数式 a - b + c - d - e进行 1 次“换位运算”，化简后只能得到 a - b + c - d - e
③代数式 a + éb - c - d - e ù 进行 1 次“换位运算”，化简后可能得到 7 种结果
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例 28】．一个四位正整数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为 a,b,c,d ，如果a + b = c + d ，那么我们
把这个四位正整数叫做“对头数”．例如四位正整数 2947，因为 2 + 9 = 4 + 7 ，所以 2947叫做“对头数”．判断
3456是否是“对头数” （填是或否）；已知m 是一个“对头数”，个位上的数字是5，百位上的数字是3，
且m 能被 7 整除，则m = ．
题型 10：数字、图形规律题
【典例 29】．一串数字如下：1，-3，5， -7 ，9，-11…如此下去，则第 2023个数字与第 2024个数字的和
等于（ ）
A． 4047 B．-2 C．2 D．-4047
【典例 30】．四个电子宠物排座位，一开始小鼠、小猴、小兔、小猫分别坐在 1、2、3、4 号座位上（如图
所示），以后它们不停地变换位置，第一次上下两排交换，第二次是在第一次换位后，再左右两列位置，第
三次上下两排交换，第四次再左右两列交换……这样一直下去，则第 2024 次变换位置后，小兔坐在（ ）
号位上．
A．1 B．2 C．3 D．4
一、单选题
1．下列去括号正确的是( )
A．- a + b + c = -a + b - c B．- -a - b - c = -a + b + c
C．- a - b - c = -a + b - c D．-2 a + b - 3c = -2a - 2b + 6c
2．下列去括号、添括号的结果中，正确的是（ ）
A． a + b - c + d = a - -b - c + d B 5m2． - 5m + 3- 5m = 5m2 + -5m - 5m + 3
C． -3an - an - -7an = -3an + an + 7an D． 3a - 2b - 2 1 a - b ÷ = 3a - 2b - a + b
è 2
3．下列整式的加减，结果是单项式的是（ ）
A 3k 2 + 4k -1 - 3k 2． - 4k +1 B 3 2． 2 p + p -1 - 2 p3 + p -1
1 2 3 2 3C - 1+ 3m n + 3m - 2 3 3 2 2 2． 3 3 1- m n - m ÷ D． a - 5a + 6a - 2 3a + 3a è 2 2
4．多项式6a2 - 5a + 3与5a2 + 2a -1的差是（ ）
A． a2 - 3a + 4 B． a2 - 3a + 2 C． a2 - 7a + 2 D． a2 - 7a + 4
5．小文在做多项式减法运算时，将减去 2a2 + 3a - 5误认为是加上 2a2 + 3a - 5，求得的答案是 a2 + a - 4（其
他运算无误），那么正确的结果是（ ）
A．-a2 - 2a +1 B．-3a2 + a - 4
C． a2 + a - 4 D．-3a2 - 5a + 6
6．若 A 与 B 都是二次多项式，则关于 A﹣B 的结论，下列选项中正确的有（ ）
A．一定是二次式 B．可能是四次式
C．可能是一次式 D．不可能是零
7．如果 A, B两个整式进行加法运算的结果为-7x3 +2x-4，则 A, B这两个整式不可能是（ ）
A．2x3 +5x -1和-9x3 -3x -3
B．5x3 + x +8和-12x3 + x -12
C．-3x3 + x +5和-4x3 + x -1
D．-7x3 +3x-2和-x - 2
8．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为 m 厘米，
宽为 n 厘米）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖，部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分
的周长和是（ ）厘米．
A． 4m B． 4n C． 2(m + n) D． 4(m - n)
9．已知关于 x 的多项式 -2x3 + 6x2 + 9x +1- 3ax2 - 5x + 3 的取值不含 x2项，那么 a 的值是（ ）
A．-3 B．3 C．-2 D．2
10 xyz2．多项式 + 4yx -1 + -3xy + z2 yx -3 - 2xyz2 + xy 的值（ ）
A．与 x, y, z的大小都无关
B．与 x, y的大小有关，与 z 的大小无关
C．与 x 的大小有关，与 y, z 的大小无关
D．与 x, y, z的大小都有关
二、填空题
11． 5x3 + 2x2 - 3x + 6 - ( ) = 2x3 - x +1．
12．已知 x - 2y = -2，则整式 (x - 2y)2 - x + 2y -1的值为 ．
13．已如 A - B = 3x2 - 2x +1, B - C = 4 - 2x2 ，则C - A = ．
14．一个三位数的十位为m，个位数比十位数的3倍多2，百位数比个位数少3，则这个三位数可表示为 ．
15．求值：
2
（1）3a - 2 2a2 + a + 2 a2 - 3a = ，其中 a = -2 ；
（2） 9a2 -12ab + 5b2 - 7a2 +12ab + 7b2 = 1 1 ，其中 a = ，b = - ；
2 2
（3） 2 a2b + ab2 - 2 a2b -1 - 2ab2 - 2 = ，其中 a = -2 ，b = 2 .
16．老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如
- 2x2 - 2x +1 = -x2 + 5x - 3，则所捂住的多项式是 ．
3xn+1 4xn-1 1 xn+1 317 - + + xn-1． + 5xn - 2xn = .
2 2
18．已知 3 个多项式分别为： A = x2 + 2x，B = -3x2 + 5，C = x - 5．
①若 C = 3，则 x = 2或 8；
②若mA + B + C 的结果为单项式，则m = 3；
1
③若关于 x 的式子 A - nB - 2C 的结果恒为常数，则 n = - ；
3
④代数式 3A + B + -3A - B + C 化简后共有 3 种不同表达式．
其中正确的是 ．
三、解答题
19．计算：
（1） (2a - b) - (2b - 3a) - 2(a - 2b)；
2 4x2 5xy 1 2（ ） - - y + 2x2 1÷ + 2 3xy - y2 1- y2
è 3 ÷
．
è 4 12
20．计算：
（1） 4a3b -10b3 + -3a2b2 +10b3 ； 2 4x2 y - 5xy2 - 3x2（ ） y - 4xy2 ；
3 5a2 - éa2（ ） + 5a2 - 2a - 2 a2 - 3a ù； （4）15 + 3(1- a) - 1- a - a2 + 1- a + a2 - a3 ；
（5） 4a2b - 3ab + -5a2b + 2ab ； （6 2） 6m - 4m - 3 + 2m2 - 4m +1 ；
7 5a2 + 2a -1 - 4 3-8a + 2a2 3x2 é5x 1 x 3 2x2 ù（ ） ； （8） - ê - -2 ÷ + ú． è
1
21．（1）求多项式 2x2 - 5x + x2 + 4x - 3x2 - 2的值，其中 x = ；
2
3a abc 1 1（2）求多项式 + - c2 - 3a + c2
1
的值，其中a = - ,b = 2,c = -3．
3 3 6
22 3 2 2．已知关于 x 的多项式a x - x + 3x + b 2x + x + x3 - 7的二次项系数为 0，且当 x = 2时，它的值是
-19，求当 x = -2时，该多项式的值．
23．某位同学做一道题：已知两个多项式A 、 B ，若 B = x2 - x -1，求 A - B的值．他误将 A - B看成 A + B ，
求得结果为3x2 - 3x + 5．
(1)求多项式A 的表达式；
(2)求 A - B的正确答案．
24．已知 A = -x2 + 2xy - 3y2， B = 5x2 - xy + 2y2 ．
(1)求 4A - 6B ；
(2)若 2A + B + C = 0 ，求 C．
25．已知关于 x ， y 的多项式mx4 + 4nxy3 + 3x4 - xy3 + xy不含四次项，求m + 4n 的值．
26 2 2．已知含字母 m，n 的整式3 ém + 2 n + mn - 3 ù - 3 m2 + 2n2 - (mn - m -1) ．
（1）化简这个整式；
（2）小明取 m，n 互为倒数的一对数值代入化简后的整式中，恰好计算得整式的值等于 0．那么小明所取
的字母 n 的值等于多少？
27．对于有理数 a，b，定义 a *b = 3a - 4b．
（1）计算：① (-5) *3；
② 3*[(-2) *1]；
（2）化简式子 (x - y) *(x + y)；
（3）求 (x
1
+ 3y) * éê (5y - x)
ù
ú *(- y)
1
的值，共中 x = - , y = 2．
2 3
28．阅读材料：
我们知道，4x-2x+x=(4-2+1)x=3x，类似地，我们把(a+b)看成一个整体，则
4(a+b)-2(a+b)+(a+b)=(4-2+1)(a+b)=3(a+b)．“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式
的化简与求值中应用极为广泛．
尝试应用：
（1）把(a b)2 看成一个整体，合并 3(a b)2 6(a b)2+2(a b)2 的结果是___．
（2）已知 x2 - 2y =4，求3x2 - 6y 21 的值；
（3）已知 a 2b=3，2b c= 5，c d=10，求(a c)+(2b d) (2b c)的值．
29．我市某小区居民使用自来水 2023 年标准缴费如下（水费按月缴纳）：
用户月用水量 单价
不超过12m3 的部分 a元 /m3
超过12m3 但不超过 20m3的部分 1.5a 元 /m3
超过 20m3的部分 2a 元 /m3
(1)当 a = 2时，
①某户 1 月份用了3m3的水，求该户 1 月份应缴纳的水费__________元．
②某户 4 月份用了13m3的水，求该户 4 月份应缴纳的水费__________元．
③某户 8 月份用了23m3的水，求该户 8 月份应缴纳的水费__________元．
(2)设某户月用水量为 nm3 ，当 n > 20时，该户应缴纳的水费为__________元（用含 a， n的式子表示）．
(3)当 a = 2时，甲、乙两户一个月共用水 40m3，已知甲户缴纳的水费超过了 24 元，设甲户这个月用水 xm3 ，
试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费（用含 x 的式子表示）
