第 09 讲 平方差公式（八大题型）
学习目标
1、会用图形证明平方差公式；
2、学会用平方差公式计算；
3、平方差公式的应用。
一、知识引入
计算下列各题，并观察下列乘式与结果的特征：
(1)(y+2)(y-2)=
(2)(3-a)(3+a)=
（3）(2a+b)(2a-b)=
通过计算你发现了什么规律 比较等号两边的代数式可以看到两个数的和与这两个数的差的乘积等于
这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=a -b .这个公式叫做平方差公式.
证一证：你能根据图中图形的面积关系来说明平方差公式吗
二、平方差公式
平方差公式： (a + b)(a - b) = a2 - b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
【方法规律】在这里， a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又
有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如 (a + b)(-b + a) 利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如 (3x + 5y)(3x - 5y)
3 2
（3）指数变化：如 (m + n )(m3 - n2 )
（4）符号变化：如 (-a - b)(a - b)
（5）增项变化：如 (m + n + p)(m - n + p)
【即学即练 1】下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． x - 3 3- x B． -2x -1 -2x +1
C． x - 3 2x + 3 D． -x - 3 x + 3
【即学即练 2】运用平方差公式计算：
(1) (x + 3)(x - 3)(x2 + 9)；
x 1 x2 1- + x 1+ (2) ÷ ÷ ÷
è 2 è 4 è 2
【即学即练 3】先化简，再求值： 2m - m m - 2 + m + 3 m - 3 5，其中m = ．
2
题型 1：利用平方差公式计算
【典例 1】．计算：
(1) 5m - 3n 5m + 3n ；
(2) -2a2 + 5b -2a2 - 5b ；
1 x + y 1(3) ÷ - x + y
4 4 ÷
；
è è
(4) -3y - 4x 3y - 4x ．
1 8
【典例 2】．简便计算：90 89 ．
9 9
【典例 3】．用简便方法计算：
(1) 20192 - 20182
(2)9 1.22 -16 1.42
题型 2：判断能否用平方差公式计算
【典例 4】．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． 5x - 2ab 5x + 2ab B． x - y -x - y
C． -ab - c ab - c D． m + n -m - n
【典例 5】．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． 2m - 3n 2m + 3n B． a - b + c a + b + c
C． -a - b b - a D． -3a + b 3a - b
【典例 6】．下列选项中不能运用平方差公式的有（ ）
A． a + b + c a - b + c B． a - b + c -a + b - c
C． a - b + c a + b - c D． -a + b + c -a - b - c
题型 3：平方差公式的图形应用
【典例 7】．一个长方形的宽为 2x - y ，长为 2x + y ，则这个长方形的面积是（ ）
A． 4x2 y2 B． 4x2 + y2 C． 2x2 - y2 D． 2x2 + y2
【典例 8】．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm ，它们的面积相差960cm2 ．求这两个正方形的边长．
【典例 9】．如图，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼
成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A． (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 B． a a + b = a2 + ab
C． (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 D． a - b a + b = a2 - b2
题型 4：利用平方差公式求代数式的值
【典例 10】．若 a + b =1， a - b = 2022，则 a2 - b2 = ．
【典例 11 2】．若 a2 - b2 =4，则 a + b a - b 2的值是（ ）
A．24 B．16 C．8 D．4
【典例 12】．已知 a - b = 5，则 a2 - b2 -10b 的值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．25
2 2
【典例 13】．若 a +b +1 a2 +b2 -1 = 35，则 a2 + b2 = （ ）
A．3 B．6 C． ±3 D．±6
题型 5：多重平方差公式问题（含构造平方差公式）
2 2 4 4 8 8
【典例 14】．(a -b)(a + b)(a + b )(a + b )(a + b )
【典例 15】．计算 (3 + 2) (32 + 22 ) (34 + 24 ) (38 + 28 )结果等于（ ）
A．1 B．316-216 C．332+232 D．332－232
1 1 1 1 1
【典例 16】．计算： 1+ 2 ÷
1+
è è 22 ÷
1+
è 24 ÷
1+
è 28 ÷
+ ．
215
【典例 17】．式子 2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 × × × 21024 +1 化简的结果为（ ）
A． 21024 -1 B． 21024 +1 C． 22048 -1 D． 22048 +1
题型 6：平方差公式的代数应用
【典例 18】．已知：M = 2008 2009 2010， N = 2007 2009 2011，则M 、 N 的大小关系是 .
【典例 19】．对于任何整数 m，多项式 (4m + 5)2 - 9都能被（ ）整除．
A．8 B．m C．m -1 D． 2m -1
2 2
20 a 1 2 3
2 502 b 1
2 22 32 502
【典例 】．设 = + + + ×××+ ， = + + + ×××+ ，则 a - b的近似值为（ ）
1 3 5 99 3 5 7 101
A．13 B．25 C．50 D．101
题型 7：材料、规律题
1 1 1 1
【典例 21】． a1 =1- 2 ，a =1-2 2 32
，a3 =1- 2 ， ，an =1- ，s = a × a × a ，4 n 1 2 n 1 2 n 则 S2022 = .+
【典例 22】．若 n 为正整数，观察下列各式：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1① = - ÷；② = - ÷ ；③ = -
．
1 3 2 è 3 3 5 2 è 3 5 5 7 2 ÷è 5 7
根据观察计算并填空：
1 1 1
(1) + + = ______；
1 3 3 5 5 7
1 1 1 1
(2) + + +L+ =1 3 3 5 5 7 2n -1 2n +1 ______；
1 1- 1 1 1 1- - L 1 1 1(3)计算： 2 ÷ 2 ÷ 2 ÷ -
2 ÷ 1-
2 ÷
．
è è 3 è 4 è 2023 è 20242
题型 8：图形应用的难点分析
【典例 23】．【探究】如图①，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影部分沿虚线
剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母 a、b 表示)；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知 2m﹣n=3，2m+n=4，则 4m2﹣n2的值为 ；
②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．
【拓展】计算 2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 L 232 +1 的结果为 ．
【典例 24】． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
a b a＋b a－b a2－b2
2 1 3 1 3
3 －2 1 5
1 1 5 5
2 3 6 36
(2)【形的角度】如图①，在边长为 a 的正方形纸片上剪去一个边长为 b（b＜a）的小正方形，怎样计算图
中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看
成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将
阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
【典例 25】．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如
2 2
由图 1 可以得到 a + 3ab + 2b = a + 2b a + b ．请回答下列问题：
（1）写出图 2 中所表示的数学等式是 ；
（2）如图 3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现
什么 (用含有 x ， y 的式子表示) ；
（3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填
“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．
【典例 26】．操作与探究
（1）如图 1，在边长为 a 的正方形正中间剪去一个边长为 b 的小正方形 (a > b)，把剩下的部分按照图中的
线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法
公式是__________（填序号）．
① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ② (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
③ a2 - b2 = (a + b)(a - b) ④ a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
思考与创新
（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：
①已知 a + b = 7 ， ab =10 ，求 a2 - b2的值；
②（任选其一）模仿图 1，任选图 2 或图 3 用割拼的方法在左边 内画图验证（1）中得到的乘法公
式成立（画的图形中标注 a、b）
【典例 27】．从边长为 a的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长方形
（如图 2）．
(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个）
A a2 - 2ab + b2 = a - b 2．
B． a2 - b2 = a + b a - b
C． a2 + ab = a a + b
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 x2 - 4y2 =12， x + 2y = 4，求 x - 2y 的值；
1 1 1 1 1
②计算： 1- 2 ÷ 1- 2 ÷ 1- 2 ÷ ××× 1- ÷ 1- ÷；è 2 è 3 è 4 è 20212 è 20222
③计算： 1
1
+ ÷ 1
1
+ 1 1+ 1 12 ÷ 4 ÷ 1+
+ ．
è 2 è 2 2 ÷ è è 28 215
【典例 28】．如图，在边长为 m 的正方形纸片中剪去一个边长为 n 的小正方形纸片（m > n ），把剩余的部
分拼成一个长方形纸片．
(1)如图 1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）；
A、m2 + 2mn + n2 = m + n 2 B、m2 - 2mn + n2 = m - n 2
C m2、 - n2 = m + n m - n D、m2 - mn = m m - n
(2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题：
①如图 2，大正方形 ABCD的面积为 S1，小正方形CEFG的面积为 S2 ，且 S1 - S2 = 30，求不规则四边形BGED
的面积；
1 1- 1 1 ②计算： 2 ÷ 1- ÷ 1- ÷ LL
1
1 1
- 1- 1 1÷ ÷ -
÷
è 2 è 32 è 42 è 20222 è 20232 è 20242
一、单选题
1．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． (2x - y)(x + 2y) B． (x - y)(y - x)
C． (b + a)(b - c) D． (-a + b)(a + b)
2．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A 3 3 3 3． (m - n)(-m + n) B． x - y x + y
C． ( a b)(a b) D 2 2． c - d d 2 + c2
3．计算 20212 - 2022 2020的结果是 ( )
A．2 B．-2 C． -1 D．1
4．为了应用平方差公式计算 a - b + c a + b - c ，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）.
A． é a + c - b ù é a - c + bù B． é a - b + cù é a + b - cù
C． éa - b + c ù é a + b - c ù D． é a - b - c ù éa + b - c ù
5．已知 a+b+3＝0，且 a﹣b﹣4＝0，则 a2﹣b2＝（ ）
A．12 B．﹣12 C．24 D．±12
6．一个长方形的长为 m+2n ，宽为 m - 2n ，则这个长方形的面积为（ ）
A．m2 - 2n2 B．m2 - 4n2
C．m2 + 2n2 D． 4m2 - n2
7．计算 (2 +1)(22 +1)(24 +1) × × × (22n +1) 的值是（ ）
A． 2n -1 B． 22n -1 C． 24n -1 D． 222n -1
8．若 a
1
- b = ，则 a2 - b2 - b的值为（ ）
2
1 1A． 2 B． C．1 D．24
9．如图，在边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形（a＞b）（如图 1），将余下的部分拼成一
个梯形（如图 2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到个关于 a,b的等式为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．a2＋ab＝a（a＋b）
A 2 (1 1 )(1 1 )(1 1 )(1 1 1 1
1
10．若 = - + 1 + 2 + 4 + 8 )(1+ 16 )(1+ 32 )(1
1
+ 64 ) …… (1+ n ) +12 ，则 A 的值是3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 1
A．0 B．1 C． 22n D． 2n+13 3
二、填空题
11．在括号中填上适当的整式：
（1） (x + 5) ( ) = x2 - 25； （2） (m - n) ( ) = n2 - m2 ；
（3） (-1- 3x) ( ) = 1- 9x2 ； （4） (a + 2b) ( ) = 4b2 - a2 ．
12．填空
a a
（1） -3 +
÷ 3 +
÷ = ；（2） (-3x - 5y)(-3x + 5y) = ．
è 2 è 2
13．用简便方法计算：502 - 49 51 = ．
14．(1) x - 2y 2y + x = = .
(2) 2x +1 2x -1 4x2 +1 = ；.
2020
15．计算 = ．
20202 - 2019 2021
16．已知 4m2 - 9n2 = 26 ， 2m + 3n =13，则 2m - 3n = ．
17．若 2a + b = 5， a + 2b = 4，则 a2 - b2 = ．
18．若 (a + b + c)(a - b + c) = (A - B)(A + B)，则 A = ，B = .
三、解答题
19．运用平方差公式计算：
2
（1） x - y
2
÷ x + y ÷；（2） (xy +1)(xy -1)；（3） (2a - 3b)(3b + 2a)
è 3 è 3
（4） (-2b - 5)(2b - 5)；（5） 2001 1999；（6）998 1002．
20．计算：
（1） (2x + 3y)(x - y)
1 1
； （2） x + 2÷ 4x - ；
è 2 2 ÷ è
2 2
（3） a + 3b a - 3b ； （4） 5x3 - 4y2 5x3 + 4y2 ；
（5） x2 + xy + y2 (x - y)； （6） (x -1)(x +1)(2x +1) ．
21．计算：
3an b+ 3an b 2m 3n 3n 2m（1） - ；2 ÷ 2 ÷
（2） +
- + ；
è è è 3 4 ÷ è 4 3 ÷
x y x y- - - 2x - 3y 3y + 2x（3） ÷ ；4 2 4 2 ÷ （4） × ；è è 2 3
（5） -m2n + 2 -m2n - 2 ； （6） (x +1) x2 +1 (x -1) x4 +1 ．
22．先化简，再求值： 4x x -1 - 2x +1 2x -1 ，其中 x = -5．
23．（1）用简便方法计算： 20232 - 2022 2024
（2）先化简，再求值： 2 - a 2 + a - 2a a + 3 + 3a2 1 ，其中 a = - ．3
24．已知 x - y = 3, y - z = 3, x + z =14，求 x2 - z2的值．
25．如图1所示，边长为 a的正方形中有一个边长为b 的小正方形，图 2是由图1中阴影部分拼成的一个长方
形，设图1中阴影部分面积为 S1，图 2中阴影部分面积为 S2 ．
(1)请直接用含 a和b 的代数式表示S1 =________， S2 = ________；写出利用图形的面积关系所得到的公式
___________（用式子表达）；
1 1 1 1 1 1 (2)应用公式计算： - 2 ÷ - 2 ÷ - 2 ÷L
1
1 1
- 2 ÷ 1-
；
è 2 è 3 è 4 è 2024 ÷ è 20252
(3)应用公式计算： (5 +1) 52 +1 54 +1 L 532 1+1 564 +1 + ．4
26．如图①，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的
长方形．
(1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 ．
A． a2 - b2 = (a + b)(a - b)
B． (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
C． (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
D． a2 + ab = a(a + b)
(2)应用这个公式完成下列各题．
①已知 4m2 - n2 =12， 2m + n = 4 ，求 2m - n的值；
②计算： (2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)(216 +1)(232 +1)．
27．观察下列一组等式：
a +1 a2 - a +1 = a3 +1；
a + 2 a2 - 2a + 4 = a3 + 8；
a - 3 a2 + 3a + 9 = a3 - 27 ；
2a + 3 4a2 - 6a + 9 = 8a3 + 27．
利用你从以上这些等式中发现的规律：
(1)填空： a - 2 a2 + 2a + 4 = ______；
a - 2b a2 + 2ab + 4b2 = ______；
（______） a2 + ab + b2 = a3 - b3 ．
(2)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是______．
A 2． a + 3 a + 3a + 9 B． 4 - x 16 + 4x + x2
C 2m - n 2m2 + 2mn + n2． D． x - 3y x2 + 6xy + 9y2
(3) 2 2 2 2计算： a - b a + b a + ab + b a - ab + b ．
28 3 4 +1 42．阅读下列材料：某同学在计算 +1 时，把 3 写成 4 -1后，发现可以连续运用平方差公式计
3 4 +1 42 +1 = 4 -1 4 +1 42算： +1 = 42 -1 42 +1 =162 -1．他很受启发．后来在求
2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 216 +1 232 +1 时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘 1，
并且把 1 写成 2 -1 得： 2 -1 2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 216 +1 232 +1 = 22 -1 22 +1 24 +1 28 +1
216 +1 232 +1 = 24 -1 24 +1 28 +1 216 +1 232 +1 = ××× = 232 -1 232 +1 = 264 -1．
解答问题：
(1)计算： 2 3+1 32 +1 34 +1 38 +1 ；
(2)化简： m + n m2 + n2 m4 + n4 m8 + n8 m16 + n16 ．第 09 讲 平方差公式（八大题型）
学习目标
1、会用图形证明平方差公式；
2、学会用平方差公式计算；
3、平方差公式的应用。
一、知识引入
计算下列各题，并观察下列乘式与结果的特征：
(1)(y+2)(y-2)=
(2)(3-a)(3+a)=
（3）(2a+b)(2a-b)=
通过计算你发现了什么规律 比较等号两边的代数式可以看到两个数的和与这两个数的差的乘积等于
这两个数的平方差，即(a+b)(a-b)=a -b .这个公式叫做平方差公式.
证一证：你能根据图中图形的面积关系来说明平方差公式吗
二、平方差公式
平方差公式： (a + b)(a - b) = a2 - b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
【方法规律】在这里， a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.
抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又
有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：
（1）位置变化：如 (a + b)(-b + a) 利用加法交换律可以转化为公式的标准型
（2）系数变化：如 (3x + 5y)(3x - 5y)
（3 3 2 3 2）指数变化：如 (m + n )(m - n )
（4）符号变化：如 (-a - b)(a - b)
（5）增项变化：如 (m + n + p)(m - n + p)
【即学即练 1】下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． x - 3 3- x B． -2x -1 -2x +1
C． x - 3 2x + 3 D． -x - 3 x + 3
【答案】B
【分析】本题主要考查的是平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．依据平方差公式进行判断即
可，
2
【解析】解：A、 x - 3 3- x = - x - 3 ，故不符合题意；
B、 -2x -1 -2x +1 ，符合平方差公式，故符合题意；
C、 x - 3 2x + 3 不符合平方差公式，故不符合题意；
D、 -x - 3 x + 3 = - x + 3 2 ，故不符合题意．
故选：B．
【即学即练 2】运用平方差公式计算：
(1) (x + 3)(x - 3)(x2 + 9)；
x 1 x2 1- + x 1 (2) +2 ÷ 4 ÷ 2 ÷è è è
【答案】(1) x4 -81
(2) x4
1
-
16
【分析】本题考查的是平方差公式的灵活应用，熟记平方差公式是解本题的关键；
（1）逐步利用平方差公式计算即可；
（2）逐步利用平方差公式计算即可．
【解析】（1）解： (x + 3)(x - 3)(x2 + 9)
= (x2 - 9)(x2 + 9)
= x4 -81；
1 1 1
（2）解： x -
x2 + x +
2 ÷ 4 ÷ 2 ÷è è è
1 1 2 1= x - ÷ x + ÷ x + ÷
è 2 è 2 è 4
2 1= 2 1 x - ÷ x +
4 ÷è è 4
= x4 1- ．
16
【即学即练 3】先化简，再求值： 2m - m m - 2 + m + 3 m - 3 5，其中m = ．
2
【答案】 4m - 9；1
【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．
【解析】解： 2m - m m - 2 + m + 3 m - 3
= 2m - m2 + 2m + m2 - 9
= 4m - 9．
当m
5 5
= 时，原式= 4 - 9 = 10 - 9 = 1．
2 2
题型 1：利用平方差公式计算
【典例 1】．计算：
(1) 5m - 3n 5m + 3n ；
(2) -2a2 + 5b -2a2 - 5b ；
1 x 1+ y - x + y (3) 4 ÷ 4 ÷
；
è è
(4) -3y - 4x 3y - 4x ．
【答案】(1) 25m2 - 9n2
(2) 4a4 - 25b2
1
(3) y2 - x2
16
(4)16x2 - 9y2
【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可得到结果；
（2）原式利用平方差公式计算即可得到结果；
（3）原式利用平方差公式计算即可得到结果；
（4）原式利用平方差公式计算即可得到结果；．
【解析】（1） 5m - 3n 5m + 3n
= 5m 2 - 3n 2
= 25m2 - 9n2 ；
（2） -2a2 + 5b -2a2 - 5b
= 2-2a2 - 5b 2
= 4a4 - 25b2
1
（3） x y
1+
4 ÷
- x + y ÷
è è 4
= y
1
+ x y 1- x
è 4 ÷ ÷ è 4
1 2
= y2 - x ÷
è 4
1
= y2 - x2 ；
16
（4） -3y - 4x 3y - 4x
= -4x + 3y -4x - 3y
= -4x 2 - 3y 2
=16x2 - 9y2 ．
【点睛】此题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
90 1 89 8【典例 2】．简便计算： ．
9 9
8099 80【答案】
81
【分析】变形通过平方差公式计算即可；
90 1 89 8【解析】 ，
9 9
= 90
1 1
+
9 ÷
90 - 9 ÷
，
è è
= 8100 1- ，
81
= 8099 80 ．
81
【点睛】本题主要考查了平方差公式的应用，准确计算是解题的关键．
【典例 3】．用简便方法计算：
(1) 20192 - 20182
(2) 9 1.22 -16 1.42
【答案】(1)4037
(2) -18.4
【分析】（1）利用平方差公式进行计算即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可．
【解析】（1）解： 20192 - 20182
= 2019 + 2018 2019 - 2018
= 4037 1
= 4037；
（2）解：9 1.22 -16 1.42
= 3 1.2 2 - 4 1.4 2
= 3.62 - 5.62
= 3.6 + 5.6 3.6 - 5.6
= 9.2 -2
= -18.4 ．
【点睛】本题主要考查了利用平方差公式进行简便计算，解题的关键是熟记平方差公式
a2 - b2 = a + b a - b ．
题型 2：判断能否用平方差公式计算
【典例 4】．下列各式不能用平方差公式计算的是（ ）
A． 5x - 2ab 5x + 2ab B． x - y -x - y
C． -ab - c ab - c D． m + n -m - n
【答案】D
【分析】根据平方差公式 a - b a + b = a2 - b2 的特征对每一项判断即可得到正确选项．
【解析】解：A、 5x - 2ab 5x + 2ab = 25x2 - 4a2b2 ，能利用平方差公式，因此本选项不符合题意；
B、原式= - x - y x + y ，能利用平方差公式，因此本选项不符合题意；
C、原式= -c - ab -c + ab ，因此能利用平方差公式，因此本选项不符合题意；
D、原式= - m + n m + n ，不能利用平方差公式，因此本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了平方差公式的特征，熟记平方差公式是解题的关键．
【典例 5】．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A． 2m - 3n 2m + 3n B． a - b + c a + b + c
C． -a - b b - a D． -3a + b 3a - b
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的定义：平方差公式是指两个
数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差．
【解析】A、 2m - 3n 2m + 3n = 4m2 - 9n2 ，故该选项不符合题意；
B = a + c - b a + c + b = a + c 2、原式 - b2 ，故该选项不符合题意；
C、原式= - b + a b - a = -b2 + a2 ，故该选项不符合题意；
D、 -3a + b 3a - b 不能用平方差公式计算，故该选项符合题意；
故选：D
【典例 6】．下列选项中不能运用平方差公式的有（ ）
A． a + b + c a - b + c B． a - b + c -a + b - c
C． a - b + c a + b - c D． -a + b + c -a - b - c
【答案】B
【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可得到结果．
【解析】解：A．∵ a + b + c a - b + c
= é a + c + bù é a + c - bù
= a + c 2 - b2
= a2 + 2ac + c2 - b2 ，
∴选项 A 能运用平方差公式，不合题意；
B． a - b + c -a + b - c ，不能运用平方差公式，符合题意；
C．∵ a - b + c a + b - c
= é a - b - c ù éa + b - c ù
= a2 - b - c 2
= a2 - b2 + 2bc - c2 ，
∴选项 C 能运用平方差公式，不合题意；
D．∵ -a + b + c -a - b - c
= a - b - c a + b + c
= éa - b + c ù éa + b + c ù
= a2 - b + c 2
= a2 - b2 - 2bc - c2 ，
∴选项 D 能运用平方差公式，不合题意；
故选：B．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
题型 3：平方差公式的图形应用
【典例 7】．一个长方形的宽为 2x - y ，长为 2x + y ，则这个长方形的面积是（ ）
A． 4x2 y2 B． 4x2 + y2 C． 2x2 - y2 D． 2x2 + y2
【答案】A
【分析】本题主要考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的结构特征是解题的关键．根据长方形的面积
公式进行计算即可．
【解析】解：由长方形的面积公式可得， (2x + y)(2x - y) = 4x2 - y2 ．
故选：A ．
【典例 8】．正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm ，它们的面积相差960cm2 ．求这两个正方形的边
长．
【答案】正方形Ⅰ的边长为32cm ，正方形Ⅱ的边长为8cm
4a - 4b = 96,
【分析】设正方形Ⅰ的边长为 acm
ì
，正方形Ⅱ的边长为bcm，列出 ía2 b2 960,求出即可达到结果； - =
【解析】设正方形Ⅰ的边长为 acm ，正方形Ⅱ的边长为bcm．
ì4a - 4b = 96,
由已知得 í
a
2 - b2 = 960,
ìa = 32,
解得 í
b = 8.
答：正方形Ⅰ的边长为32cm ，正方形Ⅱ的边长为8cm ．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，准确计算是解题的关键．
【典例 9】．如图，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，
拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A． (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 B． a a + b = a2 + ab
C． (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 D． a - b a + b = a2 - b2
【答案】D
【分析】本题主要考查平方差公式的几何意义．由大正方形的面积-小正方形的面积=矩形的面积，进而可
以证明平方差公式．
【解析】解：大正方形的面积-小正方形的面积 = a2 - b2 ，
矩形的面积= a - b a + b ，
故 a - b a + b = a2 - b2 ．
故选：D．
题型 4：利用平方差公式求代数式的值
【典例 10】．若 a + b =1， a - b = 2022，则 a2 - b2 = ．
【答案】 2022
【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式，即可求解．熟练掌握平方差公式
a + b a - b = a2 - b2 是解题的关键．
【解析】解：∵ a + b =1， a - b = 2022，
∴ a2 - b2
= a + b a - b
=1 2022
= 2022．
故答案为： 2022．
【典例 11】．若 a2 - b2 =4，则 a + b 2 a - b 2的值是（ ）
A．24 B．16 C．8 D．4
【答案】B
2 2
【分析】把 a + b a - b 利用平方差公式先运算底数，再代入数据计算即可．
【解析】Q 2 2a + b 2 a - b 2 = é a + b a - b ù = a2 - b2 ，
又Q a2 - b2 =4，
2 2 2 2\ a + b a - b = a - b2 =42 =16 ．
故答案为：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，先利用平方差公式计算底数可以使运算更简便．
【典例 12】．已知 a - b = 5，则 a2 - b2 -10b 的值为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．25
【答案】D
【分析】借助已知条件 a b=5 ，原式利用平方差化简边代入边求解即可．
【解析】解：∵ a b=5 ，
∴原式
= a2 - b2 -10b
= a - b a + b -10b
= 5 a + b -10b
= 5 a - b
= 25．
故选：D．
【点睛】此题考查平方差公式，熟悉平方差公式及代数式求值技巧是关键，此题主要是边代入边求解．
13 a2 +b2 +1 a2 +b2【典例 】．若 -1 = 35，则 a2 + b2 = （ ）
A．3 B．6 C． ±3 D．±6
【答案】B
【分析】根据平方差公式即可求解．
2 2 2 2
【解析】解：∵ a +b +1 a +b -1 = 35，
∴ a2 2 2+ b2 -1 = 35，则 a2 + b2 = 36，
解得： a2 + b2 = 6 或 a2 + b2 = -6（舍），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了根据平方差公式求解，解题的关键是熟练掌握平方差公式：
a + b a - b = a2 - b2 ．
题型 5：多重平方差公式问题（含构造平方差公式）
2 2 4 4 8 8
【典例 14】．(a -b)(a + b)(a + b )(a + b )(a + b )
【答案】 a16 -b16
【分析】利用平方差公式计算即可．
【解析】解：原式＝ (a2 -b2 )(a2 + b2 )(a4 + b4 )(a8 + b8 )
＝ (a4 -b4 )(a4 + b4 )(a8 + b8 )
＝ (a8 -b8 )(a8 + b8 )
＝ a16 -b16 ．
【点睛】本题考查平方差公式，熟悉平方差公式的形式是关键．
【典例 15】．计算 (3 + 2) (32 + 22 ) (34 + 24 ) (38 + 28 )结果等于（ ）
A．1 B．316-216 C．332+232 D．332－232
【答案】B
【分析】根据含乘方的有理数的计算法则和平方差公式进行求解即可.
【解析】解： (3 + 2) (32 + 22 ) (34 + 24 ) (38 + 28 )
= 3 - 2 3 + 2 (3
2 + 22 ) (34 + 24 ) (38 + 28)
3 - 2
32 - 22 (32 + 22 ) (34 + 24 ) (38 + 28)
=
3 - 2
4
= (3 - 2
4 ) (38 + 28)
3 - 2
(38 8 8 8= - 2 ) (3 + 2 )
3 - 2
=316 - 216
故选 B.
【点睛】本题主要考查了含乘方的有理数乘法计算，平方差公式，解题的关键在于能够熟练掌握平方差公
式.
1 1
【典例 1
6】．计算： 1+ ÷ 1+ 2 ÷ 1
1
+ 1 1+ 1+
è 2 è 2 è 24 ÷ ÷ è 28 215
．
【答案】2．
2 1 1【分析】把原式前面一部分乘以
- ÷，再利用乘法的运算律结合平方差公式进行计算，从而可得答
è 2
案.
【解析】解： 1
1 1 1+ + 1 1+ 1 1 1÷ 2 ÷ 4 ÷ +
+
è 2 è 2 è 2 è 28 ÷ 215
2 1 1 1 1 1 1= - + + 1 1+ 1 1 ÷ ÷ 2 ÷ 4 ÷ 1+ 8 ÷ +è 2 è 2 è 2 è 2 è 2 215
2 1 1= 1 - 2 ÷ 1+
2 ÷ 1
1
+ 1 1+ 1
2 2 24 ÷
+
è è è è 28 ÷ 215
= 2 1 1- 1 4 ÷ 1+ 4 ÷ 1
1 1
+ ÷ +
è 2 è 2 è 28 215
2 1 1= - 1 1 8 ÷ 1+
8 ÷ +è 2 è 2 215
= 2 1 1- 1
è 216 ÷
+
215
1 1
= 2 - +
215 215
= 2
【点睛】本题考查的是平方差公式的运用，掌握构建符合平方差公式特点的代数式进行运算是解题的关键.
17 2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 × × × 21024【典例 】．式子 +1 化简的结果为（ ）
A． 21024 -1 B． 21024 +1 C． 22048 -1 D． 22048 +1
【答案】C
【分析】利用添项法，构造平方差公式计算即可．
2 4
【解析】解：设 S= 2 +1 2 +1 2 +1 28 +1 × × × 21024 +1 ，
∴（2—1）S=（2—1） 2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 × × × 21024 +1
∴S= 22 -1 22 +1 24 +1 28 +1 × × × 21024 +1
= 24 -1 24 +1 28 +1 × × × 21024 +1
= 21024 -1 21024 +1
= 22048 -1 ，
故答案为：C．
【点睛】此题主要考查平方差公式的运算，解题的关键是根据式子的特点进行添项．
题型 6：平方差公式的代数应用
【典例 18】．已知：M = 2008 2009 2010， N = 2007 2009 2011，则M 、 N 的大小关系是 .
【答案】M > N
【分析】本题考查了平方差公式的应用；
利用平方差公式对 M，N 进行变形，然后计算出M - N > 0，可得答案．
【解析】解：∵ M = 2008 2009 2010
= 2009 -1 2009 +1 2009
= 20092 -1 2009
= 20093 - 2009；
N = 2007 2009 2011
= 2009 - 2 2009 + 2 2009
= 20092 - 4 2009
= 20093 - 4 2009 ；
∴ M - N = 20093 - 2009 - 20093 - 4 2009
= 20093 - 2009 - 20093 + 4 2009
= 3 2009 > 0 ，
∴ M > N ，
故答案为：M > N ．
【典例 19】．对于任何整数 m，多项式 (4m + 5)2 - 9都能被（ ）整除．
A．8 B．m C．m -1 D． 2m -1
【答案】A
【分析】直接套用平方差公式，整理即可判断．
【解析】因为 (4m + 5)2 - 9 = (4m + 5 - 3)(4m + 5 + 3)
= (4m + 2)(4m + 8)
= 2(2m +1) 4(m + 2)
= 8(2m +1)(m + 2)
所以原式能被 8 整除．
故选 A．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解，熟练掌握 a2 - b2 = (a + b)(a - b) 是解答本题的关键．
12 22 32 502 12 22 32 502
【典例 20】．设 a = + + + ×××+ ，b = + + + ×××+ ，则 a - b的近似值为（ ）
1 3 5 99 3 5 7 101
A．13 B．25 C．50 D．101
【答案】B
【分析】本题主要考查求代数式的值，平方差公式，根据题意，进行错位相减，然后求解即可．
12 22 32 502 2 2 2∵ a 1 2 3 50
2
【解析】解： = + + + ×××+ ，b = + + + ×××+ ，
1 3 5 99 3 5 7 101
12 22 32 502 12 22 32 502
∴ a - b = + + + ×××+ -
1 3 5 99
+ + + ×××+
3 5 7 101 ֏
22 -12 32 - 22 502 - 492 502
=1+ + + ×××+ -
3 5 99 101
1 2 +1 2 -1 3+ 2 3 - 2 50 + 49 50 - 49 2500= + + + ×××+ -
3 5 99 101
50 24 76= -
101
= 25 25
101
25，
故选：B．
题型 7：材料、规律题
a 1 1 a 1 1 a 1 1 1【典例 21】． 1 = - 2 ， 2 = - 2 ， 3 = - 2 ， ，an =1- 2 ，sn = a1 × a2 × an，2 3 4 n 1 则 S2022 = .+
1012
【答案】
2023
【分析】先把每一项利用平方差公式因式分解，进一步约分化简再计算.此题重点考查学生对数字类规律的
探索能力，会化简寻找规律是解题的关键.
1 1 1 1
【解析】解：∵ a1 =1- 2 ，a2 =1- ，a =1-2 32 3 42
， ，an =1- ， n +1 2
é ù é ù
∴ a 1
1 1 1 1 1 n n + 2n = - 2 = ê - ú ê + = × n +1 ê n +1 ú ê n
ú
+1 ú n +1 n +1
∵ sn = a1 × a2 × an，
s 1 3 2 4 n n + 2 1 n + 2 n + 2∴ n = × × × × = =2 2 3 3 n +1 n +1 2 n +1 2n + 2
S 2022 + 2 2024 1012则 2022 = = =2 2022 + 2 4046 2023
1012
故答案为：
2023
【典例 22】．若 n 为正整数，观察下列各式：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1① = - = - ；② ；③ =
- ．
1 3 2 ÷ ÷è 3 3 5 2 è 3 5 5 7 2 ÷è 5 7
根据观察计算并填空：
1 1 1
(1) + + = ______；
1 3 3 5 5 7
1 1 1 1
(2) + + +L+ =1 3 3 5 5 7 2n -1 2n +1 ______；
1 1 1 1 1 1(3)计算： -
2 ÷ 1-
1-
2 32 ÷ 42 ÷
L 1- ÷ 1- ÷．
è è è è 20232 è 20242
3
【答案】(1)
7
n
(2)
2n +1
2025
(3)
4028
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，平方差公式：
1 1 1 1 1 1
（1）根据题目所给式子，把原式变形为 1- + - + - ÷，据此求解即可；2 è 3 3 5 5 7
1 1 1 1
（2）先找到规律 =
-
2n -1 2n +1 2 2n -1 2n +1÷ ，进而把所求式子裂项，然后相消化简即可；è
（3）利用平方差公式把每一项展开，进而把原式变形为
3 1 4 2 5 3
L 2024 2022 2025 2023 ，然后相消化简即可．
2 2 3 3 4 4 2023 2023 2024 2024
1 1 1
【解析】（1）解：由题意得， + +
1 3 3 5 5 7
1
= 1
1 1 1 1 1 1 1- ÷ +
2 3 2
- ÷ + - ÷
è è 3 5 2 è 5 7
1
= 1
1 1 1 1 1
- + - + -
2 è 3 3 5 5 7 ÷
1
= 1 1-
2 ֏ 7
1 6
=
2 7
3
= ，
7
3
故答案为： ；
7
1 1 1
（2）解：① = 1- ÷；1 3 2 è 3
1 1 1 1
② = -
3 5 2 3 5 ÷
；
è
1 1 1 1
③ =
- ；
5 7 2 ֏ 5 7
1 1 1 1④ = -
7 9 2 ÷
；
è 5 7
……，
1 1 1 1
以此类推可得， = - 2n -1 2n +1 2 è 2n -1 2n +1÷ ，
1 1 1 1
∴ + + +L+1 3 3 5 5 7 2n -1 2n +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 L 1 1 1= - + - + - + + -
2 è 3 ÷ 2 è 3 5 ÷ 2 è 5 7 ÷ 2 è 2n -1 2n +1÷
1 1 1 1 1 1 1 1 1= - + - + - +L+ -
2 è 3 3 5 5 7 2n -1 2n +1÷
1 1 1= -
2 è 2n +1÷
1 2n
= ×
2 2n +1
n
= ，
2n +1
n
故答案为： ；
2n +1
1 1 1 1 1
（3）解： 1- 2 ÷ 1- 2 ÷ 1-2 3 42 ÷
L 1- ÷ 1- ÷
è è è è 20232 è 20242
1 1 1 1= + ÷ - ÷ 1
1 1 1 1 1
+ 1- 1+ ÷ ÷ ÷ 1- ÷ L
1+
÷ 1
1
- ÷ 1
1 1
+ 1-
è 2 2 3 3 4 4 2023 2023 2024 ÷ 2024 ÷ è è è è è è è è è
3 1 4 2 5 3 L 2024 2022 2025 2023=
2 2 3 3 4 4 2023 2023 2024 2024
1 2025
=
2 2024
2025
= ．
4028
题型 8：图形应用的难点分析
【典例 23】．【探究】如图①，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影部分沿虚
线剪开，拼成图②的长方形．
（1）请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积：图① 图② ；
（2）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式： (用字母 a、b 表示)；
【应用】请应用这个公式完成下列各题：
①已知 2m﹣n=3，2m+n=4，则 4m2﹣n2的值为 ；
②计算：(x﹣3)(x+3)(x2+9)．
2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 L 232【拓展】计算 +1 的结果为 ．
【答案】探究：（1） a2 - b2， (a + b)(a - b) ；（2） (a + b)(a - b) = a2 - b2 ；应用：①12；② x4 -81；拓展：
264 -1．
【分析】探究：（1）图①阴影部分的面积等于两个正方形的面积差，图②阴影部分的面积等于一个大长
方形的面积；
（2）根据图①与图②的面积相等即可得；
应用：①根据上述得到的乘法公式（平方差公式）即可得；
②利用两次平方差公式即可得；
拓展：将原式改写成 2 -1 2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 L 232 +1 ，再多次利用平方差公式即可得．
【解析】探究：（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即 a2 - b2，
图②的阴影部分为长为 (a + b)，宽为 (a - b) 的矩形，则其面积为 (a + b)(a - b) ，
故答案为： a2 - b2， (a + b)(a - b) ；
（2）由图①与图②的面积相等可得到乘法公式： (a + b)(a - b) = a2 - b2 ，
故答案为： (a + b)(a - b) = a2 - b2 ；
应用：① 4m2 - n2 = (2m - n)(2m + n) = 3 4 =12，
故答案为：12；
②原式= (x2 - 9)(x2 + 9) ，
= (x2 )2 - 92 ，
= x4 -81；
拓展：原式= 2 -1 2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 L 232 +1 ，
= 22 -1 22 +1 24 +1 28 +1 L 232 +1 ，
= 24 -1 24 +1 28 +1 L 232 +1 ，
= 28 -1 28 +1 L 232 +1 ，
= 232 -1 232 +1 ，
= 264 -1．
故答案是： 264 -1．
【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形、以及应用，熟练掌握平方差公式是解题关键．
【典例 24】． 数学中的许多规律不仅可以通过数的运算发现，也可以通过图形的面积发现．
(1)填表：【数的角度】
a b a＋b a－b a2－b2
2 1 3 1 3
3 －2 1 5
1 1 5 5
2 3 6 36
(2)【形的角度】如图①，在边长为 a 的正方形纸片上剪去一个边长为 b（b＜a）的小正方形，怎样计算图
中阴影部分的面积？小明和小红分别用不同的方法计算图中阴影部分的面积．小明的方法：若阴影部分看
成大正方形与小正方形的面积差，则阴影部分的面积用代数式表示为 ；小红的方法：若沿图①中的虚线将
阴影部分剪开拼成新的长方形（图②），则阴影部分的面积用代数式表示为 ．
(3)【发现规律】猜想：a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 ．
(4)【运用规律】运用上述规律计算：502－492＋482－472＋462－452…＋22－1．
1
【答案】(1)5，
6
(2) a2 - b2 , (a + b)(a - b)
(3) a2 - b2 = (a + b)(a - b)
(4)1275
【分析】(1)a=3，b=-2 时， a2 - b2 = 32 - (-2)2 = 5 ;
a 1= ,b 1 1 1 1= 时，a-b= - = ．
2 3 2 3 6
(2)小空 1 大正方形面积为 a2，小正方形的面积为 b2，作差即可．
小空 2 把长方形的长和宽分别用含有 a、b 的代数式表示出来，再按照长方形面积公式计算即可．
(3)根据第(2)小题发现的规律写出等量关系即可．
(4)每两个数为一组按照根据第（3）小题写出的规律进行变形，问题即可解决．
【解析】（1）
a b a＋b a－b a2－b2
2 1 3 1 3
3 －2 1 5 5
1 1 5 1 5
2 3 6 6 36
（2）小明的方法:大正方形面积为 a2，小正方形的面积为 b2，，
∴阴影部分的面积为 a2-b2；
小红的方法：长方形的长为 a+b，宽为 a-b，
∴阴影部分的面积为(a+b)(a-b)．
故答案为： a2 - b2 , (a + b)(a - b)
（3）a＋b、 a－b 、a2－b2这三个代数式之间的等量关系是 a2 - b2 = (a + b)(a - b) ．
（4）502－492＋482－472＋462－452…＋22－1
=(502－492)＋(482－472)＋(462－452 )…＋(22－1)
=(50+49) ×(50-49)+(48+47) ×（48-47）+(46+45) ×(46-45) …+(2+1) ×(2-1)
=50+49+48+47+46+45+…+2+1
50 （ 50+1）
=
2
=1275
【点睛】本题是一道综合性题目，通过代数计算填表和面积法两种方式发现规律：平方差公式．然后再运
用规律进行计算，提高了学生应用数学的能力，解题的关键是发现规律．
【典例 25】．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积时，可以得到一个数学等式．例如
由图 1 2可以得到 a + 3ab + 2b2 = a + 2b a + b ．请回答下列问题：
（1）写出图 2 中所表示的数学等式是 ；
（2）如图 3，用四块完全相同的长方形拼成正方形，用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，你能发现
什么 (用含有 x ， y 的式子表示) ；
（3）通过上述的等量关系，我们可知: 当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小，则积越 （填
“ 大”“或“小”）；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对值越小，则和越 （填“ 大”或“小”）．
【答案】（1） (2a + b)(a + 2b) = 2a2 + 2b2 + 5ab；（2） (x + y)2 = (x - y)2 + 4xy；
（3）大 小
【分析】（1）图 2 面积有两种求法，可以由长为 2a+b，宽为 a+2b 的矩形面积求出，也可以由两个边长为 a
与边长为 b 的两正方形，及 4 个长为 a，宽为 b 的矩形面积之和求出，表示即可；
（2）阴影部分的面积可以由边长为 x+y 的大正方形的面积减去边长为 x-y 的小正方形面积求出，也可以由 4
个长为 x，宽为 y 的矩形面积之和求出，表示出即可；
（3）两正数和一定，则和的平方一定，根据等式 4xy = (x + y)2 - (x - y)2 ，得到被减数一定，差的绝对值越
小，即为减数越小，得到差越大，即积越大；当两正数积一定时，即差一定，差的绝对值越小，得到减数
越小，可得出被减数越小；
【解析】（1）看图可知， (2a + b)(a + 2b) = 2a2 + 2b2 + 5ab
（2） (x + y)2 = (x - y)2 + 4xy
（3）当两个正数的和一定时，它们的差的绝对值越小则积越大；当两个正数的积一定时，它们的差的绝对
值越小则和越小.
【点睛】本题考点：整式的混合运算，此题考查了整式的混合运算的应用，弄清题意是解本题的关键．
【典例 26】．操作与探究
（1）如图 1，在边长为 a 的正方形正中间剪去一个边长为 b 的小正方形 (a > b)，把剩下的部分按照图中的
线段分割成四个等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法
公式是__________（填序号）．
① (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ② (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
③ a2 - b2 = (a + b)(a - b) ④ a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab
思考与创新
（2）利用上面得到的乘法公式解决问题：
①已知 a + b = 7 ， ab =10 ，求 a2 - b2的值；
②（任选其一）模仿图 1，任选图 2 或图 3 用割拼的方法在左边 内画图验证（1）中得到的乘法公
式成立（画的图形中标注 a、b）
【答案】（1）③；（2）①21 或-21；②见解析
【分析】此题主要考查的是平方差公式的几何表示．注意运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
（1）根据题意分别表示出左边 4 个等腰梯形的面积和右边大平行四边形面积即可求解；
（2）①首先利用完全平方公式得到a2 + 2ab + b2 = 49 ，然后求出a2 + b2 = 29，然后利用
a - b 2 = a2 - 2ab + b2 = 29 - 2 10 = 9，求出 a - b = ±3，然后利用平方差公式求解即可；
②根据平方差公式画出图形求解即可．
【解析】（1）图 1 中左边 4 个等腰梯形的面积为 a2 - b2，右边大平行四边形面积为 a + b a - b
∴ a2 - b2 = a + b a - b ，
∴剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是③；
（2）①∵ a + b = 7 ， ab =10 ，
∴ a + b 2 = 49
∴ a2 + 2ab + b2 = 49
∴ a2 + 20 + b2 = 49
∴ a2 + b2 = 29
∴ a - b 2 = a2 - 2ab + b2 = 29 - 2 10 = 9
∴ a - b = ±3
当 a - b = 3时， a2 - b2 = a + b a - b = 7 3 = 21；
当 a - b = -3 2 2时， a - b = a + b a - b = 7 -3 = -21；
∴ a2 - b2的值为 21 或-21；
②如图所示，选图 2，
左边阴影的面积为 a2 - b2，右边阴影的面积为 a + b a - b
∴ a2 - b2 = a + b a - b ；
如图所示，选图 3，
1
左边阴影的面积为 a2 - b2，右边阴影的面积为 2b + 2a a - b = a + b a - b 2
∴ a2 - b2 = a + b a - b ．
【典例 27】．从边长为 a的正方形中剪掉一个边长为b 的正方形（如图 1），然后将剩余部分拼成一个长
方形（如图 2）．
(1)上述操作能验证的等式是______；（请选择正确的一个）
A． a2 - 2ab + b2 = a - b 2
B 2． a - b2 = a + b a - b
C a2． + ab = a a + b
(2)应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知 x2 - 4y2 =12， x + 2y = 4，求 x - 2y 的值；
1 1 1 1 1
②计算： 1- 2 ÷ 1- 2 ÷ 1- ××× 1- 1- ；è 2 3 42 ÷ 20212 ÷ ÷ è è è è 20222
1 1+ 1 1 1 1+ + 1 1③计算： ÷ 2 ÷ 4 ÷ 1+ +è 2 è 2 è 2 è 28 ÷ 215
．
【答案】(1)B
x - 2y = 3 2023(2)① ；② ；③ 2
4044
【分析】本题主要考查平方差公式的运用，熟练运用平方差公式进行拆分是解题关键．
（1）根据图形左右两边阴影面积相等解题即可．
（2）①利用平方差公式计算即可；
②利用平方差公式拆分每一项，再相消即可；
③利用平方差公式拆分每一项，再相消即可．
【解析】（1）解：图 1 中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即 a2 - b2，拼成的图 2 是长为
a + b ，宽为 a - b的长方形，因此面积为 a + b a - b ，
2 2
所以有 a - b = a + b a - b ，
故答案为：B；
（2）①Q x2 - 4y2 = 12，即 x + 2y x - 2y =12，而 x + 2y = 4，
\ x - 2y = 3；
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1②原式= -
1+ 1- 1+
2 ÷ 2 ÷ ÷ ÷
1- ÷ 1+ ÷ ××× 1- ÷ 1+ ÷ 1- ÷ 1+ ÷
è è è 3 è 3 è 4 è 4 è 2021 è 2021 è 2022 è 2022
1 3 2 4 3 5 2020 2022 2021 2023
= ×××
2 2 3 3 4 4 2021 2021 2022 2022
1 2023 2023
= = ；
2 2022 4044
2 1 1 é 1 1 1 1 1 1 ù③原式= -
÷
è 2 ê
+ 1+
2 ÷ 22 ÷
1+
24 ÷
1+ ÷ +
è è è è 28 215 ú
= 2 é ê 1
1 1 1 1 1 1 1 ù- ÷ 1+ ÷ 1+ 2 ÷ 1+
1+ +
è 2 è 2 2
÷ ÷
è è 24 è 28 2 215 ú
2 1 1 1= - + 16 16 ÷ = 2．è 2 2
【典例 28】．如图，在边长为 m 的正方形纸片中剪去一个边长为 n 的小正方形纸片（m > n ），把剩余的
部分拼成一个长方形纸片．
(1)如图 1，通过计算两个纸片中阴影部分的面积，可得等式 （填选项前面的字母）；
A、m2 + 2mn + n2 = m + n 2 B、m2 - 2mn + n2 = m - n 2
C、m2 - n2 = m + n m - n D m2、 - mn = m m - n
(2)请利用（1）中所选的结论，解答以下问题：
①如图 2，大正方形 ABCD的面积为 S1，小正方形CEFG的面积为 S2 ，且 S1 - S2 = 30，求不规则四边形BGED
的面积；
1 1 1 1 1 1
②计算： 1-
è 22 ÷
1-
è 32 ÷
1- 2 ÷ LL 1- 2 ÷ 1- ÷ 1-4 2022 ÷ è è è 20232 è 20242
【答案】(1)C
2025
(2)①15；②
4048
【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用、用平方差公式进行计算等知识点，熟知平方差
公式以及数形结合思想是解题的关键．
（1）分别表示出两幅图阴影部分的面积，再根据两幅图阴影部分面积相等即可得到结论；
（2）①设正方形 ABCD的边长为 a，正方形CEFG的边长为 b，则 a2 - b2 = 30，再根据
S BGED = S
1
VBDG + S
2 2
不规则四边形 VEDG = a - b 进行求解即可；②利用平方差公式进行裂项求解即可．2
【解析】（1）解：图 1 中，阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即m2 - n2，拼成长为 m + n ，宽为 m - n
的长方形，因此面积为 m + n m - n ，
m2因此 - n2 = m + n m - n ，
故选：C；
（2 ① 2 2） 设正方形 ABCD的边长为 a，正方形CEFG的边长为 b，则 S1 = a ， S2 = b ，
∵ S1 - S2 = 30，
∴ a2 - b2 = 30，
∴ S = S + S不规则四边形BGED VBDG VEDG
1
= DG 1× BC + DG ×CE
2 2
1
= DG BC + CE
2
1
= a + b a - b
2
1
= a2 - b22
1
= 30
2
=15，
答：不规则四边形 BGED 的面积为 15；
1 1 1 1 1 1
② 1- 1- 1- LL 1- 1- 1-
è 22 ÷ 32 ÷ 42 ÷ 20222 ÷ 20232 ÷ è è è è è 20242 ÷
(1 1) (1 1) (1 1) (1 1) LL (1 1 1 1 1= - + - + - ) (1+ ) (1- ) (1+ ) (1 1- ) 1 (1+ )
2 2 3 3 2022 2022 2023 2023 2024 2024
1 3 2 4 LL 2021 2023 2022 2024 2023 2025=
2 2 3 3 2022 2022 2023 2023 2024 2024
1 2025
=
2 2024
2025
=
4048
‘
一、单选题
1．下列各式能用平方差公式计算的是（ ）
A． (2x - y)(x + 2y) B． (x - y)(y - x)
C． (b + a)(b - c) D． (-a + b)(a + b)
【答案】D
【分析】本题考查了平方差公式．运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的
平方减去相反项的平方．
根据平方差公式 a + b a - b = a2 - b2 对各选项分别进行判断．
【解析】解：A、 (2x - y)(x + 2y)不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、 (x - y)(y - x)不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、 (b + a)(b - c) 不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、 (-a + b)(a + b)能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
故选：D．
2．在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（ ）
A (m - n)(-m + n) B x3 - y3 x3． ． + y3
C． ( a b)(a b) D． c2 - d 2 d 2 + c2
【答案】A
【分析】平方差公式为 (a+b)(a b)=a2 b2，抓住两个因式中，一项是两数和，另一项是两数差，字母可以
表示数也可以表示式，对选项进行一一分析看是否符合公式特征即可．
【解析】解：∵平方差公式为 (a+b)(a b)=a2 b2，
两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项两数差，
A. (m - n)(-m + n) = -(m - n)(m - n) = - m - n 2 ，不能用平方差公式计算，故选项 A 符合题意；
B. x3 - y3 x3 + y3 3 3 3 3 6两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项是两数差， x - y x + y =x - y6 ，
能用平方差公式计算，故选项 B 不符合题意；
C. ( a b)(a b)两个因式中都是两项式，一项是两数和，另一项是两数差，，
( a b)(a b)= é b + aù é b a ù = b2 a2 能用平方差公式计算，故选项 C 不符合题意；
D. c2 - d 2 d 2 + c2 2 2 2 2两个因式中都是两项式，把第二个括号中利用加法交换律换位， c - d c + d 一项
是两数和，另一项是两数差，可以用平方差公式计算，故选项 D 不符合题意．
故选择 A．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征是解题关键．
3．计算 20212 - 2022 2020的结果是 ( )
A．2 B．-2 C． -1 D．1
【答案】D
【分析】根据平方差公式计算可得选项.
【解析】解： 20212 - 2022 2020
= 20212 - (2021+1)(2021-1)
= 20212 - (20212 -1)
= 20212 - 20212 +1
= 1．
故选：D．
4．为了应用平方差公式计算 a - b + c a + b - c ，必须先适当变形，下列各变形中，正确的是（ ）.
A． é a + c - b ù é a - c + bù B． é a - b + cù é a + b - cù
C． é a - b + c ù é a + b - c ù D． éa - b - c ù éa + b - c ù
【答案】D
【分析】由于平方差公式是把多项式分解为两个数的和与两个数的差的积的形式，所以根据这个特点即可
判定选择项．
【解析】解：（a-b+c）（a+b-c）=[a-（b-c）][a+（b-c）]．
故选：D．
故答案选择：D.
【点睛】本题考查的是平方差公式，需要熟练掌握平方差公式的特征.
5．已知 a+b+3＝0，且 a﹣b﹣4＝0，则 a2﹣b2＝（ ）
A．12 B．﹣12 C．24 D．±12
【答案】B
【分析】根据平方差公式，即可求解．
【解析】解：∵a+b+3＝0，a﹣b﹣4＝0
∴a+b＝-3，a﹣b＝4，
∴a2﹣b2=（a+b）（a-b）=-3×4=-12．
故选 B．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握平方差公式是解题的关键．
6．一个长方形的长为 m+2n ，宽为 m - 2n ，则这个长方形的面积为（ ）
A．m2 - 2n2 B．m2 - 4n2
C．m2 + 2n2 D． 4m2 - n2
【答案】B
【分析】本题考查了平方差公式的应用，利用平方差公式计算即可．
【解析】解：长方形的面积为 m + 2n m - 2n = m2 - 4n2 ，
故选：B．
7．计算 (2 +1)(22 +1)(24 +1) × × × (22n +1) 的值是（ ）
A． 2n -1 B． 22n -1 C． 24n -1 D． 222n -1
【答案】C
【分析】原式乘以变形的 1，即（2-1），变形后，利用平方差公式计算即可得到结果．
【解析】解： (2 +1)(22 +1)(24 +1) × × × (22n +1)
=（22-1）（22+1）（24+1）…（22n+1）
=（24-1）（24+1）…（22n+1），
=（28-1）（28+1）…（22n+1），
=（22n-1）（22n+1），
=24n-1，
故选 C．
【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式及巧添 1=（2-1）是解本题的关键．
1
8．若 a - b = ，则 a2 - b2 - b的值为（ ）
2
1 1A． 2 B． C．1 D．24
【答案】B
【分析】先利用平方差公式，得 a2 - b2 - b = a - b a + b - b，再整体代入化简求值即可．
1
【解析】解：∵ a - b = ，
2
2 2 a - b a + b - b 1∴ a - b - b = = a + b 1- b = a 1 b 1 a b 1 1 1- = - = = ．
2 2 2 2 2 2 4
故选 B．
【点睛】本题主要考查代数式求值，掌握整式的混合运算法则以及平方差公式是解题的关键．
9．如图，在边长为 a 的正方形中，剪去一个边长为 b 的小正方形（a＞b）（如图 1），将余下的部分拼成
一个梯形（如图 2），根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到个关于 a,b的等式为（ ）
A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2 B．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
C．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） D．a2＋ab＝a（a＋b）
【答案】C
【分析】根据两个图形阴影部分的面积相等、正方形和梯形的面积公式即可得．
【解析】解：图 1 中阴影部分的面积为 a2 - b2，
2b + 2a
图 2 中阴影部分的面积为 × (a - b) = (a + b)(a - b) ，
2
则由图 1 和图 2 中阴影部分的面积相等得： a2 - b2 = (a + b)(a - b) ，
故选：C．
【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形，正确找出等量关系是解题关键．
A 2 (1 1 )(1 1 )(1 1 )(1 1 1 1
1
10．若 = - + 1 + 2 + 4 + 8 )(1+ 16 )(1+ 32 )(1
1
+ 64 ) …… (1+ n ) +1，则 A 的值是3 3 3 3 3 3 3 3 32
1 1
A．0 B．1 C． 22n D． 2n+13 3
【答案】D
2 1
【分析】把 变成1- 然后利用平方差公式计算即可
3 3
1 1 1 1 1
【解析】 A = -(1- 1 )(1+ 1 )(1+ 2 )(1+ 4 )(1
1
+ )(1 1+ )(1 1 1+ )(1+ ) …… (1+ ) +1
3 3 3 3 38 316 332 364 32
n
A (1 1 )(1 1 )(1 1 )(1 1 1 1 1
1
= - - +
32 32
+ +
34 38
)(1+ 16 )(1+ 32 )(1+ 64 ) …… (1+ n ) +13 3 3 32
A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1= - - 4 ÷ + 4 ÷ + ÷ + ÷ + ÷ +
÷ …… (1+3 3 n
) +1
è è è 38 è 316 è 332 è 364 32
A (1 1= - - n )(1
1
+
2 2n
) +1
3 3
A (1 1= - - n+1 ) +1
32
A 1= -1+ n+1 +1
32
A 1=
2n+13
故选 D
【点睛】能够灵活运用平方差公式解题是本题关键
二、填空题
11．在括号中填上适当的整式：
（1） (x + 5) ( ) = x2 - 25； （2） (m - n) ( ) = n2 - m2 ；
（3） (-1- 3x) ( ) = 1- 9x2 ； （4） (a + 2b) ( ) = 4b2 - a2 ．
【答案】 x - 5 -n - m 3x -1 2b - a
【分析】根据平方差公式进行计算即可．
【解析】解：（1） (x + 5) (x - 5) = x2 - 25；
（2） (m - n) (-m - n) = n2 - m2 ；
（3） (-1- 3x) (3x -1) = 1- 9x2 ；
（4） (a + 2b) (2b - a) = 4b2 - a2 ；
故答案为： x - 5 ；-n - m；3x -1； 2b - a ．
【点睛】本题考查了平方差公式，熟知平方差公式的结构特点是解本题的关键．
12．填空
a
（1） -3 + ÷ 3
a
+ ÷ = ；（2） (-3x - 5y)(-3x + 5y) = ．
è 2 è 2
2
【答案】
a
- 9 9x2 - 25y2
4
【分析】直接根据平方差公式进行计算即可．
a a a2
【解析】解：（1） -3 + 2 ÷
3 +
2 ÷
= - 9；
è è 4
（2） (-3x - 5y)(-3x + 5y) = 9x2 - 25y2 ；
a2
故答案为： - 9；9x2 - 25y2 ．
4
【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟知平方差的结构特点是解本题的关键．
13．用简便方法计算：502 - 49 51 = ．
【答案】1
【分析】考查平方差公式的相关应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键；
按照平方差公式将 49 51进行转化为 50 -1 50 +1 ，即可简便计算结果.
【解析】502 - 49 51
= 502 - 50 -1 50 +1
= 502 - 502 -1
= 502 - 502 +1
= 1．
故答案为：1．
14．(1) x - 2y 2y + x = = .
(2) 2x +1 2x -1 4x2 +1 = ；.
【答案】 x2 - 2y 2 x2 - 4y2 16x4 -1
【分析】（1）根据平方差公式直接计算即可；
（2）两次运用平方差公式计算即可.
【解析】解：（1） x - 2y 2y + x = x2 - 2y 2 = x2 - 4y2 ；
（2） 2x +1 2x -1 4x2 +1 = 4x2 -1 4x2 +1 =16x4 -1，
2
故答案为 x2 - 2y ， x2 - 4y2 ，16x4 -1.
【点睛】本题考查了平方差公式，熟记公式是解题关键.
2020
15．计算 2 = ．2020 - 2019 2021
【答案】2020
【分析】原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值.
2020
【解析】解：原式= 20202 - 2020 -1 2020 +1
2020
= 20202 - 20202 -1
2020
=
20202 - 20202 +1
=2020.
故答案为：2020.
【点睛】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是利用平方差公式简化运算.
16．已知 4m2 - 9n2 = 26 ， 2m + 3n =13，则 2m - 3n = ．
【答案】2
【解析】解：Q4m2 - 9n2 = (2m + 3n)(2m - 3n) = 26，
又Q2m + 3n = 13，
\13(2m - 3n) = 26 ，
\2m - 3n = 2，
故答案为：2．
17．若 2a + b = 5， a + 2b = 4，则 a2 - b2 = ．
【答案】3
【分析】根据已知求出 a+b 及 a-b 的值，相乘即可得到答案．
【解析】解：∵2a+b=5，a+2b=4，
∴（2a+b）+（a+2b）=5+4，即 3a+3b=9，
（2a+b）-（a+2b）=5-4，即 a-b=1，
∴a+b=3，
∴a2-b2=（a+b）（a-b）=3×1=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查代数式求值，解题的关键是掌握平方差公式分解因式及整体代入思想的应用，题目较基
础．
18．若 (a + b + c)(a - b + c) = (A - B)(A + B)，则 A = ，B = .
【答案】 a+c ； b
【分析】利用单平方差公式把原式变形，注意 a+c 看成是一个整体．
【解析】解： (a + b + c)(a - b + c) = [(a + c) + b][(a + c) - b] = (A - B)(A + B)．
∴A=a+c；B=b.
故填：a+c；b
【点睛】此题主要考查了因式分解的平方差公式的特点：两个数的和乘以两个数的差，此题解题关键是分
别找出两个括号的符号相同的和符号不同的项，然后变形就比较简单．
三、解答题
19．运用平方差公式计算：
2
1 x - y
2
（ ） ÷ x + y ÷；（2） (xy +1)(xy -1)；（3） (2a - 3b)(3b + 2a)
è 3 è 3
（4） (-2b - 5)(2b - 5)；（5） 2001 1999；（6）998 1002．
4 2 2
【答案】（1） x - y ；（2） x2 y2 -1；（3） 4a2 - 9b2；（4）25 - 4b2；（5）3999999；（6）9
999996．
【分析】（1）平方差公式是：（a＋b）（a b）＝ a2 - b2，根据以上公式进行计算即可；
（2）平方差公式是：（a＋b）（a b）＝ a2 - b2，根据以上公式进行计算即可；
（3）平方差公式是：（a＋b）（a b）＝ a2 - b2，根据以上公式进行计算即可；
（4）平方差公式是：（a＋b）（a b）＝ a2 - b2，根据以上公式进行计算即可；
（5）先变形，再根据平方差公式进行计算即可；
（6）先变形，再根据平方差公式进行计算即可．
2 x y 2【解析】解：（1） - ÷ x + y
3 3 ÷è è
2
2 x ＝ - y2 3 ÷
è
4
＝ x2 - y2 ；
9
（2） (xy +1)(xy -1)
= xy 2 -12
= x2 y2 -1
（3） (2a - 3b)(3b + 2a)
= 2a 2 - 3b 2
= 4a2 - 9b2
（4） (-2b - 5)(2b - 5)
= -5 2 - 2b 2
= 25 - 4b2
（5）2001×1999
＝（2000＋1）×（2000 1）
＝ 20002 -12
＝4000000 1
＝3999999
（6）998×1002
＝（1000 2）×（1000＋2）
＝10002 - 22
＝1000000 4
＝999996．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能灵活运用公式进行计算是解此题的关键，注意：（a＋b）
（a b）＝ a2 - b2．
20．计算：
(2x 3y)(x y) 1 1（1） + - ； （2） x + 2÷ 4x - ÷ ；
è 2 è 2
2 2
（3） a + 3b a - 3b ； （4） 5x3 - 4y2 5x3 + 4y2 ；
5 x2（ ） + xy + y2 (x - y)； （6） (x -1)(x +1)(2x +1) ．
31
【答案】（1） 2x2 + xy - 3y2；（2） 2x2 + x -1；（3） a3 + 3a2b2 - 3ab - 9b3；（4） 25x6 -16y4 ；（5）
4
x3 - y3 ；（6） 2x3 + x2 - 2x -1．
【分析】根据整式的乘法运算法则和平方差公式，对每个式子逐个计算即可．
【解析】解：（1） (2x + 3y)(x - y) = 2x2 + 3xy - 2xy - 3y2 = 2x2 + xy - 3y2
1 x 2 4x 1 2x2 8x 1 x 31（2） + ÷ - ÷ = + - -1 = 2x
2 + x -1
è 2 è 2 4 4
3 a + 3b2 a2（ ） - 3b = a3 + 3a2b2 - 3ab - 9b3
3 2
（4） 5x - 4y 5x3 + 4y2 = (5x3)2 - (4y2 )2 = 25x6 -16y4
5 x2 + xy + y2 (x - y) = x3 + x2（ ） y + xy2 - x2 y - xy2 - y3 = x3 - y3
（6） (x -1)(x +1)(2x +1) = (x2 -1)(2x +1) = 2x3 + x2 - 2x -1
【点睛】此题考查了整式的乘法以及平方差公式，熟练掌握整式乘法的运算法则以及平方差公式是解题的
关键．
21．计算：
3an b 3an b 2m 3n 3n 2m（1） + 2 ÷
- ；
2 ÷
（2） +3 4 ÷
- +
4 3 ÷
；
è è è è
x y x y
（3） - ÷ - -
2x - 3y 3y + 2x
÷ ；4 2 4 2 （4） × ；è è 2 3
2 2
（5） -m n + 2 -m n - 2 ； 2（6） (x +1) x +1 (x -1) x4 +1 ．
1 4
【答案】（1）9a2n - b2 ；（2） m2
9
- n2 1 2 1 2 2 2 3 2；（3） y - x ；（4） x - y ；（5）m4n2 - 4；（6）
4 9 16 4 16 3 2
x8 -1
【分析】（1）根据平方差公式计算即可；
（2）先调整公式中各项位置与符号，再利用平方差公式计算即可；
（3）先调整公式中各项位置与符号，再利用平方差公式计算即可；
（4）先利用平方差公式计算分子，再利用除法化简系数即可；
（5）利用平方差公式计算即可；
（6）连续使用平方差公式计算即可．
2
【解析】解:（1 b ） 3an + 3an b ÷ -
n
÷ = 3a
2 b 1
- ÷ = 9a
2n - b2；
è 2 è 2 è 2 4
2 2m 3n
2 2
+
3n 2m
- + =
2m 3n
+
2m 3n 2m- = 3n 4 9（ ） 2 2 - = m - n ；
è 3 4 ÷ 4 3 ÷ 3 4 ÷ 3 4 ÷ 3 ÷ 4 ÷ è è è è è 9 16
3 x y x y x y
2 2
- - - = - +
x y
- = -
x + y 1 2 1 2 1（ ） 2 1 2 4 2 ÷ 4 2 ÷ 4 2 ÷ 4 2 ÷ 4 ÷ ÷
= - x + y = y - x ；
è è è è è è 2 16 4 4 16
2x - 3y 3y + 2x 2x - 3y 2x + 3y4 4x
2 - 9y2 2
（ ） × = = = x2 3- y2 ；
2 3 6 6 3 2
（5） -m2 2n + 2 -m2n - 2 = -m2n - 4 = m4n2 - 4；
2（6） (x +1) x +1 (x -1) x4 +1
= (x +1)(x -1) x2 +1 x4 +1
= (x2 -1) x2 +1 x4 +1
= (x4 -1) x4 +1
= x8 -1．
【点睛】本题考查平方差公式的应用，掌握平方差公式的特征，使用时注意系数与次数的变化是解题关
键．
22．先化简，再求值： 4x x -1 - 2x +1 2x -1 ，其中 x = -5．
【答案】-4x +1，21
【分析】本题考查整式运算中的化简求值，先计算单项式乘以多项式，平方差公式，再合并同类项，化简
后代值计算即可．
【解析】解：原式= 4x2 - 4x - 4x2 +1 = -4x +1；
当 x = -5时，原式= 20 +1 = 21．
23．（1）用简便方法计算： 20232 - 2022 2024
（2）先化简，再求值： 2 - a 2 + a - 2a a + 3 + 3a2 a 1 ，其中 = - ．3
【答案】（1）1；（2） 4 - 6a ， 2
【分析】本题考查平方差公式，整式的混合运算，化简求值，熟记平方差公式，准确计算是解题的关键；
（1）运用平方差公式计算即可；
1
（2）先去括号，合并同类项，然后把 a = - ，代入化简后的式子，计算即可．
3
1 20232 - 2022 2024 = 20232【解析】（ ） - 2023 -1 2023 +1 = 20232 - 20232 +1 =1
（2） 2 - a 2 + a - 2a a + 3 + 3a2 = 4 - a2 - 2a2 - 6a + 3a2 = 4 - 6a ；
1 4 6 1把 a = - ，代入得 - -
÷ = 23 è 3
24．已知 x - y = 3, y - z = 3, x + z =14，求 x2 - z2的值．
【答案】84
【分析】将 x - y与 y - z相加，即可得到 x-z，再乘以 x+z，利用平方差公式即可解决本题．
【解析】解：Q x - z = (x - y) + (y - z) = 6 ，
\ x2 - z2 = (x + z)(x - z) =14 6 = 84．
【点睛】本题主要考查了整式与平方差公式，熟练平方差公式是解决本题的关键．
25．如图1所示，边长为 a的正方形中有一个边长为b 的小正方形，图 2是由图1中阴影部分拼成的一个长方
形，设图1中阴影部分面积为 S1，图 2中阴影部分面积为 S2 ．
(1)请直接用含 a和b 的代数式表示S1 =________， S2 = ________；写出利用图形的面积关系所得到的公式
___________（用式子表达）；
1
(2)应用公式计算： 1- 2 ÷ 1
1 1 1 1
- 2 ÷ 1-
2 ÷L 1-
1- ；
è 2 è 3 è 4 è 20242 ÷ è 20252 ÷
(3)应用公式计算： (5 +1) 52 +1 54 +1 L 532 +1 564 1+1 + ．4
【答案】(1) a2 - b2 ； a + b a - b ； a2 - b2 = a + b a - b
1013
(2)
2025
128
(3) 5
4
【分析】本题考查的知识点是平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握平
方差公式．
（1）结合对应图形面积公式即可得解；
（2）逆用平方差公式即可求解；
3 2 4 32 64
1
（ ）运用平方差公式，将 5 +1 5 +1 5 +1 L 5 +1 5 +1 + 转变为4
1 5 -1 5 +1 52 +14 5
4 +1 L 532 1 564 1 1+ + + 即可求解．4
2 2
【解析】（1）解：依题得： S1 = a - b ， S2 = a + b a - b ，
Q a + b a - b = a2 + ab - ab - b2 = a2 - b2 ，
\ 2 2利用图形的面积关系所得到的公式为 a - b = a + b a - b ．
故答案为： a2 - b2 ； a + b a - b ； a2 - b2 = a + b a - b ．
（2 2 2）解：由（1）得： a - b = a + b a - b ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 L 1 1 1 1\ = + - + - + - + - 1 1 原式 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 1+ 1- ，
è 2 è 2 è 3 è 3 è 4 è 4 è 2024 ÷ ÷ ÷ ÷ è 2024 è 2025 è 2025
1 3 2 4 3 5 L 2023 2025 2024 2026= ，
2 2 3 3 4 4 2024 2024 2025 2025
1 2026
= ，
2 2025
1013
= ．
2025
（3）解：根据（1）中所得关系式可得，
1
原式= 5 -1 5 +1
4 5
2 1+1 54 +1 L 532 +1 564 +1 + ，4
1
= 52 -1 52 +1 54 +1 L 532 +1 564 1+14 + ，4
1
= 5128 -14
1
+ ，
4
5128
= ．
4
26．如图①，从边长为 a 的大正方形中剪掉一个边长为 b 的小正方形，将阴影部分如图剪开，拼成图②的
长方形．
(1)分别计算这两个图形阴影部分的面积，可以验证的等式是 ．
A． a2 - b2 = (a + b)(a - b)
B． (a - b)2 = a2 - 2ab + b2
C． (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
D． a2 + ab = a(a + b)
(2)应用这个公式完成下列各题．
①已知 4m2 - n2 =12， 2m + n = 4 ，求 2m - n的值；
②计算： (2 +1)(22 +1)(24 +1)(28 +1)(216 +1)(232 +1)．
【答案】(1)A
(2)① 3；② 264 -1
【分析】本题考查了平方差公式的几何背景以及平方差公式的计算；
（1）图①阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即 a2 - b2，而图②的阴影部分为长为 a + b ，宽为 a - b
的矩形，可表示出面积为 a + b a - b ；
（2）①用平方差公式分解 4m2 - n2，将已知值代入可求解；
②原式乘以 2 -1 ，应用平方差公式展开后合并同类项即可．
【解析】（1）解：图①中阴影部分的面积为 a2 - b2，图②阴影部分是长为 a + b ，宽为 a - b 的长方形，
因此面积为 a + b a - b ，
由图①，图②中阴影部分的面积相等可得， a2 - b2 = (a + b)(a - b) ，
故选：A；
（2）①Q 4m2 - n2 =12，
\ 2m + n 2m - n =12，
又Q2m + n = 4，
\2m - n =12 4 = 3；
② 2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 216 +1 232 +1
= 2 -1 2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 216 +1 232 +1
= 22 -1 22 +1 24 +1 28 +1 216 +1 232 +1
= 24 -1 24 +1 28 +1 216 +1 232 +1
= 28 -1 28 +1 216 +1 232 +1
= 216 -1 216 +1 232 +1
= 232 -1 232 +1
= 264 -1．
27．观察下列一组等式：
a +1 a2 - a +1 = a3 +1；
a + 2 a2 - 2a + 4 = a3 + 8；
a - 3 a2 + 3a + 9 = a3 - 27 ；
2a + 3 4a2 - 6a + 9 = 8a3 + 27．
利用你从以上这些等式中发现的规律：
(1)填空： a - 2 a2 + 2a + 4 = ______；
a - 2b a2 + 2ab + 4b2 = ______；
（______） a2 + ab + b2 = a3 - b3 ．
(2)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是______．
A． a + 3 a2 + 3a + 9 B． 4 - x 16 + 4x + x2
C． 2m - n 2m2 + 2mn + n2 D． x - 3y x2 + 6xy + 9y2
(3)计算： a - b a + b a2 + ab + b2 a2 - ab + b2 ．
【答案】(1) a3 -8， a3 -8b3， a - b；
(2)B
(3) a6 - b6
【分析】本题考查整式乘法的规律：
（1）根据题意得到( a + b) ( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3， (a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 ，即可得到答案；
（2）根据( a + b) ( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3， (a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 判断即可得到答案；
（3）根据( a + b) ( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3， (a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 计算，再结合平方差公式求解即可
得到答案；
【解析】（1）解：由题意可得，
( a + b) ( a2 - ab + b2 ) = a3 + b3， (a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 ，
∴ a - 2 a2 + 2a + 4 = a3 - 23 = a3 -8 a - 2b a2 + 2ab + 4b2， = a3 - (2b)3 = a3 -8b3 ，
a3 - b3 = (a - b) a2 + ab + b2 ，
故答案为： a3 -8， a3 -8b3， a - b；
（2）解：由题意可得，
4 - x 16 + 4x + x2 = 4 - x 42 + 4x + x2 = 43 - x3，
故选：B；
3 = a - b a2 + ab + b2 a + b a2 - ab + b2（ ）解：原式
= a3 - b3 a3 + b3
= a 6 - b6．
28．阅读下列材料：某同学在计算3 4 +1 42 +1 时，把 3 写成 4 -1后，发现可以连续运用平方差公式计
算：3 4 +1 42 +1 = 4 -1 4 +1 42 +1 = 42 -1 42 +1 =162 -1．他很受启发．后来在求
2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 216 +1 232 +1 时，联想到“凑成”平方差公式，改造此法：将乘积式前面乘 1，
并且把 1 写成 2 -1 得： 2 -1 2 +1 22 +1 24 +1 28 +1 216 +1 232 +1 = 22 -1 22 +1 24 +1 28 +1
216 +1 232 +1 = 24 -1 24 +1 28 +1 216 +1 232 +1 = ××× = 232 -1 232 +1 = 264 -1．
解答问题：
(1) 2计算： 2 3+1 3 +1 34 +1 38 +1 ；
(2)化简： m + n m2 + n2 m4 + n4 m8 + n8 m16 + n16 ．
【答案】(1) 316 -1
32 32
(2) m - n当m = n 时，原式= 32m31，当m n时，原式=
m - n
【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，平方差公式的应用，弄清题中的规律是解题的关键．
（1）先整理 2 = 3-1，则原式为 3-1 3 +1 32 +1 34 +1 38 +1 ，再利用题中的规律进行计算，即可作
答．
（2）进行分类讨论，当m = n 或m n两种情况，利用题中的规律计算即可得到结果．
【解析】（1）解：原式= 2 3+1 32 +1 34 +1 38 +1
= 3-1 3 +1 32 +1 34 +1 38 +1
= 32 -1 32 +1 34 +1 38 +1
= 28 -1 28 +1
= 316 -1；
（2）解：当m = n 时，
原式= m + n m2 + n2 m4 + n4 m8 + n8 m16 + n16
= 2m 2m2 2m4 2m8 2m16
= 32m31
当m n时，
1
原式= m - n m + n m2 + n2 m4 + n4m n m
8 + n8 m16 + n16
-
1
= m2 - n2 m2 + n2 m4 + n4 m8 + n8 m16 + n16m - n
1
= m4 - n4m n m
4 + n4 m8 + n8 m16 + n16
-
1
=
m n m
16 - n16 m16 + n16
-
m32 - n32
= ．
m - n
32 32
综上：当m = n m - n时，原式= 32m31，当m n时，原式= ．
m - n
